理论力学第十章动量定理
理论力学--动量定理
质心运动的思考与比较
F′
A F
B
两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上， 两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上，在圆盘的不 同位置上，各作用一水平力F 同位置上，各作用一水平力 和F′，使圆盘由静止开始运动 ， ，设F = F′，试问哪个圆盘的质心运动得快？ ，试问哪个圆盘的质心运动得快？ (A)．A盘质心运动得快 ． 盘质心运动得快 (B)．B盘质心运动得快 ． 盘质心运动得快 (C)．两盘质心的运动相同 ． (D)．无法判断 ．
1 2 h = gt 2
r P
以接触工件时刻的锻锤为对象，由积分形式的动量定理： 以接触工件时刻的锻锤为对象，由积分形式的动量定理：
mv − mv0 = (P − F )t0
v 1 1 + 0 P = 1 + F = gt 0 t0 2h g
30° °
﹡ FN
P
Q
P ∗ v0 sin 30o − 0 = (FN − P −Q)t g
例：未固定偏心转子电机的分析 未固定偏心转子电机的分析 偏心转子
例：未固定偏心转子电机的分析 未固定偏心转子电机的分析 偏心转子
y1
ω
o2
y
r aO 2 = eω 2 ϕ o1 r m1 g FY
r x1 r aO1 m2 g
y1
r vO 2 o2
y
eω 2 ϕ o1 r m1 g FY
& r x m2 g
x1
x
外壳质心的速度， 轴正向: 其中 vO1 — 外壳质心的速度，沿 x 轴正向 vO2 — 转子质心的速度，且 转子质心的速度，
例：电机在水平方向的运动规律
(m v
lllx10动量定理(Hong)---华南理工大学理论力学课件
n Fn = maC ∑
n − FOx = maC
A
Ox
F
O
a
n C
C
B
Q
t Ft = maC ∑
ω
α
F
t C
Oy
− FOy + Q = ma
a
t C
得： F = − ma n = − mRω 2 Ox C
t FOy = Q − maC = Q − mRα
30
质心运动守恒定律
16
质点系动量守恒定律
质点系动量守恒 -若作用于质点系的外力的主矢恒等于零，则质点系的 动量保持不变。 r r r re dp p 2 = p 1 = 恒矢量 若 = ∑ Fi ≡ 0 dt 质点系动量沿坐标轴守恒 -若作用于质点系的外力的主矢在某一坐标轴上的投影 恒等于零，则质点系的动量在该轴上的投影保持不变。
Fy min = (m1 + m2 ) g − m2ω 2 e
m1 + m2 ω> g时，Fy min < 0, m2 e 离地跳起。
34
习题 10-4 图示均质杆AB，长为l，直立在光滑水平 面上。求它从铅垂位置无初速度倒下时，端点A相 对图示坐标系的轨迹。
35
•动量定理解题步骤
•根据题意，恰当选取研究对象（质点或质点系）； •作研究对象的受力图，只画外力。判定系统动量或质心
2 1
( e)
质点系动量定理的投影形式
微分形式
dp x = dt
∑
F
(e) x
,
dp y dt
=
∑
F y( e ) ,
dp z = dt
∑F
理论力学10—动量定理
d ri vi dt
代入式10—1，注意到质量mi是不变的，则有
d ri d p mi vi mi mi ri dt dt i 1 i 1
令
M mi
n
n
为质点系的总质量
10.1
动量与冲量
mi ri mi ri rC mi M
利用质心坐标公式，定义质点系质量中心(质心) C 的矢径 10—2
G
h
t
2h g
N*
mv2 y mv 1y I y
0 0 G(t ) N
N 3000 9.8( 1 2 1.5 1) 1656kN 0.01 9.8
t 1 2h N G( 1) G( 1) g
锤对工件的平均压力与反力N*大小相等，方向相反，与锤的重 量G＝29.4 kN比较，是它的56倍，可见这个力是相当大的。
C
C
l vc1 , vc l 2 由速度投影定理可得 vA cost vc cos(90 2t )
vA 2l sin t
C1 m1vC1 O t
m2 v A A
x
vB cos(90 t ) vc cos(90 2t ) B c vB 2l cos t B
得 p
1 (5m1 4m2 )l 2 方向为C点速度的方向。
p2
p1
C
C
O
ห้องสมุดไป่ตู้
t
A
C1
x
10.1
动量与冲量
例3、两均质杆OA和AB质量为m，长为l，铰接于A。图示位置 时，OA杆的角速度为 ， AB 杆相对 OA杆的角速度亦为 。求 此瞬时系统的动量。 解：由刚体系统的动量公式 p m1vC1 m2vC 2
《理论力学》第十章--动量矩定理试题及答案
理论力学11章作业题解11-3 已知均质圆盘的质量为m ，半径为R ，在图示位置时对O 1点的动量矩分别为多大？图中O 1C=l 。
解 (a) 21l m l mv L c O w == ，逆时针转动。
(b) w w 2210||1mR J L v m r L c c c O =+=+´=rr ，逆时针转动。
(c ) )2(2221222121l R m ml mR ml J J c O +=+=+=w w )2(222111l R m J L O O +==，逆时针转动。
(d)ww mR R l mv R l R v mR l mv J l mv L v m r L c c c c c c c O )5.0()5.0(/||2211-=-=-=-=+´= r r，顺时针转动解毕。
v cv cv c11-5 均质杆AB 长l 、重为G 1，B 端刚连一重G 2的小球，弹簧系数为k ，使杆在水平位置保持平衡。
设给小球B 一微小初位移0d 后无初速度释放，试求AB 杆的运动规律。
解 以平衡位置（水平）为0=j ，顺时针转为正。
平衡时弹簧受力为：)5.0(312G G F s +=弹簧初始变形量：k G G k F s st /)5.0(3/12+==d在j 角时弹簧的拉力为（小位移）：3/)5.0(3)3/(12l k G G l k F st s j j d ++=+=¢系统对A 点的动量矩：j j j&&&221233l gG G l l g G J L A A +=×+= 对点的动量矩定理)(/å=Ei A A F M dt dL r ：j j 93/5.033221221kl l F lG lG l g G G s -=¢-+=+&& 0)3(321=++j jG G gk &&，令)3(3212G G gkp +=则有02=+j jp &&，其解为： )cos()sin(pt B pt A +=j由初始条件0| ,/|000====t t l jd j &得l B A / ,00d ==。
理论力学复习资料
力学复习选择：力系简化最后结果（平面，空间）牵连运动概念（运动参考系运动，牵连点运动） 平面运动刚体上的点的运动平面运动的动能计算（对瞬心，及柯里西算法） 质心运动定理（投影法x ，y ，z ，轨迹）惯性力系想一点简化计算：刚体系统平衡计算（多次取分能力体，一般为2次） 平面运动 速度的综合计算 动能定理应用动静法（其他方法不得分），已知运动求力（先用动能（动量）定理求运动，在用动静法求力）注意：1.功的单位是m WN ------∙2.注意检验fs N F f F ≤∙,判断是否是静摩擦，当为临界状态时max f s s N F F f F ==∙，纯滚动为静摩擦S F ,且只能根据平衡方程解出，与正压力无关。
动摩擦f NF f F =∙。
3. 动静法中惯性力简化()=-IC i i CIC c IC c F m a c F ma c M J α⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭⎧⎫⎪⎪⇒⎨⎬=------⎪⎪⎩⎭∑质心过点到底惯性力绕点的惯性力偶二维刚体4.e c i i F ma m a ==∑∑， 22d ,d i i cc c m r r r a m t==∑eF ∑=0，则x v =常数=0（初始静止）则c x =常数=坐标系中所在位置，且c S 为直线。
（一直运动求力）5.平面运动刚体动能*222121122c c c J T mv J ωω⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪+⎪⎪⎩⎭瞬心法：柯里希法： 6.平面运动速度分析方法：a,基点法：,BA BA BA v v v v AB ω=+=，以Bv为对角线的平行四边形b,速度投影法：cos cos B B A A v v θθ=,,B A θθ是以AB 为基准。
c,速度瞬心法：***,*,0,0AB c c v v BC v a ACωω==∙=≠ 7.平面运动加速度分析：A.基点法：nB A BA BA a a a a τ=++，其中，多数情况下n A A A a a a τ=+，n B B B a a a τ=+注：当牵连运动为转动时，有科氏加速度k a ，2kr av ω=⨯大小：2kr a v ω=，方向：r v 向ω方向转90即可。
理论力学 第六版部分习题答案 第十章
上式代入式（4）得
FN = 4mB g − mB
10-6 如图 11-10a 所示，质量为 m 的滑块 A，可以在水平光滑槽中运动，具有刚性系 数为 k 的弹簧 1 端与滑块相连接，另 1 端固定。杆 AB 长度为 l，质量忽略不计，A 端与滑 块 A 铰接，B 端装有质量 m1，在铅直平面内可绕点 A 旋转。设在力偶 M 作用下转动角速度 ω 为常数。求滑块 A 的运动微分方程。
F = 1 068 N = 1.068 kN 10-3* 如图 11-3a 所示浮动起重机举起质量 m1=2 000 kg 的重物。设起重机质量 m2=20 000 kg，杆长 OA=8 m；开始时杆与铅直位置成 60°角，水的阻力和杆重均略去不计。当起 重杆 OA 转到与铅直位置成 30°角时，求起重机的位移。
vC = 2vC1 = lω
代入式(1)，得
149
p=
lω (5m1 + 4m2 ) （方向如图 11-7b 所示） 2
A
p
vC
C
vC1
ω
O
ωt
C1
B
(a) 图 11-7
(b)
10-5
质量为 m1 的平台 AB，放于水平面上，平台与水平面间的动滑动摩擦因数为 f。
质量为 m2 的小车 D，由绞车拖动，相对于平台的运动规律为 s = 不计绞车的质量，求平台的加速度。
棱柱 B 接触水平面时系统质心坐标
a b ⎤ ⎡ m A (l − ) + m B ⎢l − (a − )⎥ 3 3 ⎦ 3(m A + m B )l − a(m A + 3m B ) + m B b ⎣ ′ = = xC m A + mB 3(m A + m B )
理论力学@10动量定理
第10章 动量定理主要内容10.1.1 质点系动量及冲量的计算质点的动量为v K m =质点系的动量为C i i m m v v K ∑=∑=式中m 为整个质点系的质量；对于刚体系常用i C i i m v k K ∑=∑=计算质点系的动量，式中v Ci 为第i 个刚体质心的速度。
常力的冲量t ⋅=F S力系的冲量⎰∑=∑=21d )(t t i i t t F S S或⎰⎰=∑=2121d )(d )(R t t t t i t t t t F F S10.1.2 质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量对于时间的变化率与外力系的主矢量之间的关系，即)(d de i tF K ∑= （1）质点系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。
（2）质点系动量守恒定律：当作用于质点系的外力系的主矢量0)(=∑e iF ，质点系动量守恒，即K =常矢量。
或外力系的主矢量在某一轴上的投影为零，则质点系的动量在此轴上的投影守恒，如0=∑x F ，则x K =常量。
10.1.3 质心运动定理质点系的质量与质心加速度的乘积等于外力系的主矢量。
即()())(d d d de i i i c m tM t F v v ∑=∑= 对于刚体系可表示为)(1Cie i ni m F a∑=∑=式中a Ci 表示第i 个刚体质心的加速度。
10.1.4 定常流体流经弯管时的动约束力定常流体流经弯管时，v C =常矢量，流出的质量与流入的质量相等。
若流体的流量为Q ，密度为ρ。
流体流经弯管时的附加动约束力为)(12Nv v F -=''Q ρ 式中v 2,v 1分别为出口处和入口处流体的速度矢量。
基本要求1． 能理解并熟练计算动量、冲量等基本物理量。
2． 会应用动量定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的情形。
当外力主矢量为零时，会应用动量守恒定理求运动的问题。
3． 会求解定常流体流经弯管时的附加动反力。
10第十章动量定理
C
A
vC
mg
dp x dt FOx dp y F mg Oy dt
FOx ml ( sin 2 cos ) 2 FOy mg ml ( cos sin )
第十章 动量定理
第十章 动量定理
第四节 动量定理的应用
例10-1 求质点系的动量。
【解】 vA v,
p A mv A
vB 0
M R
C
v
M
R
B
pB 0 pC Mv
A
θ
vA
m
p
px Mv cos p y mv Mv sin
2 x 2 y
p p
t2点的动量在某一时间间隔内的改变等于
作用于该质点的力在同一时间内的冲量。
第十章 动量定理
第二节 动量定理
二、质点系的动量定理
e ( i ) d mi vi Fi Fi dt
n n d mi vi F (e) i Fi (i ) dt i 1 i 1 i 1 n
对于质量不变的质点系，上式可写为：
n dvC m Fi ( e ) dt i 1
这就是质心运动定理：
质点系的质量与质心加速度的乘积等于质点系所受 外力的矢量和。
第十章 动量定理
n maC Fi ( e ) i 1
第三节 质心运动定理
在直角坐标轴上的投影式为：
ma Cx X , maCy Yi , maCz Z
第十章 动量定理
第二节 动量定理
(e) dp Fi dt
理论力学答案完整版(清华大学出版社)10
子 C 沿水平轨道滚动而不滑动，试求重物 A 的加速度。
解： 取整个系统为研究对象，自由度为 1。设重物速度为 vA ，则轮
题 10-9 图
的角速度 ω = vA ，轮心速度为 R−r
vO
=
R
r −
r
vA 。系统的动能为
( ) T
拉格朗日方程的普遍形式
d dt
∂L ∂q& j
− ∂L ∂q j
= Q′j
( j = 1,2,..., m)
式中 Q′j 为非有势力对应的广义力。
矢量方法
动量法：动量定理
动量矩定理 质心运动定理 定轴转动微分方程 平面运动微分方程
质点系统动力学
动静法
动能定理
能量方法
拉格朗日方程
3 保守系统拉格朗日方程的初积分
10-3 质量为 m1 的匀质杆，长为 l，一端放在水平面上， 另一端与质量为 m2、半径为 r 的匀质圆盘在圆盘中心 O 点 铰接。圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为 v。求系统在此
题 10-3 图
位置的动能。
解：杆作平移，动能为
T1
=
1 2
m1v2
；
圆盘作纯滚动，动能为
T2
=
1 2
m2v2
+
1 2
mivi
⋅ vi
，
其中 n 为系统中的质点数目，可以是有限或无穷，mi 和 vi 分别为各质点的质量和速度。 平
移刚体的动能 T = 1 mv2 ， 2
其中 m 为平移刚体的质量。
定轴转动刚体的动能
T
=
1 2
《理论力学》第十章 质心运动定理
－－质心运动定理 －－质心运动定理
结论： 结论：
质心“ 1. 质心“像一个质点一样遵循牛顿第二定 理”。 无论刚体（ ）、质点系做何形式的运 2. 无论刚体（系）、质点系做何形式的运 动，此定理成立。 此定理成立。 3. 质心的运动仅与质系的外力有关，与
内力无关。 内力无关。
HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY
质心是永远存在， 质心是永远存在，而重心只有在重力场中才存在
在重力场内， 在重力场内，质心与重心重合
Wi ∑ ix C x = W Wi ∑ iy y = C W W ∑ izi z C= W
质心坐标
（二）质心运动定理 d2r i m 2 =F 对每个质点 i i d t 2 dr i 求和 F m 2 =∑ i ∑ i d t 2 2 2 d d dr C 左 = 2 (∑ ir) = 2 (mC) =m 2 边 mi r d t d t d t E I 右 =∑F +F =∑ iE +∑ iI 边 F F i i
mi ∑ ir r = C m ∑ i
问题： 问题：
mi ∑ ix x C= m ∑ i mi ∑ iy y = C m ∑ i mi ∑ iz z C= m ∑ i
构成，每个刚体质心位置已知， 系统由几个刚体构成，每个刚体质心位置已知， 系统质心如何确定？ 1. 系统质心如何确定？ 质心的速度如何确定？ 2. 质心的速度如何确定？
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dp d(mv) F 或 d mv Fdt
dt dt
积分形式为：
mv2 mv1
t2 Fdt I
t1
即在某一时间间隔内，质点动量的变化等
于力在此段时间内的冲量。（冲量定理）
★ 质点系的动量定理
对于第i个质点
dpi dt
d(mivi ) dt
F (e) i
F (i) i
对于质点系
求：电动机底座所受的水平和竖直约束力。
解：1、选择包括外壳、定子、转子的电动机作为研
究对象 2、分析系统受力 定子所受重力m1g; 转子所受重力m2g;
y
o2
e2
o1
x
m1 g
m2 g
底座所受约束力
Fx、Fy、M。
3、确定质心的加
速度
xC
m1
0 m2 e cost
m1 m2
M
Fx
Fy
yC
i
dpi dt
i
d(mivi ) dt
i
F (e) i
i
F (i) i
内力主矢
F(i) i
0
外力主矢
F (e) i
质点系动量定理
dp
dt
i
F (e) i
积分形式
p2 p1
I (e) i
i
§10-2 动量定理 ★ 质点系的动量定理
dp
dt
i
F (e) i
投影形式为:
dpx
4、应用质点系的动量定理确定约束力
d
dt
mivYi
FY
5、分析电动机跳起的条件：当偏心转子质心O2运动到最上方
时， = t = /2，约束力最小：
电动机跳起的条件为： 由此得：
解（2）：电机在水平方向的运动规律
分析：系统动量并不守恒（？），
y1
vO 2
但是系统在水平方向不受外力，动
o2
量在水平方向的分量守恒。
C1 C
C2
A
O
60 B
C1C2 = 0.5l
4m 0.5l
C1C 6m 4m = 0.2l
x
取过质心C的铅垂轴为 y 轴建立坐标如图。
xD0 = 0.25l - 0.2l = 0.05l
y
D
C1 C
C2
6mg 4mg
A
O
60 B
N1
N2
画系统受力图.
由于ΣF(e)x = 0,则vcx = c
例10-2 锤的质量m =3000kg,
y
从高度h=1.5m处自由下落到受 m
锻压的工件上，工件发生变形，
历时t0=0.01s，求锤对工件的平 均压力。
h
分析：
取锤为研究对象，则锤的运动可分为 自由落体过程和锻压过程，第一过程受 重力作用，第二过程受重力和平均约束 力作用。对整个过程用冲量定理。
解：锤自由落体过程经历的时间 t1
t 内动量的改变量 :
p ( mi vi mi vi ) - ( mi vi mi vi )
1 2
2 2
11
1 2
★ 动量定理在流体中的应用
p ( mi vi mi vi ) - ( mi vi mi vi )
1 2
2 2
11
1 2
流动是稳定的
mi vi mi vi
质量均为m，曲柄OD和连杆AB的质量均为m ；曲柄
以等角速度ω绕O轴旋转；图示位置时，角度φ为任
意值。
求：图示位置时，系统的总动量。
B
ω Oφ
A
解：
y B
设系统质心坐标为（xc,yc)
xC
mixi 2ml cos 0.5ml cos ml cos
mi
4m
7lcos
8
px
mi xc
7 lm sin
2、系统所受的外力有—
—定子所受重力m1g；转
子所受重力m2g；底座所
FY
x
受约束力Fy
3、分析运动，确定各个刚体质心的加速度：
定系Oxy，动系O1x1y1，外壳作平移，其质心加速度为aO1 转子作平面运动，其质心加速度由两部分组成：ae=aO1 （水
平方向）；ar=aO2=e 2 （法向加速度）。
■ 实际问题3
？ 工作原理
§10-1 动量与冲量
★ 动量
●质点的动量
p mv
●质点系的动量
n
p
m i
vi
●质心
i 1
rC
miri 其中m
m
mi
上式两边对时间求导 mvC mivi
●质点系的动量 p mivi mvC
例10椭-1圆规机构中，OD＝AD＝DB＝l；滑块A和B的
vB
mA cos
mA mB
vr
mB
滑块B的位移
FN
d
t
0 vBdt
mA cos
mA mB
t 0
vrdt
mA mA
cos
mB
l
★ 动量定理在流体中的应用
理想流体的假设 :
（1）流动是稳定（定常）的，
即各点的速度、压强不随
时间而变化 。
（2）流体是不可压缩的，即流
量是常数。 有连续流方程
dm dt
m1 0 m2 m1
e sin t
m2
xC
m2 m1 m2
e 2
cos t
yC
m2 m1 m2
e 2
sin t
y
4、应用质心运动定理
o2
maCx
F (e) x
e2
o1
x
m1 g
m2 g
m2 e2cost Fx
maCy
F (e) y
Fy M
Fx
m2 e2sint Fy m1g m2g
2h
t1 g
y
锤的初速度及末速度均为0 m
h
由质点的动量定理得
G
0 0 G(t1 t0 ) FNt0
代入已知数据可解得
FN
G( t1 t0
1)
1656kN
FN
例10-3 质量为 mA的物块A在重力作用下沿质量
为 mB的大物块B的斜面滑下，斜面倾角为α，若 系统初始处于静止，各接触面均光滑，求物块A 沿斜面滑下 l 时物块B移动的距离。
0
i
F(e) x
0
vC 常矢量，即 mv1 mv2 vCx 常量， 即 mv1x mv2x
F(e) x
0
且 vCx t0 0
xC 常量，即 mx1 mx2
例10-5 电动机的外壳和定子的总质量为 m1 ，质 心C1与转子转轴 O1 重合 ；转子质量为 m2 ， 质心O2 与转轴不重合 ，偏心距 O1O2 = e 。若转 子以等角速度ω旋转 。
1 2
1 2
p mi vi - mi vi
2 2
11
m v2 m v1 m( v2 v1 )
p m( v2 v1 )
同除以 t ，并取极限
dp dt
dm dt
(v2
v1)＝qm
(v2
v1)
由动量定理得 qm (v2 v1)＝ F＝F1＋F2＋FN＋W
FN FN' FN''
质量为m半径为R的均质半圆形板，受力偶M作用，
在铅垂面内绕 O轴转动，转动的角速度为，角加速 度为α。 C点为半圆板的质心，当OC与水平线成任 意角 时，求此瞬时轴O的约束力 (OC=4R/3)。
MO
C
α
习题讨论课--题3
图示浮动起重机举起质量m1 =2000 kg的重物。设起重机质量 m2 =20000 kg，杆长OA=8 m；开 始时杆与铅直位置成60°角，水的 阻力和杆重均略去不计。当起重 杆OA转到与铅直位置成30°角时，
mA
mB
解： 1、运动分析 动点－小三角块A 动系－大三角块B
va ve vr
上矢量式投影于x轴
vax vrcos vB
mA
mB
ve
mA
x
va
vr
解：2、动力学分析
系统在水平方向受力为零，因此质点系在 水平方向满足动量守恒
mAvax mBvB 0
vax vrcos vB
(mA+mB)g mA
i
F (e) i
质心运动定理： maC
F (e) i
质心运动定理： maC
F (e) i
质心运动定理的投影形式：
maCx
m d2 xC dt 2
FRexmຫໍສະໝຸດ Cymd2 yC dt 2
FRey
maCz
m d2 zC dt 2
FRez
§10-3 质心运动定理
★ 质心守恒
F (e) i
求起重机的位移。
周期性反复变化的约束力对结构的破坏作 用?
若底座不固定，初始条件为 ：
vO2y=e2。
求：1、电动机跳起的条件；
＝0，vO2x = 0,
2、外壳在水平方向的运动规律。
y1
解（1）：电动机跳起的条件
o2
y
aO
2
e
o1
2
aO1
x1
m2 g
m1 g
1、选择包括外壳、定子、 转子的电动机作为刚体系 统。
2
ω Oφ
同理得
A
x
py
7 lm cos
2
§10-1 动量与冲量 ★ 冲量
●常力的冲量 I Ft
●变力的元冲量 ●变力的冲量
dI Fdt
I t2 Fdt t1