人教版高中数学B版必修二向量基本定理直线上向量的坐标及其运算
高中数学(人教B版)直线上向量的坐标及其运算
M(x), A(x1), B(x2 )
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的
中点坐标公式
设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，O为坐标原点，
设M(x)是线段AB的中点，则 AM MB，有 OM OA OB OM ，
则 OM
1 2 (OA OB)
取 |a| = 1，也就是 a 为单位向量时，则 |λ| = |b| ，|μ| = |c|.
l
b
a
c
一.直线上向量的坐标 给定一条直线 l 以及这条直线上一个单位向量e ，由共线向 量基本定理可知，对于直线 l 上的任意一个向量 a，一定存 在唯一的实数x，使得 a = xe，此时，x 称为向量 a 的坐标.
直线上向量的坐标及其运算
高一年级 数学
知识概要
一.直线上向量的坐标 二.直线上向量的运算与坐标的关系 三.例题分析与讲解 四.课堂小结
复习
向量相等：把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量. 零向量：把始点和终点相同的向量称为零向量，即 AA= 0. 单位向量：把模等于1的向量称为单位向量.
交换律 结合律 分配律
AB | AB | AB OB OA
A(x1), B(x2 )
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两 点间的距离公式 设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，O为坐标原点， 则 OA x1e ，OB x2e ， 因此 AB OB OA x2e x1e = ( x2 x1)e.
1. 向量的相等与它们对应的坐标之间的关系： 当a = b时，有 x1e x2e ， 则 (x1 x2 )e = 0， 因为 e 是单位向量，所以 x1 x2 .
人教B数学必修第二册练习：6.21 向量基本定理 6.22 直线上向量的坐标及其运算 含解析
[A 基础达标]1．若e 1，e 2 是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1－e 2，e 1－12e 2C ．2e 2－3e 1，6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 2解析：选D.e 1＋e 2 与e 1－e 2 不共线，可以作为平面向量的基底，另外三组向量都共线，不能作为基底．2．已知数轴上两点M ，N ，且|MN |＝4.若x M ＝－3，则x N 等于( ) A ．1 B ．2 C ．－7D ．1或－7解析：选D.|MN |＝|x N －(－3)|＝4， 所以x N －(－3)＝±4，即x N ＝1或－7. 3．如图，向量a －b 等于( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2解析：选C.不妨令a ＝CA →，b ＝CB →，则a －b ＝CA →－CB →＝BA →， 由平行四边形法则可知 BA →＝e 1－3e 2.4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为边BC 的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，则( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD →D.2AO →＝OD →解析：选A.因为在△ABC 中，D 为边BC 的中点，所以OB →＋OC →＝2OD →，所以2(OA →＋OD →)＝0，即OA →＋OD →＝0，从而AO →＝OD →.5．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，又AP →＝tAB →，则t 的值为( )A.13B.23C.12D.53解析：选A.因为AP →＝tAB →，所以CP →－CA →＝t (CB →－CA →)， CP →＝(1－t )CA →＋tCB →.又CP →＝23CA →＋13CB →且CA →与CB →不共线，所以t ＝13.6．如图，在平行四边形ABCD 中，点O 为AC 的中点，点N 为OB 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，若用a ，b 表示向量AN →，则AN →＝________．解析：以AB →＝a ，AD →＝b 作为以A 点为公共起点的一组基底，则AN →＝AD →＋DN →＝AD →＋34DB →＝AD →＋34(AB →－AD →)＝14AD →＋34AB →＝34a ＋14b . 答案：34a ＋14b7．若向量a ＝4e 1＋2e 2 与b ＝k e 1＋e 2 共线，其中e 1，e 2 是同一平面内两个不共线的向量，则k 的值为________．解析：因为向量a 与b 共线， 所以存在实数λ，使得b ＝λa ， 即k e 1＋e 2＝λ(4e 1＋2e 2)＝4λe 1＋2λe 2.因为e 1，e 2 是同一平面内两个不共线的向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4λ，1＝2λ，所以k ＝2.答案：28．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2 为实数)，则λ1＋λ2 的值为________．解析：如图，由题意知，D 为AB 的中点，BE →＝23BC →，所以DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC → ＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23， 所以λ1＋λ2＝－16＋23＝12.答案：129．如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC ，以a ，b 为基底表示向量AM →与HF →.解：在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC ，所以AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a ，HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－12AD →＝a ＋13b －12b ＝a －16b .10．如图，在矩形OACB 中，E 和F 分别是边AC 和BC 上的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC →＝λOE →＋μOF →，其中λ，μ∈R ，求λ，μ的值．解：在矩形OACB 中，OC →＝OA →＋OB →， 又OC →＝λOE →＋μOF → ＝λ(OA →＋AE →)＋μ(OB →＋BF →)＝λ⎝⎛⎭⎫OA →＋13OB →＋μ⎝⎛⎭⎫OB →＋13OA → ＝3λ＋μ3OA →＋3μ＋λ3OB →，所以3λ＋μ3＝1，3μ＋λ3＝1，所以λ＝μ＝34.[B 能力提升]11．如果e 1，e 2是同一平面α内的两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内的任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ，μ有无穷多对；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④{e 1，e 1＋e 2}可以作为该平面的一组基底． A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选B.由平面向量基本定理可知①是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，如果一个平面的基底确定，那么平面内任意一个向量在此基底下的分解式是唯一的，故②不正确．对于③，当λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2均为零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，符合题意的λ有无数个，故③不正确．对于④，假设e 1＋e 2＝λe 1，则e 2＝(λ－1)e 1.又e 1，e 2不共线，故假设不成立，即e 1＋e 2与e 1不共线，即{e 1，e 1＋e 2}可以作为该平面的一组基底，④正确．12．已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心解析：选B.AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为∠BAC 的角平分线AD →的方向．又λ∈[0，＋∞)，所以λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同． 而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， 所以点P 在AD →上移动，所以点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．13.如图，在平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，|OA →|＝|OB →|＝1，直线OA 与OB 所成钝角为120°，直线OC 与OA 的夹角为30°，|OC →|＝53，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________．解析：作以OC 为一条对角线的平行四边形OPCQ ，如图， 则∠COQ ＝∠OCP ＝90°，在Rt △QOC 中，2OQ ＝QC ，|OC →|＝5 3.则|OQ →|＝5，|QC →|＝10，所以|OP →|＝10，又|OA →|＝|OB →|＝1，所以OP →＝10OA →，OQ →＝5OB →，所以OC →＝OP →＋OQ →＝10OA →＋5OB →，所以m ＋n ＝10＋5＝15.答案：1514．设e 1，e 2 是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2 的分解式．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2 不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23，所以λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底．(2)设c ＝m a ＋n b (m ，n ∈R )， 则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，所以c ＝2a ＋b .[C 拓展探究]15．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比．(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 相交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值． 解：(1)如图，由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，令BM →＝λBC → ⇒AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)· AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即△ABM 与△ABC 的面积之比为1∶4.(2)由BO →＝xBM →＋yBN →⇒BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x 4BC →＋yBN →，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎨⎧x ＋y 2＝1，x 4＋y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝47，y ＝67.。
(新教材)2021高中人教B版数学必修第二册课件：6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
坐标为 ( )
A.- 1 e
3
B. 1 e
3
C.- 1
D. 1
3
3
3.如图所示,写出直线上向量a,b的坐标.
【解题策略】 求直线上向量的坐标的两种方法 (1)将向量用单位向量表示出来. (2)将向量的始点平移到原点,读出终点的坐标.
类型二 直线上向量的坐标运算(数学运算)
【题组训练】
1.已知直线上向量a,b的坐标分别为3,-4,求下列向量的坐标.
2
A.1
B.-1
C.0
D.4
【解析】选B.因为向量a,b的坐标分别为-2,2,所以向量a+ 1 b的坐标为
2
-2+ 1 ×2=-1.
2
3.(教材二次开发:练习改编)已知数轴上两点A,B的坐标分别为-5,4,则A与B的 距离为 ( ) A.1 B.-1 C.9 D.-9 【解析】选C.AB=|4-(-5)|=9.
【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)数轴上点A对应的数为-3,则向量 OA 的坐标为3. ( ) (2)数轴上点A对应的数为-3,则向量| OA|=3. ( ) (3)直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等. ( ) (4)两个向量差的坐标等于这两个向量坐标的差. ( ) 提示:(1)×.数轴上点A对应的数为-3,则向量 OA的坐标为-3. (2)√.(3)√.(4)√.
课堂检测·素养达标
1.若e是直线l上的一个单位向量,这条直线上的向量a=- 2 e,则 ( )
3
A.向量a的坐标为 2
3
B.向量a的坐标为 2 e
3
C.向量a的坐标为- 2
3
D.向量a的坐标为- 2 e
高中数学人教B版 必修第二册 直线上向量的坐标及其运算 课件1
(2)5a- 1b的坐标为5×3- ×1(-4)=17.
2
2
【类题·通】 直线上向量的坐标运算类似于初中数学上的代入求值问题,解题时要特别注意符号,以 防出错.
【习练·破】
若e是直线l上的一个单位向量,向量a= 1 e,b=- 1 e是这 32
条直线上的向量,则|a+2b|=________.
【解析】由题意,向量a,b的坐标分别为
(1)将向量用单位向量表示出来. (2)将向量的始点平移到原点,读出终点的坐标.
类型二 直线上向量的坐标运算
【典例】已知直线上向量a,b的坐标分别为3,-4,求下列向量的坐标.
(1)2a+b.
1 (2)5a- 2 b.
【思维·引】利用直线上向量坐标运算的法则解决.
【解析】(1)2a+b的坐标为2×3+(-4)=2.
(3)设A(x1),B(x2)是数轴上的两点,M(x)是线段AB的中
点,则AB=|x2-x1|,x= x1 x2 . 2
类型一 求直线上向量的坐标
【典例】1.若e是直线l上的一个单位向量,这条直线上的向量a,b的坐标分别为x,y,下列
说法错误的是( )
A.|a|=x
B.b=ye
C.a+b的坐标为x+y D.|e|=1
【解析】因为 AB OB OA，所以 AB的坐标为-3-2=-5,
故AB=|AB |=5,线段AB的中点坐标为
2 3 1 .
2
2
【类题·通】 要熟记数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式,并清楚它们之间的区别.
【习练·破】
设数轴上两点A,B的坐标分别为-1,4,求向量BA的坐标及A与B的距离.
【思考】 向量a的坐标x能刻画它的模与方向吗? 提示:能. (1)|a|=|xe|=|x||e|=|x|. (2)当x>0时,a的方向与e的方向相同;当x=0时,a是零向量;当x<0时,a的方向与e的方向 相反.
人教高中数学必修二B版《向量基本定理与向量的坐标》平面向量初步说课复习(直线上向量的坐标及其运算)
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/jianli/
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
ux1＋vx2
如果 u，v 是两个实数，那么 ua＋vb 的坐标为__________，
ux1－vx2
ua－vb 的坐标为__________．
③当x-1<0,即x<1时,-(x-1)<1,
所以-x+1<1,所以x>0,所以0<x<1.
由①②③得0<x<2.
6．2
向量基本定理与向量的坐标
6．2.1
6．2.2
向量基本定理
直线上向量的坐标及其运算
课件
第六章
考点
共线向量基本定理
平面向量基本定理
向量的应用
学习目标
掌握共线向量基本定理
理解平面向量基本定理
(1)|a|=|xe|=|x|;
(2)当x>0时,a的方向与e的方向相同;当x=0时,a=0;当x<0时,a的方
向与e的方向相反.
课前篇自主预习
一
二
二、直线上向量的运算与坐标的关系
1.填空.
(1)已知两个向量a,b的坐标分别为x1,x2,则
①a+b的坐标为x1+x2;
②ua+vb的坐标为ux1+vx2;
1
2 -1
=
(-1)(+1)
,
当 a=±1 时, =a;
(-1)(+1)
新教材人教B版高中数学必修2精品教学课件：第六章 6.2.2+6.2.3 直线上向量的坐标及其运算
＝
uuur OC
-
uuur OA
，
uuur AC
的坐标
uuur
uuur uuur uuur
uuur
为-4，|
AC
|＝4；
CB
＝
OB
-
OC
，
uuur CB
的坐标为10，|
CB
|＝10.
（2）设点D的坐标为x，则
uuur CD
的坐标为x-（-3）＝x+3＝4，
∴ x＝1，即点D的坐标为1. uuur
（3）设点E的坐标为y，则| BE |＝|y-7|＝2，∴ y＝5或9，即点E的坐标为5或9.
二、平面向量的正交分解及坐标表示
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分 解.在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面向量 基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi+yj. 这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序 数对 （x，y） 叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y），这就是 向量的坐标表示.
向量基本定理高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册
3 = 4 + 4,
= 4,
解 由平面向量基本定理,得
解得
= 2.
10- = 2,
重难探究·能力素养全提升
探究点一
向量共线问题
【例1】 已知非零向量e1,e2不共线,欲使ke1+e2和
的值.
解
1
∵ke1+e2 与4e1+ke2 共线,∴存在实数
的是( D )
A.{e1-e2,e2-e1}
B.
1
21 -2 ,1 - 2
2
C.{2e2-3e1,6e1-4e2}
D.{e1+e2,e1-e2}
解析 e1+e2与e1-e2不共线,可以作为平面向量的基底,另外三组向量都共线,
不能作为基底.
2.[北师大版教材习题]已知基底{a,b},实数x,y满足:3xa+(10-y)b
(2)若b=λa,则a与b共线(其中λ为实数).( √ )
2.若|a|=5,b与a方向相反,且|b|=7,则a=
解析 由题意知
5
a=- b.
7
5
-7
b.
3.[人教A版教材习题]判断下列各小题中的向量a与b是否共线:
(1)a=-2e,b=2e;
(2)a=e1-e2,b=-2e1+2e2.
解 (1)因为a=-b,所以a与b共线.
使得a=λb(b≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向
量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法
建立方程,从而解方程求得λ的值.
变式训练1[2023广西高一]已知非零向量e1和e2不共线.欲使向量ke1+e2与
人教B版高中数学必修第二册 6.2.2 直线上向量的坐标及其运算【课件】
[解题通法] 若a，b的坐标分别为x1，x2，则a＋b的坐标为x1＋ x2，a－b的坐标为x1－x2，λa的坐标为λx1，ma＋vb的坐标为ux1＋vx2， ua－vb的坐标为ux1－vx2.
知识点三 数轴上两点之间的距离、中点坐标 5．在如图所示的数轴上，A，B 两点的坐标分别为 a，b，则向量A→B 的坐标为( )
解
8．已知数轴上四点 A，B，C，D 的坐标分别为－4，－2，c，d. (1)若向量A→C的坐标为 5，求 c 的值； (2)若 BD＝6，求 d 的值．
解 (1)∵向量A→C的坐标为 c－(－4)＝5， ∴c＝1. (2)BD＝|B→D|＝|d－(－2)|＝6， ∴d＝4 或 d＝－8.
解
2
PART TWO
A．－3
B．－2
C．4
D．5
解析 |A→B|＝|3－(－1)|＝4，|P→A|＋|P→B|＝6，设点 P 的坐标为 xP，
当点 P 在点 A 的左边时，－1－xP＋3－xP＝6，得 xP＝－2；当点 P 在
点 B 的右边时，xP－(－1)＋xP－3＝6，得 xP＝4.综上所述，点 P 的坐标
是－2 或 4.故选 BC.
三、解答题 9．已知 e 是直线 l 上一个单位向量，向量 a，b，c 都是直线 l 上 的向量． (1)a＝5e，b＝－2e，c＝14e，求 a＋b＋c 的坐标； (2)a＝2e，b＝53e，c＝－3e，求|a＋3b＋2c|.
解 (1)由 a＝5e，b＝－2e，c＝14e，得 a，b，c 的坐标分别为 5，－ 2，14，则 a＋b＋c 的坐标为 5－2＋14＝143.
知识点二 直线上向量的坐标运算
3．[多选]已知 e 是直线 l 上的一个单位向量，a 与 b 都是直线 l 上