函数的基本性质考点和习题训练
函数的基本性质(考点加经典例题分析)
函数的基本性质函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性一、单调性1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。
2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。
（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。
） 3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，当0>a 时函数)(x f 在对称轴a bx 2-=的左侧单调减小，右侧单调增加； 当0<a 时函数)(x f 在对称轴abx 2-=的左侧单调增加，右侧单调减小；例1：讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性。
4．证明方法和步骤：1、设元：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <；2、作差：)()(21x f x f -；3、变形：（如因式分解、配方等）；4、定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或；5、根据定义下结论。
例2、判断函数12)(-+=x x x f 在)0,(-∞上的单调性并加以证明.5．复合函数的单调性：复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。
例3：函数322-+=x x y 的单调减区间是 （ ）A.]3,(--∞B.),1[+∞-C.]1,(--∞D.),1[+∞ 6．函数的单调性的应用：判断函数)(x f y =的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。
例4：求函数12-=x y 在区间]6,2[上的最大值和最小值.二、奇偶性1．定义：如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f =-，那么函数f(x)就叫偶函数；（等价于：0)()()()(=--⇔=-x f x f x f x f ）如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f -=-，那么函数f(x)就叫奇函数。
函数的基本性质练习(含答案)
函数的基本性质练习(含答案)基础训练A组1.若函数f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)，代入函数f(x)，得到：m-1)x^2+(m-2)x+(m^2-7m+12) = (m-1)(-x)^2+(m-2)(-x)+(m^2-7m+12)化简得到：(m-1)x^2+(m-2)x+(m^2-7m+12) = (m-1)x^2-(m-2)x+(m^2-7m+12)移项得到：4x=0，因此m=2，选B。
2.偶函数在[-∞,-1]上是增函数，说明在[1,+∞)上也是增函数，因此f(-3/2)<f(-1)<f(2)，选A。
3.因为f(x)是奇函数，所以在[-7,-3]上也是增函数，最小值为-5，因此选A。
4.F(x) = f(x) - f(-x)，代入f(-x)得到：F(x) = f(x) - (-f(x)) = 2f(x)因此F(x)是偶函数，选B。
5.对于y=x，有y'=1>0，在(0,1)上是增函数，选A。
6.化简得到f(x)=-x^2+x，因此在[0,1]上是减函数，但f(-x)=-f(x)，因此是奇函数，选B。
填空题1.因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，不等式化简得到f(x)<0，解为(-5,0)U(0,5)。
2.值域为(-∞,+∞)，因为2x+x+1可以取到任意大的值。
3.y=x+1，因此值域为(1,2]。
4.f(x)的导数为2(k-2)x+(k-1)，当x(k-1)/(2(k-2))时导数小于0，因此f(x)的递减区间为(-∞,-(k-1)/(2(k-2)))U((k-1)/(2(k-2)),+∞)。
5.命题(1)和(2)正确，命题(3)和(4)错误，因此正确的命题个数为2.解答题1.一次函数y=kx+b的单调性取决于k的符号，当k>0时单调递增，当k0时单调递减，当k0时开口向上，单调递增，当a<0时开口向下，单调递减。
2.因为定义域为(-1,1)，所以f'(x)=2x-1<0当x<1/2时，f(x)单调递减，因此f(x)在(-1/2,1/2)上取得最大值，最小值为f(1)=3.x0时，f(x)为正数。
函数的基本性质知识点归纳与题型总结
函数的基本性质知识点归纳与题型总结一、知识归纳1．函数的奇偶性2．函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．解题提醒：①判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．②判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)．③分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．题型一 函数奇偶性的判断典型例题：判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ＞0，x 2＋2x －1，x ＜0；(3)f (x )＝4－x 2x 2；(4)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a ＞0且a ≠1)． 解：(1)因为f (x )有意义，则满足1－x1＋x ≥0，所以－1＜x ≤1，所以f (x )的定义域不关于原点对称， 所以f (x )为非奇非偶函数． (2)法一：(定义法)当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )； 当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )．所以f (x )为奇函数． 法二：(图象法)作出函数f (x )的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f (x )为奇函数．(3)因为⎩⎨⎧4－x 2≥0，x 2≠0，所以－2≤x ≤2且x ≠0，所以定义域关于原点对称． 又f (－x )＝4－(－x )2(－x )2＝4－x 2x 2，所以f (－x )＝f (x )．故函数f (x )为偶函数． (4)函数的定义域为R ， 因为f (－x )＋f (x ) ＝log a [－x ＋(－x )2＋1]＋log a (x ＋x 2＋1)＝log a (x 2＋1－x )＋log a (x 2＋1＋x )＝log a [(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )]＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0， 即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．通性通法：判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f (x )，g (x )的定义域分别是 D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．题型二 函数的周期性典型例题(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，x －1，1＜x ≤2，若对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝f {f [f …n 个f (x )]}，则f 2 019(2)的值为( )A．0B．1C．2 D．3(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝________.解析：(1)∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，∴f n(2)的值具有周期性，且周期为3，∴f2 019(2)＝f3×673(2)＝f3(2)＝2，故选C.(2)∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝2，∵当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 018)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 019)＝1.故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝1 010.答案：(1)C(2)1 010通性通法：1．判断函数周期性的2个方法(1)定义法．(2)图象法．2．周期性3个常用结论(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a.(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a.(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a(a＞0)．题型三函数性质的综合应用函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．角度一：奇偶性的应用1．函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x，则当x＞0时，f(x)＝()A．－2x B．2－xC．－2－x D．2x解析：选C x＞0时，－x＜0，∵x＜0时，f(x)＝2x，∴当x＞0时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.故选C.角度二：单调性与奇偶性结合2．已知f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)单调递增，f(1)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围为()A．{x|0＜x＜1或x＞2}B．{x|x＜0或x＞2}C．{x|x＜0或x＞3} D．{x|x＜－1或x＞1}解析：选A因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝0，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以可作出函数f(x)的示意图，如图，则不等式f(x－1)＞0可转化为－1＜x－1＜0或x－1＞1，解得0＜x＜1或x＞2.角度三：周期性与奇偶性结合3.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)＞1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)解析：选D∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，∴f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又∵函数f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)＞1，∴a＞1，即a∈(1，＋∞)．角度四：单调性、奇偶性与周期性结合4．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是()A．0＜f(1)＜f(3) B．f(3)＜0＜f(1)C．f(1)＜0＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜0解析：选C由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(－1)．又f(x)在[0,2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2,2)上单调递减，所以f(－1)＞f(0)＞f(1)，即f(1)＜0＜f(3)．故选C.通性通法：函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．。
函数的基本性质知识点及习题(附答案)
函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶 2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
考点05 高中数学-函数的基本性质-考点总结及习题
考点05函数的基本性质【命题趋势】函数的单调性与最值、奇偶性以及函数图象是历年高考考查的重点，具体要求为：（1）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.（2）会运用函数图象理解和研究函数的性质.【重要考向】一、函数的单调性及其应用二、函数的奇偶性及其应用三、函数的周期性及其应用四、函数图像及其应用函数单调性及其应用1．函数单调性的定义增函数减函数定义一般地，设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值1x ，2x 当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数图象描述自左向右看，图象是上升的自左向右看，图象是下降的设12,[,]x x a b ∈，12x x ≠.若有()()1212()0[]x x f x f x ->-或1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在闭区间[],a b 上是增函数；若有()()1212()0[]x x f x f x --<或1212()()0f x f x x x -<-，则()f x 在闭区间[],a b 上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.2．单调区间的定义若函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，则称函数()y f x =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做函数()f x 的单调区间．3.函数的最值前提设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得()0f x M=（3）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≥；（4）存在0x I ∈，使得()0f x M=结论M 为最大值M 为最小值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.【巧学妙记】1．（2021·千阳县中学高三二模（理））下列函数中，是偶函数且在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（）A ．1()||f x x =B ．1()(3xf x =C ．2()1f x x =+D ．f (x )=lg|x |【答案】A 【分析】由奇偶性的定义判断各个选项函数的奇偶性，排除B ；结合反比例函数、二次函数、对数函数的单调性即可选出正确答案.【详解】解：因为()133xxf x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭，所以B 不正确；A,C,D 中函数定义域均关于原点对称，()1()||f x f x x -==-，A 是偶函数；()()2()1f x x f x -=-+=，C 是偶函数；()()lg f x x f x -=-=，所以D 也是偶函数；当(0,)x ∈+∞时，11()||f x x x==单调递减，故A 正确；由二次函数的性质可得，此时2()1f x x =+递增，则C 不正确；()lg lg f x x x ==也单调递减，则D 不正确；故选:A.2．（2021·浙江高一期末）函数|1|45x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调减区间是_______．【答案】[)1,+∞【分析】令1u x =-，则45u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，分别判断函数45uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和1u x =-的单调性，然后利用复合函数单调性的判断方法即可求出原函数的单调区间.【详解】令1u x =-，则45uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭∵4015<<，∴45uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),-∞+∞上单调递减作出1u x =-的图象由图象可以1u x =-在(],1-∞上单调递减，在[)1,+∞上单调递增∴|1|45x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭在(],1-∞上单调递增，在[)1,+∞上单调递减故答案为：[)1,+∞.3．（2021·上海市建平中学高三三模）函数21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是_________.【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】根据二次函数的单调性确定对称轴与区间的关系，同时注意分母不为0需满足12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上符号一致.【详解】21y x ax a =-- 在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴2()f x x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，则122a-≤，即1a ≥-，同时需满足1(2)(02f f -->，即1(4)(21)04a a +-<，解得142a -<<，综上可知11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【点睛】关键点点睛：注意利用二次函数对称轴与所给区间的关系求解，同时需注意12,2x ⎡⎤∈--⎢⎣⎦时，2()f x x ax a =--符号必须一致是解题的关键，属于中档题.4．（2021·上海高三三模）函数y =___________.【答案】(,1]-∞-(或(,1)-∞-都对)【分析】利用复合函数的单调性，同增异减，即可得到答案；【详解】t x=-，则y=，令2121t x=-在(,1)-∞-单调递减，y=在(0,)+∞单调递增，-∞-单调递减，根据复合函数的单调性可得：y=在(,1)-∞-.故答案为：(,1)函数奇偶性及其应用函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 是偶函数图象关于y 轴对称奇函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 是奇函数图象关于原点对称判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）．2．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．（2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：()f x ()g x ()()f xg x +()()f xg x -()()f xg x (())f g x 偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数（3）若奇函数的定义域包括0，则()00f =．（4）若函数()f x 是偶函数，则()()()f x f x fx -==．（5）定义在(),-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．【巧学妙记】5．（2021·重庆巴蜀中学高三月考）函数2()21x xf x ax =+-是偶函数，则实数a =__________．【答案】1【分析】由已知奇偶性可得()()f x f x -=，结合已知解析式可求出22a =，即可求出a .【详解】因为2()(0)21xxf x ax x =+≠-，且()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，2222222,,20212121212121xx x x x x x x x ax ax a a a --⨯--=+--=++=------，即22a =，所以实数1a =．故答案为:1.6．（2021·浙江高一期末）已知偶函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，且(1)0f -=，则()0f x x<的解集__________【答案】(1,0)(1,)-È+¥【分析】分0x >和0x <两种情况讨论x 的范围，根据函数的单调性可得到答案.【详解】因为()f x 是偶函数，且(1)0f -=，所以(1)(1)0f f =-=，又()f x 在(0,)+∞上是减函数，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，①当0x >时，由()0f x x<得()0f x <，又由于()f x 在(0,)+∞上为减函数，且(1)0f =，所以()(1)f x f <，得1x >；②当0x <时，由()0f x x<得()>0f x ，又(1)0f -=，()f x 在(,0)-∞上是增函数，所以()>(1)f x f -，所以10x -<<.综上，原不等式的解集为：(1,0)(1,)-È+¥.故答案为：(1,0)(1,)-È+¥.【点睛】方法点睛：本题主要考查函数相关性质，利用函数性质解不等式，运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段.奇函数在对称区间上的单调性相同，且()() f x f x -=-.偶函数在对称区间上的单调性相反，且()()() f x f x f x =-=..7．（2021·江苏南通市·高三二模）已知函数()f x 满足()()f x f x =-，当0x >时，()32x x f x =+，则不等式(2)13f x -<的解集为（）A ．(,0)(4,)-∞+∞B ．(0,4)C ．(0,2)D ．(,0)(2,)-∞+∞ 【答案】B 【分析】根据已知条件判定f (x )为偶函数，结合其单调性和特殊值，得到f (x )<13的解集，利用平移变换思想得到f (x -2)<13的解集.【详解】依题意知()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，当0x ≥时，()f x 单调递增，且()213f =，所以()13f x <的解集为()2,2-.将()f x 的图象沿x 轴向右平移2个单位长度后可得()2f x -的图象，所以不等式()213f x -<的解集为()0,4.故选:B .【点睛】本题考查应用函数的奇偶性与单调性解函数不等式问题，涉及指数函数的单调性，属基础题，为了求解关于f (x -a )的不等式常常可以先求相应的关于f (x )的不等式，然后利用平移变换的方法得到所求不等式的解集.8．（2021·全国高三月考（理））已知函数()2x x f x e e x -=--，若()2(3)0f t f t t ++->成立，则实数t 的取值范围为（）A ．()0,1B ．()1,3-C ．()1,1-D ．()0,3【答案】B 【分析】根据奇函数的定义、导数的性质，结合基本不等式、解一元二次不等式的方法进行求解即可.【详解】因为()2(2)()x x x x f x e e x e e x f x ---=-+=---=-，所以函数()f x 为奇函数，又因为()220x x f x e e -'=-≥=+，所以函数()f x 为R 上的增函数．若()2(3)0f t f t t ++->，则()2(3)f t f tt +>-，即23t t t +>-，即2230t t --<，解得13t -<<，故选：B函数的周期性1．周期函数对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()f x T f x +=，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期（若不特别说明，T 一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.3．函数周期性的常用结论【巧学妙记】9．（2021·湖北高三其他模拟）请写出一个函数()f x =___________，使之同时具有如下性质：①x ∀∈R ，()(4)f x f x =-，②x ∀∈R ，(4)()f x f x +=.【答案】cos 2x π【分析】根据①②可知函数是周期函数且关于2x =对称，即可求解.【详解】性质①②分别表示()f x 关于直线2x =对称和以4为周期，答案不唯一，写出一个即可，例如()cos2f x x π=，故答案为：()cos2f x x π=10．（2021·全国高三月考（理））定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤≤时，()()23log 2f x x =+，则()2021f -=（）A ．1B ．lg 9C ．lg 3D ．0【答案】A 【分析】先利用()()1f x f x +=-求得周期为2T =，再利用奇偶性和周期性转化()()()202120211f f f -==，代入解析式即得结果.【详解】由()f x 满足()()1f x f x +=-，得()()2f x f x +=，所以函数()f x 的周期2T =，且当01x ≤≤时，()23(og 2,)l f x x =+()f x 为偶函数，所以()()()3202120211log 31f f f -====.故选：A.11．（2021·全国高三月考（文））已知函数()y f x =对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-且(4)()0f x f x -+=成立，若(0)0f =，则()2019(2020)(2021)f f f ++的值为（）A ．4B ．2C ．0D ．2-【答案】C 【分析】由(2)()f x f x +=-以及(4)()f x f x -=-可推导()y f x =是周期为4的周期函数，由此(2019)(3)f f =，(2021)(1)f f =，代入(4)()f x f x -=-可计算结果，又(2020)(0)0f f ==，代入计算即可.【详解】由(2)()f x f x +=-可知(2)()f x f x -=．又(4)()f x f x -=-，(4)(2)0f x f x ∴-+-=，(2)()f x f x ∴+=-，(4)[(2)2](2)()f x f x f x f x ∴+=++=-+=，∴函数()y f x =是周期为4的周期函数，(2019)(3)f f ∴=，(2020)(0)f f =，(2021)(1)f f =．由(4)()0f x f x -+=可得(41)(1)0f f -+=，即(3)(1)0f f +=，(2019)(2020)(2021)000f f f ∴++=+=.故选：C ．12．（2021·新疆布尔津县高级中学高三三模（文））已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且()()2f x f x -=，当01x ≤≤时，()f x x =，设函数()()5log g x f x x =-，则()g x 的零点的个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【分析】由题设知()g x 的零点可转化为()f x 与5log x 的交点问题，而()[0,1]f x ∈且周期为2，关于y 轴对称的函数；5log x 且关于y 轴对称，当55x -≤≤时有5log (,1]x ∈-∞，画出(0,)+∞的草图即可确定交点个数，利用对称性确定总交点数.【详解】由题意知：()f x 关于1x =对称，而()g x 的零点即为()5=log f x x 的根，又∵()f x 在R 上的偶函数，知：()[0,1]f x ∈且周期为2，关于y 轴对称的函数，而55x -≤≤时5log (,1]x ∈-∞且关于y 轴对称∴()f x 与5log x 在(0,)+∞的图象如下，∴共有4个交点，由偶函数的对称性知：在(,0)-∞上也有4个交点，所以共8个交点.故选：C.【点睛】关键点点睛：将函数零点转化为两个函数的交点问题，应用数形结合的方法，由函数的周期性、奇偶对称性判断交点的个数.函数图像及其应用函数的图象1．函数图象的画法（1）描点法作图①研究函数特征()⎧⎪⎨⎪⎩确定定义域化简解析式讨论性质奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值②列表(注意特殊点：与坐标轴的交点、极值点、端点)；③描点(画出直角坐标系，准确画出表中的点)；④连线(用平滑的曲线连接所描的点)．（2）变换法作图①平移变换②对称变换a ．y ＝f (x)y ＝−f (x )；b ．y ＝f (x)y ＝f (−x )；c ．y ＝f (x)y ＝−f (−x )；d ．y ＝a x (a >0且a≠1)y ＝log a x (a >0且a ≠1).③翻折变换④伸缩变换y ＝f (x )y ＝f (ax )．y ＝f (x )y ＝af (x )．【巧学妙记】13．（2021·浙江高二期末）已知()sin f x x x =+，则()f x 的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】由函数奇偶性排除两个选项，再取特值计算并判断得解.【详解】原函数定义域为R ，由()sin()(sin )()f x x x x x f x -=-+-=-+=-知()f x 是R 上奇函数，选项C ，D 不满足；在()f x 图象上取点(0,(0)),(,())22P f Q f ππ，(0)0,(122f f ππ==+，直线PQ ：2(1)y x π=+，而4x π=时，2()(442f x f ππ==+，21(1)442y πππ=+⋅=+，显然214242ππ+>+，即点,44f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在直线PQ 上方，选项B 不满足，选项A 符合要求.故选：A14．（2021·全国高三月考）函数()x xe ef x ln x-+=的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性，可排除A 、D ；根据()f e 的值，可排除B ，即可求解.【详解】由题意，函数()x xe ef x ln x-+=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，可得定义域关于原点对称，又由()() ln ln x x x xe e e ef x f x x x--++-===-，所以()f x 是偶函数，故排除选项A 、D ；因为()()++ln eeee e e ef e ee e e--==>，可排除B.故选：C .15．（2021·浙江高一期末）已知函数()()13f x x x =-⋅+．（1）将函数解析式写成分段函数的形式，然后在坐标系中画出()f x 的图象；（2）根据图象直接写出()f x 的单调增区间．（3）当k 为何值时，方程()f x k =恰有两个解？【答案】（1）()2223,123,1x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--+<⎩，图象见解析；（2）(),1-∞-和()1,+∞；（3）0k =或4k =.【分析】（1）将x 和1比较去绝对值可得解析式，由二次函数的图象可得结果；（2）直接根据图象即可得单调增区间；（3）计算出()1f -的值，结合图象即可得结果.【详解】（1）当1≥x 时，()223f x x x =+-，当1x <，()223f x x x =--+，所以()2223,123,1x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--+<⎩其图象如下所示：（2）观察图可得函数()f x 的单调增区间为(),1-∞-和()1,+∞.（3）方程()f x k =恰有两个解，即()y f x =和y k =的图象有两个交点，由于()14f -=，故当0k =或4k =时，方程()f x k =恰有两个解.一、单选题1．已知函数()f x 满足()()f x f x =-，当0x >时，()32x x f x =+，则不等式(2)13f x -<的解集为（）A ．(,0)(4,)-∞+∞B ．(0,4)C ．(0,2)D ．(,0)(2,)-∞+∞ 2．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤≤时，()()23log 2f x x =+，则()2021f -=（）A ．1B ．lg 9C ．lg 3D ．03．设函数()sin cos f x x x x =+，则下列四个结论中正确的是（）①函数()f x 是偶函数；②曲线()y f x =在0x =处的切线方程为1y =；③当,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 单调递减；④关于x 的方程sin cos x x x a +=在[]0,2x π∈只有两个实根，则实数a 的取值范围为3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.A ．①②B ．①②④C ．①③④D ．③④4．若函数()f x 的图象上任意一点(),M x y 的坐标满足条件x y ≥，则称函数()f x 具有性质P ．下列函数中具有性质P 的是（）A ．()1f x x =+B ．()2f x x=C ．()1xf x e =-D ．()sin f x x=5．已知函数()21x f x x=+的定义域为[)2,+∞，则不等式()()22228f x f x x +>-+的解集为（）A ．5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)2,3C ．(),3-∞D ．()3,+∞6．函数()ln ||sin f x x x =+在[,]-ππ上的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．7．己知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则20152f ⎛⎫⎪⎝⎭的值是（）A ．0B ．12C ．1D ．528．函数||2()cos x x f x x⋅=，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数(21()log f x x x=，则（）A ．()f x 在（0，+∞）上单调递增B ．对任意m ∈R ，方程()f x +m =0必有解C ．()f x 的图象关于y 轴对称D ．()f x 是奇函数10．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(),0-∞单调递增，设0.33a =，0.413b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4log 0.3c =，则（）A ．()()()f c f a f b >>B ．()()()f a f c f b >>C ．()()()f c f b f a >>D ．()()()f a f b f c >>二、多选题11．关于函数()|ln |2||f x x =-，下列描述正确的有（）A ．函数()f x 在区间()1,2上单调递增B ．函数()y f x =的图象关于直线2x =对称C ．若12x x ≠，但()()12f x f x =，则124x x +=D ．函数()f x 有且仅有两个零点三、填空题12．函数2()21xxf x ax =+-是偶函数，则实数a =__________．13．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有()()12f x f x +=-，且当()0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()()20192021f f -+的值为___________.四、解答题14．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-．（1）求函数()f x 在(,0)x ∈-∞的解析式；（2）当0m >时，若|()|1f m =，求实数m 的值．一、单选题1．（2012·陕西高考真题（文））下列函数中，既是奇函数又是增函数的为A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x=D ．y x x=2．（2013·湖南高考真题（文））已知f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，且f （－1）+g （1）=2，f （1）+g （－1）=4，则g （1）等于A ．4B ．3C ．2D ．13．（2013·湖南高考真题（文））函数f （x ）=㏑x 的图象与函数g （x ）=x 2-4x+4的图象的交点个数为A ．0B ．1C ．2D ．34．（2009·四川高考真题（文））已知函数是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是A ．0B ．C ．1D ．5．（2012·天津高考真题（文））下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为A ．cos 2y x =，x ∈R B ．2log y x =，x ∈R 且x≠0C ．2x x e e y --=,x ∈RD ．3+1y x =，x ∈R6．（2019·全国高考真题（文））设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )=A ．e 1x --B ．e 1x -+C ．e 1x ---D ．e 1x --+7．（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是A ．12y x=B ．y =2x-C ．12log y x=D ．1y x=8．（2020·全国高考真题（文））设函数331()f x x x=-,则()f x （）A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减9．（2013·天津高考真题（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,)+∞单调递增.若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤,则a 的取值范围是A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]10．（2011·全国高考真题（文））下列函数中，既是偶函数又区间上单调递增的是A ．3y x =B ．1y x =+C ．21y x =-+D ．2xy -=11．（2010·山东高考真题（文））函数22x y x =-的图象大致是A ．B ．C ．D ．12．（2020·全国高考真题（文））已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（）A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称13．（2011·福建高考真题（文））在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k 丨n ∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2011∈[1]；②﹣3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a ﹣b ∈[0]”．其中，正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．41．（2021·浙江湖州市·高三二模）函数()()2cos =-f x x x x 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．2．（2021·湖南高三其他模拟）下列函数在其定义域上是增函数的是（）A ．2y x =B ．e x y =C ．0.5log y x=D ．sin y x=3．（2021·全国高三其他模拟）已知11ln 224a =+，2b e =，1ln c ππ+=，则a ，b ，c 之间的大小关系为（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．c a b <<D ．b c a<<4．（2021·北京北大附中高三其他模拟）下列函数中值域是R 且为偶函数的是（）A ．()21f x x =+B ．()2log f x x =C ．()3f x x x=-D ．()cos f x x=5．（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟（文））已知点(m ，n )在函数11()e 12x f x =-+的图象上，则下列四点中也在函数f (x )的图象上的是（）A ．(-m ，1+n )B ．(-m ，1-n )C ．(-m ，-n )D ．(-m ，n )6．（2021·浙江嘉兴市·高三其他模拟）函数1sin ln ||(0)||y x x x x ⎛⎫=⋅+≠ ⎪⎝⎭的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．7．（2021·千阳县中学高三二模（理））下列函数中，是偶函数且在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（）A ．1()||f x x =B ．1()(3xf x =C ．2()1f x x =+D ．f (x )=lg|x |8．（2021·天津高三其他模拟）已知()f x 是定义在R 上的偶函数且在区间(,0]-∞上单调递增，则（）A ．()()221log log 23f f f ππ-⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．()()2212loglog 3-⎛⎫>> ⎪⎝⎭f f f ππC ．()()221log 2log 3-⎛⎫>> ⎪⎝⎭f f f ππD ．()()2212log log 3-⎛⎫>> ⎪⎝⎭f f f ππ9．（2021·广东广州市·高三二模）已知函数()xx xf x xe e=+，且()2(1)20f a f a a ++-++>，则a 的取值范围是（）A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(1,3)-C ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞D ．(3,1)-10．（2021·安徽宿州市·高三三模（文））已知函数()()2ln f x x x e =++，则（）A ．()()()30log 3log f f f ππ<<-B ．()()()3log log 30f f f ππ-<<C ．()()()3log 0log 3f f f ππ-<<D ．()()()3log 30log f f f ππ<<-11．（2021·四川攀枝花市·高三三模（文））已知2ln ln 2a a =，3ln ln 3b b =，5ln ln 5c c =，且(),,0,a b c e ∈，则（）．A ．a b c <<B ．b a c<<C ．c b a<<D ．c a b<<二、多选题12．（2021·江苏连云港市·高三其他模拟）函数()f x 的定义域为R ，且()f x 与(1)f x +都为奇函数，则（）A ．(1)f x -为奇函数B ．()f x 为周期函数C ．(3)f x +为奇函数D ．(2)f x +为偶函数13．（2021·全国高三二模）已知函数()f x 为偶函数，且()()22f x f x +=--，则下列结论一定正确的是（）A ．()f x 的图象关于点(2,0)-中心对称B ．()f x 是周期为4的周期函数C ．()f x 的图象关于直线2x =-轴对称D ．(4)f x +为偶函数三、填空题14．（2021·新疆高三其他模拟（文））若函数()f x 满足当0x <时，()()2log 1f x x =-，当0x >时，()()2f x f x =-，则()1f =___________.15．（2021·临川一中实验学校高三其他模拟（文））已知奇函数()f x 定义域为R ，()()1f x f x -=，当()0,1x ∈时，()21log 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭___________.16．（2021·江西宜春市·上高二中高二其他模拟（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()2f x f x =--，且函数()1f x +是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()21f x x =-，则()2021f =______.参考答案跟踪训练1．B 【分析】根据已知条件判定f (x )为偶函数，结合其单调性和特殊值，得到f (x )<13的解集，利用平移变换思想得到f (x -2)<13的解集.【详解】依题意知()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，当0x ≥时，()f x 单调递增，且()213f =，所以()13f x <的解集为()2,2-.将()f x 的图象沿x 轴向右平移2个单位长度后可得()2f x -的图象，所以不等式()213f x -<的解集为()0,4.故选:B .【点睛】本题考查应用函数的奇偶性与单调性解函数不等式问题，涉及指数函数的单调性，属基础题，为了求解关于f (x -a )的不等式常常可以先求相应的关于f (x )的不等式，然后利用平移变换的方法得到所求不等式的解集.2．A 【分析】先利用()()1f x f x +=-求得周期为2T =，再利用奇偶性和周期性转化()()()202120211f f f -==，代入解析式即得结果.【详解】由()f x 满足()()1f x f x +=-，得()()2f x f x +=，所以函数()f x 的周期2T =，且当01x ≤≤时，()23(og 2,)l f x x =+()f x 为偶函数，所以()()()3202120211log 31f f f -====.故选：A.3．A 【分析】利用奇偶性的定义可判断①，求出()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，然后可判断②③，求出()f x 在[]0,2π上的单调性和极值，画出其图象，然后可判断④.【详解】对①，因为x ∈R ，()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，所以①正确；对②，()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，()00f '=，()01f =，故曲线()f x 在0x =处的切线方程为1y =，所以②正确；对③，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≤，()f x 单调递减，所以③错误；对④，x0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭2π3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭32π3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭2π()f x '0+-+()f x 12π32π-1由上表作出[]0,2x π∈时()f x 的图象如下：则3,11,22a ππ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，所以④错误.故选：A4．D【分析】根据题意，得到x y ≥所表示的区域，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】由题意可得x y ≥表示的区域为下图阴影部分，因为()f x 具有性质P ，则()f x 的图象必须完全分布在阴影区域1和2内，对于A ：()1f x x =+，过点（0,1）在区域3内，不符合题意；对于B ：()2f x x =，过点（2,4），在区域3内，不符合题意；对于C ：()1xf x e =-，过点（1，e -1），在区域3内，不符合题意；对于D ：()sin f x x =，()[1,1]f x ∈-，图象分布在阴影区域1和2内，满足题意，故选：D5．C【分析】先判断函数()f x 的单调性，再根据单调性解不等式即可.【详解】因为()2111x f x x x x==++，可知()f x 在[)2,+∞上单调递减，所以不等式()()22228f x f x x +>-+成立，即2222222823228x x x x x x x ⎧+≥⎪-+≥⇒<⎨⎪+<-+⎩.故选：C.6．D【分析】根据函数的奇偶性排除AB ，再比较两个零点所在区间可判断CD.【详解】因为()ln ||sin f x x x -=-，既不满足()()f x f x -=，也不满足()()f x f x -=-所以是非奇非偶函数，排除A 和B ，令()()120f x f x ==，且12[,0],[0,]x x ππ∈-∈，因为(1)sin10f =>，所以2[0,1]x ∈，又ln sin ln 1ln 022222f e πππππ⎛⎫⎛⎫-=+-=-=< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()ln sin ln 0f ππππ-=+=>，所以12x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，，故选：D7．A【分析】由(1)(1)()xf x x f x +=+，得(1)()1f x f x x x +=+，得函数()()f x g x x=的周期，得20151()2()22g f =，由(1)(1)()xf x x f x +=+及f (x )的奇偶性可得1(02f =，即可求解20152f ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【详解】当1x ≠-且0x ≠时，由(1)(1)()xf x x f x +=+，得(1)()1f x f x x x +=+，令()()f x g x x =，则()g x 是周期为1的函数，所以201511(()2(222g g f ==，当12x =-时，由(1)(1)()xf x x f x +=+得，1111()()2222f f -=-，又()f x 是偶函数，所以11()()22f f =-，所以1()02f =，所以201511(()2(0222g g f ===，所以2015201520150222f g ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A【点睛】解决抽象函数问题的两个注意点：（1）对于抽象函数的求函数值的问题，可选择定义域内的恰当的值求解，即要善于用取特殊值的方法求解函数值．（2）由于抽象函数的解析式未知，故在解题时要合理运用条件中所给出的性质解题，有时在解题需要作出相应的变形．8．A【分析】由解析式知()f x 是奇函数且0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调增，即可判断函数图象．【详解】由于()()()||||22()()cos cos x x x x f x f x x x -⋅-⋅--===--所以()f x 为奇函数，故排除B ，D ，而cos y x =，2x y =，y x =在(0,2π上分别为减函数､增函数､增函数，且函数值均为正数，所以()f x 在(0,2π上为增函数，故选：A9．C【分析】A 选项：对()f x 求导，进一步判断单调性；B 选项：判断函数的奇偶性，以及根据单调性判断函数()f x 的图像在x 轴上方，从而得出结论.CD 选项：根据B 选项可知结论.【详解】A 选项：函数()f x 定义域为0x ≠，(221()log 1f x x x ⎛⎫'=-+++=设(2()log g x x =+()()()11222222111211222()ln 21x x x g x x x x ---+⋅++⋅'=-+==在（0，+∞）上，所以()0g x '<，即()g x 单调递减，()(0)0g x g <=故()0f x '<∴当0x >时，()0f x '<，即()f x 在（0，+∞）上单调递减，故A 错误；((222111()log log log =()f x x x f x x x x ⎛⎫-=-+==-∴()f x 为偶函数，关于y 轴对称，在(,0)-∞，()f x 单调递增，在(0+)∞，，()f x 单调递减，当0x >时1x +>，(2log 0x >，(21()log 0f x x x =+>∴()f x 的图像在x 轴上方，∴当0m >时，()y f x =与y m =-的图像无交点，说明方程()f x +m =0无解，故B 错误；C 选项：根据B 选项可知()f x 是关于y 轴对称C 正确；D 选项：根据B 选项可知()f x 是偶函数，故D 错误.故选：C.【点睛】求函数单调性的方法：1.变化趋势法；2.复合函数法；3.定义证明方法；4.等价形式法；5.导数法，注意：不管使用什么方法，首先都要确定定义域和求分界点；10．A【分析】先将,a b 化为同底数的幂，利用指数对数函数的性质比较a 、b 、||c 三个数的大小关系，再由函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性并结合偶函数的性质可得出()f a 、()f b 、()f c 的大小关系.【详解】()444110log 0.3log log 0,1,0.33c ==-=∈ ，0.30.40.331,331a b =>=>>，即1||0b a c >>>>，由于函数()y f x =是偶函数，在区间(),0-∞上单调递增，所以在()0,+∞上单调递减，由于函数()y f x =为偶函数，则()()()|c|f f a f b >>，即()()()c f f a f b >>，故选：A.本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，涉及指数对数的运算和比较大小，考查推理能力，属于中等题.关键是转化为()0,+∞上的单调性再比较.11．ABD【分析】画出函数的图像，根据图像分析判断即可【详解】函数()ln 2||f x x =-的图像如图所示：由图可得：函数()f x 在区间()1,2上单调递增，故A 正确；函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，故B 正确；若12x x ≠，但()()12f x f x =，则当122,2x x >>时，124x x +>，故C 错误；函数()f x 的图像与x 轴有且仅有两个交点，故D 正确.故选ABD .【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查函数的性质的应用，解题的关键是画出函数图像，根据图像求解即可，考查数形结合的思想，属于中档题12．1【分析】由已知奇偶性可得()()f x f x -=，结合已知解析式可求出22a =，即可求出a .【详解】因为2()(0)21x x f x ax x =+≠-，且()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，2222222,,20212121212121xx x x x x x x x ax ax a a a --⨯--=+--=++-=------，即22a =，所以实数1a =．故答案为:1.13．0【分析】推导出当0x ≥时，()()4f x f x +=，利用函数()f x 的周期性和奇偶性可求得结果.【详解】当0x ≥时，()()()142f x f x f x +=-=+，又因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()()()()12019201945043311f f f f f -==⨯+==-=-，()()()20214505111f f f =⨯+==，因此，()()201920210f f -+=.故答案为：0.【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.14．（1）2()2f x x x =+；（2）1或1+【分析】（1）根据偶函数的性质，令(,0)x ∈-∞，由()()f x f x =-即可得解；（2）0m >，有221m m -=，解方程即可得解.【详解】（1）令(,0)x ∈-∞，则(0,)x -∈+∞，由()()f x f x =-，此时2()2f x x x =+；（2）由0m >，2|()|21f m m m =-=，所以221m m -=±，解得1m =或1m =或1m =（舍）.真题再现1．D【详解】A 是增函数，不是奇函数；B 和C 都不是定义域内的增函数，排除，只有D 正确，因此选D.点评：该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键.2．B【详解】试题分析：因为，代入条件等式再相加，得．故选B ．考点：函数奇偶性的应用．3．C【详解】在同一直角坐标系中分别作出两个函数的图像，可知有两个交点.4．A【详解】若≠0，则有，取，则有：（∵是偶函数，则）由此得，．5．B【详解】首先判断奇偶性：A,B 为偶函数，C 为奇函数，D 既不是奇函数也不是偶函数,所以排除C 、D ，对于先减后增，排除A ，故选B.考点：函数的奇偶性、单调性.6．D【分析】先把x <0，转化为-x>0,代入可得()f x -，结合奇偶性可得()f x .【详解】()f x 是奇函数，0x ≥时，()1x f x e =-．当0x <时，0x ->，()()1x f x f x e -=--=-+，得()e 1x f x -=-+．故选D ．【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．7．A【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.【详解】函数122,log x y y x -==，1y x=在区间(0,)+∞上单调递减，函数12y x=在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.8．A【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数()331f x x x=-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增，而331y x x-==在()0,+¥上单调递减，在(),0-¥上单调递减，所以函数()331f x x x =-在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．9．C 【详解】试题分析：函数是定义在上的偶函数，∴，等价为），即．∵函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增，∴）等价为．即，∴，解得,故选项为C ．考点：（1）函数的奇偶性与单调性；（2）对数不等式.【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得：，即，结合单调性得：将不等式进行等价转化即可得到结论.10．B 【详解】试题分析：因为A 项是奇函数，故错，C ，D 两项项是偶函数，但在(0,)+∞上是减函数，故错，只有B 项既满足是偶函数，又满足在区间(0,)+∞上是增函数，故选B ．考点：函数的奇偶性，单调性．11．A 【详解】因为2、4是函数的零点，所以排除B 、C ；因为1x =-时0y <，所以排除D,故选A 12．D。
函数的基本性质(题型精练)(学生版)
函数的基本性质(题型精练)目录：01函数的单调性02求函数的单调区间03利用函数单调性求最值04利用函数单调性求参数范围05函数的奇偶性06函数的奇偶性的应用07函数的对称性、周期性及其应用(含难点)08利用函数的基本性质比较大小01函数的单调性1(23-24高三上·河南南阳·阶段练习)已知函数f(x)=1x-2．(1)求f(x)的定义域；(2)用定义法证明：函数f(x)=1x-2在(0,+∞)上是减函数；(3)求函数f(x)=1x -2在区间12,10上的最大值．2(23-24高一上·陕西汉中·期中)已知函数f x =2x-1 x+1．(1)试判断函数f x 在区间-1,+∞上的单调性，并证明；(2)求函数f x 在区间0,+∞上的值城．3(23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习)已知函数f(x)=x+bx过点(1,2)．(1)判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性，并用定义证明；(2)求函数f(x)在2,7上的最大值和最小值．02求函数的单调区间4(21-22高三上·贵州贵阳·阶段练习)函数f (x )=ln (2x 2-3x +1)的单调递减区间为()A.-∞,34B.-∞,12C.34,+∞D.(1,+∞)5(2023·海南海口·二模)已知偶函数y =f x +1 在区间0,+∞ 上单调递减，则函数y =f x -1 的单调增区间是．03利用函数单调性求最值6(2021·四川泸州·一模)函数f (x )=ln x +ln (2-x )的最大值为.7(23-24高三上·河南焦作·阶段练习)已知函数f (x )=x +1x，x 1,x 2∈12,3 ，则f x 1 -f x 2 的最大值为()A.43B.12C.56D.18(2022·山东济南·一模)已知函数f x =x -1 2x +1 x 2+ax +b x 2，对任意非零实数x ，均满足f x=f -1x.则f -1 的值为；函数f x 的最小值为.04利用函数单调性求参数范围9(2023·天津河北·一模)设a ∈R ，则“a >-2”是“函数f x =2x 2+4ax +1在2,+∞ 上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10(2023·陕西商洛·一模)已知函数f (x )=-x 2+2ax ,x ≤1(3-a )x +2,x >1是定义在R 上的增函数，则a 的取值范围是()A.1,3B.1,2C.2,3D.0,311(2024·全国·模拟预测)若函数f (x )=4|x -a |+3在区间[1,+∞)上不单调，则a 的取值范围是()A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1]12(2023高三·全国·专题练习)已知函数f x =x +4x，g (x )=2x +a ，若∀x 1∈12,1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是()A.a ≤1B.a ≥1C.a ≤2D.a ≥205函数的奇偶性13(23-24高三上·江苏常州·期末)已知定义在-1,1区间上的函数f x =x+ax2+1为奇函数．(1)求函数f x 的解析式；(2)判断并证明函数f x 在区间-1,1上的单调性.14(2022高三·全国·专题练习)设f x =x3+ax2-2x(x∈R)，其中常数a∈R.(1)判断函数y=f x 的奇偶性，并说明理由；(2)若不等式f x >32x3在区间12,1上有解，求a的取值范围.15(23-24高三上·河南周口·期末)已知函数f x =ax+b1+x2是定义在-1,1上的函数，f-x=-f x 恒成立，且f12=25.(1)确定函数f x 的解析式，并用定义研究f x 在-1,1上的单调性；(2)解不等式f x-1+f x <0.16(23-24高三上·新疆阿克苏·阶段练习)已知奇函数f(x)=-x2+2x,x>0, 0,x=0,x2+mx,x<0.(1)求f(-m)的值；(2)若函数f(x)在区间[-1,a2-2]上单调递增，试确定a的取值范围.06函数的奇偶性的应用17(2024·河北保定·二模)若函数y =f x -1是定义在R 上的奇函数，则f -1 +f 0 +f 1 =()A.3B.2C.-2D.-318(23-24高三下·陕西西安·阶段练习)定义域均为R 的函数f x ，g x 满足f x =g x -1 ，且f x -1 =g 2-x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 是偶函数C.g x 是奇函数D.g x 是偶函数19(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数f x =a -12x-1a ∈R 为奇函数，则实数a 的值为()A.12B.-12C.1D.-120(23-24高三上·云南楚雄·期末)已知f x 是定义在R 上的奇函数，f 1 =f 3 =0，且f x 在0,2 上单调递减，在2,+∞ 上单调递增，则不等式f (x )2x -1≤0的解集为()A.-∞,-1 ∪0,12 ∪1,+∞ B.-3,-1 ∪0,12 ∪1,3C.-∞,-1 ∪0,12 ∪3,+∞D.-3,-1 ∪0,12 ∪1,321(2024·陕西·一模)已知定义在R 上的函数f (x )，满足x 1-x 2 f x 1 -f x 2 <0，且f (x )+f (-x )=0．若f (1)=-1，则满足|f (x -2)|≤1的x 的取值范围是()A.[1,3]B.[-2,1]C.[0,4]D.[-1,2]22(23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习)函数f x 在-∞,+∞ 上单调递减，且为奇函数.若f 1 =-2，则满足-2≤f 1-x ≤2的x 的取值范围是()A.0,2B.-2,0C.1,3D.-1,107函数的对称性、周期性及其应用(含难点)23(2024·山东济南·二模)已知函数f x 的定义域为R ，若f -x =-f x ,f 1+x =f 1-x ，则f 2024 =()A.0B.1C.2D.324(2024·四川南充·三模)已知函数f x 、g x 的定义域均为R ，函数f x 的图象关于点-1,-1 对称，函数g x +1 的图象关于y 轴对称，f x +2 +g x +1 =-1，f -4 =0，则f 2030 -g 2017 =()A.-4B.-3C.3D.425(2024·广东广州·模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ，且满足f x =-f 2-x ,f x +2 为偶函数，当x ∈1,2 时，f x =ax 2+b ，若f 0 +f 3 =6，则f 253=()A.329B.113C.-43D.-17926(23-24高一上·广东广州·期中)已知函数f x ，g x 的定义域均为R ，且f x +g 2-x =5，g x -f x -4 =7．若y =g x 的图象关于直线x =2对称，g 2 =4，下列说法正确的是()A.g 2+x =g 2-xB.y =g x 图像关于点3,6 对称C.f 2 =3D.f 1 +f 2 +⋯f 26 =-2827(2024·河南·二模)已知函数f x 是偶函数，对任意x ∈R ，均有f x =f x +2 ，当x ∈0,1 时，f x =1-x ，则函数g x =f x -log 5x +1 的零点有个.28(23-24高三下·重庆·阶段练习)已知函数f x 的定义域是R ，f 32+x =f 32-x ，f x +f 6-x =0，当0≤x ≤32时，f x =4x -2x 2，则f 2024 =．29(2023高三·全国·专题练习)设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1，x 2∈0,12，都有f (x 1+x 2)=f (x 1)⋅f (x 2)，且f (1)=a >0．(1)求f 12 ,f 14；(2)证明f (x )是周期函数；(3)记a n =f 2n +12n，求a n ．30(2023·浙江绍兴·二模)已知定义在0,+∞ 上的增函数f x 满足:对任意的a ,b ∈0,+∞ 都有f ab =f a +f b 且f 4 =2，函数g x 满足g x +g 4-x =-2，g 4-x =g x +2 . 当x ∈0,1 时，g x =f x +1 -1，若g x 在0,m 上取得最大值的x 值依次为x 1，x 2，⋯，x k ，取得最小值的x 值依次为x1，x2，⋯，x n，若ki =1x i +g x i +ni =1x i +g x i =21，则m 的取值范围为08利用函数的基本性质比较大小31(23-24高三上·天津蓟州·阶段练习)已知奇函数f x 在R 上是增函数，若a =f log 215，b =f log 24.1 ，c =f 20.5 ，则a ,b ,c 的大小关系为()A.a <c <bB.b <a <cC.c <b <aD.c <a <b32(23-24高一上·陕西西安·期中)定义域为R 的函数f x 满足f 3-x =f x +3 ，且当x 2>x 1>3时，f x 1 -f x 2 x 1-x 2 >0恒成立，设a =f 2x 2-x +5 ，b =f 52 ，c =f x 2+4 ，则()A.c >a >bB.c >b >aC.a >c >bD.b >c >a33(23-24高三上·福建厦门·期中)已知定义在R 上的函数f (x )满足，①f (x +2)=f (x )，② f (x -2)为奇函数，③当x ∈0,1 时，f x 1 -f x 2 x 1-x 2>0x 1≠x 2 恒成立.则f -152 、f (4)、f 112 的大小关系正确的是()A.f -152 >f 4 >f 112 B.f -152 >f 112 >f 4 C.f 112 >f 4 >f -152D.f 4 >f 112 >f -152一、单选题1(2024·山西晋中·三模)下列函数中既是奇函数，又在0,+∞ 上单调递减的是()A.f x =2xB.f x =x 3C.f x =1x-x D.f x =ln x ,x >0,-ln -x ,x <02(2024·山东·二模)已知函数f x =2x 2-mx +1在区间-1,+∞ 上单调递增，则f 1 的取值范围是( )．A.7,+∞B.7,+∞C.-∞,7D.-∞,73(2024·山东·二模)已知函数f x 是偶函数，且该函数的图像经过点M 2,-5 ，则下列等式恒成立的是( )．A.f -5 =2B.f -5 =-2C.f -2 =5D.f -2 =-54(2024·全国·模拟预测)函数f x =e x -e -x4ln x +1的大致图象是()A. B.C. D.5(2024·全国·模拟预测)已知函数f x =3x -2-32-x ，则满足f x +f 8-3x >0的x 的取值范围是()A.-∞,4B.-∞,2C.2,+∞D.-2,26(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意的m <n <0，都有(m -n )(f (m )-f (n ))<0，且f (-2)=0，则不等式f (x +1)-f (-x -1)x ≥0的解集为()A.[-3,-1]∪[0,1]B.[-2,2]C.(-∞,-3)∪(-2,0)∪(2,+∞)D.[-3,-1]∪(0,1]7(2024·湖南岳阳·三模)已知函数f (x )=e x +a ,x <a x 2+2ax ,x ≥a，f (x )不存在最小值，则实数a 的取值范围是()A.(-1,0)B.13,+∞C.(-1,0)∪13,+∞D.-13,0∪(1,+∞)8(2024·浙江绍兴·模拟预测)已知:对于任意的正数x,y，z≤2xy，若满足x+y=1，则x2+y2+1xy+5x2+5y2+z2+10xy-3xz-3yz≥k恒成立，那么k的最大值是()A.6+3B.6+112C.8+3 D.8+112二、多选题9(2021·江西·模拟预测)已知函数f(x)=2x+3x+4，则下列叙述正确的是()A.f(x)的值域为-∞,-4∪-4,+∞B.f(x)在区间-∞,-4上单调递增C.f(x)+f-8-x=4 D.若x∈x x>-4,x∈Z，则f(x)的最小值为-3 10(2024·江苏南京·二模)已知函数f(x)满足f(x)f(y)=f(xy)+|x|+|y|，则()A.f(0)=1B.f(1)=-1C.f(x)是偶函数D.f(x)是奇函数11(2023·河南·三模)已知函数f x =ln x-1-2x-1，则下列结论正确的是()A.f x 在定义域上是增函数B.f x 的值域为RC.f log20232024+f log20242023=1D.若f a =e b+1e b-1-b，a∈0,1，b∈0,+∞，则ae b=1三、填空题12(2023·上海嘉定·一模)函数y=2x2-3x+5x-1在x∈32,3上的最大值和最小值的乘积为13(2024·湖北黄石·三模)设a，b∈R+，若a+4b=4，则a+2bab的最小值为，此时a的值为.14(2023·云南保山·二模)对于函数f x ，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称f x 为“倒戈函数”，设函数f x =3x+tan x-2m+1m∈R是定义在-1,1上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是.。
函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)
函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；(2) 一些单调性的判断规则：①若f (x)与g(x)在定义域内都是增函数(减函数)，那么f (x) + g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)即“同加异减”减时和第一个单调性相同。
②复合函数的单调性规则是“同增异减”。
2．函数的奇偶性的定义：(1)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = —f (x)，则称f (x)为.奇函数的图象关于对称。
(2)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = f (x)，则称f (x)为.偶函数的图象关于对称。
(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。
3．奇偶函数图象的对称性(1)若y = f (a + x)是偶函数，则 f (a + x) = f (a - x) o f (2a - x) = f (x) o f (x)的图象关于直线x= a对称；(2)若y = f (b + x)是偶函数，则 f (b - x) = - f (b + x) o f (2b - x) = - f (x) o f (x)的图象关于点(b,0)中心对称；4.若函数满足f Q + a)= f Q)，则函数的周期为T=a。
二、例题讲解1.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+ 8)上单调递减的函数是()A. y = 2|x|B. y = x3C. y = -x2+1D. y=cosx【答案】C【解析】试题分析：偶函数需满足f (-x) = f (x)，由此验证可知A,C,D都是偶函数，但要满足在区间(0,+ 8) 上单调递减，验证可知只有C符合.考点：偶函数的判断，函数的单调性.2. f (x) = x2-2x + 4的单调减区间是.【答案】(fl) 【解析】试题分析：将函数进行配方得/(，) =，2—2x + 4 = (x —1)2+3,又称轴为x = l,函数图象开口向上，所 以函数的单调减区间为(-8,1) . 考点：二次函数的单调性.3 .函数y = log (%2 +2% —3)的单调递减区间为()2A. (— °°, —3)B. (— °°, — 1)C. (1, +°°)D. ( — 3, — 1) 【答案】A 【解析】试题分析：由x2 + 2x —3>0,得％<—3或x>l, .♦./(%)的定义域为(―8,—3)U(L+8).y = log (%2 + 2% —3)可看作由 y = log 沈和 M = %2 + 2% — 3 复合而成的，u - X2 +2x-3 = (x +1)2 -4 2 2在(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，又y = log "在定义域内单调递增，.・.y = log (%2+2%-3)在2 2(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，所以y = log (%2+ 2% —3)的单调递减区间是(―叫—3),故选A.2考点：复合函数的单调性.4 .已知丁 = %2+2(〃 — 2)% + 5在区间(4,+8)上是增函数，则a 的范围是( )【答案】B 【解析】试题分析：函数y = %2+2(〃-2)% + 5的图像是开口向上以x = 2-a 为对称轴的抛物线，因为函数在区 间(4,+8)上是增函数，所以2 —a V 4,解得“之―2 ,故A 正确。
(完整word版)函数的基本性质练习题及答案
高中数学必修一1.3函数的基本性质练习题及答案一：单项选择题： (共10题,每小题5分,共50分)1. 已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（ ）A.1B.2C.3D.42. 若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A.)2()1()23(f f f <-<- B.)2()23()1(f f f <-<- C.)23()1()2(-<-<f f f D.)1()23()2(-<-<f f f3. 如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是（）A.增函数且最小值是5-B.增函数且最大值是5-C.减函数且最大值是5-D.减函数且最小值是5-4. 设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=在R 上一定是（ ）A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数5. 函数)11()(+--=x x x x f 是（ ）A.是奇函数又是减函数B.是奇函数但不是减函数C.是减函数但不是奇函数D.不是奇函数也不是减函数6. 下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D.7. 设函数|| + b + c 给出下列四个命题：①c = 0时，y 是奇函数 ②b 0 , c >0时，方程0 只有一个实根 ③y 的图象关于(0 , c)对称 ④方程0至多两个实根其中正确的命题是（ ）A ．①、④B ．①、③C ．①、②、③D ．①、②、④8. 已知函数f(x)=3-2|x|,g(x)=x 2-2x,构造函数F(x),定义如下:当f(x)≥g(x)时,F(x)=g(x);当f(x)<g(x)时,F(x)=f(x).那么F(x) ( )A ．有最大值7-2,无最小值B ． 有最大值3,最小值-1C ．有最大值3,无最小值D ．无最大值,也无最小值9. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A ．B ．C ．D ．10. 设定义域为R 的函数f （x ）满足，且f （－1）＝，则f （2006）的值为（ ） A ．1 B ．1 C ．2006 D ．二：填空题： (共2题,每小题10分,共20分)1. 设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[0,5]x ∈时， )(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是 .2. 若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是____________ 三：解答题： (共2题,每小题10分,共20分)1. 判断y=1-2x 3 在(-)上的单调性，并用定义证明。
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普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座3）—函数的基本性质一．课标要求1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；2．结合具体函数，了解奇偶性的含义；二．命题走向从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索。
预测2007年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值。
预测明年的对本讲的考察是：（1）考察函数性质的选择题1个或1个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题；（2）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点。
三．要点精讲1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
（3）设复合函数y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g : x→u=g(x) 的象集：①若u=g(x) 在A上是增（或减）函数，y= f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y= f[g(x)]在A上是增函数；②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y=f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y= f[g(x)]在A上是减函数。
（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：○1任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。
（5）简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：增函数+g是增函数；(x)(xf增函数)减函数+g是减函数；(xf减函数)(x)增函数-f减函数)g是增函数；(x)(x减函数-f增函数)g是减函数。
(x(x)3．最值（1）定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。
那么，称M是函数y=f(x)的最大值。
最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。
注意：○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ； ○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。
（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○2 利用图象求函数的最大（小）值； ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减则函数y =f (x )在x =b 处有最大值f (b )；如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增则函数y =f (x )在x =b 处有最小值f (b )； 4．周期性（1）定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数；（2）性质：①f (x+T )= f (x )常常写作),2()2(T x f T x f -=+若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期；②若周期函数f (x )的周期为T ，则f (ωx )（ω≠0）是周期函数，且周期为||ωT 。
四．典例解析题型一：判断函数的奇偶性 例1．讨论下述函数的奇偶性：);111(1)()3(;)0)(1(1)0(0)0)(1(1)()2(;22116)()1(222+-+-=⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=>++=++=x xog x f x x x n x x x x n x f x f xxx);0(||)()4(22≠-+-=a aa x xa x f 常数解：（1）函数定义域为R ，)(2211614161211161222116)(x f x f xxxxxxxxxxx=++=++∙=++=++=----，∴f (x )为偶函数；（另解）先化简：14414116)(++=++=-xx xx x f ，显然)(x f 为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。
（2）须要分两段讨论： ①设);()1(1111)1(1)(,0,0x f x x n xx nx x n x f x x -=-+-=-+=++=-∴<-∴>②设)()1(1111)1(1)(,0,0x f x x n xx nx x n x f x x -=-+--=-+-=--+-=-∴>-∴<③当x =0时f (x )=0，也满足f (－x )=－f (x )；由①、②、③知，对x ∈R 有f (－x ) =－f (x )， ∴f (x )为奇函数；（3）10101222=⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-x x x ，∴函数的定义域为1±=x ，∴f (x )=log 21=0(x =±1) ，即f (x )的图象由两个点 A （－1，0）与B （1，0）组成，这两点既关于y 轴对称，又关于原点对称，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数；（4）∵x 2≤a 2, ∴要分a >0与a <0两类讨论， ①当a >0时，)],,0()0,[(||a a aa x a x a -⇒⎩⎨⎧≠+≤≤-函数的定义域为xx a x f a x 22)(,0||-=∴>+∴，∴当a >0时，f (x )为奇函数；,2,2,2)(,0||2122a x a x ax xa x f a x -==---=∴<+称的两点取定义域内关于原点对 )(,0,03353)2()2(x f a a f a f 时当<∴≠±=-± 既不是奇函数，也不是偶函数.点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。
例2．(2002天津文.16)设函数f （x ）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：①y =－|f （x ）|；②y =xf （x 2）；③y =－f （－x ）；④y =f （x ）－f （－x ）。
必为奇函数的有_____（要求填写正确答案的序号）答案：②④；解析：y =（－x ）f ［（－x ）2］=－xf （x 2）=－y ；y =f （－x ）－f （x ）=－y 。
点评：该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。
对学生逻辑思维能力有较高的要求。
题型二：奇偶性的应用 例3．（2002上海春，4）设f （x ）是定义在R 上的奇函数，若当x ≥0时，f （x ）=lo g 3（1+x ），则f （－2）=____ _。
答案：－1；解：因为x ≥0时，f （x ）=lo g 3（1+x ），又f （x ）为奇函数，所以f （－x ）=－f （x ），设x ＜0，所以f （x ）=－f （－x ）=－f （1－x ），所以f （－2）=－lo g 33=－1。
点评：该题考察函数奇偶性的应用。
解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上函数的取值。
例4．已知定义在R 上的函数y = f (x )满足f (2+x )= f (2－x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )=2x －1，求x ∈[－4，0]时f (x )的表达式。
解：由条件可以看出，应将区间[－4，0]分成两段考虑：①若x ∈[－2，0]，－x ∈[0，2]， ∵f (x )为偶函数，∴当x ∈[－2，0]时，f (x )= f (－x )=－2x －1, ②若x ∈[－4，－2)， ∴4+ x ∈[0，2)， ∵f (2+x )+ f (2－x )，∴f (x )= f (4－x )，∴f (x )= f (－x )= f [4－（－x ）]= f (4+x )=2（x +4）－1=2x +7；综上，.)02(12)24(72)(⎩⎨⎧≤<---≤=≤-+=x x x x x f点评：结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数的解析式。