南昌市高中数学竞赛试题及答案

南昌市高中数学竞赛试题及答案
一、填空题（共8题，每题10分，合计80分）
1、十二个互不相同的正整数之和为2010，则这些正整数的最大公约数的最大值是 ． 答案：15．
解：设最大公约数为d ，12个数分别为1212,,,a d a d a d ，其中1212(,,,)1a a a =，
记12
1
i
i S a
==
∑，则2010Sd =，欲使d 最大，当使S 取最小，由于1212,,,a a a 互异，则
121278S ≥+++=，因2010S ，但201023567=⨯⨯⨯，其大于67的最小正因数是
267134⨯=，所以15d ≤，且15d =可以取到，只需令121112(,,
,,)(1,2,
,11,68)
a a a a =即可．
2
、函数2()f x ax =0a ≠）
，若(f f =a = ．
答案：
2
.
解：由(
2
2
a a =
(2
20a a =
，所以2
a =
3
、设(n a n n =+⋅，则2n a n ⎡⎤
=⎢⎥⎣
⎦
．
答案：1n +
解：因12k k <<+，所以11
1
()2n n
n k k k a k ==<<+∑∑，即(1)(2)22n n n n n a ++<<，
所以21n a n n ⎡⎤
=+⎢
⎥⎣⎦
． 4、设{}2,4,7,8,13,15A =.如果非空集合M 满足M 的各元素加4后成为A 的一个子集，
M 的各元素减4后也成为A 的一个子集，则M= ． 答案：{}11M =
解：取{}
{}14,2,0,3,4,9,11A x x a a A ==-∈=-，
{}{}24,6,10,11,12,17,19A x x a a A ==+∈=，
{}1211M A A ⊆⋂=，因M 非空，{}11M =.
5、若[0,)x π∈，则函数sin cos 1sin cos x x
y x x
=
++的值域是 ．
答案：11,
2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
解：令sin cos t x x =+，则21
sin cos 2
t x x -=，于是12t y -=，又)4t x π=+，因
5
4
4
4x π
π
π≤+
<
，则]sin()(42
x π+∈-，即(1,t ∈-，因此12
(1,]y ∈-．
6、设函数():f x R R →，且满足对任意的,x y R ∈,
()()(23)3()3()6.f x f y f xy f x y f x x =+++-+则()f x =_____________________.
答案：()23f x x =+
解：交换,x y 得3()63()6f x x f y y -+=-+，故()2f x x -为常数.
设()2f x x a =+，由(2)(2)2(23)3(22)3(2)6x a y a xy a x y a x a x ++=+++++-++，
得2
2()(3)6(3)(2)x y a a a a a +-=--=-+，即(3)(1)02
a
a x y -++
+=，上式对任何实数,x y 皆成立.故3a =，则()23f x x =+.
7、数列{}n a 满足：2111,n n a a a n +=+=-，则15a = ．
答案：104-.
解:条件2
1n n a a n ++=-可改写为221(1)1()()02222
n n n n n n a a ++++
-++-=,若令 222n n n n
b a =+-,则11b =,且1n n b b +=-,所以2121,1k k b b -==-,1,2,
k =,于是
151b =,即有2
151515110422
a =+-
=-． 8、如果四位数n 的四个数位中至多含有两个不同的数码，则称n 为“简单四位数”；例如
5555和3313等等，那么，简单四位数的个数是 ． 答案：576．
解：如果四位数的四个数码都相同，则这种四位数有9个；
如果四位数的四个数码有两个值，首位数{1,2,
,9}a ∈有9种取法，当首位数a 填好后，
再任取{0,1,2,,9}b ∈，且b a ≠，选取b 的方法有9种；后三个数位中，每一位置都可
填a 或b ，但是不能后三位全填a ，有3
217-=种填法，即四个数码有两个值的情况有
997567⨯⨯=种；
因此简单四位数共有9567576+=个． 二、解答题（共3题，合计44分）
9、（20分）M 是正三角形123A A A 的中心，N 是其所在平面上的任意一点，以MN
为直径的圆分别交直线i MA 于i B ，1,2,3i =；
证明：222222123123
MB MB MB NB NB NB ++=++．
证：由123,,,,M B B N B 五点共圆，013120B MB ∠=，可知012360B B B ∠=，
0132121260B B B B MB A MB ∠=∠=∠=，所以123B B B ∆为正三角形；设其边长为a ，
先证引理：P 是正三角形ABC ∆外接圆上的任一点，则
222PA PB PC ++为定值.
事实上，设ABC ∆的边长为a ，,,PA x PB y PC z ===，则有
x y z =+，因此
222222()x y z y z y z ++=+++222()y z yz =++2222BC a ==，故引理成立.
由引理立得，2222222
123123
2MB MB MB a NB NB NB ++==++. 10、（25分）设0,1,2,,i x i n ≥=，约定11n x x +=，证明：
1
n
k =≥
证：因0,1,2,
,i x i n ≥=，令2tan ,[0,
),1,2,
,2
k k k x k n π
θθ=∈=约定11n θθ+=，
=
≥
22=
A 3
P
C
B
A
所以
221
n
n k k === 11、（25分）一次足球邀请赛共安排了n 支球队参加，每支球队预定的比赛场数分别是
12,,,n m m m ，如果任两支球队之间至多安排了一场比赛，则称12(,,,)n m m m 是一个有
效安排；证明：如果12(,,,)n m m m 是一个有效安排，且12n m m m ≥≥≥，则可取掉一
支球队，并重新调整各队之间的对局情况，使得112312(1,1,,1,,
,)m m n m m m m m ++---也
是一个有效安排．
证：设预定比赛i m 场的队为i A ，1,2,
,i n =；
（0
1）、如果1A 的1m 场比赛，其对手恰好就是1231,,
,m A A A +，那么，直接去掉1A （当
然1A 所参与的所有比赛也就被取消了），则剩下的队23,,,n A A A 之间的比赛，以
112312(1,1,
,1,,
,)m m n m m m m m ++---为有效安排．
（0
2）、如果球队23,,,n A A A 中，
有些队并未安排与1A 比赛，设在1231,,,m A A A +中，自左至右，第一个未安排与1A 比赛的队是j A ，由于1A 要赛1m 场，那么在1231
,,,m A A A +之外必有一个队安排了与1A 比赛，设为1,(1)k A m k n +<≤，
由于j k m m >，故必有一个队s A ，它被安排了与j A 比赛而未安排与k A 比赛，如图所示． 今对原安排作如下调整：
取消1,k A A 两队间、,j s A A 两队间的比赛， 改为1,j A A 两队间，,s k A A 两队间进行比赛， 其它比赛安排不变；
经过这一次调整之后，所有球队的比赛场数不变，且是一个有效安排．而第一个不与1A 比赛的队的序号，至少后移了一个位置；故经有限次这样的调整之后，就化成了情形（0
1），因此结论得证．
s
j k
1
j
s k。