2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之十四圆锥曲线的标准方程与性质(大纲文科专用)
【考前30天】高考数学考前30天三轮专题提分必练绝密十四(大纲文科专用)
2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之专题(十四)[第14讲 圆锥曲线的标准方程与性质](时间：10分钟＋35分钟)2012二轮精品提分必练1．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22 －y 23＝1 D. x 23－y 22＝1 2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为( )A.5－12 B.2－1 C.55 D.223．椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为 ( )A ．20B ．22C ．24D ．28 4．设双曲线以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )A ．2 B.52 C.32 D.622012二轮精品提分必练 1．已知F 1，F 2是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且|PF 2|＝6，点Q (0，m )，|m |≥3，则P Q →·(PF 1→－PF 2→)的值是( ) A ．40 B ．80 C ．160D ．与m 的值有关 2．椭圆x 24＋y 23＝1上有n 个不同的点：P 1，P 2，…，P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差不小于1100的等差数列，则n 的最大值为( )A ．199B ．200C ．198D ．2013. 椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在椭圆上，MF 1→·MF 2→＝0，则M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3 4．双曲线mx 2－y 2＝1(m ＞0)的右顶点为A ，若该双曲线右支上存在两点B ，C ，使得△ABC 为等腰直角三角形，则实数m 的值可能为 ( )A.12B ．1C ．2D ．35．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T ，且TF 与x 轴垂直，则椭圆的离心率为________．6．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为___________________．2012二轮精品提分必练2012二轮精品提分必练8.已知抛物线y 2＝4x ，过点M (0,2)的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且直线l 与x 轴交于点C .(1)求证：|MA |、|MC |、|MB |成等比数列；(2)设MA →＝αAC →，MB →＝βBC →，试问α＋β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之专题(十四)【基础演练】1．B 【解析】 ||PF 1＝252＋22＝6，|PF 2|＝4，a ＝6－42＝1，b 2＝c 2－a 2＝4，所以双曲线的方程为x 2－y24＝1.2．B 【解析】 显然F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设椭圆的半焦距为c ，则c ＝p 2，两曲线的一个交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，即A(c,2c)，设椭圆的左焦点为F′，则在Rt△AF′F 中，F′F＝2c ，AF ＝2c ，∴AF′＝22c.根据椭圆性质有22c ＋2c ＝2a ，∴e＝22＋22＝2－1.3．C 【解析】 设||PF 1＝r 1，||PF 2＝r 2，则r 1＋r 2＝14，r 21＋r 22＝4c 2＝100，故r 1·r 2＝48，所以S△PF 1F 2＝12r 1·r 2＝24.4．B 【解析】 由题意知c ＝5，a 2c ＝4，所以a ＝25，则e ＝c a ＝52.【提升训练】1．B 【解析】设P(x 0，y 0)(y 0＞0)，由焦半径公式得，||PF 2＝ex 0－a ＝6，即54x 0－4＝6，可求得x 0＝8，代入双曲线方程，得y 0＝33，故PQ →·(PF 1→－PF 2→)＝PQ →·F 2F 1→＝(－8，m －33)(－10,0)＝80.2．D 【解析】 由题意知，要使所求的n 最大，应使|P 1F|最小，|P n F|最大．又F 为椭圆的右焦点，设P n 的横坐标为x n ，故由第二定义可得，|P n F|＝a －ex n ，其中a ＝2，e ＝12，所以当x 1＝2时， |P 1F|＝1最小，当x n ＝－2时， |P n F|＝3最大．由等差数列的通项公式可得， |P n F|＝|P 1F|＋(n －1)d ，即n ＝2d ＋1，又因为d≥1100，解得n≤201.3．B 【解析】 椭圆的焦点坐标是(±3，0)，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝3，即y 2＝3－x 2，代入椭圆方程得x 24＋3－x 2＝1，解得x 2＝83，即||x ＝263，亦即点M 到y 轴的距离． 4．A 【解析】 A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，由对称性可设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0－1m ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，－x 0＋1m . 把B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0－1m 代入双曲线方程得(m －1)x 20＋2x 0m－m ＋1m ＝0， 显然m ＝1时，x 0＝1，不满足△ABC 为等腰直角三角形这一条件，B 项错误； 当m ＝2时，x 0＝22＜1，不满足△ABC 为等腰直角三角形这一条件，C 项错误； 当m ＝3时，x 0＝33＜1，不满足△ABC 为等腰直角三角形这一条件，D 项错误，综上，实数m 的可能值为12.5.2－1 【解析】 依题意c ＝p 2，b 2a ＝p ，∴b 2＝2ac ，∴c 2＋2ac －a 2＝0，∴e 2＋2e －1＝0，解得e ＝2－1.6．15 【解析】 |PF 1|＋| PF 2|＝10，|PF 1|＝10－| PF 2|，|PM|＋|PF 1|＝10＋|PM|－| PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于P 点，此时|PM|－| PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM|＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋－2＋42＝15.7．【解答】 (1)∵|BC →|＝2|AC →|且BC 过(0,0)，则|OC →|＝|AC →|，又∵AC →·BC →＝0，∴∠OCA ＝90°，即C(3，3)．又∵a＝23，设椭圆方程为x 212＋y 212－c 2＝1，将C 点坐标代入得312＋312－c 2＝1，解得c 2＝8，b 2＝4.∴椭圆的方程为：x 212＋y 24＝1. (2)由条件知D(0，－2)，当k ＝0时，显然－2＜t ＜2，当k≠0时，设l ：y ＝kx ＋t ， ⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 24＝1，y ＝kx ＋t ，消y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－12＝0，由Δ＞0，可得t 2＜4＋12k 2，①设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，PQ 的中点H(x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3kt 1＋3k 2，y 0＝kx 0＋t ＝t 1＋3k 2，∴H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 1＋3k 2，t 1＋3k 2.由|DP →|＝|DQ →|，∴DH⊥PQ，即k DH ＝－1k .∴t1＋3k 2＋2－3kt 1＋3k2－0＝－1k ，化简得t ＝1＋3k 2，②∴t＞1，将②代入①得1＜t ＜4，∴实数t 的取值范围是(1,4)． 综上t∈(－2,4)． 8．【解答】 (1)证明：设直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k≠0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(4k －4)x ＋4＝0，①设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0，则x 1＋x 2＝－4k －4k 2，x 1·x 2＝4k2.②|MA|·|MB|＝1＋k 2|x 1－0|1＋k 2·|x 2－0|＝＋k 2k2，2012二轮精品提分必练。
2012年高考数学(理科)(北师大版)二轮三轮总复习专题课件专题5第16讲圆锥曲线的定义、方程与性质
图 16－1
第16讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)设 M 的坐标为(x，y)，P 的坐标为(xP，yP)，
xP＝x， 由已知得yP＝54y，
∵P 在圆上，∴x2＋54y2＝25，
即 C 的方程为2x52＋1y62 ＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 y＝54(x－3)，
设直线与 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
【点评】 离心率是圆锥曲线的重要几何性质，求解椭圆或者双曲线的离心率的
关键是建立一个关于 a，b，c 的方程，通过这个方程和 b 与 a，c 的关系消掉 b 后，
建立
a，c
之间的方程，通过这个方程只要能求出c即可，不一定用具体求出 a
a，c
的
数值．
第16讲│ 要点热点探究
(1)[2011·福建卷] 设圆锥曲线 Γ 的两个焦点分别为 F1，F2. 若曲线 Γ 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线 Γ 的离心 率等于( )
不等的实根，故有 x1＋x2＝1＋123kk2. 从而有 x0＝x1＋2 x2＝1＋6k3k2，y0＝kx0－2＝6k2－1＋213＋k于是，可得线段 MN 的中点 P 的坐标为1＋6k3k2，1＋－32k2. 又由于 k≠0，因此直线 AP 的斜率为 k1＝1＋－362kk2－2＝－2－26k1＋3k2.
【考前30天绝密资料】2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之二十五(江苏专用)
2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之专题(二十五)A[专题二十五 圆锥曲线的几何性质](时间：45分钟)一、填空题1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是________． 2．在△ABC 中，∠ACB ＝60°，sin A ∶sin B ＝8∶5，则以A ，B 为焦点且过点C 的椭圆的离心率为________．3．抛物线x ＝1m y 2的准线与双曲线x 212－y 24＝1的右准线重合，则m 的值是________．4．双曲线C ：x 2－y 2＝1，若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于P ，Q 两点，且PA →＝2AQ →，则直线l 的斜率为________．5．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，右顶点为A ，P 是椭圆上一点，l 为左准线，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的焦点到一条渐近线l的距离为4，若渐近线l 恰好是曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 在原点处的切线，则双曲线的标准方程为____________．二、解答题7．如图25－1，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左，右两个焦点分别为F 1，F 2，短轴的上端点为B ，短轴上的两个三等分点为P ，Q ，且F 1PF 2Q 为正方形．(1)求椭圆的离心率；(2)若过点B 作此正方形的外接圆的切线在x 轴上的一个截距为－324，求此椭圆方程．2012二轮精品提分必练8．如图25－2，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F(4m,0)(m>0，m 为常数)，离心率等于0.8，过焦点F 、倾斜角为θ的直线l 交椭圆C 于M 、N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若θ＝90°时，1MF＋1NF＝529，求实数m的值；(3)试问1MF＋1NF的值是否与θ的大小无关？证明你的结论．2012二轮精品提分必练2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之专题(二十五)B[专题二十五 圆锥曲线的几何性质](时间：45分钟)一、填空题1．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y ＝0，则a 的值为________．2．顶点在原点且以双曲线x 23－y 2＝1的右准线为准线的抛物线方程是________．3．已知离心率为355的双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a>0)的左焦点与抛物线y 2＝2mx 的焦点重合，则实数m ＝________.2012二轮精品提分必练4．如图25－3，已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P 在椭圆C上，线段PF 2与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的离心率为________．5．将两个顶点在抛物线y 2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则n 的值为________．6．从椭圆上一点A 看椭圆的两焦点F 1，F 2的视角为直角，AF 1的延长线交椭圆于B ，且|AB|＝|AF 2|，则椭圆的离心率为________．二、解答题7．如图25－4，已知圆O ：x 2＋y 2＝2交x 轴于A ，B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，离心率为22的椭圆，其右焦点为F.若点P(－1,1)为圆O 上一点，连结PF ，过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的右准线l 于点Q.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)证明：直线PQ 与圆O 相切． 2012二轮精品提分必练8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1(－c,0)，F 2(c,0)，Q 是椭圆外的动点，满足|F 1Q →|＝2a.点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足PT →·TF 2→＝0，|TF 2→|≠0.(1)设x 为点P 的横坐标，证明：|F 1P →|＝a ＋c ax ；(2)求点T 横坐标与纵坐标间的关系；(3)试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S ＝b 2？若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由．2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之专题(二十五)A1．4 【解析】 双曲线方程可化为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，得a ＝2，所以2a ＝4.故实轴长为4.2.713【解析】 由题意，CB ∶CA ＝8∶5，设CB ＝8，CA ＝5， 则AB 2＝CB 2＋CA 2－2CB·CA·cos ∠ACB ＝49，AB ＝7，点A ，B 为椭圆焦点，即2c ＝7，点C 在椭圆上，即2a ＝CB ＋CA ＝13，所以e ＝2c 2a ＝713.3．－12 【解析】 x 212－y 24＝1的右准线为x ＝a 2c ＝124＝3，所以抛物线y 2＝mx 的开口向左，－m4＝3，m ＝－12.4．±3 【解析】 双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，即x±y ＝0.可以求得A(1,0)，设直线l 的斜率为k ，∴直线l 的方程为y ＝k(x －1)，分别与渐近线方程联立方程组，可以求得P ⎝⎛⎭⎫k k －1，k k －1，Q ⎝⎛⎭⎫k k ＋1，－k k ＋1或P ⎝⎛⎭⎫k k ＋1，－kk ＋1，Q ⎝⎛⎭⎫k k －1，k k －1，利用条件PA →＝2AQ →，可以求得k ＝±3. 5．[2－1,1) 【解析】 由已知得，AF ＝PQ ，即a ＋c ＝x p ＋a 2c ，则x p ＝a ＋c －a 2c，所以有－a ≤a ＋c －a 2c ≤a ，c ≤a2c≤2a ＋c ，左侧显然成立，即有a 2≤2ac ＋c 2，e 2＋2e －1≥0，又0<e<1，所以2－1≤e<1.6.x 24－y 216＝1 【解析】 依题意，由y ＝x 3－3x 2＋2x ，可得y ′＝3x 2－6x ＋2，所以在原点处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝0＝2.又双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，所以ba＝2，且渐近线方程为y ＝2x.设双曲线其中一个焦点为F(c,0)，d ＝2c5＝4⇒c ＝25，c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋4a 2＝20⇒a 2＝4，所以b 2＝16，从而双曲线的标准方程为x 24－y 216＝1.7．【解答】 (1)由题意知：P ⎝⎛⎭⎫0，b3，设F 1(－c,0)， 因为F 1PF 2Q 为正方形，所以c ＝b3，即b ＝3c ，∴b 2＝9c 2，即a 2＝10c 2，所以离心率e ＝1010.(2)因为B(0,3c)，由几何关系可求得一条切线的斜率为22， 所以切线方程为y ＝22x ＋3c ，因为在x 轴上的截距为－324，所以c ＝1，所求椭圆方程为x 210＋y 29＝1.8．【解答】 (1)∵c ＝4m ，椭圆离心率e ＝c a ＝45，∴a ＝5m ，∴b ＝3m ，∴椭圆C 的标准方程为x 225m 2＋y 29m 2＝1.(2)在椭圆方程x 225m 2＋y 29m 2＝1，中令x ＝4m ，解得y ＝±9m5， ∵当θ＝90°时，直线MN ⊥x 轴，此时FM ＝FN ＝9m5，∴1MF ＋1NF ＝109m . 又∵1MF ＋1NF ＝529，解得m ＝ 2.(3)1MF ＋1NF的值与θ的大小无关． 证明如下：法一：设点M 、N 到右准线的距离分别为d 1、d 2， ∵MF d 1＝45，NF d 2＝45，∴1MF ＋1NF ＝54⎝⎛⎭⎫1d 1＋1d 2. 又由图可知，FM cos θ＋d 1＝a 2c －c ＝9m4，∴d 1⎝⎛⎭⎫45cos θ＋1＝9m 4，即1d 1＝49m ⎝⎛⎭⎫45cos θ＋1， 同理，1d 2＝49m ⎣⎡⎦⎤45cos θ(π－θ)＋1＝49m ⎝⎛⎭⎫－45cos θ＋1， ∴1d 1＋1d 2＝49m ⎝⎛⎭⎫45cos θ＋1＋49m ⎝⎛⎭⎫－45cos θ＋1＝89m . ∴1MF ＋1NF ＝54·89m ＝109m， 显然该值与θ的大小无关．法二：当直线MN 的斜率不存在时，由(2)知，1MF ＋1NF的值与θ的大小无关．当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝k(x －4m)，代入椭圆方程x 225m 2＋y 29m 2＝1，得(25k 2＋9)x 2－200mk 2x ＋25m 2(16k 2－9)＝0.设点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)， ∵Δ>0恒成立，∴x 1＋x 2＝200mk 225k 2＋9，x 1x 2＝25m 2(16k 2－9)25k 2＋9，∴MF 25m 4－x 1＝45，NF 25m 4－x 2＝45， ∴MF ＝5m －45x 1，NF ＝5m －45x 2，∴1MF ＋1NF ＝15m －45x 1＋15m －45x 2＝ 10m －45(x 1＋x 2)1625x 1x 2－4m (x 1＋x 2)＋25m 2＝90k 2＋9081mk 2＋81m ＝109m ，显然该值与θ的大小无关．2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之专题(二十五)B1．2 【解析】 根据双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线的方程得y ＝±3ax ，即ay±3x ＝0.因为已知双曲线的渐近线的方程为3x±2y ＝0且a>0，所以有a ＝2.2．y 2＝－6x 【解析】 由双曲线方程x 23－y 2＝1得其右准线方程为x ＝33＋1＝32，设顶点在原点且以双曲线x 23－y 2＝1的右准线为准线的抛物线方程为y 2＝－2px(p>0)，则p 2＝32，所以抛物线方程是y 2＝－6x.3. －6 【解析】 双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a>0)的离心率为e ＝ca ＝a 2＋4a 2＝355，解得a 2＝5，c ＝a 2＋4＝3，由此可知双曲线的左焦点坐标为(－3,0)，∴抛物线y 2＝－2(－m)x 的焦点为⎝⎛⎭⎫－－m 2，0，即可得－m 2＝3，解得m ＝－6.4.53 【解析】 连结OQ ，F 1P ，则由于OF 1＝OF 2，QF 2＝PQ ，故OQ ∥F 1P ，OQ ＝12F 1P ，从而PF 1＝2b ，且∠F 1PF 2＝90°，故PF 2＝2a －2b ，从而(2c)2＝(2b)2＋(2a －2b)2＝4(a 2－b 2)，解得b a ＝23，故e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－49＝53. 5．2 【解析】 不妨设三个顶点分别为A ，B ，F(其中F 为抛物线的焦点)，由抛物线的定义，有A ，B 两点关于x 轴对称，点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0.设A ()m ，2pm ()m>0，则由抛物线的定义得||AF ＝m ＋p 2.又||AB ＝22pm ，||AF ＝||AB ，所以m ＋p2＝22pm ，整理得m 2－7pm ＋p 24＝0，所以Δ＝()7p 2－4×p 24＝48p 2>0，所以方程m 2－7pm ＋p 24＝0有两个不同的实根，记为m 1，m 2，则⎝⎛m 1＋m 2＝7p>0，m 1m 2＝p 24>0，所以m 1>0，m 2>0.所以n ＝2.2012二轮精品提分必练6.6－3(如果写成9－62也可) 【解析】 △ABF 2周长为|AB|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(2＋2)AF 2＝4a ，所以|AF 2|＝4a 2＋2，|AF 1|＝2a －4a 2＋2＝22a 2＋2，在△AF 1F 2中，⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 2＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋22＝(2c)2，c 2a 2＝6()2＋22，e ＝62＋2＝6－ 3. 7．【解答】 (1)由题意，得a ＝2，e ＝22，∴c ＝1，∴b 2＝1. 所以椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：∵P(－1,1)，F(1,0)，∴k PF ＝－12，∴k OQ ＝2.所以直线OQ 的方程为y ＝2x. 又椭圆的右准线方程为x ＝2，所以Q(2,4)，所以k PQ ＝4－12－(－1)＝1.又k OP ＝－1，所以k PQ ·k OP ＝－1，即OP ⊥PQ. 故直线PQ 与圆O 相切． 8．【解答】 (1)证明：设点P 的坐标为(x ，y)，由P(x ，y)在椭圆上， 得|F 1P →|＝(x ＋c )2＋y 2＝(x ＋c )2＋b 2－b 2a 2x 2＝⎝⎛⎭⎫a ＋c a x 2. 又由x ≥－a ，知a ＋c a x ≥－c ＋a>0，所以|F 1P →|＝a ＋c ax.(2)当|PT →|＝0时，点(a,0)和点(－a,0)在轨迹上． 当|PT →|≠0且|TF 2→|≠0时，由PT →·TF 2→＝0，得PT →⊥TF 2→.又|F 1Q|＝2a ，所以|PQ →|＝|PF 2→|，所以T 为线段F 2Q 的中点．在△QF 1F 2中，|OT →|＝12|F 1Q →|＝a ，所以有x 2＋y 2＝a 2.综上所述，点T 横坐标与纵坐标的关系式是x 2＋y 2＝a 2.(3)C 上存在点M(x 0，y 0)使S ＝b 2的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝a 2，①12·2c|y 0|＝b 2，② 由①得|y 0|≤a ，由②得|y 0|＝b 2c .所以，当a ≥b 2c 时，存在点M ，使S ＝b 2；当a<b 2c时，不存在满足条件的点M.当a ≥b 2c 时，MF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，MF 2→＝(c －x 0，－y 0)， 由MF 1→·MF 2→＝x 20－c 2＋y 20＝a 2－c 2＝b 2， MF 1→·MF 2→＝|MF 1→|·|MF 2→|cos ∠F 1MF 2，S ＝12|MF 1→|·|MF 2→|sin ∠F 1MF 2＝b 2，得tan ∠F 1MF 2＝2.。
2012高考数学冲刺圆锥曲线
圆锥曲线方程知识点总结精华考试内容：椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程． 双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质． 抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质． 考试要求：（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． 圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程.1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12222 b a by ax =+. ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12222 b a bx ay =+.②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+.③椭圆的标准参数方程：12222=+by ax 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （一象限θ应是属于20πθ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2b a c c F F -==.⑤准线：c a x 2±=或ca y 2±=.⑥离心率：)10( e ace =.⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a by ax =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a ay bx =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则 由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201 x a ex x ca e pF x ex a ca x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(2222a b c a b d -=和),(2ab c⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF ⇒-=+=0201,ey a PF ey a PF⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c ace -==，方程t t b y a x (2222=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是ace =我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：12222=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan 2θb （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2cot 2θ⋅b .二、双曲线方程.1. 双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-⑴①双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222 b a bx ay b a by ax =-=-. 一般方程：)0(122 AC Cy Ax =+.⑵①i. 焦点在x 轴上：顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程c a x 2±= 渐近线方程：0=±bya x 或02222=-by axii. 焦点在y 轴上：顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：),0(),,0(c c -. 准线方程：ca y 2±=. 渐近线方程：0=±b xa y 或02222=-b x a y ，参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x .②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率a ce =. ④准线距c a 22（两准线的距离）；通径a b 22. ⑤参数关系ace b a c =+=,222. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程12222=-b y a x （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则： aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-aex F M a ex F M +-='--='0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径asin α,)bsin α)N 的轨迹是椭圆aey F M a ey F M aey MF a ey MF -'-='+'-='+=-=02010201 ⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e . ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-by a x .⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλby ax 的渐近线方程为02222=-y ax 如果双曲线的渐近线为0=±b ya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x .例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=且过)21,3(-p 解：令双曲线的方程为：)0(422≠=-λλy x，代入)21,3(-得12822=-y x ⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“∆法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P 在双曲线12222=-b y a x ，则常用结论1：P 到焦点的距离为m = n ，则P 到两准线的距离比为m ︰n.简证：ePF e PF d d 2121= = n m . 常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.三、抛物线方程.3. 设0 p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：注：①x c by ay =++2顶点)244(2aba b ac --.②)0(22≠=p px y 则焦点半径2P x PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2P y PF +=.③通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.④px y 22=（或py x 22=）的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（或⎩⎨⎧==222pt y ptx ）（t 为参数）. 四、圆锥曲线的统一定义..4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹. 当10 e 时，轨迹为椭圆； 当1=e 时，轨迹为抛物线； 当1 e 时，轨迹为双曲线； 当0=e 时，轨迹为圆（ace =，当b a c ==,0时）. 5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质2.等轴双曲线3.共轭双曲线5. 方程y 2=ax 与x 2=ay 的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程.试题精粹江苏省2011年高考数学联考试题 5．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为▲ ．1162522=+y x 或1251622=+y x9．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）已知圆O ：221x y += 与x 轴交于点A 和B ，在线段AB 上取一点(,0)D x ，作DC AB ⊥与圆O 的一个交点为C ，若线段AD 、BD 、CD 可作为一个锐角三角形的三边长，则x 的取值范围为 ▲．(2,2)12．（姜堰二中学情调查（三））已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P 为该椭圆上的动点，C 、D的坐标分别是())0,0，则⋅的最大值为 ．68．（江苏省南通市2011届高三第一次调研测试）双曲线221412x y -=上一点M 到它的右焦点的距离是3，则点M 的横坐标是 ▲ ．523、（南通市六所省重点高中联考试卷）方程 x 2m + y 24－m= 1 的曲线是焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是 ▲ 0<m9、（南通市六所省重点高中联考试卷）已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的中心为O ，右焦点为F 、右顶点为A ，右准线与x 轴的交点为H ，则||||FA OH 的最大值为 ▲ 12、（宿迁市高三12月联考）椭圆()222210x y a a b+=＞b ＞的左焦点为F ，其左准线与x 轴的交点为A ，若在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是 ；[12，1） 1． （无锡市1月期末调研）设双曲线的渐近线方程为230x y ±=，则双曲线的离心率为▲．2或310．（徐州市12月高三调研）已知,,A B F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上、下顶点和右焦点，直线AF 与椭圆的右准线交于点M ，若直线MB ∥x 轴，则该椭圆的离心率e =▲.212．（盐城市第一次调研）在ABC ∆中,60ACB ∠=,sin :sin 8:5A B =,则以,A B 为焦点且过点C 的椭圆的离心率为 ▲ .71310. （苏北四市2011届高三第二次调研）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是 ▲．(18．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）（本小题满分16分）如图，已知椭圆12:22=+y x C 的左、右焦点分别为21,F F ，下顶点为A ，点P 是椭圆上任一点，圆M 是以2PF 为直径的圆．⑴当圆M 的面积为8π，求PA 所在的直线方程； ⑵当圆M 与直线1AF 相切时，求圆M 的方程； ⑶求证：圆M 总与某个定圆相切．解 ⑴易得()0,11-F ，()0,12F ，()1,02-A ，设()11,y x P ，则()()()2121212121222212111-=-+-=+-=x x x y x PF ，∴()22222112≤≤--=x x PF ， (2)又圆M 的面积为8π，∴()21288-=x ππ，解得11=x ， ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,1P 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,1， ∴PA 所在的直线方程为1221-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y 或1221-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y ；…………………………4 ⑵∵直线1AF 的方程为01=++y x ，且⎪⎭⎫⎝⎛+2,2111y x M 到直线1AF 的距离为111422221221x y x -=+++， 化简得1211--=x y ，…………………………6 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1212212111y x x y ，解得01=x 或981-=x ． …………………………8 当01=x 时，可得⎪⎭⎫⎝⎛-21,21M ， ∴ 圆M 的方程为21212122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ；………9 当981-=x 时，可得⎪⎭⎫⎝⎛187,181M ， ∴ 圆M 的方程为16216918718122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ； (10)⑶圆M 始终与以原点为圆心，半径21=r （长半轴）的圆（记作圆O ）相切．证明：∵()()121212121422284141441x x x y x OM +=-++=++=， ……………14 又圆M 的半径1224222x MF r -==，∴21r r OM -=， ∴圆M 总与圆O 内切． …………………………………………16 24．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试） 已知抛物线L 的方程为()022>=p py x ，直线x y =截抛物线L 所得弦24=AB ．⑴求p 的值；⑵抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 解：⑴由⎩⎨⎧==pyx x y 22解得)2,2(),0,0(p p B A∴p p p AB 22442422=+==，∴2=p ………………………………………4 ⑵由⑴得)4,4(),0,0(,42B A y x =假设抛物线L 上存在异于点A 、B 的点C )4,0()4,(2≠≠t t t t ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线令圆的圆心为),(b a N ，则由⎩⎨⎧==NC NA NB NA 得⎪⎩⎪⎨⎧-+-=+-+-=+222222222)4()()4()4(t b t a b a b a b a 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+83248481244222t t b tt a t t tb a b a (6)∵抛物线L 在点C 处的切线斜率)0(2|≠='==t ty k t x 又该切线与NC 垂直， ∴0412212432=--+⇒-=⋅--t t bt a t t a t b ∴08204128324)84(223322=--⇒=--++⋅++-⋅t t t t t t t t t t (8)∵4,0≠≠t t ，∴2-=t故存在点C 且坐标为（-2,1） (10)17．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）(本小题满分14分)已知椭圆2214x y +=的左、右两个顶点分别为A ，B ，直线(22)x t t =-<<与椭圆相交于M ，N 两点，经过三点A ，M ，N 的圆与经过三点B ，M ，N 的圆分别记为圆C 1与圆C 2．(1)求证：无论t 如何变化，圆C 1与圆C 2的圆心距是定值； (2)当t 变化时，求圆C 1与圆C 2的面积的和S 的最小值．17、解：（1）易得A 的坐标)0,2(-,B 的坐标)0,2(，M 的坐标24,(2t t -，N 的坐标)24,(2t t --，线段AM 的中点P 44,22(2t t --，直线AM 的斜率tt t t k +-=+-=222122421 ………………………………………3分 又AM PC ⊥1, ∴直线1PC 的斜率ttk -+-=2222 ∴直线1PC 的方程4422(2222t t x t t y -+---+-=，∴1C 的坐标为)0,863(-t 同理2C 的坐标为)0,863(+t …………………………………………………… 7分 ∴2321=C C ,即无论t 如何变化，为圆C 1与圆C 2的圆心距是定值.…………… 9分（2）圆1C的半径为1AC 8103+=t ，圆2C 的半径为83102tBC -=， 则)1009(3222221+=+=t BC AC S πππ （2-＜t ＜2）显然t 0=时，S 最小，825minπ=S . …………… 14分 18. （常州市2011届高三数学调研）（15） 已知直线l 的方程为2x =-，且直线l 与x 轴交于点M ，圆22:1O x y +=与x 轴交于,A B 两点（如图）．（1）过M 点的直线1l 交圆于P Q 、两点，且圆孤PQ 恰为圆周的14，求直线1l 的方程； （2）求以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰有两个公共点的椭圆方程；（3）过M 点的圆的切线2l 交（II ）中的一个椭圆于C D 、两点，其中C D 、两点在x 轴上方，求线段CD 的长．18、解：（1I ）PQ 为圆周的1,.42POQ π∴∠= O ∴设1l 的方程为21(2),.7y k x k =+=∴= 1l ∴的方程为2).7y x =±+ （2）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，半焦距为c，则22.a c=椭圆与圆O 恰有两个不同的公共点，则1a =或 1.b = 当1a =时，22213,,24c b a c ==-=∴所求椭圆方程为22413y x +=；当1b =时，222222,1, 2.b c c c a b c +=∴=∴=+= ∴所求椭圆方程为22 1.2x y +=（3）设切点为N ，则由题意得，椭圆方程为221,2x y +=在Rt MON ∆中，2,1MO ON ==，则30NMO ∠=，2l ∴的方程为2)y x +，代入椭圆2212x y +=中，整理得25820.x x ++=设1122(,),(,)C x y D x y ，则121282,.55x x x x +=-=CD ∴==18．（姜堰二中学情调查（三））（本小题共16分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．（1）①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ； ②若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=，求椭圆离心 率e 的取值范围；（2）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：2222a b ONOM+为定值．18．解：（Ⅰ）（ⅰ）∵ 圆O 过椭圆的焦点，圆O ：222x y b +=，∴ b c =，∴ 2222b ac c =-=， ∴ 222a c =，∴e =……… 5分 （ⅱ）由90APB ∠=及圆的性质，可得OP =， ∴2222,OP b a =≤∴222a c ≤∴212e ≥，12e ≤<． ……… 10分 （Ⅱ）设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，则011011y y xx x y -=--整理得220011x x y y x y +=+22211x y b += ∴PA 方程为：211x x y y b +=，PB 方程为：222x x y y b +=．∴11x x y y +=22x x y y +，∴021210x y y x x y -=--,直线AB 方程为 ()0110x y y x x y -=--，即 200x x y y b +=． 令0x =，得20b ON y y ==，令0y =，得2b OM x x ==，∴2222222220022442a y b x a b a b a b b bON OM ++===，∴2222a b ON OM+为定值，定值是22a b ……… 16分 19．（姜堰二中学情调查（三））（本小题共16分）已知M （p, q ）为直线x+y-m=0与曲线y=-1x 的交点，且p<q ，若f （x ）=2x-mx 2+1 ，λ、μ为正实数。
(高三一轮复习)圆锥曲线
椭圆标准方程及其性质一、请细读1、已知椭圆2212516x y +=，12,F F 是椭圆的左右焦点，p 是椭圆上一点。
（1）a = ； b = ； c = ； e = ； （2）长轴长= ； 短轴长= ； 焦距= ；12||||PF PF += ; 12F PF ∆的周长= ；12F PF S ∆= = ； 2、已知椭圆方程是192522=+y x 的M 点到椭圆的左焦点为1F 距离为6，则M 点到2F 的距离是3、已知椭圆方程是192522=+y x ，过左焦点为1F 的直线交椭圆于A,B 两点，请问2ABF ∆的 周长是 ；4 ．（2012年高考（上海春））已知椭圆222212:1,:1,124168x y x y C C +=+=则 （ ） A ．顶点相同 B ．长轴长相同. C ．离心率相同. D ．焦距相等. 5、 (2007安徽)椭圆1422=+y x 的离心率为（ ）（A ）23 （B ）43（C ）22（D ）32 6．（2005广东）若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（ ）A ．3B ．23 C ．38D ．327.【2102高考北京】已知椭圆C ：22x a +22y b=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为2，则椭圆C 的方程：8、【2012高考广东】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上，则椭圆1C 的方程；9、【2012高考湖南】在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2+y 2-4x+2=0的圆心，椭圆E 的方程；10．（2004福建理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）（A ）32 （B ）33 （C ）22 （D ）2311．（2006上海理）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2 倍，则该椭圆的标准方程是 ．12、经过)2-,3-(16B A ），，（两点的椭圆方程是 13、动点M 与定点），（04F 的距离和它到定直线425:=x l 的比是常数54，则动点M 的轨迹方程是：14．（2012年高考）椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为（ ）A ．2211612x y += B ．221168x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 15．（2012年高考（四川理））椭圆22143x y +=的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,当FAB ∆的周长最大时,FAB ∆的面积是____________.16．（2012年高考（江西理））椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.17．（2012年高考江苏）在平面直角坐标系xoy 中,椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，,2(0)F c ，.已知(1)e ，和32e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，都在椭圆上,其中e 为椭圆的离心率，则椭圆的方程 ;18．（2012年高考广东理）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :221x y a b+=(0a b >>)的离心率23e =且椭圆C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3，则椭圆C 的方程 ; 19．（2012年高考福建理）椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为1F ,右焦点为2F ,离心率12e =.过1F 的直线交椭圆于,A B 两点,且2ABF ∆的周长为8，椭圆E 的方程 . 20．（2012年高考（北京理））已知曲线C: 22(5)(2)8()m x m y m R -+-=∈，若曲线C 是焦点在x 轴的椭圆,则m 的取值范围是 ;22．（2012年高考（陕西理））已知椭圆221:14x C y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率，则椭圆2C 的方程 ; 23、如果点M ()y x ，在运动过程中，总满足：()()10332222=-++++y x y x试问点M 的轨迹是 ；写出它的方程 。
【考前30天绝密资料】2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之十四(大纲理科专用)
2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之专题(十四)A[第14讲 直线与圆、简单的线性规划](时间：10分钟＋25分钟)2012二轮精品提分必练1．直线3x ＋3y ＋2＝0的倾斜角是( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为( )A ．y ＝－13＋13B ．y ＝－13x ＋1 C ．y ＝3x －3 D ．y ＝13x ＋1 3．函数f (x )＝(x －2010)(x ＋2011)的图象与x 轴、y 轴有三个交点，有一个圆恰好通过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，20102009 C.⎝⎛⎭⎫0，20112010 D.⎝⎛⎭⎫0，12 4．已知圆C 1∶(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝12012二轮精品提分必练1．直线l 1，l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7，则l 2的斜率是( )A.7 B ．－77C.77D ．－7 2．已知等边△ABC 的两个顶点A (0,0)，B (4,0)，且第三个顶点在第四象限，则BC 边所在的直线方程是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－3(x －4)C ．y ＝3(x －4)D ．y ＝3(x ＋4)3. 已知M 1(6,2)和M 2(1,7)，直线y ＝mx －7与线段M 1M 2的交点分有向线段M 1M 2→的比为3∶2，则m 的值为( )A ．－32B ．－23 C.14D ．4 4．已知⊙O 的半径为1，PA ，PB 为其两条切线，A ，B 为两切点，则PA →·PB →的最小值为( )A ．－2B ．2C ．3－2 2D ．22－35．若直线y ＝－x ＋a 与曲线y ＝||1－x 2有三个交点，则a 的取值范围是( )。
圆锥曲线经典性质总结及证明
③当 2a | F1F2 | 时，|| PF1 | | PF2 || 2a 不表示任何图形；④两定点 F1, F2 叫做双曲线的焦点，| F1F2 | 叫做焦距。
（2）双曲线的性质
①范围：从标准方程 x 2 a2
y2 b2
1，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线 x a 的外侧。即 x2
圆锥曲线的方程与性质
1．椭圆
（1）椭圆概念:平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数 2 a （大于| F1F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆。这两
个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点，则有| MF1 | | MF2 | 2a 。
椭圆的标准方程为： x2 a2
y
b 所围成的矩形里；
②对称性：在曲线方程里，若以 y 代替 y 方程不变，所以若点 (x, y) 在曲线上时，点 (x, y) 也在曲线上，所
以曲线关于 x 轴对称，同理，以 x 代替 x 方程不变，则曲线关于 y 轴对称。若同时以 x 代替 x ， y 代替 y 方程
也不变，则曲线关于原点对称。
y2 b2
1（
a
b
0
）（焦点在
x
轴上）或
y a
2 2
x2 b2
1（ a b 0 ）（焦点在 y 轴上）。
注：①以上方程中 a, b 的大小 a b 0 ，其中 b2 a2 c2 ；
②在 x2 a2
y2 b2
1和
y2 a2
x2 b2
1两个方程中都有 a b 0 的条件，要分清焦点的位置，只要看 x2 和
点与曲线的关系：若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0，则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上 f(x0,y 0)=0；点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上 f(x0,y0)≠0。
2012届高考数学二轮复习精品课件(大纲版)专题4 第15讲 圆锥曲线的标准方程与性质
第15讲 │ 主干知识整合 15讲
主干知识整合
1．圆锥曲线的定义 ． 2．圆锥曲线的标准方程 ． (1)椭圆 或双曲线 的标准方程 椭圆(或双曲线 椭圆 或双曲线)的标准方程 求椭圆(或双曲线 标准方程的基本步骤是“三定” 或双曲线)标准方程的基本步骤是 求椭圆 或双曲线 标准方程的基本步骤是“三定”： 定型，即确定它是哪类曲线； ① 定型，即确定它是哪类曲线； 定位，即判断它的焦点在哪条坐标轴上； ②定位，即判断它的焦点在哪条坐标轴上； 定量，即建立关于基本量的方程或方程组， ③定量，即建立关于基本量的方程或方程组，解得基本量 a、b 的值． 、 的值． 另外，求双曲线的方程，要注意条件给出的信息， 另外，求双曲线的方程，要注意条件给出的信息，明确是求整个双曲线的标准 方程还是求双曲线某一支的方程． 方程还是求双曲线某一支的方程． (2)抛物线的标准方程 抛物线的标准方程 一般有两种常见的解题方法： 一般有两种常见的解题方法： 焦点定位法，即由焦点所在的坐标轴确定抛物线的开口方向， ①焦点定位法，即由焦点所在的坐标轴确定抛物线的开口方向，设出抛物线的 方程类型，再由条件求出参数 的大小； 方程类型，再由条件求出参数 p 的大小； 待定系数法， ②待定系数法，即先设出抛物线一般形式的方程 y2＝2λx(λ∈R 且 λ≠0)或 x2＝ ∈ ≠ 或 2λy(λ∈R 且 λ≠0)，然后建立方程求出参数 λ 的值 的值. ∈ ≠ ，
【分析】 画出图形进行分析，先求出两切点坐标，再分别 分析】 画出图形进行分析， 先求出两切点坐标， 求切线与两坐标轴的交点即为椭圆的右焦点和上顶点， 求切线与两坐标轴的交点即为椭圆的右焦点和上顶点，继而可求 出 b 和 c.
第15讲 │ 要点热点探究 15讲
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之专题(十四)
[第14讲 圆锥曲线的标准方程与性质]
(时间：10分钟＋35分钟)
2012二轮精品提分必练
1．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程为( )
A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22 －y 23＝1 D. x 23－y 22
＝1 2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为( ) A.5－12
B.2－1
C.55
D.22 3．椭圆x 249＋y 2
24
＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为 ( )
A ．20
B ．22
C ．24
D ．28
4．设双曲线以椭圆x 225＋y 2
9
＝1的长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( ) A ．2 B.52 C.32 D.62 2012二轮精品提分必练 1．已知F 1，F 2是双曲线x 216－y 29
＝1的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且|PF 2|＝6，点Q (0，m )，|m |≥3，则
P Q →·(PF 1→－PF 2→)的值是( )
A ．40
B ．80
C ．160
D ．与m 的值有关
2．椭圆x 24＋y 2
3
＝1上有n 个不同的点：P 1，P 2，…，P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差不小于1100
的等差数列，则n 的最大值为( ) A ．199 B ．200
C ．198
D ．201
3. 椭圆x 24
＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在椭圆上，MF 1→·MF 2→＝0，则M 到y 轴的距离为( ) A.233 B.263
C.
33
D. 3 4．双曲线mx 2－y 2＝1(m ＞0)的右顶点为A ，若该双曲线右支上存在两点B ，C ，使得△ABC 为等腰直角三角形，则实数m 的值可能为 ( ) A.12
B ．1
C ．2
D ．3
5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 与椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T ，且TF 与x 轴垂直，则椭圆的离心率为________．
6．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 2
16
＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为___________________．
2012二轮精品提分必练
2012二轮精品提分必练
8.已知抛物线y 2＝4x ，过点M (0,2)的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且直线l 与x 轴交于点C .
(1)求证：|MA |、|MC |、|MB |成等比数列；
(2)设MA →＝αAC →，MB →＝βBC →，试问α＋β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请
说明理由．
2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之专题(十四)
【基础演练】
1．B 【解析】 ||PF 1＝2(5)2＋22＝6，|PF 2|＝4，a ＝6－42
＝1，b 2＝c 2－a 2＝4，所以双曲线的方程为x 2
－y 2
4＝1. 2．B 【解析】 显然F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设椭圆的半焦距为c ，则c ＝p 2
，两曲线的一个交点为
A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，即A(c,2c)，设椭圆的左焦点为F ′，则在Rt △AF ′F 中，F ′F ＝2c ，AF ＝2c ，
∴AF ′＝22c.根据椭圆性质有22c ＋2c ＝2a ，∴e ＝22＋22
＝2－1. 3．C 【解析】 设||PF 1＝r 1，||PF 2＝r 2，则r 1＋r 2＝14，r 21＋r 22＝4c 2＝100，故r 1·
r 2＝48，所以S △PF 1F 2＝12r 1·r 2
＝24. 4．B 【解析】 由题意知c ＝5，a 2c ＝4，所以a ＝25，则e ＝c a ＝52
. 【提升训练】
1．B 【解析】设P(x 0，y 0)(y 0＞0)，由焦半径公式得，||PF 2＝ex 0－a ＝6，即54
x 0－4＝6，可求得x 0＝8，代入双曲线方程，得y 0＝33，故PQ →·(PF 1→－PF 2→)＝PQ →·F 2F 1→＝(－8，m －33)(－
10,0)＝80.
2．D 【解析】 由题意知，要使所求的n 最大，应使|P 1F|最小，|P n F|最大．又F 为
椭圆的右焦点，设P n 的横坐标为x n ，故由第二定义可得，|P n F|＝a －ex n ，其中a ＝2，e ＝12
，所以当x 1＝2时， |P 1F|＝1最小，当x n ＝－2时， |P n F|＝3最大．由等差数列的通项公式可
得， |P n F|＝|P 1F|＋(n －1)d ，即n ＝2d ＋1，又因为d ≥1100
，解得n ≤201. 3．B 【解析】 椭圆的焦点坐标是(±3，0)，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，
该圆的方程是x 2＋y 2＝3，即y 2＝3－x 2
，代入椭圆方程得x 24＋3－x 2＝1，解得x 2＝83，即||x ＝263
，亦即点M 到y 轴的距离． 4．A 【解析】 A ⎝⎛⎭⎫1m ，0，由对称性可设B ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0－1m ，C ⎝⎛⎭⎫x 0，－x 0＋1m . 把B ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0－1m 代入双曲线方程得(m －1)x 20＋2x 0m
－m ＋1m ＝0， 显然m ＝1时，x 0＝1，不满足△ABC 为等腰直角三角形这一条件，B 项错误； 当m ＝2时，x 0＝22
＜1，不满足△ABC 为等腰直角三角形这一条件，C 项错误； 当m ＝3时，x 0＝
33＜1，不满足△ABC 为等腰直角三角形这一条件，D 项错误，综上，实数m 的可能值为12
. 5.2－1 【解析】 依题意c ＝p 2，b 2
a
＝p ，∴b 2＝2ac ，∴c 2＋2ac －a 2＝0，∴e 2＋2e －1＝0，解得e ＝2－1.
6．15 【解析】 |PF 1|＋| PF 2|＝10，|PF 1|＝10－| PF 2|，|PM|＋|PF 1|＝10＋|PM|－| PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于P 点，此时|PM|－| PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM|＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋(6－3)2＋42＝15.
7．【解答】 (1)∵|BC →|＝2|AC →|且BC 过(0,0)，则|OC →|＝|AC →|，又∵AC →·BC →＝0，∴∠OCA
＝90°，即C(3，3)．又∵a ＝23，设椭圆方程为x 212＋y 212－c 2＝1，将C 点坐标代入得312
＋312－c 2
＝1，解得c 2＝8，b 2＝4.∴椭圆的方程为：x 212＋y 24＝1. (2)由条件知D(0，－2)，
当k ＝0时，显然－2＜t ＜2，当k ≠0时，设l ：y ＝kx ＋t ， ⎩⎪⎨⎪⎧ x 212＋y 24＝1，y ＝kx ＋t ，
消y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－12＝0， 由Δ＞0，可得t 2＜4＋12k 2，①
设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，PQ 的中点H(x 0，y 0)，
则x 0＝x 1＋x 22＝－3kt 1＋3k 2，y 0＝kx 0＋t ＝t 1＋3k 2
， ∴H ⎝⎛⎭
⎫－3kt 1＋3k 2，t 1＋3k 2. 由|DP →|＝|DQ →|，∴DH ⊥PQ ，即k DH ＝－1k
. ∴t 1＋3k 2＋2－3kt 1＋3k 2－0＝－1k ，化简得t ＝1＋3k 2，② ∴t ＞1，将②代入①得1＜t ＜4，∴实数t 的取值范围是(1,4)． 综上t ∈(－2,4)．
8．【解答】 (1)证明：设直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k ≠0)，
联立方程⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋2，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(4k －4)x ＋4＝0，① 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C ⎝⎛⎭⎫－2k ，0，则x 1＋x 2＝－4k －4k 2， x 1·x 2＝4k 2.② |MA|·|MB|＝1＋k 2|x 1－0|1＋k 2
·|x 2－0|＝4(1＋k 2)k 2， 2012二轮精品提分必练。