第10章 动量定理
第10章动量定理习题
第10章 动量定理习题1.是非题（对画√，错画×）10-1.质点的动量与冲量是等价的物理量。
（ ） 10-2.质点系的动量等于外力的主矢量。
（ ）10-3.质点系动量守恒是指质点系各质点的动量不变。
（ ） 10-4.质心运动守恒是指质心位置不变。
（ ）10-5.质点系动量的变化只与外力有关，与内力无关。
（ ） 2.填空题（把正确的答案写在横线上）10-6.各均质物体，其质量均为m ，其几何尺寸及运动速度和角速度，如图所示。
则各物体的动量为（a ） ；(b) ；（c ） ；(d) 。
题10-6图(a)(b)(C)(d)10-7.一质量为m 的质点作圆周运动，如图所示。
当点位于点A 点时，其速度大小为1v ，方向为铅垂向上，当运动到点B 时，其速度大小为2v ，方向为铅垂向下，则质点从点A 点运动到点B 时，作用在该质点上力的冲量大小为 ；冲量的方向为 。
AB2题10-7图题10-9图3.简答题10-8.质点作匀速圆周运动，则质点的动量守恒吗？10-9.两物块A 、B ，质量分别为A m 、B m ，初始静止。
如A 沿斜面下滑的相对速度为r v ，如图所示。
若物块B 的速度为v ，则根据动量守恒，有v m cos v m B r A =θ对吗？10-10.小球沿水平面运动，碰到铅直墙壁后返回，设碰撞前和后小球的速度大小相等，则作用在小球上力的冲量等于零。
此说法对吗？为什么？10-11.刚体受有一群力的作用，无论各力的作用点如何，刚体质心的加速度都不变吗？ 4.计算题10-12.有一木块质量为2.3kg ，放在光滑的水平面上。
一质量为0.014kg 的子弹沿水平方向射入后，木块以速度3m/s 前进，试求子弹射入前的速度。
10-13.跳伞者质量为60kg ，从停留在高空中的直升飞机中跳出，落下100m 后，将伞打开。
设开伞前的空气阻力忽略不计，伞重不计，开伞后所受的阻力不变，经5s 后跳伞者的速度减为4.3m/s ，试求阻力的大小。
第10章 动量定理 (1)
1．质点系动量的变化与内力无关。应用动量定理时，必须明确研究对象，分清外力与 内力，只需将外力表示在受力图上。
2．应用动量定理可解决质点系动力学的两类问题，即已知力求运动的问题和已知运动
求力的问题。一般用动量定理求未知约束力。
当外力系的主矢量为零时，系统的动量守恒，即
Fi(e) 0 ， K ki mivCi =常矢量
A0B A0B0 B0B 3A0B0
（b）
4
由于炸裂前后，水平方向的运动为匀速运动，水平方向运动的距离正比于水平速度，即
A0B0 : A0B v : v1
（c）
将式（b）代入式（c）得
同理
v2 v
v : v1 1: 3 v1 3v
m1 m2 v 3m1v m2v
所以解得
m1 m2
Q g
(b
a
l
)
FP g
Q g
1 2
mA (vr2
vB2
2vrvB
cos )
1 2
mBvB2
得
1 2
mA
(vr2
vB22vr vB Nhomakorabeacos
)
1 2
mB vB2
0
mA gsr
sin
（c）
将式（d）代入上式并化简可得
1
2
vB2
mA
mB
mA mA
mB cos2
mA
cos2
mA
gsr
sin
将式（d）对
t
求导，且
d sr dt
应用质点系动量定理一般可解决质点系动力学的两类问题。一类是已知质点系的运动， 这里指的是用动量及其变化率或质心的加速度所表示的运动，求作用在质点系上外力系中的
第10章 动量定理
第10章 动量定理10-1 设A 、B 两质点的质量分别为m A ，、m B ，它们在某瞬时的速度大小分别为v A 、v B ，则以下问题是否正确？(A)当v A ＝v B ，且m A ＝m B 时，该两质点的动量必定相等。
(B)当v A ＝v B ，且m A ≠m B 时，该两质点的动量也可能相等。
(C)当v A ≠v B ，且m A ＝m B 时，该两质点的动量有可能相等。
(D)当v A ≠v B ，且m A ≠m B 时，该两质点的动量必不相等。
答：（C ）。
10-2 以下说法正确吗？（1）如果外力对物体不做功，则该力便不能改变物体的动量。
（2）变力的冲量为零时．则变力F 必为零。
（3）质点系的质心位置保持不变的条件是作用于质点系的所有外力主矢恒为零及质心的初速度为零。
答：（1）× （2）× （3）√。
10-3 试求图中各质点系的动量。
各物体均为均质体。
答：(a)⎪⎭⎫ ⎝⎛++=3212m m m r K ω（←）， (b) v )(21m m K += （←），(c) K =0，(d) v )2(1m m K +=（→），(e) )(21m m r K -=ω（↑）， (f) v m K x 2=（←），vm K y 1=（↓），v m m K 2221+=。
题10-3图10-4质量分别为m A＝12 kg, m B＝10 kg的物块A和B，用一轻杆倚放在铅直墙面和水平地板上，如图示。
在物块A上作用一常力F＝250N，使它从静止开始向右运动，假设经过1s后，物块A移动了1m，速度υA＝4.15m/s。
一切摩擦均可忽略，试求作用在墙面和地面的冲量。
答：S x = 200 ⋅2 N⋅s（→），S y = 246 ⋅7 N⋅s（↓）。
题10-4图题10-5图10-5垂直与薄板、处于自由流动的水流，被薄板截分为两部分：一部分流量Q1＝7L/s，另一部分偏离一角α。
动量定理
I 0 Fdt
□ 动量定理
☆ 质点动量定理 ☆ 质点系动量定理 ☆ 质心运动定理 ☆ 应用举例
☆ 质点动量定理
dp d(m v) F dt dt
质点的动量定理 —— 质点的动量对时间的一 阶导数，等于作用在质点上的力
d(mv) Fdt
——动量定理微分形式
t
mv mv0 Fdt I ——动量定理积分形式
3、应用质心运动定理确定约束力
mi aCiy FRey
m1 0 m2 e 2sint Fy i m1g m2 g Fy m1g m2 g m2e 2sint
4、分析电动机跳起的条件；当偏心转子质心O2运动到最上方时， t / 2
Fy m1g m2 g m2e 2
m1 0 m2 e 2sint Fy m1g m2 g
i Fx m2e 2cost
Fy m1g m2 g m2e 2sint
＊ 动约束力与轴承动反力
Fxd m2e 2cost Fyd m2e 2sint
＊约束力何时取最大值与最小值
☆ 质点系动量定理＊ 动量定理
对于质点系
dp dt
FRe
或
d( dt
i
mivi ) FRe
质点系的动量主矢对时间的一阶
导数，等于作用在这一质点系上的
外力主矢 —— 质点系动量定理
(theorem of the momentum of a system of
particles) (微分形式) 。
例题1
椭圆规机构中，OC＝AC＝CB ＝l；滑块A和B的质量均为m，曲 柄OC和连杆AB的质量忽略不计；
第10章 动量定理
第10章 动量定理物理中已讲述质点及质点系的动量定理，本章重点在质心运动定理。
同动能定理，先介绍动量与冲量的概念及求法。
10.1 动量提问下述问题。
一、 质点的动量v m，矢量。
二、 质点系的动量C v M v m K=∑= 表征质系随质心平动强度的量。
问题：某瞬时圆轮轮心速度为O v，圆轮沿直线平动、纯滚动和又滚又滑时的动量是否相等？若沿曲线运动呢？10.2 力和力系的冲量提问下述问题。
一、 力的冲量力在时间上的累积效应。
1. 常力t F S =问题：图中G 和T有冲量吗？2. 任意力元冲量：t F S=d冲量：⎰=21d t t t F S二、 力系的冲量⎰=∑=21d t t i tR S S故力系的冲量等于主矢的冲量三、 内力的冲量 恒为零。
10.3 动量定理一、 质点的动量定理牛顿第二定律：F a m=→ F tv m=d )(d 或S v m d )(d = 微分形式→ S v m v m=-12 积分形式 二、 质点系的动量定理任一质点：)()(d )(d i i e i i i F F tv m+= 求和，内力之和为零（或内力冲量和为零）：)(d d e F tK∑= 微分形式 )(12e S K K∑=- 积分形式例1（自编）图示系统。
均质滚子A 、滑轮B 重量和半径均为Q 和r ，滚子纯滚动，三角块固定不动，倾角为α，重量为G ，重物重量P 。
求地面给三角块的反力。
分析：欲求反力，需用动量定理：上式左端实际包含各物体质心加速度，而用动能定理可求。
解：I. 求加速度。
（前面已求）II. 求反力。
研究整体，画受力图如图。
系统动量：αcos ΣC x x v gQmv K -== αsin ΣC y y v gQv g P mv K -== 由动量定理：)(Σd d e xX tK = X a g Q C =-αcosαcos C a gQX -= )(Σd d e F tK=有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）)(Σd d e y Y tK =G Q P Y a gQa g P C ---=-2sin α αsin 2C a gQa g P G Q P Y -+++= 将g QP PQ a a C 2sin +-==α代入上面式，得：可见，动量定理只建立了系统一部分动力学关系，只能求反力；而反力偶需要由动量矩定理来求。
《理论力学》第10章 质心运动定理
第10章 质心运动定理
26
3、求质心加速度
aC
aB
aCt B
aCnB
4、质心运动定理求约束力，受力分析
ma Cx FixE FA sin450 maCy FiyE FB mg FA cos 450
O
450
1m
A
C
vB
aB
450
B
FA
A
mg
x
FB
C
450
B
★理论力学电子教案
0
px const
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
18
例题 图示机构，均质杆OA长l，质量为m1，滑块A的质量为m2， 滑道CD的质量为m3。OA杆在一力偶（图中未画出）作用下作 匀角度ω转动。试求O处的水平约束反力（机构位于铅直平面
内，各处摩擦不计）。 C
A
O
E
D
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
第10章 质心运动定理
27
ma A
第10章 质心运动定理
14
M
C aC mg
FN
F
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
§2 质点系动量、冲量
质点动量： 质点系动量：
p mv
P mivi mvC
问：刚体系动量？
元冲量：
dI F dt
冲量：
t2 t2
I dI F dt
t1
t1
15
p mv
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
1
第十章 质心运动定理&动量定理
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
ch10-质心运动定理与动量定理
第十章 质心运动定理与动量定理思 考 题10-1 分析下列陈述是否正确：（１） 动量是一个瞬时的量，相应地，冲量也是一个瞬时的量。
（２） 将质量为m 的小球以速度向上抛，小球回落到地面时的速度为。
因与的大小相等，所以动量也相等。
1v 2v 1v 2v （３） 力F 在直角坐标轴上的投影为、、，作用时间从t ＝０到t ＝t x F y F z F １，其冲量的投影应是111,,t F I t F I t F I z z y y x x ===。
（４） 一物体受到大小为10 N 的常力F 作用，在t ＝3 s 的瞬时，该力的冲量的大小I = Ft = 30 N ·s。
10-2 当质点系中每一质点都作高速运动时，该系统的动量是否一定很大？为什么? 10-3 炮弹在空中飞行时，若不计空气阻力，则质心的轨迹为一抛物线。
炮弹在空中爆炸后，其质心轨迹是否改变?又当部分弹片落地后，其质心轨迹是否改变?为什么?10-4 质量为的楔块A 放在光滑水平面上。
质量为的杆BC 可沿铅直槽运动，其一端放在楔块A 上。
在思考题10-４附图所示瞬时，楔块的速度为，加速度为，求此时系统质心的速度及加速度。
1m 2m A v Aa思考题10-4附图 思考题10-5附图 10-5 质点系由三个质量均为m 的质点组成。
在初瞬时，这三个质点位于思考题10-5 附 0t 图所示位置，并分别具有初速度。
已知CO BO AO v v v ,,,235.1,200k j i v k v ++==B A i v 30=C 。
试 求此时质点系质心的位置及速度。
长度单位为m ，时间单位为s 。
6-6 试求思考题10-6附图所示各均质物体的动量，设各物体质量均为m 。
思考题10-6附图10-7 两个半径和质量相同的均质圆盘A,B ，放在光滑的水平面上，分别受到力 的作用，如思考题10-7附图所示，且B A F F ,B A F F =。
设两圆盘受力后自静止开始运动，在某一瞬时两圆盘的动量分别为。
10第十章动量定理
设 FN FN FN
FN 为静约束力
FN 为附加动约束力
qV r(vb va ) G Fa Fb FN FN
G Fa Fb FN 0
Fa a a1
得附加动反力为
FN qV r(vb va )
va a a1
FN
G
b b1
m1
l 2
m1
3l 2
2m1 m2
2m2l
cos w t
y
w
A
2(m1 m2 ) l coswt
2m1 m2
Oj
x
yC
2m1
l 2
2m1 m2
sin
wt
m1 2m1
m2
l sin
wt
B
消去t 得轨迹方程
[
xC
]2 [
yC
]2 1
2(m1 m2 )l /(2m1 m2 ) m1l /(2m1 m2 )
则 px 为恒量
例 质量为m1的机车，以速度v1撞接质量为m2的静止车厢。 不计轨道摩擦。试求撞接后这一列车的速度。
解: 取机车和车厢为质点系。 由于撞接过程中，水平方向没有外力作用，故有
Px＝常量
撞接前 px1 m1v1 0 撞接后 px2 (m1 m2 )v
故有 m1v1 (m1 m2 )v
§10－2 动量定理
1、质点的动量定理 质点动力学基本方程：
ma mdv F dt
将m放入微分号内，得 d(mv) F dt
称为微分形式的质点动量定理，即质点动量对时间的导数 等于作用于质点上的所有力的合力矢。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例题
曲柄滑块机构如图所示。设曲柄OA受力偶作用以匀角速 度ω转动，滑块B沿x轴滑动。若OA=AB=l，OA及AB皆为均质 杆，质量皆为m1，滑块B的质量为m2 。试求支座O处的水平约 束力。
y A B
ω
Fx O Fy
φ
FN
x
解：
选取整个机构为研究对象，其水平方 向只承受O处约束力的作用。列出质心运 动定理在x轴上的投影式 y
dP dt
(e) Fi
质点系的动量定理
即：质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系的外 力的矢量和。 微分形式：
(e) (e) dp Fi dt dI i
即：质点系动量的增量等于作用于质点系上的外力元冲量 的矢量和。 积分形式：
(e) t2 (e) P2 P dt I i 1 Fi
积分形式： m v 2 m v 1
t2
t1
F dt I
即：在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力 在此段时间内的冲量。
投影形式：
d ( mv ) F x x dt d ( mv ) F y y dt d ( mv ) F z z dt
mv2 x mv1x I x Fx dt
对质点动力学问题：建立质点运动微分方程求解。 对质点系动力学问题：理论上讲，n个质点列出3n个微分方 程， 联立求解它们即可。 实际上的问题是： 1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非常困难。 2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运动,仅需要研究 质点系整体的运动情况。 动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及 由此推导出来的其它一些定理)。 以简明的数学形式， 表明两种量 —— 一种是同运动特 征相关的量(动量、动量矩、动能等)，一种是同力相关的量 (冲量、力矩、功等) —— 之间的关系。
冲量：
I
t2
F dt
t1
N s kgm/s 2 s kgm/s
与动量单位相同
§10-2
一．质点的动量定理
dv ma m F dt
动量定理
d (m v ) F dt
质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力。 微分形式： d (mv ) Fdt dI 即：质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。
即：质点系的质量与其质心速度的乘积等于质点系的动量。
C , Py MvCy My C , Pz MvCz Mz C Px MvCx Mx
3.刚体系统的动量：
设第i个刚体：mi , vci
则整个系统：
P mi vCi
Ci Px mi vCix mi x Ci Pz mi vCiz mi z
第三篇
动力学
引
言
研究物体的机械运动与作用力之间的关系 一.研究对象： 二.力学模型： 1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 例如： 研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平动时,刚体 质点；
质点。
2.质点系：由有限或无限个有着一定联系 的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系。
P mv
动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。 2.质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和。 P mi vi m i ri M rC m i ri rC M P mi vi MvC 求导后得：
P mi vi MvC
xC
m i xi , y m i y i , z m i z i C C
M M M
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。但 是，质心与重心是两个不同的概念。
二、质点系的内力与外力 外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系 中各质点的力。 内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。
P 2y P 1y I
(e) y
质点系的动量守恒
(e) 若 Fi 0 ；则
若
( e)
P mivi C
（常矢量）。
Fix 0 ；则 Px mivix C （常量）。
只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质 点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。
v 1
tan (1
§10-3
一、质心运动定理
质心运动定理
Mvc mi vi
d vc M dt (e) Fi
故动量定理微分式可写为：
d ( M vc ) dt
(e) Fi
(e) M a c Fi
－－质心运动定理
即：质点系的质量与质心加速度的乘积等于质点系 的外力的矢量和。
（图 a ） 。 设火炮放在光滑水平面上，且炮筒与炮车相固
连，试求火炮的后坐速度和炮弹的发射速度。
y vm1 m2g
vr
α
A
FA m1g
B
FB (a)
x
解:
取火炮和炮弹（包括炸药）这个系统作为研究对象。 设火炮的后座速度是 vm1，炮弹的发射速度是 v。 Fx = 0 系统的动量在轴 x 上的投影守恒
( 2m1 m2 )aCx Fx
（a） Fx A
ω
O Fy
此系统质心坐标为
2( m1 m2 ) xC l cos t 2 m1 m2
φ
FN
B
x
将xC对时间取二阶导数
C a Cx x 2 ( m1 m 2 ) l 2 cos t 2 m1 m 2
第十章
动量定理
本章主要内容
动量与冲量 动量定理 质心运动定理
§10-1
一、质点系的质心
动量与冲量
质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布 情况的一个重要概念。 质心 C 点的位置： ( M mi ) m i ri rC 或 M rC m i ri M
设 rc xc i y c j z c k , 则
W2
O2
Fy
Fx
解:
取电动机外壳与转子组成质点系。选坐标系 如图所示。
y
机壳不动，质点系的动量 就是转子的动量：
ω O1
W1
ωt
b
p
p m2b
设t=0时，O1O2铅垂 由动量定理的投影式得 dp x Fx dt dp y Fy m1 g m2 g dt
x
W2
O2
Fy
Fx
dp x Fx dt
(i ) (e) d ( m i v i ) Fi Fi 对质点系内任一质点 i， dt (i ) (e) i d 对整个质点系： (mi vi ) Fi Fi (而 Fi 0) dt (e) dP Fi 质点系的动量定理 dt
代入上式（a），求得
d 2 xC Fx ( 2m1 m2 ) 2 2 2l ( m1 m2 ) cos t dt
例题
质量为m1的平台AB，放于水平面上，平台与水平面间 的动滑动摩擦系数为f。质量为m2的小车D由绞车拖动，相 1 对于平台的运动规律为 s 2 bt 2 ，其中b为已知常数。不计 绞车质量，求平台加速度。 s v aABA
自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。 质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。 三.动力学分类: 质点动力学
质点系动力学
质点动力学是质点 系动力学的基础。
四.动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。 综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。
Ci Py mi vCiy mi y
四、冲量 力与其作用时间的乘积称为力的冲量。 力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。
1．力 F 是常矢量：
I F (t 2 t1 )
2．力 F 是变矢量：（包括大小和方向的变化）
元冲量： dI Fdt
冲量的单位：
mi aciz Fiz( e )
结论： 质点系质心的运动，是可以看成为一个质 点的运动，同时假想地把整个质点系的质量 集中于这一点，作用于质点系的全部外力也 都集中于这一点。 例：定向爆破 同时，质点系的内力不影响质心的运动，只有 外力才能改变质心的运动。 例：汽车启动
二、质心运动守恒定理
(e) Mac Fi (e) Fi 0
－－质心运动定理
ac 0
质心做匀速直线运动，若开始静止，则质心坐 标保持不变。
Macx F
(e) ix
Macy Fiy( e )
Macz F
(e) iz
Fix( e ) 0
acx 0
质心速度在x轴上的投影保持不变，若开始时 速度投影为零，则质心沿该轴的坐标保持不变。
使用时应采用投影式：
Ma Ma
Ma
cx
cy
F ix( e )
F iy( e )
cz
F iz( e )
对多刚体系统还可用以下公式：
(e) mi aci Fi
(e) Fiy
t1
即：在某时间间隔内，质点系动量的改变量等于在该时间段内 作用于质点系上的外力冲量的矢量和。
投影形式：
dPx F xe dt
dPy dt
F