10动量定理解析
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第10章 动量定理
d (i ) (e) dt (mi vi ) Fi Fi
(e) dP Fi dt
( Fi
i
0)
质点系的动量定理
质点系动量对时间的导数等于作用在质 点系上所有外力的矢量和。
1.微分形式 d P
( e) Fi dt d I i (e )
质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力 元冲量的矢量和。 2.积分形式
动力学普遍定理概述
对质点系动力学问题：理论上讲，n个质点列出3n 个微分方程， 联立求解即可。
实际上存在两个问题：
1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非常困难。
2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运 动,仅需要研究质点系整体的运动情况。
从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方 法, 而首先要讨论的是动力学普遍定理：
t1 t1 t1
t2
t2
t2
3．合力的冲量： 等于各分力冲量的矢量和．
I FR dt Fi dt Fi dt I i
t1 t1 t1
t2
t2
t2
冲量的单位： Ns kgm/s2 s kgm/s 与动量单位同．
§10-2
动量定理
一．质点的动量定理 dv ma m F dt
船：速度小，质量大。
2.质点系的动量： 质点系中所有各质点的动量的矢量和。
P mi vi
由
rC
mi ri M
两边求导
m v
i
i
M vC
P mi vi MvC
即：质点系的质量与其质心速度的乘积就等于 质点系的动量。
求刚体的动量
理论力学10—动量定理
v A cost vc cos(90 2t )
p 2m1vC m1vC1 m2v A m2v B
B
m2 vB 2m1vC
C
C
C1 m1vC1 O t
m2 v A A
x
v A 2l sin t
vB cos(90 t ) vc cos(90 2t ) B c vB 2l cos t B
10.2
动量定理
F fN C f ( P sin 45 mg cos30 )
从而摩擦力为
0 0 tt 0 tt
动量定理积分形式应用时经常使用投影式：
tt
若作用于质点上的外力主矢恒等于零，则质点的动量守恒， 此即质点的动量守恒定律。 若作用于质点上的外力在某轴上投影的代数和恒等于零，则 质点的动量在该轴上的投影守恒，此即质点对轴的动量守恒 定律。
10.2
动量定理
y
例4 锤的质量m＝3000 kg，从高度h＝1.5 m 处自由下落到受锻压的工件上，工件发生变 形历时τ＝0.01s ；求锤对工件的平均压力。 解：以锤为研究对象，和工件接触后受力如图。 工件反力是变力，在短暂时间迅速变化，用 平均反力N*表示。 锤自由下落时间
d ri vi dt
代入式10—1，注意到质量mi是不变的，则有
d ri d p mi vi mi mi ri dt dt i 1 i 1
令
M mi
n
n
为质点系的总质量
10.1
动量与冲量
m r m r i i i i rC mi M
1 p mvC ml 2
10.1
动量与冲量
vC C
p 2m1vC m1vC1 m2v A m2v B
B
m2 vB 2m1vC
C
C
C1 m1vC1 O t
m2 v A A
x
v A 2l sin t
vB cos(90 t ) vc cos(90 2t ) B c vB 2l cos t B
10.2
动量定理
F fN C f ( P sin 45 mg cos30 )
从而摩擦力为
0 0 tt 0 tt
动量定理积分形式应用时经常使用投影式：
tt
若作用于质点上的外力主矢恒等于零，则质点的动量守恒， 此即质点的动量守恒定律。 若作用于质点上的外力在某轴上投影的代数和恒等于零，则 质点的动量在该轴上的投影守恒，此即质点对轴的动量守恒 定律。
10.2
动量定理
y
例4 锤的质量m＝3000 kg，从高度h＝1.5 m 处自由下落到受锻压的工件上，工件发生变 形历时τ＝0.01s ；求锤对工件的平均压力。 解：以锤为研究对象，和工件接触后受力如图。 工件反力是变力，在短暂时间迅速变化，用 平均反力N*表示。 锤自由下落时间
d ri vi dt
代入式10—1，注意到质量mi是不变的，则有
d ri d p mi vi mi mi ri dt dt i 1 i 1
令
M mi
n
n
为质点系的总质量
10.1
动量与冲量
m r m r i i i i rC mi M
1 p mvC ml 2
10.1
动量与冲量
vC C
第十章 动量定理
例题. 水平面上放一均质三
棱柱 A,在此三棱柱上又放一
均质三棱柱B. 两三棱柱的横
截面都是直角三角形,且质量
分别为M和m.设各接触面都 是光滑的,在图示瞬时, 三棱 柱A的速度为v, 三棱柱B相对 于A的速度为u, 求该瞬时系
A
B
统的动量.
解:取系统为研究对象
B v u
P PA PB
PAx = - M v PAy = 0 PBx = - m v + m u cos
二．质点系的动量定理 (e) (i ) 外力: Fi , 内力: F i
(i ) (i ) (i ) F 0 ; m ( F ) 0 或 m ( F i O i x i ) 0 。
质
(e) (i ) 点: d(mi vi ) Fi dt Fi dt
恒矢量
dp x Fx( e ) 0 , 则 px = 恒量 若 dt
小兔子向前走时，船会怎么样？
动量守恒定律
利用动量守恒原理，火箭 的运动
[例] 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放 一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形 柱体的位移。 解：选两物体组成的系统为研究对象。 (e) 受力分析， Fx 0, 水平方向 Px 常量。
A
PBy = - m u sin
Px = - (M + m) v + m u cos Py = - m u sin
二．冲量
1．力 F 是常矢量：
I F (t2 t1 )
2．力 F 是变矢量：（包括大小和方向的变化）
元冲量：
dI Fdt
I Fdt
第十章- 动量定理解析
解：
B、D和BD杆组合体质心在A处，有：
POA mvE P组合 3mvA
VA和VE方向相同，有：
P mvE 3mvA
Px
7 2
ml
sin
Py
7 ml
2
cos
P
7
ml
sin
i
7
ml
cosj
2
2
例：A、B、滑轮O质量均为m。
解：
求系统的动量。
滑轮质心速度为零： A、B的动量大小相等，方向相反，有：
解： 以物块和小球整体为研究对象，垂直方向受力 为重力和约束反力；水平方向不受外力作用，水 平方向动量守恒。
杆的角速度为：
即0时
最大
杆铅垂时，球相对于物块有最大的水平速度，则有：
vr lmax
动系固结在物块
小球速度向左时，物块应有向右的速度v
小球向左的绝对速度值为：
水平方向动量守恒，有： mAv mB vr v 0
Fymax m1 m2 g m22e
Fymin (m1 m2 )g m22e
例：水流过弯管，流速V=2m/s，管径d=0.3m， 忽略重力。求弯头处受力。
解： t时间内流过质量为m的水 拐弯前，有：
q—体积流量 —密度
拐弯后，有： 由动量定理，可知：
Py2 Py1 N y t
初动量：
p1x
G2 g
v0
末动量：
p2 x
G2
g
G3
v
动量定理： p2x p1x
I
(e) x
G2
g
G3
v
G2 g
v0
Ff
t
得： Ff 142 N
§10-3 质心运动定理
B、D和BD杆组合体质心在A处，有：
POA mvE P组合 3mvA
VA和VE方向相同，有：
P mvE 3mvA
Px
7 2
ml
sin
Py
7 ml
2
cos
P
7
ml
sin
i
7
ml
cosj
2
2
例：A、B、滑轮O质量均为m。
解：
求系统的动量。
滑轮质心速度为零： A、B的动量大小相等，方向相反，有：
解： 以物块和小球整体为研究对象，垂直方向受力 为重力和约束反力；水平方向不受外力作用，水 平方向动量守恒。
杆的角速度为：
即0时
最大
杆铅垂时，球相对于物块有最大的水平速度，则有：
vr lmax
动系固结在物块
小球速度向左时，物块应有向右的速度v
小球向左的绝对速度值为：
水平方向动量守恒，有： mAv mB vr v 0
Fymax m1 m2 g m22e
Fymin (m1 m2 )g m22e
例：水流过弯管，流速V=2m/s，管径d=0.3m， 忽略重力。求弯头处受力。
解： t时间内流过质量为m的水 拐弯前，有：
q—体积流量 —密度
拐弯后，有： 由动量定理，可知：
Py2 Py1 N y t
初动量：
p1x
G2 g
v0
末动量：
p2 x
G2
g
G3
v
动量定理： p2x p1x
I
(e) x
G2
g
G3
v
G2 g
v0
Ff
t
得： Ff 142 N
§10-3 质心运动定理
【K12学习】高三物理10 - 冲量与动量动量定理知识点解析解题方法考点突破例
高三物理10 - 冲量与动量动量定理知识点解析解题方法考点突破例【本讲主要内容】冲量与动量、动量定理认识冲量和动量概念，动量定理的理解和应用。
【知识掌握】【知识点精析】1. 动量和冲量动量按定义，物体的质量和速度的乘积叫做动量：P=mv 特点：①瞬时性：动量是描述运动的状态参量。
对比：状态量定义关系决定因素速度v P/m √2Ek/m 加速度 a 动能Ek 动量P mv 12mv 2P2/2m 总功W 2mEk 合外力冲量I 注意：高考题常需利用三个量间的关系求解。
讨论：在光滑水平面上有A、B两物体向同一方向运动，发生正碰前A、B动量分别为5kgm/s、7kgm/s，碰撞后A的动量变为3kgm/s。
A、B两物体质量关系如何？②相对性：与参照系的选取有关。
③矢量性：与速度的方向相同。
练习：质量为100g的网球以6m/s的速度垂直撞击墙面，之后以4m/s速度反弹。
则网球撞墙前后动量变化有多少？注意：计算动量的变化量应先选取正方向，矢量的正负表示方向。
冲量按定义，力和力的作用时间的乘积叫做冲量：I=Ft高中阶段只要求会用I=Ft计算恒力的冲量，对于变力的冲量，只能利用动量定理通过物体的动量变化来求。
特点：①时间性：冲量是描述力的时间积累效应的物理量，是过程量，它与时间相对应。
注意：冲量和功不同。
恒力在一段时间内可能不做功，但一定有冲量。
例：质量为m的小球高为H的光滑斜面顶端无初速滑到底端过程中，重力、弹力、合力的冲量各是多大？解析：力的作用时间都是t2H12gsinsin2H， g力的大小依次是mg、mgcosα和mgsinα，冲量依次是：IGm2gHm2gH,IN,I合m2gHsintan②绝对性：与参照系的选取无关。
③矢量性：冲量是矢量，它的方向力的方向决定。
如果力的方向在作用时间内保持不变，那么冲量的方向就和力的方向相同。
2. 动量定理内容：物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化。
即I=ΔP 或Ft =mv2－mvl 说明：①动量定理表明冲量是使物体动量发生变化的原因，冲量是物体动量变化的量度，给出了冲量和动量变化间的互求关系。
10第十章-动量定理
Fi dt
(e)
dIi
质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量 和。
积分形式
p 2 p 1
(e)
Ii
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上
的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和．
16
第16页，共37页。
投影形式：
dp x
dt
X (e)
dp y
dt
Y (e)
间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，较大的力 作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效 应。
1．常力 F ：
I F (t2 t1)
2．变力 F：（包括大小和方向的变化）
元冲量： dI Fdt
冲量：
I
t2
Fdt
t1
11
第11页，共37页。
§10-2 动量定理
一．质点的动量定理
0 co st，当sin t 1时， 有：cost 0，故＝0。
0时，v最大，
得：vmax
mB l 0
mA mB
20
第20页，共37页。
[例10-2 P248]
流体流过弯管时， 在截面A和B处的平均流速分别为
v1,v2 (m/s), 求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。 设流体 不可压缩，流量Q(m3/s)为常量， 密度为 (kg/m3）。
由质点系动量定理；得
dp dt
p
lim
t 0
t
Q(v2
v1) W
P1
P2
R
21
第21页，共37页。
dp dt
p
lim
t 0 t
Q(v2
(e)
dIi
质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量 和。
积分形式
p 2 p 1
(e)
Ii
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上
的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和．
16
第16页，共37页。
投影形式：
dp x
dt
X (e)
dp y
dt
Y (e)
间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，较大的力 作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效 应。
1．常力 F ：
I F (t2 t1)
2．变力 F：（包括大小和方向的变化）
元冲量： dI Fdt
冲量：
I
t2
Fdt
t1
11
第11页，共37页。
§10-2 动量定理
一．质点的动量定理
0 co st，当sin t 1时， 有：cost 0，故＝0。
0时，v最大，
得：vmax
mB l 0
mA mB
20
第20页，共37页。
[例10-2 P248]
流体流过弯管时， 在截面A和B处的平均流速分别为
v1,v2 (m/s), 求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。 设流体 不可压缩，流量Q(m3/s)为常量， 密度为 (kg/m3）。
由质点系动量定理；得
dp dt
p
lim
t 0
t
Q(v2
v1) W
P1
P2
R
21
第21页，共37页。
dp dt
p
lim
t 0 t
Q(v2
第十章_动量定理
m 2
l N n mg cos 2
小鸟撞飞机
• 一只0.45公斤的鸟与时速80公里的飞机相撞， 会产生1500（153公斤）牛顿的力，与时速960 公里的飞机相撞，会产生21.6万牛顿的力，高 速运动使得鸟击的破坏力达到惊人的程度。而 一只7公斤的大鸟撞在时速为960公里的飞机上， 它的冲击力将达144吨！ • 这种冲击力足以撞毁飞机发动机，导致飞机坠 毁。
mv 2 mv1 Fdt I
t1
即：质点在 t1 至 t2 时间内动量的改变量等于作用于其上的力在 同一时间内的冲量。
二、质点系的动量定理：
受力Fi(e) :外力，Fi(i) :内力，由质点的动量定理，有 设质点系有 n 个质点，第 i 个质点: mi，vi；
d (mivi) = ( Fi(e) +Fi(i) ) d t = Fi(e)d t + Fi(i)d t
B
vA vE
E O θ A
D
ω
解：⑴曲柄OA的质心在其中点E，且
pOA m1v E 1 m1L 2
L vE 2
⑵求整个机构的动量。 p pOA pBD pB pD
∵ 规尺和两个滑块的质心在 A 点， p' ∴系统的动量为
2(m1 m2 )vA
v A L
三、
• •
质点系动量守恒定律：
当作用于质点系上的外力主矢恒等于零时，则质 点系的动量保持不变。 当作用于质点系上的外力主矢在某轴（如 x 轴） 上投影恒等于零时，则质点系的动量在该轴上的 投影保持不变。 当 R (e)＝0 时，p= p0 = 常矢量； 动 量 守 恒 定 律
即
当∑X (e) ＝ 0 时，px= p0x= 常量。
理论力学@10动量定理
第10章 动量定理主要内容10.1.1 质点系动量及冲量的计算质点的动量为v K m =质点系的动量为C i i m m v v K ∑=∑=式中m 为整个质点系的质量；对于刚体系常用i C i i m v k K ∑=∑=计算质点系的动量，式中v Ci 为第i 个刚体质心的速度。
常力的冲量t ⋅=F S力系的冲量⎰∑=∑=21d )(t t i i t t F S S或⎰⎰=∑=2121d )(d )(R t t t t i t t t t F F S10.1.2 质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量对于时间的变化率与外力系的主矢量之间的关系，即)(d de i tF K ∑= （1）质点系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。
（2）质点系动量守恒定律：当作用于质点系的外力系的主矢量0)(=∑e iF ，质点系动量守恒，即K =常矢量。
或外力系的主矢量在某一轴上的投影为零，则质点系的动量在此轴上的投影守恒，如0=∑x F ，则x K =常量。
10.1.3 质心运动定理质点系的质量与质心加速度的乘积等于外力系的主矢量。
即()())(d d d de i i i c m tM t F v v ∑=∑= 对于刚体系可表示为)(1Cie i ni m F a∑=∑=式中a Ci 表示第i 个刚体质心的加速度。
10.1.4 定常流体流经弯管时的动约束力定常流体流经弯管时，v C =常矢量，流出的质量与流入的质量相等。
若流体的流量为Q ，密度为ρ。
流体流经弯管时的附加动约束力为)(12Nv v F -=''Q ρ 式中v 2,v 1分别为出口处和入口处流体的速度矢量。
基本要求1． 能理解并熟练计算动量、冲量等基本物理量。
2． 会应用动量定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的情形。
当外力主矢量为零时，会应用动量守恒定理求运动的问题。
3． 会求解定常流体流经弯管时的附加动反力。
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8
投影式：
例１曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 转动， 设OA=AB=l ,曲柄OA及连杆AB都是匀 质杆, 质量各为m , 滑块B的质量为m。 求：当 = 45º 时，系统的动量。 解: 曲柄OA： m , vC 1
1 l 2
连杆AB：（ P为速度瞬心）
m , vC 2
PC2
5 l ; AB 2
p pab p AB [( paB )2 pBb ] [ p Aa ( paB )1 ]
( paB )2 ( paB )1 p pBb pAa Qt v2 Qt v1
由质点系动量定理；得
dp p lim Q(v 2 v1 ) W P1 P2 R t 0 dt t
外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。
内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。 对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一 点（或轴）的主矩恒等于零。即：
(i ) F i 0; (i ) M ( F O i )0 或 (i ) M ( F x i ) 0。
t2
F dt I
t1
（在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量）
13
投影形式：
d (mv ) F dt
d ( mv x ) Fx dt d ( mv y ) F y dt d ( mv z ) Fz dt
m v 2 m v1 F dt I
7
3.刚体系统的动量：
第i个刚体：M i , vCi
刚体系统：
pi M i vCi
p M i vCi
p x M i vCix M i x Ci Ci p y M i vCiy M i y Ci pz M i vCiz M i z
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上 的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和．
16
投影形式：
dp x Fix ( e ) dt dp y Fiy ( e ) dt dp z Fiz ( e ) dt
质点系的动量守恒 (e ) Fi 0 p C
ix
0 px C
质点系动量在x方向上守恒
只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质 点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。 17
[例2] 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放 一质量为m的小三角形柱体，初时静止，求小三角形柱体 滑到底时，大三角形柱体的位移。 解：选两物体组成的系统为研究对象。 (e ) 受力分析， Fx 0, 水平方向 px 常量。
5
§10-2 动量与冲量 一、动量
1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积 。
p mv
动量是瞬时矢量，方向与v 相同。
单位是kgm/s。 动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。
例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。
6
2.质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和。
t2
冲量：
I
Ix
t1
F dt
t2 t1
F dt,
x
t2
Iy
t1
F dt,
y
t2
Iz
t1
F dt,
z
11
3．合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和．
t2
I
t1
F
t2
R
dt
t1
F
i
dt
F dt I
i t1
t2
i
冲量的单位： N s kg m/s2 s kg m/s 与动量单位同．
19
dp p lim Q(v2 v1 ) W P1 P2 R t 0 dt t
即
R (W P1 P2 ) Q(v2 v1 )
静反力 R' (W P P ) 1 2 附加动反力 R '' Q(v2 v1 ) 计算 R ' ' 时，常采用投影形式
质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用于质点系上所 有外力的矢量和（外力系的主矢）。
(e ) d rC 质心运动微分方程 M F i 21 dt 2
2
(e ) MaC Fi
1. 投影形式： ① 直角坐标系
(e ) d rC M Fi 2 dt
2
22
(e ) 2. 刚体系统： MaC Fi
(e ) d rC M Fi 2 dt
2
设第 i 个刚体 质量为Mi，质心速度为vCi，则有：
(e ) M i aCi Fi 或
投影式：
(e ) M r i Ci Fi
(e )
Ci Fix x M i aCix M i
Ci Fiy M i aCiy M i y
(e )
M a
i
Ciz
(e ) M i zCi Fiz
Fx 0 mvx C
质点在x方向不受力，质点沿 x 轴的运动是惯性运动。
二．质点系的动量定理
对质点系内任一质点 i， 对整个质点系：
d (i ) (e ) ( mi v i ) Fi Fi dt
d (i ) (e ) dt (mi vi ) Fi Fi
Fi 0 (e ) dp Fi dt
p 2 x p 1x
(e) (e ) I ix Fix dt
t2
p 2 y p 1y
p 2 z p 1z
(e) (e) I F iy iy dt
t1
t1 t2
Iiz
(e)
Fiz ( e ) dt
t1
t2
质点系动量守恒
F
(e )
i i
或 MrC mi ri
设rc xc i yc j zc k , 则
xC mx
i i
M
, yC
m y
i
i
M
, zC
mz M
i i
4
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采
用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质 心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学 意义。 二、质点系的内力与外力
vC 1
1 l 2
vC 3
2l
1 2 5 3 1 2 5 1 p ml[( 2 )i ( ) j] 2 2 2 2 2 2 10 10
p
1 2ml [2i j ] 2
10
二、冲量
力与其作用时间的乘积称为力的冲量。 冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。 1．力 F 是常矢量： I F (t2 t1 ) 2．力 F 是变矢量：（包括大小和方向的变化） 元冲量： dI Fdt
第十章
§10–1
动量定理
质点系的质心 · 内力与外力
§10–2
§10–3 §10–4
动量与冲量
动量定理 质心运动定理
3
§10-1
一、质点系的质心
质点系的质心 内力与外力
质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的
一个重要概念。 质心 C 点的位置： ( M mi )
rC mr M
i
质点系的动量定理
质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。
15
微分形式
(e ) dp Fi dt (e ) (e ) dp Fi dt dI i
质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。 积分形式
(e ) p2 p1 I i
其它定理。 特点：
以简明的数学形式 表明两种量之间的关系。 一种是同运动特征相关的量：动量、动量矩、动能等。 一种是同力相关的量：冲量、力 矩、功等。 从不同侧面对物体的机械运动进行研究，解答动力学问 题非常方便简捷 。
本章研究质点和质点系的动量定理，建立动量的改变与力的
冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要形式— —质心运动定理。
5 5 l AB l 2 2
滑块B：
m, vC 3
2l
9
p mvC 1 mvC 2 mvC 3
p m( vC 1 sin vC 2 cos vC 3 )i m(vC 1 cos vC 2 sin ) j
5 vC 2 l 2 3 1 cos , sin 10 10
动力学普遍定理概述
对质点动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。 对质点系动力学问题：
理论上讲，n个质点列出3n个微分方程， 联立求解即可。
实际问题：
1. 联立求解微分方程（尤其是积分问题）非常困难。
2. 大量的问题中，不需要了解每一个质点的运动，仅需要 研究质点系整体的运动情况。
1
动力学普遍定理 ：动量定理、动量矩定理、动能定理及导出的
运动分析，设大三角块速度 v， 小三角块相对大三角块速度为 vr ，
则小三角块 va v vr 由水平方向动量守恒及初始静止；则
M (v ) mvax 0 M (v ) m(vrx v ) 0 FN m m v rx Mm srx Mm s srx (a b) Mm M m 18 v m s m
投影式：
例１曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 转动， 设OA=AB=l ,曲柄OA及连杆AB都是匀 质杆, 质量各为m , 滑块B的质量为m。 求：当 = 45º 时，系统的动量。 解: 曲柄OA： m , vC 1
1 l 2
连杆AB：（ P为速度瞬心）
m , vC 2
PC2
5 l ; AB 2
p pab p AB [( paB )2 pBb ] [ p Aa ( paB )1 ]
( paB )2 ( paB )1 p pBb pAa Qt v2 Qt v1
由质点系动量定理；得
dp p lim Q(v 2 v1 ) W P1 P2 R t 0 dt t
外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。
内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。 对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一 点（或轴）的主矩恒等于零。即：
(i ) F i 0; (i ) M ( F O i )0 或 (i ) M ( F x i ) 0。
t2
F dt I
t1
（在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量）
13
投影形式：
d (mv ) F dt
d ( mv x ) Fx dt d ( mv y ) F y dt d ( mv z ) Fz dt
m v 2 m v1 F dt I
7
3.刚体系统的动量：
第i个刚体：M i , vCi
刚体系统：
pi M i vCi
p M i vCi
p x M i vCix M i x Ci Ci p y M i vCiy M i y Ci pz M i vCiz M i z
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上 的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和．
16
投影形式：
dp x Fix ( e ) dt dp y Fiy ( e ) dt dp z Fiz ( e ) dt
质点系的动量守恒 (e ) Fi 0 p C
ix
0 px C
质点系动量在x方向上守恒
只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质 点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。 17
[例2] 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放 一质量为m的小三角形柱体，初时静止，求小三角形柱体 滑到底时，大三角形柱体的位移。 解：选两物体组成的系统为研究对象。 (e ) 受力分析， Fx 0, 水平方向 px 常量。
5
§10-2 动量与冲量 一、动量
1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积 。
p mv
动量是瞬时矢量，方向与v 相同。
单位是kgm/s。 动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。
例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。
6
2.质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和。
t2
冲量：
I
Ix
t1
F dt
t2 t1
F dt,
x
t2
Iy
t1
F dt,
y
t2
Iz
t1
F dt,
z
11
3．合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和．
t2
I
t1
F
t2
R
dt
t1
F
i
dt
F dt I
i t1
t2
i
冲量的单位： N s kg m/s2 s kg m/s 与动量单位同．
19
dp p lim Q(v2 v1 ) W P1 P2 R t 0 dt t
即
R (W P1 P2 ) Q(v2 v1 )
静反力 R' (W P P ) 1 2 附加动反力 R '' Q(v2 v1 ) 计算 R ' ' 时，常采用投影形式
质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用于质点系上所 有外力的矢量和（外力系的主矢）。
(e ) d rC 质心运动微分方程 M F i 21 dt 2
2
(e ) MaC Fi
1. 投影形式： ① 直角坐标系
(e ) d rC M Fi 2 dt
2
22
(e ) 2. 刚体系统： MaC Fi
(e ) d rC M Fi 2 dt
2
设第 i 个刚体 质量为Mi，质心速度为vCi，则有：
(e ) M i aCi Fi 或
投影式：
(e ) M r i Ci Fi
(e )
Ci Fix x M i aCix M i
Ci Fiy M i aCiy M i y
(e )
M a
i
Ciz
(e ) M i zCi Fiz
Fx 0 mvx C
质点在x方向不受力，质点沿 x 轴的运动是惯性运动。
二．质点系的动量定理
对质点系内任一质点 i， 对整个质点系：
d (i ) (e ) ( mi v i ) Fi Fi dt
d (i ) (e ) dt (mi vi ) Fi Fi
Fi 0 (e ) dp Fi dt
p 2 x p 1x
(e) (e ) I ix Fix dt
t2
p 2 y p 1y
p 2 z p 1z
(e) (e) I F iy iy dt
t1
t1 t2
Iiz
(e)
Fiz ( e ) dt
t1
t2
质点系动量守恒
F
(e )
i i
或 MrC mi ri
设rc xc i yc j zc k , 则
xC mx
i i
M
, yC
m y
i
i
M
, zC
mz M
i i
4
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采
用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质 心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学 意义。 二、质点系的内力与外力
vC 1
1 l 2
vC 3
2l
1 2 5 3 1 2 5 1 p ml[( 2 )i ( ) j] 2 2 2 2 2 2 10 10
p
1 2ml [2i j ] 2
10
二、冲量
力与其作用时间的乘积称为力的冲量。 冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。 1．力 F 是常矢量： I F (t2 t1 ) 2．力 F 是变矢量：（包括大小和方向的变化） 元冲量： dI Fdt
第十章
§10–1
动量定理
质点系的质心 · 内力与外力
§10–2
§10–3 §10–4
动量与冲量
动量定理 质心运动定理
3
§10-1
一、质点系的质心
质点系的质心 内力与外力
质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的
一个重要概念。 质心 C 点的位置： ( M mi )
rC mr M
i
质点系的动量定理
质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。
15
微分形式
(e ) dp Fi dt (e ) (e ) dp Fi dt dI i
质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。 积分形式
(e ) p2 p1 I i
其它定理。 特点：
以简明的数学形式 表明两种量之间的关系。 一种是同运动特征相关的量：动量、动量矩、动能等。 一种是同力相关的量：冲量、力 矩、功等。 从不同侧面对物体的机械运动进行研究，解答动力学问 题非常方便简捷 。
本章研究质点和质点系的动量定理，建立动量的改变与力的
冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要形式— —质心运动定理。
5 5 l AB l 2 2
滑块B：
m, vC 3
2l
9
p mvC 1 mvC 2 mvC 3
p m( vC 1 sin vC 2 cos vC 3 )i m(vC 1 cos vC 2 sin ) j
5 vC 2 l 2 3 1 cos , sin 10 10
动力学普遍定理概述
对质点动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。 对质点系动力学问题：
理论上讲，n个质点列出3n个微分方程， 联立求解即可。
实际问题：
1. 联立求解微分方程（尤其是积分问题）非常困难。
2. 大量的问题中，不需要了解每一个质点的运动，仅需要 研究质点系整体的运动情况。
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动力学普遍定理 ：动量定理、动量矩定理、动能定理及导出的
运动分析，设大三角块速度 v， 小三角块相对大三角块速度为 vr ，
则小三角块 va v vr 由水平方向动量守恒及初始静止；则
M (v ) mvax 0 M (v ) m(vrx v ) 0 FN m m v rx Mm srx Mm s srx (a b) Mm M m 18 v m s m