统计计算

v 三、正态分布随机数的产生
正态分布是最重要，最常用的一种概 率分布。正态随机数还可以用来产生其 他分布的随机数。 取随机数 r1 , r2 当 U ~ N (0,1) 时，
X U ~ N ( , )
2
所以只需介绍产生标准正态随机数的方法。
例如：某随机数表第一行数字为7634258910…，要想得 到三位有效数字的随机数依次为：0.763，0.425，0.891
物理方法
基本原理：利用某些物理现象，在计算机 上增加些特殊设备，可以在计算机上直接 产生随机数。 缺点：无法重复实现 费用昂贵
计算机方法
在计算机上产生随机数最实用、最常见的方 法是数学方法，即用如下递推公式： n1 T (n ) 产生随机数序列，对于给定的初始值 n ，确 定 n 1 ，n=1,2… 存在的问题：1，不满足相互独立的要求 2，不可避免的出现重复问题 所以成为伪随机数 问题的解决：选取好的递推公式
1.针对实际问题建立一个简单且便于实现的概率统计模 型，使所求的量（或解）恰好是该模型某个指标的概率 分布或者数字特征。 2.对模型中的随机变量建立抽样方法，在计算机上进行 模拟测试，抽取足够多的随机数，对有关事件进行统计 3.对模拟试验结果加以分析，给出所求解的估计及其精 度(方差)的估计
4.必要时，还应改进模型以降低估计方差和减少试验费 用，提高模拟计算的效率
随机数的产生是实现MC计算的先决条件。 而大多数概率分布的随机数的产生都是基 于均匀分布U(0,1)的随机数。
一、随机数的产生及算法
1．随机数的概念 对随机系统进行模拟，需要产生服从某种分 布的一系列随机数. ? 设随机变量X（总体）服从某种随机 分布，对其进行了n次独立观察,得到一组简单 随机样本 X1，X2，…，Xn ,满足 定义
1, 当x l sin s( x, ) 0, 其他
1 sN N
s ( x , )
i 1 i i
N
P s ( x, ) f1 ( x) f 2 ( )dxd

d
0


l sin
0
dx 2l a a
2l 2l aP as N
常用随机变量产生 算法与程序
用计算机或计算器模拟试验的方法称为 随机模拟方法,也称为蒙特卡罗方法.该方法 是在第二次世界大战期间兴起和发展起来 的,它的奠基人是冯.诺伊曼.
蒙特卡罗方法的主要应用范围
它的主要应用范围包括：粒子输运问题， 统计物理，典型数学问题，真空技术，激 光技术以及医学，生物，探矿等方面，特 别适用于在计算机上对大型项目、新产品 项目和其他含有大量不确定因素的复杂决 策系统进行风险模拟分析。随着科学技术 的发展，其应用范围将更加广泛。
即 xF a (b a) R

C语言程序实现 bool UnionRandom(int n,double a,double b,double *x) { int i; double u; if(x==NULL) return false; srand(time(NULL)); for(i=0;i<n;i++) { u=1.0*rand()/RAND_MAX; x[i]=a+(b-a)*u; } return true; }
解出.
2、(0, 1)上均匀随机数的产生方法
随机数表 物理方法 计算机方法
随机数表
随机数表是由0,1,2,…,9十个数字组成，每 个数字以0.1的概率出现，数字之间相互独 立。 方法：如果要得到n位有效数字的随机数， 只需将表中每n个相邻的随机数字合并在一 起，且在最高位的前边加上小数点即可。
0, G( x ) x, 1, x 0; 0 x 1; 1 x.
若Y的概率密度为 f(y)，由Y=F－1(R)可得
R F (Y ) f ( y)dy
Y
对给出定的(0, 1)上均匀分布随机数ri， 则具有给定分布的随机数 yi 可由方程
yi ri f ( y )dy
数学软件有产生常用分布随机数的功能
需要数据 量很大时 不太有效 需要寻求一种简便、经济、可靠, 并能在 计算机上实现的产生随机数的方法.
对特殊分布
基本定理一：
如果随机变量X的分布函数F（x）连续，则R
= F（X）是[0，1]上的均匀分布的随机变量。
证：因为分布函数F（x）是在（0，1）上取值
(4.2.1) 单调递增的连续函数，所以当X在（－∞，x）
1) 首先给srand()提供一个种子，它是一个 unsigned int类型，其取值范围0~65535； 2) 然后调用rand()，它会根据提供给srand() 的种子值返回一个随机数(在0到32767之间) 3) 根据需要多次调用rand()，从而不间断地 得到新的随机数； 4) 无论什么时候，都可以给srand()提供一 个新的种子，从而进一步“随机化”rand() 的输出结
1．乘同余法 递推公式为
用M 除λxn后 得到的余数记 为xn+1
xn 1 xn (modM ) rn xn M
其中λ是乘因子, M为模数(modulus),第一式是 以M为模数的同余式. 给定初值x0 (称为种子),递推计算出
r1，r2，…， 即在(0, 1)上均匀分布的随机数序列. 例1 取x0=1，λ=7，M=103，有 λx0=7×1=7 ， x1=7 ， r1=7/1000=0.007 λx1=7×7=49 ， x2=49 ， r2=49/1000=0.049 λx2=7×49=343 ， x3=343 ，r3=343/1000=0.343 λx3=7×343=2401 , x4=401 , 其余类推. r4=401/1000=0.401
内取值时，随机变量R则在（0，F(x)）上取值， 且对应于（0，1）上的一个R值，至少有一个x 满足，
r F ( x) P x
以
=
F1 (r ) 表示பைடு நூலகம்机变量 R 的分布函数，则有
证毕
F1 (r ) PR r PF ( X ) r
0 1 P X F (r ) r 1
蒙特卡罗方法的基本思想
由蒲丰试验可以看出，当所求问题的解是 某个事件的概率，或者是某个随机变量的 数学期望，或者是与概率、数学期望有关 的量时，通过某种试验的方法，得出该事 件发生的频率，或者该随机变量若干个具 体观察值的算术平均值，通过它得到问题 的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。
蒙特卡罗方法的基本思路
一些人进行了实验，其结果列于下表 ：
实验者 沃尔弗(Wolf) 年份 1850 投计次数 5000 π的实验值 3.1596
斯密思(Smith)
福克斯(Fox) 拉查里尼 (Lazzarini)
1855
1894 1901
3204
1120 3408
3.1553
3.1419 3.1415929
20世纪四十年代，由于电子计算机的出现，利用电子计算机可以 实现大量的随机抽样的试验，使得用随机试验方法解决实际问题 才有了可能。 其中作为当时的代表性工作便是在第二次世界大战期间，为解 决原子弹研制工作中，裂变物质的中子随机扩散问题，美国数学 家冯.诺伊曼（Von Neumann）和乌拉姆（Ulam）等提出蒙特卡 罗模拟方法。 由于当时工作是保密的，就给这种方法起了一个代 号叫蒙特卡罗，即摩纳哥的一个赌城的名字。用赌城的名字作为 随机模拟的名称，既反映了该方法的部分内涵，又易记忆，因而 很快就得到人们的普遍接受。
1） X1，X2，…，Xn相互独立； 2）每一个X1，X2，…，Xn都与总体X 同分布. 利用某种方法得到一串数列r1 , r2 , … , rn
在一定的统计意义下可作为随机样本 X1，X2，…，Xn 的一组样本值，称r1 , r2 , … , rn一组具有与X相 同分布的随机数. 例1 设随机变量X～B(1, 0.5), 模拟该随机变 量X的一组样本值. 一种简单的方法是 抛一枚均匀硬币，观察出现正反面的情况， 出现正面记为数值“1”,否则记为“0”得： 0，0，1，0，1，1，1，0，1，0，0，0， 0，1，1，0，1，0, … 可看成总体X 的一系列样本值,或称产生了 一系列具有两点分布的随机数.
取定种子x0=71，得 97x0＋3=6890， x1=890， r1=0.890 97x1＋3=86333， x2=333， r2=0.333
97x2＋3=32304， x3=304， r3=0.304 97x3＋3=29491， x4=491， r4=0.491
97x4＋3=47830， x5=630， r5=0.630 余类推，接下来的随机数是： 0.113，0.964，0.511，0.570，0.293，0.424， 0.131，0.710，0.873，0.684，0.351，0.050， 0.853… 有下述问题： 1.数列{rn}是有周期的，周期L≤M（模数）； 因0≤xn≤M，数列{xn}最多有 M个相异值, 从而{rn}也同样如此.
v 二、 在［a，b］上均匀分布的抽样
在［a，b］上均匀分布的分布函数为：
0 当x a x a F ( x) 当a x b b a 当x b 1
(1) 由U(0,1)抽取R
(2) 令 F ( xF ) R 得 xF a R， xF a R * (b a) ba
λx4=7×401=2807, x5=807 , r5=807/1000=0.807
3．混合同余法 递推公式为
xn 1 xn C (mod M ) rn xn M
其中，C是非负整数.
用模 M 去除 λxn+C的余数
例3 ：选λ=97，C=3，M=1000，得递推公式