微积分第4章习题解答(上)

合集下载

大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案

大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案前言数学是一门抽象的学科，需要大量的练习才能真正理解和掌握。

微积分作为数学中的基础学科，更是如此。

本文将为大家提供大学数学微积分第二版上册的课后习题及其答案，供大家参考和练习。

课后习题及答案第一章函数与极限习题1.11.计算以下极限:1.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 1}\\frac{x-1}{x^2-1}$2.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}\\frac{\\sqrt{1+x}-1}{x}$3.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}(\\frac{1}{\\sin{x}}-\\frac{1}{x})$答案：1.$\\frac{1}{2}$2.$\\frac{1}{2}$3.02.求曲线$y=\\frac{1}{x}$与直线y=x在第一象限中形成的夹角。

答案：$\\frac{\\pi}{4}$3.证明：$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}x\\sin\\frac{1}{x}=0$答案：对任意$\\epsilon>0$，取$\\delta=\\epsilon$，则当$0<|x|<\\delta$时，有$|x\\sin\\frac{1}{x}-0|<|x|<\\delta=\\epsilon$ 习题1.21.求下列函数的导数：1.y=2x3+3x2−4x+12.$y=\\frac{1}{2}x^3-x^2+2x-1$3.$y=\\frac{1}{\\sqrt{x}}+x\\ln{x}$答案：1.y′=6x2+6x−42.$y'=\\frac{3}{2}x^2-2x+2$3.$y'=-\\frac{1}{2x^{\\frac{3}{2}}}+\\ln{x}+1$2.求函数y=xe x在x=1处的导数。

答案：y′=e+13.求f(x)=|x−2|的导函数。

大学一年级上学期-微积分课后练习及答案-4-4-定积分的计算

dx x2 + 5x +1
t
3
− ∫1
1
t2
dt + 5t
+
1
=
3
−∫1
d(t + 5) 2
(t + 5 )2 − 21 24
1
= − ln t + 5 + t 2 + 5t + 1 3 = ln( 7 + 7 ) − ln 9 = ln 7 + 2 7
2
1
2
2
9
π
(8) ∫0 sin3 x − sin5 xdx
解:
e2
∫1 x
dx 1 + ln x
=
e2
∫1
d(1 + ln x) 1 + ln x
=2
e2
1 + ln x = 2(
1
3 − 1)
(3)
∫ 2ln 2 dx
ln 2 e x − 1
解:
∫ 2ln 2 ln 2
e
dx x−
1
=
∫ 2ln 2 ln 2
1
−ex +e ex −1
x
=
∫ 2ln 2 ln 2
《微积分 A》习题解答
1
(6) ∫ (1 − x 2 )3 dx 0
1
解: ∫ 0
π
(1 − x 2 )3 dx = ∫ 2 0
(1 − sin 2
t)3
cos tdt
π
=∫ 2 0
cos 4
tdt
=
3⋅ 4
1 2
⋅π 2
=
3π 16

曹定华版《微积分》课后习题答案(上)

2.用区间表示下列函数的定义域:1(1)(2)arcsin(1)lg(lg );1(3).ln(2) y y x x xy x ==-+=-(3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ⎧--≥⎪-≠⎨⎪->⎩即6112x x x -≤≤⎧⎪≠⎨⎪<⎩所以函数的定义域是-6≤x <1,用区间表示就是[-6,1].8. 求下列函数的反函数:22(1)2sin 3,,;(2);66212101,(3)()2(2)1 2.xx y x x y x x f x x x ππ⎡⎤=∈-=⎢⎥+⎣⎦-≤≤⎧=⎨--<≤⎩(2)由221x x y =+得21xy y =-,即2log 1y x y =-.所以函数221xx y =+的反函数为2log (01)1x y x x =<<-. 习题1-21.下列初等函数是由哪些基本初等函数复合而成的? (1) y=； (2) y =sin 3ln x ;(3) y = tan 2x a ； (4) y =ln ［ln 2(ln 3x )］.解 (1)令arcsin xu a =,则y =,再令xv a =,则arcsin u v =,因此y =是由基本初等函数arcsin ,x y u v v a ===复合而成的.(4)令23ln (ln )u x =,则ln y u =,再令3l n (l n )v x =则2u v =,再令3ln w x =,则ln v w =,再令ln t x =,则3w t =,因此23ln[ln (ln )]y x =是由基本初等函数2l n ,,l n,y u u v v w === 3,ln w t t x ==复合而成.3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n nn n n n n nn++≤+++≤≤=+而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得2lim 0!nn n →∞= 4.利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11ne +，n =1,2,…； (2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。

微积分第2版-朱文莉第4章导数应用习题详解

第四章习题解答习题4.1(A)1、验证下列各函数在所给区间上是否满足罗尔定理.如果满足，试求出定理中的ξ:(1) 3(),[1,1]=-∈-f x x x x ； (2) ,01()0,1≤<⎧=⎨=⎩x x f x x .解 (1) 显然函数3()=-f x x x 在[1,1]-上连续,在(1,1)-内可导, 有2()31f x x '=-,(1)(1)0-==f f . 因此,该函数在区间上满足罗尔定理条件.令2()310. f ξξξ'=-==得 (2) 不满足, 函数()f x 在闭区间[0,1]上不连续.2、验证下列各函数在所给区间上是否满足拉格朗日中值定理，如果满足，试求出定理中的ξ.(1) 311)(-+=x x f ([2,9])x ∈； (2) 1)(-=x x f ([0,3])x ∈.解 (1) 函数311)(-+=x x f 在[2,9]上连续,在(2,9)内可导,满足拉格朗日中值定理的条件,所以(9)(2)'()(92) f f f ξ-=-解之得,1ξ=±(舍负). (2) 因为()11f x x x =-=在处不可导,故不满足拉格朗日中值定理.3、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0==f a f b ，试证：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()f f ξξ'=-.证令=⋅()()xF x e f x ，则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且0==()()F a F b ，即满足罗尔中值定理的条件，于是在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得0'=()F ξ即0''==()[()+()]F e f f ξξξξ于是，至少存在一点∈(,)a b ξ，使得0'=()+()f f ξξ, 即()()f f ξξ'=-.4、证明不等式：(1) ,,sin sin ∈-≤-x y R x y x y ；(2) 当0<<a b 时，ln --<<b a b b ab a a；证 (1) 设()sin f t t =,且x y <,显然()f t 在[,]x y 上满足拉格朗日中值定理条件, 则至少存在一点()x y ξξ<<,使得sin sin cos ()y x y x ξ-=-又因为cos 1ξ≤,所以不等式sin sin y x y x -≤-(2) 令 ()ln , [,]=∈f x x x a b则函数()f t 在闭区间[,]a b 上连续, 在开区间(,)a b 内可导, 且1()f x x'=于是，由拉格朗日中值定理，至少存在一点(,)∈a b ξ，使得()()()()'-=-f b a f b a ξ即 ln ln ln --==b b ab a a ξ由于0<<<a b ξ时，则当0>>b a 时有ln --<<b a b b ab a a. 5、设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0==f a f b ，()0≠g x ，试证:至少存在一个(,)∈a b ξ，使()()()()f g f g ξξξξ''=证令)()()(x g x f x F =，则函数()F x 在区间[,]a b 上满足罗尔定理条件，即至少存在一点(,)∈a b ξ，使得2()()()()()0 ()f g g f F g ξξξξξξ''-'==即 ()()()()f g g f ξξξξ''=.习题4.1(B)1、验证柯西中值定理对函数3()2=++f x x x 及2()1=+g x x 在区间[0,1]上的正确性，并求出相应的ξ值.解因为3()2f x x x =++及2()1g x x =+在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且在(0,1)内,02)('≠=x x g 故满足柯西中值定理条件,由柯西中值定理得(1)(0)()(0,1) (1)(0)()f f f g g g ξξξ'-=∈'-解之得 1,13==ξξ（舍去）2、设()(1)(2)(3)(4)=----f x x x x x ，用罗尔中值定理判断方程()0f x '=有几个根，并指出根所在的范围.解由于函数()f x 在闭区间[1,2]上连续, 在开区间(1,2)内可导, 且(1)(2)f f =. 所以由罗尔定理可知, 存在1(1,2)ξ∈使得1()0f ξ'=. 同理可证, 存在2(2,3)ξ∈,3(3,4)ξ∈使得23()()0f f ξξ''==, 即123,,ξξξ都是方程()0f x '=的根. 另一方面, 方程()0f x '=是三次多项式, 所以它最多有三个实根, 从而123,,ξξξ是方程()0f x '=的所有的根.3．设()f x 在(,)()()(0)1().上满足，且，试证'-∞+∞xf x f x f f x ===e 证明因为()()'f x f x =，所以()()'f x f x =1，而[]()ln ()()''=f x f x f x =1，()1'x =，由推论2得ln ()-=f x x C 。

《微积分》上册部分课后习题答案

微积分上册一元函数微积分与无穷级数第2章极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n )．证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2．若a x n n =∞→lim ，证明||||lim a x n n =∞→，并举反例说明反之不一定成立.证明： a x n n =∞→lim ，由定义有：N ∃>∀,0ε，当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ，当N n >时，都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ，但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2．写出下列极限的精确定义：（1）A x f x x =+→)(lim 0，（2）A x f x =-∞→)(lim ，（3）+∞=+→)(lim 0x f x x ，（4）-∞=+∞→)(lim x f x ，（5）A x f x =+∞→)(lim ．解：（1）设R x U f →)(:0是一个函数，如果存在一个常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀δε，使得当δ<-<00x x 时，恒有ε<-|)(|A x f ，则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限，记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . （2）设R f D f →)(:是一函数，其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈，满足关系：0)(,0>∈∃>∀R X ε，使得当X x -<时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .（3）设R x U f →)(:0是任一函数，若0>∀M ，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大，记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . （4）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0>∀M ，0)(>∈∃R X ，使得当X x >时，恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大，记作：-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .（5）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀X ε，使得当X x >时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim．解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2．求xe e xxx 1arctan11lim110-+→．解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3．设)(lim 1x f x →存在，)(lim 2)(12x f x x x f x →+=，求)(x f . 解：设 )(lim 1x f x →=A ，则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限：A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4．确定a ,b ,c ，使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解：依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10，n n x x +=+61，( ,2,1=n )．试证数列{n x }的极限存在，并求此极限．证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2．证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛，并求其极限．证明：利用准则II ，单调有界必有极限来证明.∴301<<x ，由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证：30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ，… ，1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增，由准则II n n x ∞→lim 存在，设为A ，由递推公式有：AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A （舍去负数）∴ 3lim =∞→n n x .3．设}{n x 为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a ，证明a x n n =∞→lim .证明：设}{k n x 为}{n x 的一子列，则}{k n x 也为一单调增加的数列，且a x k k n n =∞→lim对于1=ε，N ∃，当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ，对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界，且原数列}{n x 又为一单调增加的数列，所以，对一切n 有M x n ≤||有界，由准则II ，数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→．解：原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π．解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→．解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解： 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ，1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性，并指出间断点类型. 解. n x =，Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4．讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性．解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续，且0)(lim=∞→xx f x ，证明至少存在一点ξ，使得0)(=+ξξf .证：令x x f x F +=)()(，则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ，从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得，存在01>x 使0)(1>x F ；存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ，即0)(=+ξξf .6．讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判别其类型.解： ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ，显然 1±=x 是第一类跳跃间断点，除此之外均为连续区间.7．证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +. 证明：设b x a x x f --=sin )(，考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ，0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ，当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时，b a x +=是方程的根；当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时，由零点定理，至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ，即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时，下面等式成立吗？(1))()(32x o x o x =⋅；(2))()(2x o xx o =；(3) )()(2x o x o =．解. （1）()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x （2） ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o（3） ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax ，则求常数c b a ,,．解. 因为当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3．写出0→x 时，无穷小量3x x +的等价无穷小量.解： 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ，3x x +～6x第3章导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导，求下列极限值． (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→；(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→．解.（1）原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→（2）原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2．设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导，且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证：函数f 在),0(+∞内可导，且)1()()(f xx f x f '+='．解：令1==y x ，由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f ．()+∞∈∀,0x ，()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导，且()()()xx f f x f +'='1． 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义，且(0)0f =，(0)1f '=，又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+，其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '．解： ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导，且21arctan lim )(0=-→x f x e x，求)0(f '.解：由已知，必有0]1[lim )(0=-→x f x e，从而0)(lim 0=→x f x ，而0)(=x x f 在连续，故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数，)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解：令t h 1=，则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'='，dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6．设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数，又假设1)(lim=→xx f x ,求：（1）)0(f ；（2）)0(f '；（3）)(x f '. 解：（1）依题意 R y x ∈∀,，等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f（2）又 1)(lim=→x x f x ，即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→，∴ 1)0(='f（3）xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7．设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切，试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解：依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8．设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ，证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证：n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1．计算函数baxax xb ab y )()()(= （0,0>>b a ）的导数．解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy ．解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2，232)(x x u +=，求dudy．解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4．已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=，求=x dx dy ．解：22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =．解（1）⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ，()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y （2） ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y ．解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ，()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'．解以x 1代x ，原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛，由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312，消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，求得()x x x f 12-=，且得()212xx f +='，()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5．设()arcsin f x x =，试证明()f x 满足（1）2(1)()()0x f x xf x '''--= （2） ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n（3）求()(0)n f解（1）()211x x f -='，()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--=''， ()()()012='-''-∴x f x x f x ，（2）上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。

微积分上学期答案

1微积分答案第一章函数一、1.Ｂ； 2.Ｄ； 3.Ａ； 4.Ｃ； 5.Ｄ二、１.1cos -x 或22sin2x ；２.100010-<⎧⎪=⎨⎪>⎩x x x 或()f x ；３.４，-1；４.y =[0,1]；５.1(1)2y x =-. 三、１. (1)[1,2)(2,4)D =⋃； (2)[3,2][3,4]D =--⋃. ２．(1)102,1y u u x ==+ ；(2)1,sin ,u y e u v v x===；(3) 2arctan ,ln ,1y u u v v x===+.3. 211,12,()12400,44ab C C x x x ====++ ()1400124c x C x x x==++.4. （１）90010090(100)0.011001600751600x P x x x <≤⎧⎪=--⋅<<⎨⎪≥⎩；（３）Ｌ＝21000（元）. (2)2300100(60)310.011001600151600x x L P x x xx x x ≤≤⎧⎪=-=-<<⎨⎪≥⎩；四、略.第二章极限与连续(一)一、1.C ； 2. D ； 3.C ； 4.B ； 5.C 二、1. -2； 2. 不存在； 3. 14； 4. 1； 5.ab e .三、 1、（1）4；（2）25；（3）1；（4）5；（5）2.2、（1）3；（2）0；（3）2；（4）5e -；（5）2e-.3、11,2=-=-αβ 4、利用夹逼定理：11←<<→四、略。

第二章极限与连续（二）一、1. D ； 2. C ； 3. B ； 4. C ； 5. B 二、１、0； 2、-2； 3、0； 4、2； 5、0,1x x ==-．2三、１、（1）1=x 是可去间断点；2=x 是连续点.（2）=xk π是第二类间断点（无穷间断点）； 2=+x k ππ是可去间断点.（3）0=x 是可去间断点. （4）1x =是跳跃间断点.2、1()011⎧<⎪==⎨⎪->⎩x x f x x x x ，1=±x是跳跃间断点.3、（1）0；（2）cos α；（3）1；（4）0；（5）12．四、略。

《微积分》各章习题及详细答案之欧阳术创编

第一章函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx k x 成立的k 为。

5、=-∞→x e x x arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin)(的定义域是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→x x ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xx x +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第四章习题详解

习题 4-11.验证函数f (x )=lnsin x 在[π5π,66]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使f ′(ξ)=0.解: 显然()ln sin f x x =在5π,66x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续,在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭内可导,且π5π()()ln 266f f ==-,满足罗尓定理的条件. 令cos ()cot 0sin xf x x x '===,则π2x =即存在ππ5π(,)66ξα=∈,使()0f ξ'=成立.2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件?有没有满足定理结论中的ξ ?[][][]2(1)()1,;(2)(),;1,10,21sin ,0π(3)()0,π1,exf x f x x x x f x x =-=--<≤⎧=⎨=⎩解: (1) 2()1e x f x =-在[]1,1-上连续,在()1,1-内可导,且(1)1,(1)1,e e f f -=-=- 即 (1)(1)f f-= () f x ∴在[]1,1-上满足罗尓定理的三个条件. 令 2()20e x f x x '==得 0x =, 即存在0(1,1)ξ=∈-,使()0f ξ'=.(2) 101()1112xx f x x x x -≤<⎧==-⎨-≤≤⎩显然()f x 在(0,1),(1,2)内连续,又1111(10)lim ()lim (1)0,(10)lim ()lim (1)0,(10)(10)(1)0,即x x x x f f x x f f x x f f f --++→→→→-==-=+==-=-=+==所以()f x 在1x =处连续,而且22(00)lim ()lim (1)1(0),(20)lim ()lim (1)1(2),x x x x f f x x f f f x x f ++--→→→→+==-==-==-==即()f x 在0x =处右连续,在2x =处左连续,所以()f x 在[]0,2 上连续.又1111()(1)1(1)lim lim 1,11()(1)1(1)lim lim 111x x x x f x f x f x x f x f x f x x --++-→→+→→--'===-----'===--(1)(1)(f f f x -+''∴≠∴在1x =处不可导,从而()f x 在(0,2)内不可导. 又 (0)(2)1f f ==又由 101()112x f x x -<<⎧'=⎨<<⎩ 知 ()0f x '≠综上所述,函数()f x 满足罗尓定理的条件(1),(3)不满足条件(2),没有满足定理结论的ξ. (3) 由0(00)lim sin 0(0)1x f x f +→+==≠=知()f x 在0x =不右连续,() f x ∴在[]0,π上不连续,显然()f x 在()0,π上可导,又(0)1,(π)0f f ==,即(0)(π)f f ≠,且()cos (0,π) f x x x '=∈,取π(0,π)2ξ=∈,有π()cos cos02f ξξ'===.综上所述,函数()f x 满足罗尓定理的条件(2),不满足条件(1),(3),有满足定理结论的ξ,ξ=π2.3. 不用求出函数()(1)(2)(3)f x x x x =---的导数，说明方程()0f x '=有几个实根，并指出它们所在的区间.解: 显然()f x 在[]1,2上连续,在()1,2内可导,且(1)(2)0f f ==,由罗尓定理知,在()1,2内至少存在一点1ξ,使1()0f ξ'=,即()0f x '=在()1,2内至少有一个实根.同理 ()0f x '=在()2,3内也至少有一个实根2ξ.又()0f x '=是二次方程,最多有两个实根,故()0f x '=有两个实根,分别在区间()1,2和()2,3内.4. 验证拉格朗日中值定理对函数3()2f x x x =+在区间［0，1］上的正确性.解: 显然3()2f x x x =+在［0，1］上连续,在()0,1内可导,满足拉格朗日中值定理的条件.若令2(1)(0)()32310f f f x x-'=+==-则3x =±,取3ξ=,即存在(0,1)3ξ=,使得(1)(0)()10f f f ξ-=-成立.从而拉格朗日中值定理对函数3()2f x x x =+在［0，1］上成立.5※. 设()f x '在［a ,b ］上连续，在［a ,b ］内可导，f ′(a ) = 0，f ′′(x ) > 0，证明：f ′(a )> f (b )。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第四章习题参考解答习题4-11、下列各方程中,哪些是微分方程,哪些不是微分方程?若是微分方程，请指出其阶数（1）是一阶微分方程；（2）不是微分方程；（3）是一阶微分方程；（4）是二阶微分方程；（5）是一阶微分方程；（6）是一阶微分方程。

2、在下列各题所给的函数中，检验其中哪个函数是方程的解?是通解还是特解?（1）（B ）是特解（C ）是通解；（2）(A)是特解（B ）是通解；（3）（A ）是通解（B ）是特解3、求下列各微分方程在指定条件下的特解（1）解：x x x y xe dx xe e dx ==-⎰⎰(1)x y e x C ∴=-+将(0)1y =代入上式，得2C =故满足初始条件的特解为：2)1(+-=x e y x（2）解：C x xdx y +==⎰ln 将(1)1y =代入上式，得1C = 故满足初始条件的特解为：1ln +=x y4、写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程（1）解：设曲线为)(x y y =由条件得2x y ='（2）解：设曲线为)(x y y =，则曲线上点),(y x P 处的法线斜率为yk '-=1 由条件知PQ 中点的横坐标为0，所以Q 点的坐标为)0,(x -，从而有01()y x x y -=-'--即：20yy x '+= 注：DQPDk =习题4-21、求下列微分方程的通解（1）sec (1)0x ydx x dy ++= 解：原方程变形为：cos 1xydy dx x =-+积分：11cos 1x ydy dx x +-=-+⎰⎰ 得：sin ln 1y x x C =-+++ 所求的通解为：C y x x =++-sin 1ln（2）10x ydy dx += 解：原方程变形为：1010x y dydx = 积分：1010xy dydx =⎰⎰ 得：1111010ln10ln10y x C -=+所求的通解为：1010x y C --=（3）ln y y y '= 解：原方程变形为：ln dydx y y = 积分：1ln dydx y y =⎰⎰ 得：ln ln y x C =+，2ln x y C e =所求的通解为：x Ce y e =注：21,2C C e C e C ==；（4）tan cot ydx xdy =解：原方程变形为：cot tan ydy xdx =积分：cos sin sin cos y x dy dx y x=⎰⎰ 得：1ln sin ln cos y x C =-+所求的通解为：sin cos y x C =2、求下列微分方程满足给定初值条件的解（1）2(1)0y dx x dy ++=，(0)1y = 解：原方程变形为：21dy dxy x -=+ 积分：21dydx y x -=+⎰⎰ 得：1ln 1x C y =++将(0)1y =代入上式，得1C = 所求的特解为：11ln 1++=x y（2）(1)y y y '=-，(0)1y = 解：原方程变形为：(1)dydx y y =- 积分：11()1dy dx y y -=-⎰⎰ 得：1ln y x C y -=+，即 1x y Ce y -=将(0)1y =代入上式，得0C =所求的特解为：1=y（3）011xydx dy y x -=++，(0)1y =解：原方程变形为：(1)(1)y y dy x x dx+=+积分：22()()y y dy x x dx +=+⎰⎰得：232311112323y y x x C +=++ 将(0)1y =代入上式，得56C = 所求的特解为：523233232++=+x x y y（4）sin cos cos sin y xdy y xxdx =，(0)4y π=解：原方程变形为：tan tan ydy xdx =积分：tan tan ydy xdx =⎰⎰ 得：1ln cos ln cos y x C =+ 即：cos cos y C x =将(0)4y π=代入上式，得2C = 所求的特解为x y cos cos 2=（5）2222()()0y xy dx x yx dy +-+=，(1)1y =- 解：原方程变形为：2211y x dy dx y x ++= 积分：221111()()dy dx y y x x +=+⎰⎰ 得：11ln ln y x C y x-+=-++ 即：0ln 11=++-C yx x y 将(1)1y =-代入上式，得2C = 所求的特解为：02ln 11=++-yx x y 3、一曲线通过点(2,3)，它在两坐标轴间的任意切线线段均被切点平分，求该曲线的方程解：设所求曲线方程为：()y f x = 由题意得：2tan 2y y y x xθ'=-=-=- 且满足：(2)3y = 将方程变形为：dy dx y x =- 积分：dy dx y x=-⎰⎰ 得：1ln xy C = 即：1C xy e C =±=将(2)3y =代入上式得6C =故所求曲线为：6=xy 注：y k y x'=- 4、设将质量为m 的物体在空气中以速度0v 竖直上抛，空气阻力为22k v ，这里k 为常数，v 为运动速度，求速度v 与时间t 的函数关系解：设所求速度v 与时间t 的函数关系为：()v v t =由牛顿第二定律知22ma mg k v =-- 即：22dv m mg k v dt=--且满足：0(0)v v = 分离变量得：dt dv v k mg m -=+22积分：22()()md kv t C k kv =-++⎰t C =-+将0(0)v v =代入上式得C =所求的函数关系为：)v = 5、求下列微分方程的通解（1）233()0x ydx x y dy -+= 解：原方程变形为：233dy x ydx x y =+ 即：31()ydy xydx x =+，令yu x = 代入上式得：31duuu x dx u +=+ 即：341u dxdu u x +=- 积分：411()ln du x C u u +=-+⎰ 得：31ln 3xu C u -= 所求的通解为：C y x y =-333ln（2）(cos )cos 0yyx y dx x dy x x +-= 解：原方程变形为：x yx y dx dy +=sec 令yu x =，代入上式得：sec duu x u u dx +=+ 即：cos dxudu x = 积分得：1sin ln u x C =+ 所求的通解为：C x yx =-sin ln（3）tan yxy y x x '-=+解：原方程变形为：x y x y y tan +=' 令y u x=，代入上式得： tan du u x u u dx+=+ 即：cot dx udu x= 积分得：ln sin ln ln u x C =+ 即：siny x C x = 所求的通解为：siny Cx x= （4）()ln()x y xy y x y x+'-=+ 解：原方程变形为：(1)ln(1)y y y y x x x'=+++ 令y u x=，代入上式得： (1)ln(1)du u x u u u dx +=+++ 即：(1)ln(1)du dx u u x=++ 积分得：ln ln(1)ln ln u x C +=+ 所求的通解为：lnx y Cx x+= 6、求下列微分方程满足所给初值条件的特解（1）y y y x x'=+，(1)2y = 解：令y u x=，代入原方程得 1du u x u dx u +=+，即：dx udu x= 积分得：21ln 2u x C =+ 即：)(ln 222C x x y +=又由初始条件(1)2y =得2C = 故满足初始条件的特解为：)2(ln 222+=x x y（2）22()2dy x y xy dx+=，(0)1y = 解：原方程变形为：xy y x dx dy +=2 令y u x =，代入上式得：21du u x dx u u+=+ 即：221()1u dx du u u x +=- 积分得：2ln 1ln ln ln u u x C --+=+ 即：22ln ln y C x y =-，也即C y x y =-22 又由初始条件(0)1y =，得：1C =-故满足初始条件的特解为：022=--x y y（3）xy y '=，(1)1y =解：原方程变形为：dy y dx x = 令y u x =，代入上式得：du u x u dx+=即：du x dx=dx x= 即：arcsin ln u x C =+，也即arcsinln y x C x =+ 又由初始条件(1)1y =，得：2C π=arcsin ln 2y x x π∴=+ 又因为112≠-u u du中要求，即y x ≠而y x =仍是原方程的解故满足初始条件的特解为：arcsin ln 2y x x π=+或y x = （4）()()0x y dx y x dy ++-=，(1)0y =解：原方程变形为：xy x ydx dy -+=11 令y u x =，代入上式得：11du u u x dx u++=- 即：211u dx du u x-=+ 积分得：21arctan ln(1)ln 2u u x C -+=+即：arctan y C x = 又由初始条件(1)0y =，得：0C = 故满足初始条件的特解为：)ln(21arctan 22y x x y += 7、求下列微分方程的通解（1） 2cos tan dy x y x dx+= 解法1：由2cos 0dy x y dx+= 分离变量：21cos dy dx y x=- 积分：1ln tan y x C =-+即：tan x y Ce -=设原方程具有形式为tan ()x y C x e -=的解代入原方程得：tan 2tan ()cos x x C x e x -'=即tan tan 2tan ()tan ()cos x x x C x e dx xd e x==⎰⎰ tan tan tan tan tan (tan )tan x x x x xe e d x xe e C=-=-+⎰()tan tan tan tan x x x y xe e C e -∴=-+ 所求的通解为：tan tan 1x y x Ce -=-+解法2：22()sec ,()tan sec p x x q x x x ==⋅22sec sec 2tan sec xdx xdx y e x x e dx C -⎡⎤⎰⎰∴=⋅+⎢⎥⎣⎦⎰即tan 2tan tan sec x x y e x x e dx C -⎡⎤=⋅⋅+⎣⎦⎰ 所求的通解为：tan tan 1x y x Ce -=-+ （２）ln xxy y x '-=解法1：由0xy y '-= 分离变量：dy dxy x = 积分：1ln ln ln y x C =+，得y Cx = 设原方程具有形式为()y C x x =的解代入原方程得1()ln C x x x '= 即：1()ln ln ln C x dx x C x x ==+⎰ 所求的通解为：()ln ln y x x C =+ 解法2：11(),()ln p x q x x x =-=111ln dx dx x x y e e dx C x -⎡⎤⎰⎰∴=+⎢⎥⎣⎦⎰ 即：1ln y x dx C x x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰ 所求的通解为：()ln ln y x x C =+ （３）122x x x y y x e -'-= 解法1：由20x y y '-= 分离变量：2dydxy x = 积分：11ln y C x =-+，得1x y Ce -= 设原方程具有形式为1()x y C x e -=的解代入原方程得：11()x x x C x e e --'=即：()x C x e C =+所求的通解为：()1x xy e C e -=+解法2：121(),()x x p x q x e x-=-= 22111dx dx x x x x y e e edx C --⎡⎤⎰⎰∴=⋅+⎢⎥⎣⎦⎰ 即：()1xx y e e dx C -=+⎰ 所求的通解为：11x x xy eCe --=+ （４）sin xy y x '+= 解法1：由0xy y '+= 分离变量：dy dx y x=- 积分：1ln ln ln y x C =-+，得C y x =设原方程具有形式为()C x y x=的解则2()()C x x C x y x '-'= 代入原方程得：()sin C x x '=()cos C x x C ∴=-+ 所求的通解为：1(cos )y x C x=-+ 解法2：1sin (),()x p x q x x x == 11sin dx dx x x x y e e dx C x -⎡⎤⎰⎰∴=+⎢⎥⎣⎦⎰ 即：1sin y xdx C x⎡⎤=+⎣⎦⎰ 所求的通解为：1(cos )y x C x=-+ ８、求下列微分方程满足所给初值条件的特解（１）tan sec (0)0dy y x x y dx-==，解法1：由tan 0dy y x dx -=分离变量：tan dy xdx y= 积分：1ln ln cos ln y x C =-+，得cos C y x =设原方程具有形式为()cos C x y x=的解则2()cos ()sin cos C x x C x x y x'+'= 代入原方程得：()sec cos C x x x'=，()C x x C ∴=+ 通解为：cos x Cy x +=又由初始条件(0)0y =，得0C =故满足初始条件的特解为：x x y sec =解法2：()tan ,()sec p x x q x x =-=tan tan sec xdx xdx y e x e dx C -⎡⎤⎰⎰=⋅+⎢⎥⎣⎦⎰即：sec y x dx C ⎡⎤=+⎣⎦⎰所以其通解为：sec ()y x x C =+又由初始条件(0)0y =，得0C =故满足初始条件的特解为：x x y sec = （２）23231(1)0dy x y y dx x -+==，解法1：由23230dyx y dx x -+= 分离变量：2332dy x dx y x -= 积分：3121ln ln y x C x =++，213x y Cx e ∴= 设原方程具有形式为213()x y C x x e =的解代入原方程得：13()1x C x x e '=211()2x C x e C -∴=+ 通解为：11133311()22x x x y x e e C Cx e x -=+=+ 又由初始条件(1)0y =，得12C e=- 故满足初始条件的特解为：13112x x y e --⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭解法2：2323(),()1x p x q x x-== 22332323x x dx dx x x y e e dx C ---⎡⎤⎰⎰∴=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰ 即：2233x x e y x e dx C x ---⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰ 所以其通解为：2232x x e y x e C ---⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦又由初始条件(1)0y =，得12C e=- 故满足初始条件的特解为：213112x x y e --⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭（３）212(2)22y y x y x '-=-=--，(1) 解法1：由102y y x '-=- 分离变量：2dy dx y x =- 积分：1ln ln 2ln y x C =-+，()2y C x =-设原方程具有形式为()()2y C x x =-的解代入原方程得：()2()22(2)C x x x '-=-2()(2)C x x C =-+通解为：()2(2)2y x C x ⎡⎤=-+-⎣⎦又由初始条件(1)2y =-，得1C =故满足初始条件的特解为：1013623-+-=x x x y解法2：21(),()2(2)2p x q x x x =-=-- 112222(2)dx dx x x y e x e dx C ---⎡⎤⎰⎰∴=-+⎢⎥⎣⎦⎰即：(2)2(2)y x x dx C ⎡⎤=--+⎣⎦⎰所以其通解为：2(2)(2)y x x C ⎡⎤=--+⎣⎦又由初始条件(1)2y =-，得1C =故满足初始条件的特解为：1013623-+-=x x x y （４）1610sin 2(0)2dI I t I dt -=-=，解：()6,()10sin 2p t q t t =-=-66(10sin 2)dt dt I e t e dt C -⎡⎤⎰⎰∴=-+⎢⎥⎣⎦⎰ 即：6610sin 2t t y e e tdt C -⎡⎤=-⋅+⎣⎦⎰ 所以其通解为：()663sin 2cos 22t te y e t t C -⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 又由初始条件1(0)2I =，得0C = 故满足初始条件的特解为：)2cos 2sin 3(21t t I += ９、一曲线的切线在纵轴上的截距总等于切点的横坐标，求此平面曲线的方程解：tan AO x y y k BO x α-'==-=-=- 11y y x'∴-=- 而1(),()1p x q x x=-=-(1)dx dx x x y e e dx C -⎡⎤⎰⎰∴=-+⎢⎥⎣⎦⎰ 即：dx y x C x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰ 所以其通解为：(ln )y x x C =-+习题4-31、求下列微分方程的通解（1）2(4)10x y += 解：变形得(4)21y x =- 11y C x'''=+ 12ln y x C x C ''=++21231ln 2y xdx C x C x C '=+++⎰ 212321231ln 21ln (1)2x x x C x C x C x x C x C x C =-+++=++-+ 32123411ln (1)62y x xdx C x C x C x C =++-++⎰ 223212341111ln (1)2462x x x C x C x C x C =-++-++ 即 4322312ln 21C x C x C x C x x y ++++= （2）21()y y '''=+解：令y z '=，y z '''∴=原方程为：21z z '=+ 即：21dz dx z=+ 积分：1tan()z x C =+∴ )tan(1C x y +=' 所以211)cos(ln )tan(C C x dx C x y ++-=+=⎰（3）1y y x'''= 解：令y z '=，则y z '''= 原方程为：z z x'=，即dz dx z x = ∴1z C x =，即：1y C x '= 所求为：21212y C x C =+ （4）y y x '''=+解：令y z '=，则y z '''=原方程为：x z z +='此为一阶线性微分方程，()1,()p x q x x =-=故1dx dx z e xe dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰()1x x e xe dx C -=+⎰ 11()1x x x x e xe e C C e x --=--+=--即11--='x e C y x 所以原方程的通解为：22121C x x e C y x +--= （5）22()0yy y y y ''''--=解：令y z '=，则dz y z dy ''=⋅ 原方程为：220dz yz z y z dy--= 即：1(0)dz z y z dy y-=≠ 此为一阶线性微分方程，y y q yy p =-=)(,1)( 故111dy dy y y z e ye dy C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰ ()11()y dy C y y C =+=+⎰∴1()y y y C '=+，即1111dy C dx y C y ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭⎰⎰ 所以原方程的通解为：121lny C x C y C =++ （6）310y y ''-=令y z '=，则dz y z dy ''=⋅ 原方程为：310dz y zdy ⋅-= 即：3dy zdz y =积分： 221z y C-=-+∴y '=dx =积分：21C dx =⎰∴12()C x C =+所以原方程的通解为：()221121C y C x C -=+2、求下列微分方程满足所给初值条件的特解（1）2()0y a y '''-=，()(0)0,(0)1,0y y a '==-≠ 解法1：令y z '=，则y z '''= 原方程为：20dz a z dx-= 分离变量:：2(0)dz ady z z =≠ ∴11ax C z -=+，即：11ax C y -=+'将(0)1y '=-代入上式，得11C =∴11y ax '=-+ 积分：21ln(1)y ax C a =-++ 又将(0)0y =代入上式，得20C = 故满足初始条件的特解为：1ln(1)y ax a=-+ 解法2：令y z '=，则dz y z dy ''=⋅原方程为：20dz z a z dy-= 分离变量:：(0)dz ady z z =≠ 积分：1ay C z e +=±∴1ay y C e '=将(0)1y '=-代入上式，得11C =-∴ay y e '=-分离变量：ay e dy dx -=- 积分：21ay e x C a--=-+ 又将(0)0y =代入上式，得21C a=- 故满足初始条件的特解为：)1ln(1+-=ax ay （2）2()1y y '''+=，(0)0,(0)0y y '==解：令y z '=，则dz y z dy ''=⋅原方程为：21dz zz dy += 分离变量：()211zdz dy z z =≠±-积分：2211y z C e -=+∴y '=将(0)0y'=代入上式得：11C=-∴y'=dx=±积分：ydx=±⎰∴(2ln y e x C=±+又将(0)0y=代入上式得：2C=故所求为：(ln y e x=±即：y xe e±=（3）2(1)2x y xy'''+=，(0)1,(0)3y y'==解：令y z'=，则y z'''=原方程为：xzzx2)1(2='+分离变量：()221dz xdxzz x=≠+积分：21(1)z C x=+由(0)3y'=，得13C=∴23(1)y x'=+积分：323y x x C=++又由(0)1y=，得21C=故满足初始条件的特解为：133++=xxy3、设有一质量为m的物体，在空气中由静止开始下落，如果空气阻力为22R k v=，其中v为物体运动速度，k为一常数,试求物体下落的距离s与时间t的函数关系。