2017-2018学年高二数学上学期模块综合测评试题14(含答案)

课后导练
基础达标
1.如图2-1-8,⊙O 中,弦AB 与弦CD 相交于点P,∠B=30°,∠APD=80°,则∠A 等于( )
图2-1-8
A.40°
B.50°
C.70°
D.110°
解析:∵∠APD=∠B+∠D, ∴∠D=∠APD-∠B=80°-30°=50°.∵=
,∴∠A=∠D=50°.
答案:B
2.如图2-1-9,AB 为⊙O 直径,C 点为圆周上一点,的度数为
60°,OD ⊥BC 于D,OD=10,则AB 等于( )
图2-1-9
A.20
B.310
C.40
D.320 解析:∵AB 为直径,∴∠C=90°. ∵
=60°,∴∠B=30°.∵OD ⊥BC,∴∠ODB=90°.
在Rt △BOD 中,OB=
2
1
10
sin =
∠B OD =20.
答案:C
3.一条弦分圆周为5∶7,这条弦所对的圆周角为( )
A.75°
B.105°
C.60°或120°
D.75°或105°
解析:∵圆周度数为360°,∴这两弧度数为150°,210°.
根据圆周角和圆心角定理,它们所对的圆周角度数分别为75°或105°. 答案:D
4.如图2-1-10,A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C等于( )
图2-1-10
A.90°
B.180°
C.360°
D.无法确定
解析:∵∠A、∠B、∠C分别对着,而为半圆180°,
∴∠A+∠B+∠C=90°.
答案:A
5.如图2-1-11,AB、CD为⊙O的两条直径,弦DE∥AB,的度数为40°,则∠BOC等于( )
图2-1-11
A.40°
B.80°
C.110°
D.无法确定
1(-).
解析:∵AB∥DE,∴.∴=
2
1(180°-40°)=70°.
∴的度数为
2
∴∠BOC=∠AOD=70°+40°=110°.
答案:C
综合运用
6.如图2-1-12,△ABC为圆内接三角形,AB＞AC,∠A的平分线交圆于D,作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
求证:BE=CF.
图2-1-12
证明:连结BD、CD.
∵∠DCF是△ACD的外角,
∴∠DCF=∠1+∠2,而∠1=∠3,∠2=∠4,
∴∠DCF=∠3+∠4=∠EBD.
又∵AD是∠BAC的平分线,∴DE=DF.
∴Rt △BDE ≌Rt △CDF. ∴BE=CF.
7.在锐角三角形ABC 中,BC=a,CA=b,AB=c,外接圆半径为R. 求证:
C
c
B b A a sin sin sin =
==2R.
图2-1-13
证明:连结OC 并延长交⊙O 于D,连结BD. ∵
=
,∴∠D=∠A.
在Rt △BCD 中,sinD=R
a 2, 2R=
A a
D a sin sin =
. 同理,B b sin =2R,C c
sin =2R.
∴C
c B b A a sin sin sin =
==2R. 8.如图2-1-14,已知BC 为半圆O 的直径,F 是半圆上异于B 、C 的一点,A 是
的中点,AD ⊥BC 于点D,BF 交AD 于点E.
(1)求证:BE·BF=BD·BC;
(2)试比较线段BD 与AE 的大小,并说明理由.
图2-1-14
(1)证明:连结CF.
∵BC 是直径,∴∠BFC=90°,
∵AD ⊥BC,∴∠BDE=90°,∠B=∠B. ∴△BCF ∽△BED.∴BF
BD
BC BE
. ∴BE·BF=BC·BD. (2)解:AE ＞BD,证明如下: 连结AB 、AC,则∠BAC=90°, ∵
=
,∴∠ABF=∠ACB.
∵∠ACB+∠ABC=90°,∠BAD+∠ABD=90°, ∴∠ACB=∠BAD.∴∠ABF=∠BAD. ∴AE=BE.
在Rt △BDE 中,BE ＞BD.∴AE ＞BD. 拓展探究
9.如图2-1-15,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连结AC,过点C 作CD ⊥AB 于D,E 是DB 上任意一点,直线CE 交⊙O 于点F,连结AF 与直线CD 交于点G . (1)求证:AC 2=AG·AF.
(2)若E 是AD(点A 除外)上任意一点,上述结论是否仍然成立?若成立,画出图形,并给予证明;若不成立,请说明理由.
图2-1-15
(1)证明:连结BC,则∠ACB=90°,
∴∠B+∠CAD=90°,∠ACD+∠CAD=90°. ∴∠B=∠ACD.又=,
∴∠B=∠F.
∴∠F=∠ACD.∵∠CAG=∠FAC, ∴△CAG ∽△FAC. ∴
AC
AG
AF AC =
. ∴AC 2=AG·AF.
(2)解:(1)的结论仍成立,如图2-1-16,连结BC,
图2-1-16
则∠ACB=90°,
⎭⎬⎫
︒=∠+∠⇒⊥︒
=∠+∠9090BAC ACD AB CD BAC B
⎭
⎬⎫
∠=∠∠=∠⇒AFC B ACD B
⎭⎬⎫
∠=∠∠=∠⇒CAG CAF AFC ACD ⇒△AFC ∽△ACG
⇒
AC
AG
AF AC =⇒AC 2=AG·AF. 10.如图2-1-17,AM 是⊙O 的直径,过⊙O 上一点B 作BN ⊥AM,垂足为N,其延长线交⊙O 于点C,弦CD 交AM 于点E. (1)如果CD ⊥AB,求证:EN=MN.
(2)如果弦CD 交AB 于点F,且CD=AB,求证:CE 2=EF·ED.
(3)如果弦CD 、AB 的延长线交于点F,且CD=AB,那么(2)的结论是否仍成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由
.
图2-1-17
(1)证明:连结BM,∵CD ⊥AB, ∴∠BCE+∠ABC=90°.
∵AM 是直径,∴∠MBN+∠ABC=90°. ∴∠BCE=∠MBN.
又∵ON ⊥BC,∴BN=CN,∠BNM=∠CNE. ∴△BNM ≌△CNE. ∴EN=MN.
(2)证明:连结BD 、BE 、AC. ∵CD=AB ⇒
⇒∠ACD=∠D.
⎪⎭
⎪
⎬⎫=⎩
⎨⎧==⇒⊥AE AE EC EB AC AB BC AN 又⇒△ABE ≌△ACE ⇒∠ACD=∠ABE. ⎭
⎬
⎫∠=∠∠=∠∴DEB BEF ABE D ⇒△BEF ∽△DEB ⇒EF BE = .
22ED EF CE CE BE ED EF BE BE DE •=⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
=•=⇒ (3)如图2-1-18,(2)的结论仍成立.
图2-1-18
证明:∵AM ⊥BC, ∴BE=CE,AB=AC. ∴∠1=∠2,∠3=∠4. ∵AB=CD, ∴∠4=∠DBC.
∴∠3=∠DBC=∠2+∠5. 又∵∠3=∠F+∠1,∴∠F=∠5. ∵∠BED=∠FEB,∴△BDE ∽△FBE. ∴
BE
ED
EF BE
. ∴BE 2=EF·ED.∴CE 2=EF·ED. 温馨提示
圆周角定理、垂径定理、等腰三角形、直角三角形有机结合,使解题思路出神入化. 备选习题
11.如图2-1-19,在⊙O 中,AB 是直径,弦AC=12 cm,弦BC=16 cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D 点,则AD=_____________.
图2-1-19
解析:∵AB 是直径,∴∠ACB=90°. ∴AB=22BC AC +=20. 又∵CD 是∠ACB 的平分线,∴.
∴AD=BD.
∵AB 是直径,∴∠ADB=90°. 在Rt △ABD 中,∠DAB=∠ABD=45°. ∴AD=AB·cos45°=20·2
2
=210cm. 答案: 210cm
12.如图2-1-20,△ABC 内接于直径为d 的⊙O,且弦BC=a,AC=b,则△ABC 的高CD 等于( )
图2-1-20
A.
d ab B.b ab C.a bd D.d
ab 2 解析:作⊙O 直径AE,连结CE.
⇒△ACE ∽△CDB
⇒
AE BC AC CD =⇒CD=
d
ab
AE BC AC =•. 答案:A
13.如图2-1-21,AB 为⊙O 直径,AC=AD,求证:∠1=∠2,你能找到几种证法?
图2-1-21
证法一:连结OC 、OD, 证△AOC ≌△AOD.
证法二:连结BC 、BD,证△ABC ≌△ABD. 证法三:连结CD 交AB 于E,证明△ACE ≌△ADE.
证法四:过O 作OE ⊥AC,E 为垂足,OF ⊥AD ，F 为垂足,证△AOE ≌△AOF. 证法五:AC=AD ⇒⇒∠1=∠2.。