求圆锥曲线的标准方程
求圆锥曲线的标准方程
1.求满足下列条件的椭圆的标准方程．
⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；
(2) 焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P(0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.
(3)长为12，离心率为，焦点在x 轴上的椭圆；
(4)两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,25）； (5)焦点在x 轴上，且经过点(2，0)和点(0，1)；
(6)经过两点（)5,3()2
5,23与-. 2．求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)抛物线的焦点是双曲线
的左顶点；
(2)过点()6,6M -；
(3)焦点F 在直线:3260l x y --=上． 3.求满足下列条件的双曲线的标准方程:
(1)3=a ,b=4 ,焦点在x 轴上
(2)焦点坐标为（0,10），（0，-10），双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是16
(3)焦点为（0，-5），（0，5）经过点（253,
2） (4)经过点M (3,2)、N (－2，－1)，
(5)以椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍;
求圆锥曲线方程
微专题71 求曲线（或直线）的方程 一、基础知识： 1、求曲线（或直线）方程的思考方向大体有两种，一个方向是题目中含几何意义的条件较多（例如斜率，焦距，半轴长，半径等），那么可以考虑利用几何意义求出曲线方程中的要素的值，从而按定义确定方程；另一个方向是若题目中没有明显的几何条件，主要依靠代数运算，那么就考虑先用待定系数法设出方程（未知的部分用字母代替），从而该方程便可参与题目中的运算，再利用题目条件求出参数的值，即可确定方程。可以说两个方向各有侧重，一个倾向于几何意义，另一个倾向于代数运算，下面将对两个方向涉及到的知识进行详细梳理 2、所学方程中字母的几何意义 （1）直线：：斜率；()00,x y ：直线所过的定点 （2）圆：(),a b :圆心的坐标； :r 圆的半径 （3）椭圆：2a ：长轴长，焦半径的和；2:b 短轴长；2c ：焦距 （4）双曲线：2a ：实轴长，焦半径差的绝对值；2:b 虚轴长；2c ：焦距 注：在椭圆和双曲线中，很多几何性质也围绕着,,a b c 展开，通过这些条件也可以求出,,a b c 的值，从而确定曲线方程。例如（椭圆与双曲线共有的）： 离心率：c e a =；通径（焦点弦长的最小值）：22b a 等 （5）抛物线：:p 焦准距 3、待定系数法中方程的形式： （1）直线与曲线方程通式： ① 直线：y kx m =+，x my t =+ ② 圆：2 2 0x y Dx Ey F ++++= ③ 椭圆： 标准方程：()222210x y a b a b +=>>（或()22 2210y x a b a b +=>>，视焦点所在轴来决定） 椭圆方程通式：()2 2 10,0mx ny m n +=>> ④ 双曲线：
2.3.1圆锥曲线的参数方程教案新人教版选修4_4
第三课时 圆锥曲线的参数方程 一、教学目标： 知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 (1)圆2 2 2 r y x =+参数方程? ? ?==θθ sin cos r y r x （θ为参数） （2）圆2 2020)\()(r y y x x =+-参数方程为：?? ?+=+=θ θ sin cos 00r y y r x x （θ为参数） 2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。 3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？ （二）、讲解新课： 1.椭圆的参数方程推导：椭圆122 22=+b y a x 参数方程 ???==θ θsin cos b y a x （θ为参数）,参 数θ的几何意义是以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角。 2.双曲线的参数方程的推导：双曲线122 22=-b y a x 参数方程 ???==θ θtan sec b y a x （θ为参数）
参数θ几何意义为以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角。 3.抛物线的参数方程：抛物线Px y 22 =参数方程???==Pt y Pt x 222 （t 为参数）,t 为以抛物 线上一点（X,Y ）与其顶点连线斜率的倒数。 （1）、关于参数几点说明： A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。 B.同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 C.在实际问题中要确定参数的取值范围 (2)、参数方程的意义： 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标。 （3）、参数方程求法：（A ）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x ；（B ）选取适当的参数；（C ）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式；（D ）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 (4)、关于参数方程中参数的选取：选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间t 做参数；与旋转的有关问题选取角θ做参数；或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。 4、椭圆的参数方程常见形式：（1）、椭圆12222=+b y a x 参数方程 ???==θ θsin cos b y a x （θ为
圆锥曲线 求点的轨迹方程
求点的轨迹问题 一、基础知识： 1、求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系 （2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 2、求点轨迹方程的方法 （1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可 （2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程 （3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程。常见的曲线特征及要素有： ① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹 直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上 确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r ② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹 确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c ③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹 注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支 确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c ④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹 确定方程的要素：焦准距：p 。若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程 （4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y 与
圆锥曲线的定义方程和性质知识点总结
椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<
高考圆锥曲线解题技巧和方法综合
圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为 ， ，代入方程，然 后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题 给定双曲线。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点 及 ，求线段 的中点 P 的轨迹方程。 （2 构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 ，为焦点，，。 （1 （2）求 的最值。 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。 典型例题 （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。 （4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。
完整的圆锥曲线轨迹方程求法
圆锥曲线轨迹方程的解法 目录 一题多解 (2) 一．直接法 (3) 二. 相关点法 (6) 三. 几何法 (10) 四. 参数法 (12) 五. 交轨法 (14) 六. 定义法 (16)
一题多解 设圆C ：（x －1）2+y 2=1，过原点O 作圆的任意弦OQ ，求所对弦的中点P 的轨迹方程。 一．直接法 设P （x,y ），OQ 是圆C 的一条弦，P 是OQ 的中点，则CP ⊥OQ ，x ≠0,设 OC 中点为M （0,21），则|MP |=21|OC |=21，得（x －21）2+y 2=41 (x ≠0)，即点P 的 轨迹方程是（x －21）2+y 2=41 (0＜x ≤1)。 二．定义法 ⊥⊥OPC =90°，⊥动点P 在以M （0,2 1 ）为圆心，OC 为直径的圆（除去原点 O ）上，|OC |=1，故P 点的轨迹方程为（x －21）2+y 2=41 (0＜x ≤1) 三．相关点法 设P （x,y ）,Q (x 1,y 1)，其中x 1≠0, ⊥x 1=2x,y 1=2y ,而（x 1－1）2+y 2=1 ⊥(2x －1)2+2y 2=1,又x 1≠0, ⊥x ≠0,即（x －21）2+y 2=41 (0＜x ≤1） 四．参数法 ①设动弦PQ 的方程为y=kx ,代入圆的方程（x －1）2+kx 2=1， 即（1+k 2）x 2－2x =0,⊥.12 221k x x +=+ 设点P （x,y ），则2 2211],1,0(112k k kx y k x x x +==∈+=+= 消去k 得（x － 21）2+y 2=4 1 (0＜x ≤1） ②另解 设Q 点（1+cos θ,sin θ），其中cos θ≠－1,P (x,y )， 则,2sin ],1,0(2cos 1θθ=∈+= y x 消去θ得（x －21）2+y 2=4 1 (0＜x ≤1）
圆锥曲线标准方程求法(学生版)
圆锥曲线标准方程求法 一、椭圆标准方程求法 1、定义法 【例1】已知ABC ?的周长是18，)0,4(),0,4(B A -，求点C 的轨迹方程。 【变式】：在周长为定值的△ABC 中,已知|AB|=6,且当顶点C 位于定点P 时,cosC 有最小值为25 7.建立适当的坐标系,求顶点C 的轨迹方程. 【例2】已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为()0,1，点??? ? ??26,23M 在椭圆上，求椭圆C 的方程； 【例3】已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0)F ．动圆M 过点F 2，且与圆F 1相内切．求点M 的轨迹C 的方程. 【例4】设R y x ,,,∈为直角坐标系内y x ,轴正方向的单位向量， ,)2(j y i x a ++=j y i x b )2(-+=，且8||||=+．求点),(y x M 的轨迹C 的方程； 2、待定系数法 1.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 2 ，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，椭圆G 的方程．
2．已知椭圆1C ：22 221(0)y x a b a b +=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1．求椭圆1C 的方程． 3.已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．求椭圆C 的方程． 4.设椭圆:E 22 221x y a b +=（,0a b >>）过2)M ，(6,1)N 两点，O 为坐标原点，求椭圆E 的方程。 3、转化已知条件 【例1】已知点,A B 的坐标分别是(0,1)-,(0,1),直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为12- .求点M 轨迹C 的方程; 【例2】设Q 、G 分别为ABC ?的外心和重心,已知)0,1(-A ,)0,1(B ,AB QG //?求点C 的轨迹E 【例3】已知动点P 到直线33 4- =x 的距离是到定点(0,3-)的距离的332倍.求动点P 的轨迹方程;
圆锥曲线轨迹方程经典例题
轨迹方程经典例题 一、轨迹为圆： 1、 长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程： 已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为 2 1 ，求点M 的轨迹方程; 2、 线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。 （2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。 （1）求圆心的P 的轨迹方程； （2）若P 点到直线x y =的距离为 2 2 ，求圆P 的方程。 3如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 4在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 5（2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. （1） 求动圆圆心的轨迹C 的方程； （2） 已知点)0,1(-B ，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点Q P ,，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明 直线l 过定点。 二、椭圆类型： 3、 定义法：点M(x ,y )与定点F(2，0)的距离和它到定直线8=x 的距离之比为2 1 ，求点M 的轨迹方程.
微专题19圆锥曲线的标准方程的求法答案
微专题19 1．答案：x 2＝2y . 解析：假设抛物线标准方程x 2＝2py (p ＞0)，因为准线方程y ＝－12＝－p 2 ，所以p ＝1，抛物线标准方程为x 2＝2y . 2．答案：x 28－y 28 ＝1. 解析：因为e ＝c a ＝2，又b a ＝4c ，所以b ＝22，a ＝22，所以双曲线的E 的标准方程为x 28－y 28 ＝1. 3．答案：x 24＋y 22 ＝1. 解析：由c a ＝22，2a 2c ＝42解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 2.所以椭圆的方程为x 24＋y 2 2＝1. 4．答案：y ＝±2x . 解析：因为m ＋4m ＝3，得出m ＝2，所以渐近线方程为x 22－y 2 4 ＝0，所以y ＝±2x . 5．答案：x 216＋y 2 8 ＝1. 解析：由???c a ＝22，c ＋a 2 c ＝62，解得???a ＝4，c ＝22 则b ＝22，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1. 6．答案：x 2－y 2 3 ＝1. 解析：因为c a ＝2，不妨设焦点为(c ，0)，渐近线为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，所以bc b 2＋a 2＝b ＝3，c 2＝4a 2＝a 2＋b 2，所以 a 2＝1，双曲线C 的标准方程为x 2－y 23 ＝1. 7．答案：x 24＋y 2 4 3 ＝1. 解析：因为a ＝2，由|OC →－OB →|＝ 2|BC →－BA →|，得|BC →|＝2|AC →|，所以|OC →|＝|AC →|，又由AC →·BC →＝0，所以|OC →|＝|AC →|＝2，则点C (1，－1)代入椭圆E ，得b 2＝43，所以椭圆E ：x 24＋y 2 4 3＝1.
圆锥曲线轨迹方程经典例题
轨迹方程经典例题 一、轨迹为圆的例题： 1、 必修2课本P 124B 组2：长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程： 必修2课本P 124B 组：已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为 2 1 ，求点M 的轨迹方程;（一般地：必修2课本P 144B 组2：已知点M(x ,y )与两个定点21,M M 的距离之比为一个常数m ；讨论点M(x ,y )的轨迹方程（分m =1，与m ≠1进行讨论） 2、 必修2课本P 122例5：线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆 1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。 （2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。 （1）求圆心的P 的轨迹方程； （2）若P 点到直线x y =的距离为 2 2 ，求圆P 的方程。 如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1= 2 ,241+= +y y x ,代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得24 4)2()24( 22+? -++x y x －10=0整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. 在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． （2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.
圆锥曲线的经典求法-设而不求
圆锥曲线 设而不求法典型试题 在求解直线与圆锥曲线相交问题，特别是涉及到相交弦问题,最值问题,定值问题的时候，采用“设点代入”(即“设而不求”)法可以避免求交点坐标所带来的繁琐计算，同时还要与韦达定理,中点公式结合起来,使得对问题的处理变得简单而自然,因而在 做圆锥曲线题时注意多加训练与积累. 1.通常情况下如果只有一条直线，设斜率相对容易想一些，或 者多条直线但是直线斜率之间存在垂直，互为相反数之类也可以设斜率需要注意的是设斜率的时候需要考虑： （1）斜率是否存在 （2）直线与曲线必须有交点也就是判别式必须大于等于0 这种设斜率最后利用韦达定理来计算并且最终消参法，思路清晰，计算量大，特别需要仔细，但是大多也是可以消去高次项，故不要怕大胆计算，最终一定能得到所需要的结果。 2.设点比较难思考在于参数多，计算起来容易信心不足，但是在对于定点定值问题上，只要按题目要求计算，将相应的参数互
带，，然后把点的坐标带入曲线方程最终必定能约分，消去参数。这种方法灵活性强，思考难度大，但是计算简单。 例1：已知双曲线x2-y2/2=1，过点M(1,1)作直线L，使L与已知双曲线交于Q1、Q2两点，且点M是线段Q1Q2的中点，问：这样的直线是否存在？若存在，求出L的方程；若不存在，说明理由。 解：假设存在满足题意的直线L，设Q1(X1,Y1)，Q2(X2,Y2) 代人已知双曲线的方程，得x12-y12/2=1 ①， x22-y22/2=1 ② ②-①，得(x 2-x 1 )(x 2 +x 1 )-(y 2 -y 1 )(y 2 +y 1 )/2=0。 当x1=x2时，直线L的方程为x=1，此时L与双曲线只有一个交点(1,0)不满足题意； 当x1≠x2时，有(y2-y1)/(x2-x1)=2(x2+x1)/(y2+y1)=2. 故直线L的方程为y-1=2(x-1) 检验：由y-1=2(x-1)，x2-y2/2=1，得2x2-4x+3=0,其判别式 ⊿=-8 ﹤0，此时L与双曲线无交点。 综上，不存在满足题意的直线
圆锥曲线的参数方程练习题(带答案)
圆锥曲线的参数方程练习题 1、若点()3,P m 在以点F 为焦点的抛物线2 4{4x t y t == (t 为参数)上,则PF 等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解析：抛物线为24y x =,准线为1x =-, PF 为()3,P m 到准线1x =-的距离,即为4. 故选C. 2、参数方程sin cos , {1sin 2x y θθθ=+=+ (θ为参数)所表示的曲线为( ) A.圆的一部分 B.抛物线的一部分 C.双曲线的一部分 D.椭圆的一部分 答案：B 解析：参数方程sin cos , {1sin 2x y θθθ=+=+ (θ为参数),化为普通方程为2(02)x y y =≤≤, 表示抛物线的一部分. 3、椭圆5cos ,{3sin x y ?? == (?为参数)的焦点坐标为( ) A.(5,0)± B.(4,0)± C.(3,0)± D.(0,4)± 答案：B 解析：椭圆5cos ,{3sin x y ?? == (?为参数)的普通方程为22 1259x y +=,故4c =. 又椭圆焦点在x 轴上,故焦点坐标为(4,0)±.
4、已知过曲线3cos ,{ 4sin x y θθ== (θ为参数,0θπ≤≤)上一点P 和原点O 的连线PO 的倾斜角为4 π,则P 点的坐标是( ) A.(3,4) B.1212,55??- ??? C.? D.1212,55?? ??? 答案：D 解析：直线PO 的方程是y x =,又点P 为曲线3cos ,{ 4sin x y θθ==上一点,故3cos 4sin θθ=,即3tan 4θ=,因为倾斜角为4 π,0θπ≤≤,所以曲线与直线的交点在第一象限,故3sin 5θ=,4cos 5θ=,所以125 x y ==. 5、已知O 为原点,P 为椭圆4cos ,{ x y αα== (α为参数)上第一象限内一点,OP 的倾斜角为3 π,则点P 坐标为( ) A.()2,3 B.()4,3 C.( D.( ,55 答案：D 解析：椭圆4cos , {x y αα== (α为参数)化为普通方程,得22 11612x y +=.由题意可得直线OP 的方程为y = (0x >). 由22(0), {11612y x x y =>+= 解得x y ==∴点P 的坐标为()55 .故选D. 6、参数方程cos 2sin x y θθ=??=? (θ为参数)化为普通方程为( ) A.22 14y x += B.2212y x += C.2214x y += D.2 212x y +=
圆锥曲线轨迹方程问题
圆锥曲线轨迹方程问题 纵观近几年高考轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高， 主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度.有的学生看到就头疼的题目. 分析原因除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没 有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理。圆锥曲线问题是 ft东卷高 考压轴大题，解题的关键往往是第一问能否求出轨迹方程。 圆锥曲线问题轨迹方程，解答题中以待定系数法为多，一旦变换考法，往往会造成学生 心理负担，为了更好的解决这一问题，本专题针对轨迹方程的常见考法做出了系统总结。 一、考法解法 命题特点分析 求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其 实质就是利用题设中的已知条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系问题，解决这类 问题不但对圆锥曲线的定义、性质等基础知识要熟练掌握，还要利用各种数学思想方法，同 时具备一定的推理能力和运算能力。 高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法.“轨迹”、“方程”要区分求轨 迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型 （定形、定位、定量）.处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累.所以在处 理轨迹问题时，一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法，确定轨迹的范围是处理轨迹问 题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：①准确理 解题意，挖掘隐含条件；②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要 等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”。在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；② 简化条件式； ③转化化归。 解题方法荟萃
圆锥曲线定义、标准方程及性质(精)
圆锥曲线定义、标准方程及性质 一．椭圆 定义Ⅰ：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为常数）则P 点的轨迹是椭圆。 定义Ⅱ：若F 1为定点，l 为定直线，动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e （0
圆锥曲线之轨迹方程的求法
圆锥曲线之轨迹方程的求法（一） （制卷：周芳明） 【复习目标】 □1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤； □2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。 【基础练习】 1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( ) A ．y x = B ．||y x = C ．22y x = D ．220x y += 2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．两条射线 D ．以上都不对 3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a +=+>，则点P 的轨迹( ) A ．椭圆 B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段 4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________. 【例题精选】 一、直接法求曲线方程 根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。 例1．已知ABC ?中，2,AB BC m AC ==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形. 练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。点P 的轨迹是什么曲线？
二定义法 若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。 例1．⊙C ：22(3)16x y ++=内部一点(3,0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程. 例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12 。记点P 的轨迹为 曲线C 求点P 的轨迹方程； 练习．若动圆与圆1)2(:2 21=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方程是 . 三代入法 有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法。这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查。 例1、已知定点A ( 3, 0 )，P 是圆x 2 + y 2 = 1上的动点，∠AOP 的平分线交AP 于M ， 求M 点的轨迹。
曲线方程及圆锥曲线的综合问题
普通高中课程标准实验教科书一数学［人教版］ 高三新数学第一轮复习教案(讲座35)—曲线方程及圆锥曲线的综 合问题 一.课标要求： 1 ?由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练； 2?通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想； 3.了解圆锥曲线的简单应用。 二.命题走向 近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考 察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线 在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2007年高考对本讲的考察，仍将以以下 三类题型为主。 1.求曲线(或轨迹)的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力； 2?与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。 预测07年高考： 1.出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题； 2?可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问。 .要点精讲 1.曲线方程 (1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下: 这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化” (2)求曲线方程的常见方法： 直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。 转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动
点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。 几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。 参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y 联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。 2 ?圆锥曲线综合问题 (1)圆锥曲线中的最值问题、范围问题 通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的 最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等 式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。 圆锥曲线的弦长求法： 设圆锥曲线C： f(x, y)=0与直线I ：y=kx+b相交于A(x1, y1)、B(x2, y2)两点，则弦 长| AB|为： (1) 1 AB|= Jl + k" ■ |至］一葢jL + k? * J(签i+窿］)】_4耳］嘉 或|AB|二J1 +存I珀-讣J1 +占》丁⑦+力尸-细诙. 若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|. 在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出 相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x, y)的取值范围。 (2)对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。 (3)实际应用题 数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆 锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。 涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转 化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是： 建立坐标系 (4)知识交汇题 圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强 区分度的综合题。 四.典例解析 题型1 :求轨迹方程 例1. (1) 一动圆与圆x2 y2 6x 5 0外切，同时与圆x2 y2 6x 91 0内切,求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
圆锥曲线中轨迹方程的求法
圆锥曲线中轨迹方程的求法 临沂——李宝峰 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点. 一：直接法： 是求轨迹方程最基本的方法，如果动点P 满足的等量关系易于建立，可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，构成F （x ，y ）=0，即可得到轨迹方程。一般有设点，列式，代换，化简，证明（可省略）五个步骤。但要注意“挖”与“补”。 直接根据等量关系式建立方程. 例1已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA PB x = ·，则点P 的轨迹是（） Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线 解析：由题知(2)PA x y =--- ，，(3)PB x y =-- ，， 由2PA PB x = ·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+， P ∴点轨迹为抛物线．故选Ｄ． 例1：两个定点的距离为6，点M 到两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹。 分析：根据题意建立合适的坐标系，列出等量关系即可。 二：定义法（待定系数法）:适用于根据条件可直接判断轨迹是什么曲线，且知道其方程形式的情形（如圆、椭圆、双曲线、抛物线），运用解析几何中定义,则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 ，例2在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有2 39263 BM CM +=?=． M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆， 其中1213c a ==， ．5b ∴． ∴所求ABC △的重心的轨迹方程为22 1(0)16925 x y y +=≠． 注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性. 例2：已知:⊙c 1（x+3）2+y 2=1和⊙c 2（x-3）2+y 2=9,动圆M 与⊙c 1,⊙c 2相外切，求动圆 圆心M 的轨迹方程。 三：相关点法（代入法）：若所求动点随另一动点（称为相关点，该点坐标满足某已知曲线方程）有规律运动，根据条件找出它们坐标间的关系，用动点坐标表示相关点坐标，由相关点坐标满足的方程可求得动点轨迹方程。本法关键找出动点与相关点间的坐标关系。 即设出
高考数学知识点之圆锥曲线方程
高考数学知识点之圆锥曲线方程 考试内容： 椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程． 双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质． 抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质． 考试要求： （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． §08. 圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义： 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212 1 21212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程： i. 中心在原点，焦点在x 轴上： ) 0(12 22 2 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在 y 轴上： )0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程： ) 0,0(12 2 B A By Ax =+.③椭圆的标准参数方程： 1 2 22 2=+ b y a x 的参数方程为 ?? ?==θ θs in cos b y a x （一象限θ应是属于2 0π θ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2 2 21,2b a c c F F -==.⑤准线：c a x 2 ± =或 c a y 2 ± =.⑥ 离心率：)10( e a c e = .⑦ 焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2 b a b y a x =+ 上的一点，2 1,F F 为左、右焦点，则 由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设),(00y x P 为椭圆 ) 0(12 22 2 b a a y b x =+ 上的一点，21,F F 为上、下焦点，则 由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知： )0()( ),0()(0002 2 002 01 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+ =归结起来为 “左加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：) , (22 2 2a b c a b d -=和) , (2 a b c ? -=+=02 01,ex a PF ex a PF ? -=+=02 01,ey a PF ey a PF
专题-圆锥曲线与方程(教师)
专题-圆锥曲线与方程 抓住3个高考重点 重点1 椭圆及其性质 1．椭圆的定义：椭圆的第一定义：对椭圆上任意一点M 都有1212||||2||2MF MF a F F c +=>= 椭圆的第二定义：对椭圆上任意一点M 都有 || ,(01)MF e e d =<< 2．求椭圆的标准方程的方法 （1）定义法：根据椭圆定义，确定2 2 ,a b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆的标准方程． （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出2 2 ,a b ，从而写出椭圆的标准方程． 3．求椭圆的标准方程需要注意以下几点？ （1）如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为2 2 1(0,0,)Ax By A B A B +=>>≠或22 221x y m n += （2）与椭圆2222 221()x y m n m n +=≠共焦点的椭圆方程可设为22222 21(,)x y k m k n m k n k +=>->-++ （3）与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆方程可设为22 122x y k a b +=（10k >，焦点在x 轴上）或 22 222 y x k a b +=（20k >，焦点在y 轴上） 4．椭圆的几何性质的应用策略 （1）与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形：若涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量，则要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的联系，求解自然就不难了． （2）椭圆的离心率2 21c b e a a ==-当e 越接近于1时，椭圆越扁，当e 越接近于0时， 椭圆越接近于圆， 求椭圆的标准方程需要两个条件，而求椭圆的离心率只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次方程，再结合2 2 2 a b c =+即可求出椭圆的离心率 [高考常考角度] 角度1若椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点)2 1,1(作圆12 2=+y x 的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好 经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 14 52 2=+y x . 解析:方法一：设过点)21,1(的直线方程为：当斜率存在时，1 (1)2 y k x =-+，即22120kx y k -+-=