高考数学复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第2讲平面向量基本定理及坐标表示文北师大版62
高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示1．若向量BA →＝(2，3)，CA →＝(4，7)，则BC →＝________．[解析] 由于BA →＝(2，3)，CA →＝(4，7)，那么BC →＝BA →＋AC →＝(2，3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．[答案] (－2，－4)2．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(七))已知向量a ＝(2，1)，b ＝(3，－1)，若a ＋2k b 与3a －b 平行，则k ＝________.[解析] 因为a ＝(2，1)，b ＝(3，－1)，所以a ＋2k b ＝(2，1)＋2k (3，－1)＝(2＋6k ，1－2k )，3a －b ＝3(2，1)－(3，－1)＝(3，4)，又a ＋2k b 与3a －b 平行，所以4(2＋6k )－3(1－2k )＝0，解得k ＝－16.[答案] －163．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则向量BD →的坐标为________． [解析] 因为AB →＋BC →＝AC →，所以BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， 所以BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)． [答案] (－3，－5)4．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →＝________．[解析] AQ →＝PQ →－PA →＝(－3，2)， 所以AC →＝2AQ →＝(－6，4)． PC →＝PA →＋AC →＝(－2，7)，所以BC →＝3PC →＝(－6，21)． [答案] (－6，21)5．在△ABC 中，AN →＝12AC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋38AC →，则实数m 的值为_______．[解析] 因为B ，P ，N 三点共线，所以BP →∥PN →，设BP →＝λPN →，即AP →－AB →＝λ(AN →－AP →)，AP→＝11＋λAB →＋λ1＋λAN →，①又AN →＝12AC →，所以AC →＝2AN →，所以AP →＝mAB →＋38AC →＝mAB →＋34AN →，②结合①②，由平面向量的基本定理可得 ⎩⎪⎨⎪⎧11＋λ＝m ，λ1＋λ＝34，得m ＝14. [答案] 146．已知非零向量e 1，e 2，a ，b 满足a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2.给出以下结论： ①若e 1与e 2不共线，a 与b 共线，则k ＝－2； ②若e 1与e 2不共线，a 与b 共线，则k ＝2； ③存在实数k ，使得a 与b 不共线，e 1与e 2共线； ④不存在实数k ，使得a 与b 不共线，e 1与e 2共线． 其中正确结论的个数是________个．[解析] 若a 与b 共线，即a ＝λb ，即2e 1－e 2＝λk e 1＋λe 2，而e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λk ＝2，λ＝－1，解得k ＝－2.故①正确，②不正确．若a与b 不共线，且e 1与e 2共线，则e 2＝λe 1，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝（2－λ）e 1，b ＝（k ＋λ）e 1，因为e 1，e 2，a ，b 为非零向量，所以λ≠2且λ≠－k ， 所以12－λa ＝1k ＋λb ，即a ＝2－λk ＋λb ，这时a 与b 共线，所以不存在实数k 满足题意，故③不正确，④正确． 综上，正确的结论为①④. [答案] 27．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，若表示向量4a ，3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c ＝________.[解析] 设向量c ＝(x ，y )，因为向量4a ，3b －2a ，c 首尾相接能构成三角形， 所以4a ＋3b －2a ＋c ＝0，且4a 与c 不共线．即⎩⎪⎨⎪⎧4－6－2＋x ＝0，－12＋12－（－6）＋y ＝0，且4y ≠－12x ， 解得x ＝4，y ＝－6， 即c ＝(4，－6)． [答案] (4，－6)8．已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1，1)，C (2，3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是________．[解析] 由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.设点B 为(x ，y )，则(2－x ，3－y )＝－2(1，2)，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝7.所以向量OB →的坐标是(4，7)． [答案] (4，7)9．已知点A (2，3)、B (5，4)、C (7，10)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，则当λ的取值满足________时，点P 在第三象限．[解析] 因为AB →＋λAC →＝(5，4)－(2，3)＋λ[(7，10)－(2，3)]＝(3＋5λ，1＋7λ)．所以AP →＝(3＋5λ，1＋7λ)．设P 点的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x －2，y －3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5λ＋5，y ＝7λ＋4.又因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，y ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧5λ＋5＜0，7λ＋4＜0，解得λ＜－1，即当λ＜－1时，点P 在第三象限． [答案] λ＜－1 10．给出以下四个命题：①四边形ABCD 是菱形的充要条件是AB →＝DC →，且|AB →|＝|AD →|； ②点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋CG →＝0；③若AB →＝3e 1，CD →＝－5e 1，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 是等腰梯形； ④若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则3≤|BC →|≤13. 其中所有正确命题的序号为________．[解析] 对于①，当AB →＝DC →时，则四边形ABCD 为平行四边形，又|AB →|＝|AD →|，故该平行四边形为菱形，反之，当四边形ABCD 为菱形时，则AB →＝DC →，且|AB →|＝|AD →|，故正确；对于②，若G 为△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0，故不正确；对于③，由条件知CD →＝－53AB →，所以CD →∥AB →且|CD →|>|AB →|，又|AD →|＝|BC →|，故四边形ABCD 为等腰梯形，正确；对于④，当AB →，AC →共线同向时，|BC →|＝3，当AB →，AC →共线反向时，|BC →|＝8＋5＝13，当AB →，AC →不共线时3<|BC→|<13，故正确．综上，正确命题为①③④. [答案] ①③④11．(2018·徐州调研)已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)．求： (1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ [解] (1)因为a ＝(1，0)，b ＝(2，1)，所以a ＋3b ＝(7，3)， 故|a ＋3b |＝72＋32＝58.(2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7，3)， 因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13.此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7，3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．12．已知向量a ＝(－3，2)，b ＝(2，1)，c ＝(3，－1)，t ∈R ， (1)求|a ＋t b |的最小值及相应的t 值； (2)若a －t b 与c 共线，求实数t .[解] (1)由题知a ＋t b ＝(－3＋2t ，2＋t )， 所以|a ＋t b |＝（－3＋2t ）2＋（2＋t ）2＝5t 2－8t ＋13＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －452＋495≥495＝755，当且仅当t ＝45时取等号，即|a ＋t b |的最小值为755，此时t ＝45. (2)因为a －t b ＝(－3，2)－t (2，1)＝(－3－2t ，2－t )，且a －t b 与c 共线，c ＝(3，－1),所以(－3－2t )×(－1)－(2－t )×3＝0，解得t ＝35.1．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M 、N 分别为CD 、BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________．[解析] 由AB →＝λAM →＋μAN →，得AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC →＋AB →)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2AC →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14λ＋34μ－1AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AD →＝0.又AB →与AD →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝85λ＝－45， 所以λ＋μ＝45.[答案] 452．(2018·福建省六校联考)已知向量a ，b ，满足|a |＝1，|b |＝3，a ＋b ＝(3，1)，则向量a 与b 的夹角是________．[解析] 由题知|a |＝1，|b |＝3，a ＋b ＝(3，1)，所以a ·b ＝0，所以a ⊥b ，所以向量a 与b 的夹角是π2.[答案] π23.在△ABC 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边AB 、AC 于M 、N 两点，设AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(xy ≠0)，则4x ＋y 的最小值是________．[解析] 因为D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，所以AE →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)．又AB →＝1x AM →，AC →＝1y AN →，所以AE →＝14x AM →＋14y AN →.因为M 、E 、N 三点共线，所以14x ＋14y＝1，所以4x ＋y ＝(4x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋14y ＝14⎝⎛⎭⎪⎫5＋4x y ＋y x≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24x y·y x＝94. [答案] 944．在平面直角坐标系中，点O (0，0)，P (6，8)，将向量OP →绕点O 逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是________．[解析] 因为点O (0，0)，P (6，8)， 所以OP →＝(6，8)，设OP →＝(10cos θ，10sin θ)，则cos θ＝35，sin θ＝45，因为向量OP →绕点O 逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，设Q (x ，y )，则x ＝10cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋3π4＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos 3π4－sin θsin 3π4＝－72，y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋3π4＝10⎝⎛⎭⎪⎫sin θcos 3π4＋cos θsin 3π4 ＝－2，所以Q 点的坐标为(－72，－2)． [答案] (－72，－2)5.(2017·浏阳模拟)如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG →＝λPQ →，将OG →用λ，OP →，OQ →表示； (2)设OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →，证明：1x ＋1y是定值．[解] (1)OG →＝OP →＋PG →＝OP →＋λPQ →＝OP →＋λ(OQ →－OP →)＝(1－λ)OP →＋λOQ →. (2)证明：一方面，由(1)，得 OG →＝(1－λ)OP →＋λOQ →＝(1－λ)xOA →＋λy OB →；①另一方面，因为G 是△OAB 的重心， 所以OG →＝23OM →＝23×12(OA →＋OB →)＝13OA →＋13OB →.② 而OA →，OB →不共线，所以由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧（1－λ）x ＝13，λy ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧1x ＝3－3λ，1y ＝3λ.所以1x ＋1y＝3(定值)．6．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． [解] (1)由|a |2＝(3sin x )2＋sin 2x ＝4sin 2x ， |b |2＝cos 2x ＋sin 2x ＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.。
4-2第二节 平面向量基本定理及其坐标运算(2015年高考总复习)
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→ → ②设OA＝xi＋yj，则向量OA的坐标(x，y)就是 终点 A 的坐标， → 即若OA＝(x，y)，则 A 点坐标为 (x，y) ，反之亦成立．(O 是坐标 原点) 2．平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算． (2)向量坐标的求法：
→ → 方法 2：设AB＝a，AD＝b，因为 M，N 分别为 CD，BC 的中 → 1 → 1 点，所以BN＝2b，DM＝2a，于是有 1 c ＝ b ＋ a， 2 d＝a＋1b， 2 2 a ＝ 2d－c， 3 解得 b＝22c－d， 3
→ 2 → 2 即AB＝ (2d－c)，AD＝ (2c－d)． 3 3
解析
答案
1 → → → BE＝BC＋CE＝－ a＋b. 2
1 － a＋b 2
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Y 研考点· 知规律
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1→ → → → AD＝AM－DM＝c－2AB.① 1→ → → → 在△ABN 中，AB＝AN－BN＝d－2AD.② → 2 → 2 由①②得AB＝3(2d－c)，AD＝3(2c－d)．
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(3)平面向量的坐标表示： ①在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个 单位向量 i，j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，有且只有一对 实数 x，y，使 a＝xi＋yj，把有序数对 (x，y) 叫做向量 a 的坐标， 记作 a＝(x，y) ，其中 x 轴上的坐标． 叫 a 在 x 轴上的坐标， y 叫a在y
高考数学一轮总复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示课
A．(－2，7)
B．(－6，21)
C．(2，－7)
D．(6，－21)
解析：(1)设点 B 的坐标为(x，y)，则A→B＝(x＋1，y－5)． 由A→B＝3ɑ，得xy＋－15＝＝69，，解得xy＝＝51，4. (2)B→C＝3P→C＝3(2P→Q－P→A)＝6P→Q－3P→A ＝(6，30)－(12，9)＝(－6，21)．
2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行 向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．如解答本题的关 键是根据平面向量基本定理列出关于 λ，μ的方程组．
(1)已知平面向量ɑ＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量12ɑ－32b
＝( )
A．(－2，－1)
B．(－2，1)
C．(－1，0)
解析：(1)由ɑ∥b，得 sin 2θ＝cos2θ，即 2sin θcos θ＝cos2 π
θ，因为 0＜θ＜ 2 ，所以 cos θ≠0，整理得 2sin θ＝cos θ.所以 tan θ＝21.
(2)若点 A，B，C 能构成三角形，则向量A→B，A→C不共线． ∵A→B＝O→B－O→A＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)， A→C＝O→C－O→A＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)， ∴1×(k＋1)－2k≠0，解得 k≠1.
D．3
解析：(1)∵在梯形 ABCD 中，DC＝2AB， ∴D→C＝2A→B.设点 D 的坐标为(x，y)， 则D→C＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)． A→B＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，
∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，
即(4－x，2－y)＝(2，－2)，
∴4－x＝2 ，解得x＝2，
答案：(1)12 (2)k≠1
近年高考数学复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示课
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课时分层训练（二十三）平面向量的基本定理及坐标表示A组基础达标(建议用时:30分钟)一、选择题1．如图4。
2.2,设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,给出下列向量组：图4.22①错误!与错误!；②错误!与错误!；③错误!与错误!；④错误!与错误!.其中可作为该平面内其他向量的基底的是（)A．①②B．①③C．①④D．③④B［①中错误!，错误!不共线；③中错误!，错误!不共线．］2．已知a＝（1,1），b＝(1，－1),c＝（－1，2)，则c等于（）A．－12a＋错误!b B.错误!a－错误!bC．－错误!a－错误!b D．－错误!a＋错误!bB［设c＝λa＋μb，∴(－1，2）＝λ（1,1)＋μ(1，－1），∴错误!∴错误!∴c＝错误!a－错误!b.］3．已知向量a，b不共线，c＝k a＋b(k∈R），d＝a－b，如果c∥d，那么( ）A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向D［由题意可得c与d共线,则存在实数λ，使得c＝λd，即错误!解得k＝－1.c＝－a ＋b＝－(a－b）＝－d，故c与d反向．］4．如图4.2。
高考数学第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.2平面向量基本定理及向量坐标运算课件
平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法 则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的 坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐 标等于向量终点的坐标减去始点的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通 过列方程(组)来进行求解．
3μ)＝1，即 2λ－5μ＝1，
∴52μ－λ＝－12，故选 A.
2．(2019·河南郑州一模)如图，在△ABC 中，N 为线段 AC 上靠近 点 A 的三等分点，点 P 在线段 BN 上且A→P＝m＋121A→B＋121B→C，则实数
m 的值为( D )
A．1
1 B.3
9 C.11
5 D.11
(2)(2019·岳阳质检)在梯形 ABCD 中，已知 AB∥CD，AB＝2CD，M，
N 分别为 CD，BC 的中点．若A→B＝λA→M＋μA→N，则 λ＋μ 的值为( C )
11 A.4 B.5
45 C.5 D.4
解析：解法一：连接 AC(图略)，由A→B＝λA→M＋μA→N，得 A→B＝λ·12(A→D＋A→C)＋μ·12(A→C＋A→B)， 则μ2－1A→B＋λ2A→D＋2λ＋μ2A→C＝0， 得μ2－1A→B＋λ2A→D＋2λ＋μ2A→D＋12A→B＝0， 得14λ＋34μ－1A→B＋λ＋μ2A→D＝0. 又A→B，A→D不共线，
解：设 AB 的中点为 P，O 为坐标原点， 因为C→G＝23C→P， 所以O→G＝13O→C＋23O→P＝13O→C＋13(O→A＋O→B)， 所以O→G＝13(O→A＋O→B＋O→C)＝13((－2,4)＋(3，－1)＋(－3，－ 4))＝－23，－13，所以重心 G 的坐标为－23，－13.
高考数学第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入42平面向量基本定理及坐标表示文
2021/12/12
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二、走近高考
3．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形 ABCD 中，AB＝1，AD＝2，动点 P 在以点 C
→→ → 为圆心且与 BD 相切的圆上。若AP＝λAB＋μAD，则 λ＋μ 的最大值为( )
A．3
B．2 2
C． 5 D．2
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考点二 平面向量的坐标运算
【例 2】 (1)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，
→→ 且BC＝2AD，则顶点 D 的坐标为( )
A．2，27 C．(3,2)
B．2，－12 D．(1,3)
→
→
→→
解析 (1)设 D(x，y)，AD＝(x，y－2)，BC＝(4,3)，又BC＝2AD，所以
→→
→
C(2,3)，|BC|＝2|AC|，则向量OB的坐标是________。
→→ →
→
解析 (1)由点 C 是线段 AB 上一点，|BC|＝2|AC|，得BC＝－2AC。设
2－x＝－2，
x＝4，
点 B 为(x，y)，则(2－x,3－y)＝－2(1，2)，即3－y＝－4， 解得y＝7。
→ 所以向量OB的坐标是(4,7)。
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一、走进教材 1．(必修 4P99 例 8 改编)若 P1(1,3)，P2(4,0)且 P 是线段 P1P2 的一个三等分 点，则点 P 的坐标为( ) A．(2,2) B．(3，－1) C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1)
高考数学第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.2平面向量基本定理及坐标表示高三全册数学
A.－12，5 C.12，－5
B.12，5 D.－12，－5
解析：A→C＝A→B＋A→D＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)， ∴O→C＝12A→C＝12，5.∴C→O＝－12，－5.
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考点三 平面向量共线的坐标表示
【例 3】 (1)若 A，B，C，D 四点共线，且满足A→B＝
(3a,2a)(a≠0)，C→D＝(2，t)，则 t 等于( B )
3 A.4
4 B.3
C．3
D．－3
(2)已知向量 a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且 a∥b，则 m＝__－___6___.
(3)设向量 a，b 满足|a|＝2 5，b＝(2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则
a 的坐标为______(_－__4_，__－___2_)____．
若P→A＝(4,3)，P→Q＝(1,5)，则B→C＝_(_－__6_,_2_1_).
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【解析】 (1)M→N＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 设 N(x，y)，则M→N＝(x－5，y＋6)＝(－3，6)， 所以xy－ ＋56＝ ＝6－，3， 即xy＝ ＝20.， (2)∵A→Q＝P→Q－P→A＝(－3,2)， ∴A→C＝2A→Q＝(－6,4)． ∵P→C＝P→A＋A→C＝(－2,7)，∴B→C＝3P→C＝(－6,21)．
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方法技巧 (1)向量共线的两种表示形式 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b ⇔x1y2－x2y1＝0. (2)两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线问题；另外， 利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．
高三数学复习第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
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第一节
平面向量的概念及其线性运算 [自测· 牛刀小试]
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1．下列说法中正确的是
A．只有方向相同或相反的向量是平行向量 B．零向量的长度为零 C．长度相等的两个向量是相等向量
(
)
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突 破 热 点 题 型
解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相
同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行， 则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反 向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命 题的个数是3. 答案：D
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第一节
平面向量的概念及其线性运算 向量的线性运算
D．共线向量是在一条直线上的向量
解析：由于零向量与任意向量平行，故选项A错误；
长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，故C错 误；方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，故 D错误．
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答案：B
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第一节
平面向量的概念及其线性运算
2.(教材习题改编)D 是△ABC 的边 AB 上的中点， 则向量 CD
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位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；
零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任 意向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向 量概念有关的问题．
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第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
1．(2016·北京一模)已知AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB →＝(2，
4)，AC →＝ (1，3)，则AD →＝( )
A ．(2，4)
B ．(3，7)
C ．(1，1)
D ．(－1，－1)
解析：选D.
如图，BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，
所以AD →＝BC →＝(－1，－1)，故选D.
2．已知向量a ＝⎝
⎛⎭⎪⎫8，12x ，b ＝(x ，1)，其中x>0，若(a －2b)∥(2a ＋b)，则x 的值为( )
A ．4
B ．8
C ．0
D ．2
解析：选A.a －2b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫8－2x ，12x －2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，由已知(a －2b)∥(2a ＋b)，显然2a ＋b ≠0，
故有⎝ ⎛⎭
⎪⎫8－2x ，12x －2＝λ(16＋x ，x ＋1)，λ∈R ， 所以⎩⎨⎧8－2x ＝λ
（16＋x ），12x －2＝λ（x ＋1）⇒x ＝4(x>0)．
3．(2016·日照一模)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )
A.14a ＋12b
B.23a ＋13
b
C.12a ＋14b
D.13a ＋23
b 解析：选B.如图，
因为△DEF ∽△BEA ，所以DF ∶BA ＝DE ∶BE ＝1∶3，过点F 作FG ∥BD 交AC
于点G ，所以FG ∶DO ＝2∶3，CG ∶CO ＝2∶3，所以GF →＝13b ，因为AG →＝AO →＋OG →＝23
AC →＝23
a ， 所以AF →＝AG →＋GF →＝23a ＋13
b.故选B. 4．(2016·南昌十校联考)已知a ＝(3，1)，若将向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，则b 的坐标为( )
A ．(0，4)
B ．(23，－2)
C ．(－23，2)
D ．(2，－23)
解析：选B.因为a ＝(3，1)，所以－2a ＝(－23，－2)，易知向量－2a 与x 轴正半轴的夹角α＝150°(如图)．向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，在第四象限，与x 轴正半轴的夹角β＝30°，所以b ＝(23，－2)，故选B.
5．如图，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的两点，给出下列向量：①OA →＋2OB
→；②12OA →＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →；⑤34OA →－15
OB →，若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有( )
A ．①②
B ．②④
C ．①③
D ．③⑤。