北京市朝阳区2014-2015学年高二下学期期末统一考试数学(文)试题(WORD精校版)

北京市朝阳区2014-2015学年第二学期期末考试

高二数学（文科） 2015.7

考试时间100分钟； 满分120分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的.

1. 已知i 是虚数单位，则2i(1i)+= A ．22i -+

B ．22i +

C ．2i

D ．2i -

2．已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+≤，{}

22x

B x =>，则=B A

A ．{}13x x -<<

B ．{}13x x <≤

C ．{}12x x -≤<

D ．{}

2x x > 3．若sin cos 0αα<，则α是

A ．第一或第二象限角

B ．第一或第三象限角

C ．第一或第四象限角

D ．第二或第四象限角

4．已知函数()cos sin f x x x =-，()f x '为函数()f x 的导函数,那么π()6f '等于

A

B

C

． D

5．设0.3

2a =，4log 3b =，12

log 5c =，则

A ．c a b <<

B ．b c a <<

C ．b a c <<

D ．c b a <<

6. 设,a b ∈R ，则“1a b >>”是“2

2

a b a b -<-”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

7. 若不等式组1,0,26,a

x y x y x y ⎧⎪⎪

⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是

A ．{}13a a a ≤≤>或5

B ．}{

13a a a <≤≥或5 C ．{}1a a <≤5 D ．{}

3a a ≤≤5

8. 已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23x

f x =-.若函

数()f x 在区间(1,)k k -（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为 A ．1或8- B ．2或8- C ．1或7- D ．2或7-

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 请把答案填在答题卡的相应位置上. 9. 已知4sin ,(0,)52

ααπ

=

∈，则cos α= ；tan α= .

10.函数()lg f x x =的定义域是 .

11.已知平面向量(1

3)=-，a ，(42)=-，b ，若λ+a b 与a 垂直，则实数λ= .

12.在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，．若135c b B ===

，则

a = ；ABC △的面积S = ．

13.在数列{}n a 中，已知24a =，315a =，且数列{}n a n +是等比数列，则n a = ． 14.已知函数()e ln x

f x a x =-的定义域是(0,)+∞，关于函数()f x 给出下列命题：

①对于任意(0,)a ∈+∞，函数()f x 存在最小值；

②对于任意(,0)a ∈-∞，函数()f x 是(0,)+∞上的减函数；

③存在(,0)a ∈-∞，使得对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()0f x >成立； ④存在(0,)a ∈+∞，使得函数()f x 有两个零点． 其中正确命题的序号是 ．

三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 请把答案填在答题卡的相应位置上. 15．（本小题满分12分） 在等差数列{}n a 中，32a =，942a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1

2n n

b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S .

16.（本小题满分13分）

已知函数2

()sin cos f x x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最大值； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间．

17.（本小题满分12分） 已知函数2

1()ln 2

f x ax x =

-，a ∈R . （I ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）讨论)(x f 的单调性.

18.（本小题满分13分）

已知M 是由所有满足下述条件的函数)(x f 构成的集合：①方程0)(=-x x f 有实数根；②函数)(x f 的导函数为)(x f '，且对)(x f 定义域内任意的x ，都有1)(>'x f . （Ⅰ）判断函数x x x f sin 2)(+=是否是集合M 中的元素，并说明理由； （Ⅱ）若函数()ln g x x ax =+是集合M 中的元素，求实数a 的取值范围.

北京市朝阳区2014-2015学年第二学期期末考试

高二数学文科答案 2015.7 一、选择题（满分40分）

二、填空题（满分30分） （注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题（满分50分） 15．（本小题满分12分）

解：（1）设等差数列的首项为1a ，公差为d .

因为39

42,

2,a a a =⎧⎨

=⎩ 所以1122,

20.a d a d +=⎧⎨

-=⎩ ……………………………………………………………4分 解得11,1.2

a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ ……………………………………………………………6分

所以通项公式为：11

(1)2

n n a a n d +=+-=.………………………………………8分 （Ⅱ）因为1

(1)n b n n =

+， ……………………………………………………………9分

所以1

1111(1)()()2

23

1n S n

n =-+-++-+ =1

n n +. ……………………12分 16．（本小题满分13分）

解:（Ⅰ）23)2cos 1(232sin 21)(--+=

x x x f ………………………4分 x x 2cos 2

3

2sin 21-

= sin(2)3

x π

=-， …………………6分

所以函数()f x 的最小正周期为π． …………………7分

当22,32x k k ππ-=+π∈Z ，即5,12

x k k π

=

+π∈Z 时取得最大值为1.…………9分