第10章 动量定理
理论力学-动量定理
注意到物理学中，质点系质心位矢 公式对时间的一阶导数： mi ri rC i m mi vi vC i m 式中，rC为质点系质心的位矢； vC为质心的速度；m为质点 系的总质量。据此，质点系的动量可改写为：
p mv C
动量定理与动量守恒
质点系的动量
p mv C
动量定理应用举例
例题2
解：1、选择包括外、 壳、定子、转子的电 动机作为研究对象。
m1g m2g
2、系统所受的外力： 定子所受重力m1g;
Fx
M Fy
转子所受重力m2g; 底座所受约束力 Fx、Fy、M。
动量定理应用举例
例题2
3、各刚体质心的加速度 aC1＝ aO1=0 ; aC2＝ aO2＝eω2 (向心加速度) 4、应用质心运动定理
Fx m2e 2cos t
Fy m1g m2 g m2e 2sint
动量定理应用举例
5、关于计算结果的分析
例题2
Fx m2e 2cos t Fy m1g m2 g m2e 2sint
* 动约束力与轴承动反力
Fxd m2 e 2 cost
p2 p1 C1
这就是质点系动量守恒定律(theorem of the conservation of momentum of a system of particles)。 式中 C1 为常矢量，由运动的初始条件决定。
动量定理与动量守恒
质点系动量守恒定律
实际应用质点系的动量定理时，常采用投影式：
第10章 动量定理
几个有意义的实际问题
动量定理与动量守恒 质心运动定理 应用举例 结论与讨论 参考性例题
第10章 动量定理 (1)
1．质点系动量的变化与内力无关。应用动量定理时，必须明确研究对象，分清外力与 内力，只需将外力表示在受力图上。
2．应用动量定理可解决质点系动力学的两类问题，即已知力求运动的问题和已知运动
求力的问题。一般用动量定理求未知约束力。
当外力系的主矢量为零时，系统的动量守恒，即
Fi(e) 0 ， K ki mivCi =常矢量
A0B A0B0 B0B 3A0B0
（b）
4
由于炸裂前后，水平方向的运动为匀速运动，水平方向运动的距离正比于水平速度，即
A0B0 : A0B v : v1
（c）
将式（b）代入式（c）得
同理
v2 v
v : v1 1: 3 v1 3v
m1 m2 v 3m1v m2v
所以解得
m1 m2
Q g
(b
a
l
)
FP g
Q g
1 2
mA (vr2
vB2
2vrvB
cos )
1 2
mBvB2
得
1 2
mA
(vr2
vB22vr vB Nhomakorabeacos
)
1 2
mB vB2
0
mA gsr
sin
（c）
将式（d）代入上式并化简可得
1
2
vB2
mA
mB
mA mA
mB cos2
mA
cos2
mA
gsr
sin
将式（d）对
t
求导，且
d sr dt
应用质点系动量定理一般可解决质点系动力学的两类问题。一类是已知质点系的运动， 这里指的是用动量及其变化率或质心的加速度所表示的运动，求作用在质点系上外力系中的
第10章 动量定理
d (i ) (e) dt (mi vi ) Fi Fi
(e) dP Fi dt
( Fi
i
0)
质点系的动量定理
质点系动量对时间的导数等于作用在质 点系上所有外力的矢量和。
1.微分形式 d P
( e) Fi dt d I i (e )
质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力 元冲量的矢量和。 2.积分形式
动力学普遍定理概述
对质点系动力学问题：理论上讲，n个质点列出3n 个微分方程， 联立求解即可。
实际上存在两个问题：
1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非常困难。
2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运 动,仅需要研究质点系整体的运动情况。
从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方 法, 而首先要讨论的是动力学普遍定理：
t1 t1 t1
t2
t2
t2
3．合力的冲量： 等于各分力冲量的矢量和．
I FR dt Fi dt Fi dt I i
t1 t1 t1
t2
t2
t2
冲量的单位： Ns kgm/s2 s kgm/s 与动量单位同．
§10-2
动量定理
一．质点的动量定理 dv ma m F dt
船：速度小，质量大。
2.质点系的动量： 质点系中所有各质点的动量的矢量和。
P mi vi
由
rC
mi ri M
两边求导
m v
i
i
M vC
P mi vi MvC
即：质点系的质量与其质心速度的乘积就等于 质点系的动量。
求刚体的动量
动量定理
I 0 Fdt
□ 动量定理
☆ 质点动量定理 ☆ 质点系动量定理 ☆ 质心运动定理 ☆ 应用举例
☆ 质点动量定理
dp d(m v) F dt dt
质点的动量定理 —— 质点的动量对时间的一 阶导数，等于作用在质点上的力
d(mv) Fdt
——动量定理微分形式
t
mv mv0 Fdt I ——动量定理积分形式
3、应用质心运动定理确定约束力
mi aCiy FRey
m1 0 m2 e 2sint Fy i m1g m2 g Fy m1g m2 g m2e 2sint
4、分析电动机跳起的条件；当偏心转子质心O2运动到最上方时， t / 2
Fy m1g m2 g m2e 2
m1 0 m2 e 2sint Fy m1g m2 g
i Fx m2e 2cost
Fy m1g m2 g m2e 2sint
＊ 动约束力与轴承动反力
Fxd m2e 2cost Fyd m2e 2sint
＊约束力何时取最大值与最小值
☆ 质点系动量定理＊ 动量定理
对于质点系
dp dt
FRe
或
d( dt
i
mivi ) FRe
质点系的动量主矢对时间的一阶
导数，等于作用在这一质点系上的
外力主矢 —— 质点系动量定理
(theorem of the momentum of a system of
particles) (微分形式) 。
例题1
椭圆规机构中，OC＝AC＝CB ＝l；滑块A和B的质量均为m，曲 柄OC和连杆AB的质量忽略不计；
第10章 动量定理
第10章 动量定理物理中已讲述质点及质点系的动量定理，本章重点在质心运动定理。
同动能定理，先介绍动量与冲量的概念及求法。
10.1 动量提问下述问题。
一、 质点的动量v m，矢量。
二、 质点系的动量C v M v m K=∑= 表征质系随质心平动强度的量。
问题：某瞬时圆轮轮心速度为O v，圆轮沿直线平动、纯滚动和又滚又滑时的动量是否相等？若沿曲线运动呢？10.2 力和力系的冲量提问下述问题。
一、 力的冲量力在时间上的累积效应。
1. 常力t F S =问题：图中G 和T有冲量吗？2. 任意力元冲量：t F S=d冲量：⎰=21d t t t F S二、 力系的冲量⎰=∑=21d t t i tR S S故力系的冲量等于主矢的冲量三、 内力的冲量 恒为零。
10.3 动量定理一、 质点的动量定理牛顿第二定律：F a m=→ F tv m=d )(d 或S v m d )(d = 微分形式→ S v m v m=-12 积分形式 二、 质点系的动量定理任一质点：)()(d )(d i i e i i i F F tv m+= 求和，内力之和为零（或内力冲量和为零）：)(d d e F tK∑= 微分形式 )(12e S K K∑=- 积分形式例1（自编）图示系统。
均质滚子A 、滑轮B 重量和半径均为Q 和r ，滚子纯滚动，三角块固定不动，倾角为α，重量为G ，重物重量P 。
求地面给三角块的反力。
分析：欲求反力，需用动量定理：上式左端实际包含各物体质心加速度，而用动能定理可求。
解：I. 求加速度。
（前面已求）II. 求反力。
研究整体，画受力图如图。
系统动量：αcos ΣC x x v gQmv K -== αsin ΣC y y v gQv g P mv K -== 由动量定理：)(Σd d e xX tK = X a g Q C =-αcosαcos C a gQX -= )(Σd d e F tK=有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）)(Σd d e y Y tK =G Q P Y a gQa g P C ---=-2sin α αsin 2C a gQa g P G Q P Y -+++= 将g QP PQ a a C 2sin +-==α代入上面式，得：可见，动量定理只建立了系统一部分动力学关系，只能求反力；而反力偶需要由动量矩定理来求。
10第十章动量定理
设 FN FN FN
FN 为静约束力
FN 为附加动约束力
qV r(vb va ) G Fa Fb FN FN
G Fa Fb FN 0
Fa a a1
得附加动反力为
FN qV r(vb va )
va a a1
FN
G
b b1
m1
l 2
m1
3l 2
2m1 m2
2m2l
cos w t
y
w
A
2(m1 m2 ) l coswt
2m1 m2
Oj
x
yC
2m1
l 2
2m1 m2
sin
wt
m1 2m1
m2
l sin
wt
B
消去t 得轨迹方程
[
xC
]2 [
yC
]2 1
2(m1 m2 )l /(2m1 m2 ) m1l /(2m1 m2 )
则 px 为恒量
例 质量为m1的机车，以速度v1撞接质量为m2的静止车厢。 不计轨道摩擦。试求撞接后这一列车的速度。
解: 取机车和车厢为质点系。 由于撞接过程中，水平方向没有外力作用，故有
Px＝常量
撞接前 px1 m1v1 0 撞接后 px2 (m1 m2 )v
故有 m1v1 (m1 m2 )v
§10－2 动量定理
1、质点的动量定理 质点动力学基本方程：
ma mdv F dt
将m放入微分号内，得 d(mv) F dt
称为微分形式的质点动量定理，即质点动量对时间的导数 等于作用于质点上的所有力的合力矢。
10第十章-动量定理
(e)
dIi
质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量 和。
积分形式
p 2 p 1
(e)
Ii
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上
的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和．
16
第16页，共37页。
投影形式：
dp x
dt
X (e)
dp y
dt
Y (e)
间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，较大的力 作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效 应。
1．常力 F ：
I F (t2 t1)
2．变力 F：（包括大小和方向的变化）
元冲量： dI Fdt
冲量：
I
t2
Fdt
t1
11
第11页，共37页。
§10-2 动量定理
一．质点的动量定理
0 co st，当sin t 1时， 有：cost 0，故＝0。
0时，v最大，
得：vmax
mB l 0
mA mB
20
第20页，共37页。
[例10-2 P248]
流体流过弯管时， 在截面A和B处的平均流速分别为
v1,v2 (m/s), 求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。 设流体 不可压缩，流量Q(m3/s)为常量， 密度为 (kg/m3）。
由质点系动量定理；得
dp dt
p
lim
t 0
t
Q(v2
v1) W
P1
P2
R
21
第21页，共37页。
dp dt
p
lim
t 0 t
Q(v2
理论力学 第六版部分习题答案 第十章
上式代入式（4）得
FN = 4mB g − mB
10-6 如图 11-10a 所示，质量为 m 的滑块 A，可以在水平光滑槽中运动，具有刚性系 数为 k 的弹簧 1 端与滑块相连接，另 1 端固定。杆 AB 长度为 l，质量忽略不计，A 端与滑 块 A 铰接，B 端装有质量 m1，在铅直平面内可绕点 A 旋转。设在力偶 M 作用下转动角速度 ω 为常数。求滑块 A 的运动微分方程。
F = 1 068 N = 1.068 kN 10-3* 如图 11-3a 所示浮动起重机举起质量 m1=2 000 kg 的重物。设起重机质量 m2=20 000 kg，杆长 OA=8 m；开始时杆与铅直位置成 60°角，水的阻力和杆重均略去不计。当起 重杆 OA 转到与铅直位置成 30°角时，求起重机的位移。
vC = 2vC1 = lω
代入式(1)，得
149
p=
lω (5m1 + 4m2 ) （方向如图 11-7b 所示） 2
A
p
vC
C
vC1
ω
O
ωt
C1
B
(a) 图 11-7
(b)
10-5
质量为 m1 的平台 AB，放于水平面上，平台与水平面间的动滑动摩擦因数为 f。
质量为 m2 的小车 D，由绞车拖动，相对于平台的运动规律为 s = 不计绞车的质量，求平台的加速度。
棱柱 B 接触水平面时系统质心坐标
a b ⎤ ⎡ m A (l − ) + m B ⎢l − (a − )⎥ 3 3 ⎦ 3(m A + m B )l − a(m A + 3m B ) + m B b ⎣ ′ = = xC m A + mB 3(m A + m B )
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第10章 动量定理
10-1 设A 、B 两质点的质量分别为m A ，、m B ，它们在某瞬时的速度大小分别为v A 、v B ，则以下问题是否正确？
(A)当v A ＝v B ，且m A ＝m B 时，该两质点的动量必定相等。
(B)当v A ＝v B ，且m A ≠m B 时，该两质点的动量也可能相等。
(C)当v A ≠v B ，且m A ＝m B 时，该两质点的动量有可能相等。
(D)当v A ≠v B ，且m A ≠m B 时，该两质点的动量必不相等。
答：（C ）。
10-2 以下说法正确吗？
（1）如果外力对物体不做功，则该力便不能改变物体的动量。
（2）变力的冲量为零时．则变力F 必为零。
（3）质点系的质心位置保持不变的条件是作用于质点系的所有外力主矢恒为零及质心的初速度为零。
答：（1）× （2）× （3）√。
10-3 试求图中各质点系的动量。
各物体均为均质体。
答：(a)
⎪
⎭⎫ ⎝⎛++=3212m m m r K ω（←）， (b) v )(21m m K += （←），
(c) K =0，
(d) v )2(1m m K +=（→），
(e) )(21m m r K -=ω（↑）， (f) v m K x 2=（←），
v
m K y 1=（↓），
v m m K 2
221+=。
题10-3图
10-4质量分别为m A＝12 kg, m B＝10 kg的物块A和B，用一轻杆倚放在铅直墙面和水平地板上，如图示。
在物块A上作用一常力F＝250N，使它从静止开始向右运动，假设经过1s后，物块A移动了1m，速度υA＝4.15m/s。
一切摩擦均可忽略，试求作用在墙面和地面的冲量。
答：S x = 200 ⋅2 N⋅s（→），S y = 246 ⋅7 N⋅s（↓）。
题10-4图题10-5图
10-5垂直与薄板、处于自由流动的水流，被薄板截分为两部分：一部分流量Q1＝7L/s，另一部分偏离一角α。
忽略水重和摩擦，试确定角α和水对薄板的压力，假设水柱速度υ1＝υ2＝υ＝28m/s，总流量Q＝21L/s。
答：α= 30︒，F N = 249N。
10-6扫雪车（俯视如图示）以4.5m/s的速度行驶在水平路上，每分钟把50吨雪扫至路旁，若雪受推后相对于铲雪刀AB以2.5m/s的速度离开，试求轮胎与道路间的侧向力F R 和驱动扫雪车工作时的牵引力F T。
答：F R =1975 N，F T = 30377 N。
题10-6图
题10-7图
10-7 水从d ＝150mm 直径的消防龙头以υB ＝10m/s 的速度流出。
已知水的密度ρ＝1Mg/m 3，A 处的静水压力为50kPa ，求底座A 处的水平反力、垂直反力和反力偶。
答：F Ax = 1767.1 N （←），F Ay = 2564.3 N （↓），M A = 883.6 N ⋅m 逆时针。
10-8 求图示水柱对涡轮固定叶片的压力的水平分力。
已知：水的流量为Q m 3／s ，密度为ρkg ／m 3；水冲击叶片的速度为1v m ／s ，方向沿水平向左；水流出叶片的速度为2v m ／s ，与水平成α角。
答：N )cos (21N αρv v Q F x +=。
题10-8图
题10-9图
10-9 如图所示，水力采煤是利用水枪在高压下喷射的强力水流采煤。
已知水枪水柱直径为30mm ，水速为56m ／s ，求给煤层的动水压力。
答：F R x = 2.216 kN 。
10-10 一火箭铅直向上发射，当它达到飞行的最大高度时，炸成三个等质量的碎片，经观测，其中一块碎片铅直落至地面，历时t 1，另两块碎片则历时t 2落至地面。
求发生爆炸的最大高度H 。
答：
121
2212221
t t t t t gt H ++=。
题10-10图
题10-11图
10-11 质量为100kg 的车在光滑的直线轨道上以1m/s 的速度匀速运动。
今有一质量为50kg 的人从高处跳到车上，其速度为2m/s ，与水平面成60︒角，如图示。
随后此人又从车上向后跳下，他跳离车子后相对车子的速度为1m/s ，方向与水平成30︒角，求人跳离车子后的车速。
答：v = 1.29 m/s 。
题10-12图
题10-13图
10-12 图示凸轮机构中，凸轮以匀角速度ω绕定轴O 转动。
重为P 的滑杆I 借助于右端弹簧的推压而始终顶在凸轮上，当凸轮转动时，滑杆作往复运动。
设凸轮为一均质圆盘，重为Q ，半径为r ，偏心距为e 。
求在任一瞬时，机座螺钉总的附加动反力的主矢。
答：t e g Q P F x ωωcos 2R +-= t
e g Q
F y ωωsin 2R -=。
10-13 重物M 1和M 2各重P 1和P 2，分别系在两条绳子上，如图示。
此两绳又分别绕在半径为r 1和r 2的塔轮上。
已知P 1 r 1>P 2 r 2，重物受重力作用而运动，且塔轮重为Q ，对转轴的回转半径为ρ，中心在转轴上。
求轴承O 的反力。
答：F Ox = 0
22221122
221121)(r P r P Q r P r P Q P P F Oy ++--
++=ρ。
10-14 均质圆盘，质量为m ，半径为r ，可绕通过边缘O 点且垂直于盘面的水平轴转动。
设圆盘从最高位置无初速地开始绕轴O 转动，试求当圆盘中心和轴的连线经过水平面
的瞬时，轴承
O的总反力的大小。
答：17
R
=
O
F mg/3。
题10-14图题10-15图
10-15平板D放置在光滑水平面上，板上装有一曲柄、滑杆、套筒机构，十字套筒C 保证滑杆AB为平移。
已知曲柄OA是一根长为r、质量为m的均质杆，以匀角速度ω绕O 轴转动。
滑杆AB的质量为4m，套筒C的质量为2m，机构其余部分的质量为20m，试求：（1）平板D的水平规律x(t)；（2）平板对水平面的压力F N(t)；（3）平板开始跳动时的角速度ωCr。
答：（1）6/)
cos
1(
)(t
r
t
xω
-
=，
（2）t
mr
mg
t
Fω
ωsin
5.6
27
)(2
N
-
=，
（3）r
g
Cr
13
/
54
=
ω。
10-16长为l的细杆，一端固连一重为P的小球A，另一端用铰链与滑块B的中心相连。
滑块重为Q，放在光滑水平面上。
如不计细杆质量，试求细杆于水平位置由静止进入运动后，到达铅直位置时，滑块B在水平面上运动的距离以及获得的速度。
答：Q
P
Pl
x B
+
=
∆
，Q
P
g l
Q
Q
P
v B
+
=
2。
10-17在图示曲柄滑杆机构中，曲柄以等角速度ω绕O轴转。
开始时，曲柄OA水平向右。
已知：曲柄的质量为m1，滑块A的质量为m2，滑杆的质量为m3，曲柄的质心在OA
题10-16图题10-17图
的中点，OA ＝l; 滑杆的质心在点C ，而
2l
BC =。
求：（1）机构质量中心的运动方程；（2）
作用在点O 的最大水平力。
答：t
l m m m m m m m m m l m x C ωcos )(222)(23213
213213+++++++=
t
l m m m m m y C ωsin )(223212
1+++=。
10-18 机车以速度v =72km ／h 沿直线轨道行驶，如图所示。
平行杆ABC 质量为200kg ，其质量可视为沿长度均匀分布。
曲柄长r =0.3m ，质量不计。
车轮半径R=1m ，车轮只滚动而不滑动。
求：车轮施加于铁轨的动压力的最大值。
答：F Nmax = 24 kN 。
题10-18图
题10-19图
10-19 匀质杆AB 长2l ，B 端放置在光滑水平面上。
杆在图示位置自由倒下，试求A 点的轨迹方程。
答：1
4)cos (2
2
2
2
0=+
-l
y l
l x A
A α。