第十章- 动量定理解析

解：
B、D和BD杆组合体质心在A处，有：
POA mvE P组合 3mvA
VA和VE方向相同，有：
P mvE 3mvA
Px
7 2
ml
sin
Py
7 ml
2
cos
P
7
ml
sin
i
7
ml
cosj
2
2
例：A、B、滑轮O质量均为m。
解：
求系统的动量。
滑轮质心速度为零： A、B的动量大小相等，方向相反，有：
解： 以物块和小球整体为研究对象，垂直方向受力 为重力和约束反力；水平方向不受外力作用，水 平方向动量守恒。
杆的角速度为：
即0时
最大
杆铅垂时，球相对于物块有最大的水平速度，则有：
vr lmax
动系固结在物块
小球速度向左时，物块应有向右的速度v
小球向左的绝对速度值为：
水平方向动量守恒，有： mAv mB vr v 0
Fymax m1 m2 g m22e
Fymin (m1 m2 )g m22e
例：水流过弯管，流速V=2m/s，管径d=0.3m， 忽略重力。求弯头处受力。
解： t时间内流过质量为m的水 拐弯前，有：
q—体积流量 —密度
拐弯后，有： 由动量定理，可知：
Py2 Py1 N y t
初动量：
p1x
G2 g
v0
末动量：
p2 x
G2
g
G3
v
动量定理： p2x p1x
I
(e) x
G2
g
G3
v
G2 g
v0
Ff
t
得： Ff 142 N
§10-3 质心运动定理
1. 质量中心
质点系在力的作用下，其运动状态与各质点的质量及其 相互位置都有关系。
与重心类似，质心位置：
质心位置反映质点系质量分布的一种特征
得基础反力： Fx m22esin t
Fy (m1 m2)g m22ecost
电机不转时，基础只有静反力：(m1 m2 )g
动反力是系统运动附加产生的
X方向附加动反力： m22esint Y方向附加动反力： m22e cost
是转子偏心引起的谐变力，会引起电机和基础振动 Fxmax m2 2e Fxmin m2 2e
xc
mi xi mi
矢量和。
质点系的动量对时间的导数等于作用于 质点系的外力的矢量和
积分：
P0为t=0时质点系的动量。
质点系动量定理的 积分 形式: 在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段
时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。
质点系动量定理在直角坐标的投影式：
和
px py
p0 x p0 y
(e) x
(e) y
第十章 动量定理
§10 -1 动量与冲量
1.动量
质点的动量：质点的质量与速度的乘积，mv
动量的量纲：
动量的单位： kg m / s
质点系的动量：质点系内各质点动量的矢量和。
flash
质心坐标： 质点系质量中心 C的矢径和速度：
结论：质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积 用来分析刚体很方便
例：椭圆规机构，OA=l，AB=AD=l，AO、 BD、B、D质量均为m，曲柄OA角速度为 。求系统的动量。
质点动量定理的 微分 形式： 质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。
质点动量定理的 积分 形式：
在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在 同一时间内的冲量。
2.质点系的动量定理 n个质点的质点系，质点i上作用有:
=
n个方程，两端分别相加：
外力 内力
质点系动量定理的 微分 形式： 质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的
分析：运用质点系动量定理。
取电动机外壳与转子组成质点系，这样 可不考虑使转子转动的内力。
外力有重力、基础反力和反力偶。
质点系的动量就是转子的动量。
p m2e
设t=0时，O1O2铅垂。φ=ωt 由动量定理的投影式，得：
dpx dt
Fx
dpy dt
Fy
m1g
m2g
px m2e cost
py m2e sin t
pz
p0 z
(e) z
例： 物体沿斜面下滑，摩擦系数为f，斜 面倾角为，初速为V1。求其增速一倍时 经历的时间。
解：
质点动量变化=力在 t 内的冲量，有：
px
p0 x
t
0
Fxdt
t
v1
g(sin f cos)
例10-1：电动机外壳固定在水平基础上，定子质量为m1，转子质量为m2， 如图所示。设定子的质心位于转轴的中心O1，由于制造误差，转子的质心 O2到O1的距离为e，已知转子匀速转动，角速度。求基础的支座反力。
解： (1)可用动量守恒求末动量
X (e) 0 系统在水平方向动量守恒
px0
G1
G2 g
v0
px
G1
G2 g
G3
v
px0 px
G1
G2 g
v0
G1
G2 g
G3
v
v
G1 G2 G1 G2 G3
v0
3km/ h
0.833m / s
(2)已知初、末动量和时间 求内力， 可取分离体用动量定理求解。
所以：
例：已知履带质量为m1，每个均质车轮质量为m2，半径为R， 前进速度为V，求系统的动量。
解：
P mvc
P m总v (m1 2m2 )v
2. 冲量
冲 量：作用力与作用时间的乘积
微分形式：
dI称为元冲量
冲量的量纲：
冲量的单位： N S
§10-2 动量定理
1. 质点的动量定理 牛顿第二定律 ma=F 可写成： 或：
V,较大时需加支座
3.质点系动量守恒定律
如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，则质点系的动 量保持不变。
如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等 于零，则质点系的动量在该坐标轴上的投影不变。
dpx
dt
F (e) ix
=恒量
例10-3：物块A可沿光滑水平面自由滑动，其质量为mA；小球B的质量为 mB，以细杆与物块铰接。设杆长为L，质量不计，初始时系统静止，并有 初始摆角0；释放后，杆近似以 0coskt 规律摆动（k为已知常数）。求： 物块A的：A、B质量各为m1、m2，初始静止， 不计摩擦。求B的加速度。
解： 总动量在X轴守恒 动系固定B上
再由物块A：
m1ax X
可解得： 也可得FN，此时，FNm1g+m2g=(m1+m2)g
例：小车重G1=2kN，车上箱子重G2=1kN， v0=3.5km/h。重G3=0.5kN 的物体铅垂落入箱内。 (1)求此后小车速度；(2)若物体落入后，箱子沿 小车滑动了0.2s才相对停止，求箱子与小车间的 摩擦力的平均值。