2018.1.17达人应用题5
2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
a 2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 ◆答案： 31★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A ，元素之和为31.2018B 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 ◆答案： π3★解析:记圆锥的顶点P 在底面的投影为O ，则O 为底面中心，且1tan ≤=∠OQOPOQP ，即1≥OQ ，故所以区域的面积为πππ31222=⨯-⨯。
2018B 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 ◆答案：101 ★解析：由def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为101!672=。
2018B 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=n 是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 ◆答案： 32-★解析:易知直线l 的方程为x y 3-=，因此对任意正整数n ，有n n a a 311-=+，故{}n a 是以31-为a 公比的等比数列.于是23123-=-=a a ，由等比数列的性质知325354321-==a a a a a a2018B 5、设βα,满足3)3tan(-=+πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为◆答案： 47-★解析:由两角差的正切公式可知7463tan =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+πβπα，即可得47)tan(-=-βα2018B 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ∆的面积为为 ◆答案：21★解析:设直线l 与MN 的斜率为k ，:l 11-=y k x ，:MN 211-=y k x 分别联立抛物线方程得到：0222=+-y k y （*），和0122=+-y ky （**） 对（*）由0=∆得22±=k ；对（**）得2442=-=-k y y NM所以2121=-⋅⋅=-==∆∆∆∆N M KBAN BAM BMN KMN y y AB S S S S2018B 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤1)(010x f x 的解集为◆答案：[]ππ--4,62★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]2,1上严格递减知，)(x f 在[]1,2--上递增，结合周期性知，)(x f 在[]1,0上递增，又1)()4(==-ππf f ，0)2()62(==-ππf f ，所以不等式等价于)4()()62(ππ-≤≤-f x f f ，又14620<-<-<ππ，即不等式的解集为a[]ππ--4,622018B 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则133221z z z z z z ++的实部是 （用含有r 的式子表示） ◆答案： 232-r★解析:记133221z z z z z z w ++=，由复数的模的性质可知：111z z =，221z z =，331z z =，因此 133221z z z z z z w ++=。
近年小升初应用题汇总
★1.（2017.10.29，中雅）学校安排学生到会议室听报告，如果每3人坐一条长椅，则剩下36人没有座位；如果每5人坐一条长椅，则刚好空出2条长椅，参加会议室的学生有___________人．2.（2017.11.4，中雅）一件衣服按照30%的利润率出售，后来又打了八折，现在的售价是520元，那么这件衣服的成本价是（）A、500B、480C、450D、4003.（2017.11.4，中雅）浓度为70%的酒精溶液500克与浓度为50%的酒精溶液300克，混合后所得到的酒精溶液的浓度是多少？4.（2017.12，中雅）一桶油重1千克，倒出它的15后，再倒出15千克，则这桶油比原来少了__________千克．5.（2017.12，中雅）一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成，现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做__________天可以完成全部工作．6.（2018.8.30，长培）一件商品原价200元，降价5%后，又涨价5%，现价___________元．7.（2017.10.7，青一）5米增加它的12后，再减去12米，结果是（）．A.334B.134C.5D.78.（2017.10.7，青一）一根钢管，截取部分是剩下部分的14，则剩下部分是原钢管长的（）%．A.75B.400C.80D.259.（2017.10.7，青一）三堆梨共130个，第二堆梨是第一堆梨的3倍，第三堆梨比第二堆梨的2倍多10个，问：三堆梨中，最多的比最少的多多少个梨？10.（2017.10.7，青一）毛毛参加一次数学竞赛，答对一题得4分，答错一题扣1分，不答不得分也不扣分，他只答了20道题目，得了60分，毛毛答对了几道题？11.（2017.10.7，青一）学校拨了一笔钱买体育用品，如果用它买足球可以买100个，买篮球可以买80个，如果先买了20个足球，剩下的钱再买篮球，可以买（）个．12.（2017.11.4，青一）把甲桶的16倒入乙桶，这时两箱油一样多。
高考数学赢在微点2018年 理科使用-配餐作业5
配餐作业(五) 函数的单调性与最值一、选择题1．给定函数：①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1。
其中在区间(0,1)上单调递减的函数序是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析 ①y ＝x 12在区间(0,1)上单调递增；②y ＝log 12(x ＋1)在区间(0,1)上单调递减；③y ＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1在区间(0,1)上单调递减；④y ＝2x ＋1在区间(0,1)上单调递增。
故选B 。
答案 B2．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．先增后减D ．先减后增解析 由y ＝ax 在(0，＋∞)上是减函数，知a <0；由y ＝－bx 在(0，＋∞)上是减函数，知b <0。
所以y ＝ax 2＋bx 的图象的对称轴x ＝－b2a <0。
又因为y ＝ax 2＋bx 的图象的开口向下，所以y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是减函数。
故选B 。
答案 B3．若函数f (x )＝|3x －a |的单调递增区间是[5，＋∞)，则a 的值为( ) A ．－15B ．15C ．－53D ．53解析 由图象易知函数f (x )＝|3x －a |的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 3，＋∞，令a3＝5，得a ＝15。
故选B 。
答案 B4．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c解析 根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，且2<52<3，所以b >a >c 。
高考数学一题多解(含17年高考试题)5
(山东卷）2018年高考数学一题多解（含17年高考试题）1.(2017.山东文T4)已知34cosx =,则2cos x = (A)- 14 (B) 14 (C) - 18 (D) 18【考点】二倍角公式及其变形【试题分析】本题考查了倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【答案】D【解析】法一：34cosx =，cos2x =2cos 2x -1=81. 法二：由34cosx =得27sin 16x =，2141212sin 1168cos x x =-=-=. 法三：由34cosx =得27sin 16x =，229712cos sin 16168cos x x x =-=-=. 3.(2017.山东文T11)若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞ 过点（1,2），则2a +b 的最小值为____ 【知识点】基本不等式【试题分析】本题考查基本不等式的应用，考查“1”代换，考查计算能力，属于基础题． 【答案】82a +b =b b b +-22=b b b b b +-+=+-+-24224)2(2=)2.(24242244--+≥-+-+b b b b =8. 法三：直线过点(1,2),则,121=+b a ,22211abb a ≥+=即ab≥8,当且仅当b=2a 时等号成立,所以2a +b ,822≥≥ab 当且仅当b=2a 时等号成立.(理科T7)若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b <+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【知识点】函数单调性、基本不等式、比较大小【试题分析】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．法二：a >b >0，且ab =1则a >1,0<b <1,所以+>>12,a b+=+>==22221log (a b)log (a )log log 21,a又+<22log (a b)log 当a=b =1时等号成立.<<a b 012，所以b <+<+2a b 1log (a b)a 2. 法三：构造,2ln 11)(),2(log )(2x x f x x x x f -='>-= ,14ln 2ln 22ln >=>x 所以,12ln 1<x 此时0)(>'x f ， 所以f （x ）在（2，+∞）上为增函数. 所以f （x ）>f (2)=1>0,所以x >log 2x ，即2a >)(log 2log 22b a a +>，所以b +<+21log (a b)a ,<<ab012，+=+>==22221log (a b)log (a )log log 21,a所以b <+<+2a b 1log (a b)a 2.。
(完整版)2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷真题及答案解析,推荐文档
⎩2018 年 1 月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）1、选择题：本大题共 15 小题. 每小题 4 分，满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合 M = {-1,0,1, 2}， N = {x | -1 ≤ x < 2}，则 M N = （）A . {0,1, 2}B . {-1,0,1}C . MD . N2、对任意的正实数 x , y ，下列等式不成立的是（）A . lg y - lg x = lg y xB . lg(x + y ) = lg x + lg yC . lg x 3= 3lg xD . lg x =ln x ln10⎪x 3 -1, x ≥ 03、已知函数 f (x ) =⎪2x , x < 0 ，设 f (0) = a ，则 f (a )= （）A . -2B . -1C .1 D . 0 2x4、设i 是虚数单位， x 是实数，若复数的虚部是 2，则 x = （）1+ iA . 4B . 2C . -2D . -45、设实数 a 为常数，则函数 f (x ) = x 2 - x + a (x ∈ R ) 存在零点的充分必要条件是（）A . a ≤ 1B . a > 1C . a ≤ 14D . a > 146、已知向量 a = (1,1) ， b = (0, 2) ，则下列结论正确的是（ ）A . a / /bB . (2a - b ) ⊥ bC . a = bD . a b = 37、某校高一（1）班有男、女学生共 50 人，其中男生 20 人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取 15 人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（）3 13 ⎩y= > A . 6和9B . 9和6C . 7和8D . 8和78、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（）A .1B . 2C . 4D . 8⎧x - y +1 ≥ 0 ⎪9、若实数 x , y 满足 ⎨x + y ≥ 0 ，则 z = x - 2 y 的最小值为⎪x ≤ 0 （）A . 0B . -1C . - 32D . -210、如图， o 是平行四边形 ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（）A . DA - DC = AC C . O A - OB + AD = DBB . DA + DC =D OD . AO + OB + B C = AC11、设 ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，若 a =A .5 B .C .2 D . 66333, b = 2, c = ，则C = （）12、函数 f (x ) = 4 s in x cos x ，则 f (x ) 的最大值和最小正周期分别为（）A . 2和B . 4和C . 2和2D . 4和213、设点 P 是椭圆 x 2 +a 2 241(a 2) 上的一点， F 1，F 2 是椭圆的两个焦点，若 F 1F 2 = 4 ，则 PF 1 + P F 2 = （）2 { }n n A . 4 B . 8 C . 4 D . 414、设函数 f (x ) 是定义在 R 上的减函数，且 f (x ) 为奇函数，若 x 1 < 0 ， x 2 > 0 ，则下列结论不正确的是（）A . f (0) = 0B . f (x 1) > 0C . f (x 2 +1) ≤ x 2f (2) D . f (x 1 + 1) ≤ x 1f (2)15、已知数列 a 的前 n 项和 S = 2- 2 ， 则 a + a + + a = （）n +122 2 12nA . 4(2n -1)2B . 4(2 n -1 +1)24(4n -1) C .34(4n -1 + 2)D .3二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分.x 2y 216、双曲线- = 1的离心率为 .9 16217、若sin( -)= ，且0 << ，则tan =.2 318、笔筒中放有 2 支黑色和 1 支红色共 3 支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒， 第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为.19、圆心为两直线 x + y - 2 = 0 和 -x + 3y +10 = 0 的交点，且与直线 x + y - 4 = 0 相切的圆的标准方程是.三、解答题：本大题共 2 小题. 每小题 12 分，满分 24 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列{a n }满足 a 1 + a 3 = 8 ，且 a 6 + a 12 = 36 .（1） 求{a n }的通项公式；（2） 设数列{b n }满足b 1 = 2 ， b n +1 = a n +1 - 2a n ，求数列{b n }的前 n 项和 S n .721、如图所示，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PB =BC ，F 为BC 的中点，DE 垂直平分PC ，且DE 分别交AC，PC 于点D, E .（1）证明：EF / /平面ABP ；（2）证明：BD ⊥AC .3 2018 年 1 月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）答案解析一、选择题：本大题共 15 小题. 每小题 4 分，满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、B 解析： M N = {-1，0 1，}，故选 B.2、B 解析：对于 B 项，令 x = y = 1 ，则lg(x + y ) = lg 2 > lg1 = 0 ，而lg x + lg y = 0 ，显然不成立，故选 B.3、C解析： a = f (0) = 03 -1 = -1 ∴ f (a ) = f (-1) = 2-1 = 1， 故 选 C.2x x (1- i )x x x4、D 解析： == - i ∴- = 2 ⇒ x = -4 ，故选 D. 1+ i (1+ i )(1- i ) 2 2 25、C解析：由已知可得， ∆ = 1- 4a ≥ 0 ⇒ a ≤6、B 解析：对于 A 项，1⨯ 2-0 ⨯1 ≠ 0 ，错误；1 ，故选 C.4对于 B 项， 2a - b = (2, 0) ， b = (0, 2) ，则 2 ⨯ 0+0 ⨯ 2 = 0 ⇒ (2a - b ) ⊥ b ，正确；对于 C 项， a = 2, b = 2 ，错误；对于 D 项， a b = 1⨯ 0 +1⨯ 2 = 2 ，错误. 故选 B.15 337、A 解析：抽样比为 k = = 50 10 ，则应抽取的男生人数为 20 ⨯ =6(人) ，应抽取的女生人数10为(50 - 20) ⨯ 310= 9(人) ，故选 A.8、C解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为 2，宽为 2，高为 1，则体积为V = 2 ⨯ 2 ⨯1 = 4 ，故选 C.9、D解析：（快速验证法）交点为(0,1),(0, 0), (-1 1, ) ，则 z = x - 2 y 分别为 -2, 0, - 2 2，所以 2( 3)2 + 22 - ( 13)22 ⨯3 ⨯ 2 3 3 -x 11 -x 1x 2 时等号 21 z 的最小值为 -2 ，故选 D.10、D 解析：对于 A 项， DA - DC = CA ，错误；对于 B 项， DA + DC = 2DO ，错误；对于 C 项， OA - OB + AD = BA + AD = BD ，错误；对于 D 项， AO + OB + BC = AB + BC = AC ，正确. 故选 D.a 2 +b 2 -c 211、A解析：由余弦定理，得cos C == = - ，又2ab20 < C < 5，故选 A.62 12、A解析： f (x ) = 2 s in 2x ∴ f (x )max = 2 ，最小正周期为T = = ，故选 A.213、B解析： F 1F 2 = 4= 2c ⇒ c = 2 3 ∴ a 2 = c 2 + b 2 = (2 3)2 + 4 = 16 ⇒ a = 4∴ PF 1 + P F 2 = 2a = 2 ⨯ 4 = 8 ，故选 B.14、D 解析：对于 A 项， f (x ) 为 R 上的奇函数 ∴ f (0) = 0 ，正确； 对于 B 项， f (x ) 为 R 上的减函数 ∴ x 1 < 0 ⇒ f (x 1 ) > f (0) = 0 ，正确；对于 C 项， x 2 > 0 ∴ x 2 + 1 ≥ 2 2= 2 当且仅当，即= 1 x 成=立1) x 2∴ f (x 2 + 1) ≤ f (2) ，正确；x 2对 于 D 项 ， x 1< 0 ∴ x 1 1 + = -(-x 1 + x 1 1 -x ) ≤ -2 = -2x 1 2 x 2 ∴C =1- ( 2)2 34 - 2 - 4 12 +122 n n n n n n -1⎩ ⎩∴ f (x 1 + 1 ) ≥ x 1f (-2) = - f (2) ，错误. 故选 D.15、C解析：当 n ≥ 2 时， a = S - S = 2n +1 - 2 - (2n - 2) = 2 ⨯ 2n - 2n = 2n ；当 n = 1 时， a 1= S 1 = 22 - 2 = 2 适合上式. ∴ a = 2n (n ∈ N * ) ⇒ a 2 = (2n )2 = 4n ∴{a 2}是首项为 4 ，公比为2224(1- 4n ) 4(4n -1)4 的等比数列 ∴ a 1 + a 2 + + a n = 1- 4 =，故选 C. 3二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分.516、3解析：由已知，得 a 2 = 9 ⇒ a = 3, b 2 = 16 ⇒ b = 4∴c 2 = a 2 + b 2 = 9 +16 = 25 ⇒ c = 5∴双曲线的离心率为e = c = 5.a 317、解析： sin(2-) = cos=，且 0 <<223∴sin= 1- c os 2= = 5 3∴tan=sin= 5 ⨯ 3 = .cos 3 2 24 2 ⨯ 2 418、 解析： P = = .9 3⨯ 3 922⎧x + y - 2 = 0 ⎧x = 4 19、 (x - 4) + ( y + 2) = 2 解析：联立 ⎨-x + 3y +10 = 0 得 ⎨ y = -2 ⇒圆心为(4, -2)则圆心(4, -2) 到直线 x + y - 4 = 0 的距离为 d == ，故圆的半径为∴圆的标准方程为(x - 4)2 + ( y + 2)2 = 2 .5 5 23、解答题：本大题共 2 小题. 每小题 12 分，满分 24 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、解：（1）设等差数列{a n }的公差为 d .∴ ⎨⎧a 1 + a 3 =8 ⇒ ⎧⎨a 1 + a 1 + 2d = 8 ⇒ ⎨⎧a 1 = 2 a + a = 36 a + 5d + a +11d = 36 d = 2 ⎩ 612⎩ 11⎩∴ a n = 2 + (n -1) ⨯ 2 = 2n ∴数列{a n }的通项公式为 a n = 2n .（2）由（1）知， a n = 2n ∴b n +1 = a n +1 - 2a n = 2(n +1) - 2 ⨯ 2n = -2n + 2∴b n = -2(n -1) + 2 = -2n + 4 又 b 1 = 2 适合上式 ∴b n = -2n + 4(n ∈ N * )∴b n +1 - b n = -2n + 2 - (-2n + 4) = -2 ∴数列{b n }是首项为 2 ，公差为 -2 的等差数列.∴ S n = 2n +n (n -1)⨯(-2) = 2n - n 2 + n = -n 2 + 3n 221、解：（1）证明： DE 垂直平分 PC ∴ E 为 PC 的中点又 F 为 BC 的中点 ∴ EF 为 BCP 的中位线∴ EF / / BP又 EF ⊄ 平面AB 面P , BP ⊂ABP ∴ EF / /平面ABP（2）证明：连接 BEPB = BC ， E 为 PC 的中点 ∴ PC ⊥ BEDE 垂直平分 PC ∴ PC ⊥ DE又 BE DE = E ， BE , DE ⊂ 平面BDE∴ PC ⊥ 平面BDE又 BD ⊂ 平面BDE ∴ PC ⊥ BDPA ⊥平面AB面C, BD ⊂ABC ∴PA ⊥BD又 PC PA =P ，PC, PA ⊂平面PAC ∴BD ⊥平面PAC 又 AC ⊂平面PAC ∴BD ⊥AC“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
六年级数学每课精选训练II (86)
六年级应用题姓名：评分：
用6台织布机每天织布1800米,增加4台同样的织布机后,每天可以织布多少米?
有一台冰箱，原价2000元，降价后卖1600元，降了百分之几？
两地间的公路长420千米.甲、乙两人骑摩托车分别从两地同时相向开出,甲每小时行45千米,是乙的速度的3/4.经过多少小时两人相遇?
在比例尺是1:5000000的地图上,量得两地的距离是6cm,甲,乙两辆汽车同时从两地相对开出,2小时后相遇,已知甲,乙两车速度比为2:3,问:乙车每小时行多少千米?
丹青不知老将至，富贵于我如浮云。——杜甫
一个三角形的三个内角的比是2:3:4，ห้องสมุดไป่ตู้三个内角的度数分别是多少？
水果店运来苹果和梨共133千克，苹果卖出，梨卖出20千克后，剩下的梨和苹果的质量恰好相等。原来苹果和梨各运来多少千克？
商家决定将一批苹果的价格提高20%，这时所得的利润就有原来的两倍。已知这批苹果的进价是每千克6元，按原计划可获利润1200元，那么这批苹果共有多少千克？
一项工程,甲队单独20天可以完成,乙队单独3天可以完成这项工程的1/10.两队合修,几天可以完成这项工程?
某校六年级有三个班，六一班占六年级总人数的29/75，从六一班调8个同学到六二班后，三个班的人数同样多，六三班共有多少人？
一项工程，甲独做18天完成，乙独做15天完成，甲、乙两人合做，但甲中途有事请假4天，那么甲完成任务时实际做了多少天？
广东省2017-2018学年1月份学业水平考试数学模拟试题(1) Word版含答案
广东省2017-2018学年学业水平考试数学模拟试题（1）一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设集合{}1,2,3M =，{}1N =，则下列关系正确的是（ ）A ．N ∈MB ．N ∉MC ．N =MD ．N ⊆M2、有一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是一个（ ）A ．棱台B ．棱锥C ．棱柱D ．圆柱 3、如图是某运动员在某个赛季得分的茎叶统计图，则该运动员得分的中位数是（ ）A ．2 B ．3 C ．22 D ．23 4、函数1y x =+的零点是（ ）A ．0B ．1-C ．()0,0D ．()1,0-5、已知一个算法，其流程图如图，则输出的结果是（ ）A ．10B ．11C ．8D ．96、在C ∆AB 中，M 是C B 的中点，则C AB +A =（ ）A ．12AM B ．AM C ．2AM D ．MA 7、如图，在边长为2的正方形内有一内切圆，现从正方形内取一点P ，则点P 在圆内的概率为（ ）A ．44π-B ．4πC ．4π D ．π8、下列函数中，以2π为最小正周期的是（ ） A ．sin2xy = B ．sin y x = C ．sin 2y x = D ．sin 4y x =9、在C ∆AB 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若135A =，30B =，a =b =（ ）A ．1BCD ．210、直线210x y -+=与直线()121y x -=+的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．重合11、已知数列{}n a 是公比为实数的等比数列，且11a =，59a =，则3a =（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 12、不等式()30x x -<的解集是（ ）A ．{}0x x <B ．{}3x x <C ．{}03x x <<D ．{}03x x x <>或 13、若正数a 、b 满足8ab a b =++，则ab 的取值范围是（ ）A ．(]0,16B ．[)4,16C ．[]4,16D ．[)16,+∞ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）14、:p 0R x ∃∈，200220x x --=，则p 的否定是 ．15、已知函数()8,0,0x f x x a x <⎧=⎨+≥⎩，若()310f =，则a = ．16、设双曲线C :22213x y a -=（0a >）的一个顶点坐标为()2,0，则双曲线C 的方程是 ．17、若实数x ，y 满足约束条件12220x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最大值是 ．18、函数22log x y x =+在区间[]1,4上的最大值是 ．三、解答题（本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19、（本小题满分9分）已知3sin 5α=，02πα<<，求cos α和sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 20、（本小题满分9分）如图，正方体1111CD C D AB -A B 中，E 为1DD 的中点．()1证明：1D C B ⊥A ； ()2证明：1D //B 平面C A E ．21、（本小题满分10分）已知圆C :22420x y x y a ++-+=，直线:l 30x y --=，点O 为坐标原点．()1求过圆C 的圆心且与直线l 垂直的直线m 的方程；()2若直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON ，求实数a 的值．广东省2016年1月份学业水平考试数学模拟试题（1）参考答案一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、D2、B3、D4、B5、A6、C7、C8、D9、A 10、A 11、B 12、C 13、D二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）14、R x ∀∈，2220x x --≠ 15、7 16、22143x y -= 17、5 18、18 三、解答题（本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19、解：3sin5α=，02πα<<∴4sin 5α===∴34sin sin cos cos sin 444525210πππααα⎛⎫+=+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 20、证明：()1连结D B 四边形CD AB 是正方形∴C D A ⊥B1DD ⊥平面CD AB ，C A ⊂平面CD AB∴1C DD A ⊥1D DD D B =，D B ⊂平面1DD B ，1DD ⊂平面1DD B∴C A ⊥平面1DD B1D B ⊂平面1DD B∴1D C B ⊥A()2设CD A B =O ，连结OE四边形CD AB 是正方形 ∴O 是D B 的中点E 为1DD 的中点∴1//D OE BOE ⊂平面C A E ，1D B ⊄平面C A E∴1D //B 平面C A E21、解：()1圆C :22420x y x y a ++-+=化为()()22215x y a ++-=-∴圆C 的圆心是()2,1-直线:l 30x y --=的斜率是1l k = 直线l ⊥直线m∴1l m k k ⋅=-即11m lk k =-=- ∴过圆C 的圆心且与直线l 垂直的直线m 的方程是()12y x -=-+即10x y ++=()2设()11,x y M ，()22,x y N ，则()11,x y OM =，()22,x y ON =由2242030x y x y a x y ⎧++-+=⎨--=⎩，消去y 得：()()2234230x x x x a +-+--+= 即224150x x a -++=直线l 与圆C 相交于M 、N 两点∴()()2442150a ∆=--⨯⨯+>解得：13a <-由韦达定理得：122x x +=，12152ax x +=OM ⊥ON∴12120x x y y +=()()()121212123339y y x x x x x x =--=-++∴()12122390x x x x -++= ∴15690a +-+=解得：18a =-故实数a 的值是18-。
2018年全国高中数学联合竞赛一试参考答案(A卷)
2018年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 设集合 1,2,3,,99,2,2A B x x A C x x A ，则B C 的元素个数为 ．答案：24．解：由条件知， 13992,4,6,,198,1,,2,,2,4,6,,48222B C，故B C 的元素个数为24．2. 设点P 到平面的距离为，点Q 在平面 上，使得直线PQ 与 所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 ．答案：8 ．解：设点P 在平面 上的射影为O ．由条件知，tan OP OQP OQ ，即[1,3]OQ ，故所求的区域面积为22318 ．3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 ．答案：910．解：先考虑abc def +为奇数的情况，此时,abc def 一奇一偶，若abc 为奇数，则,,a b c 为1,3,5的排列，进而,,d e f 为2,4,6的排列，这样有3!3!36×=种情况，由对称性可知，使abc def +为奇数的情况数为36272×=种．从而abc def +为偶数的概率为72729116!72010−=−=．4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b的左、右焦点分别是1F 、2F ，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P ．已知线段,,,PU PS PV PT 的长分别为1,2,3,6，则12PF F 的面积为 ．答案解：由对称性，不妨设(,)P P P x y 在第一象限，则由条件知112,122P P x PT PS y PV PU ，即(2,1)P ．进而由1,2P x PU PS 得(2,2),(4,1)U S ，代入椭圆C 的方程知2222111144161a b a b，解得2220,5a b ．从而121212PF F P P S F F y y ．5. 设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足()1,(2)2f f ，则不等式组12,1()2x f x的解集为 ． 答案：[2,82] ．解：由()f x 为偶函数及在[0,1]上严格递减知，()f x 在[1,0] 上严格递增，再结合()f x 以2为周期可知，[1,2]是()f x 的严格递增区间．注意到(2)()1,(82)(2)(2)2f f f f f ，所以1()2(2)()(82)f x f f x f ，而12822 ，故原不等式组成立当且仅当[2,82]x ．6. 设复数z 满足1z ，使得关于x 的方程2220zx zx 有实根，则这样的复数z 的和为 ．答案：32．解：设22i (,,1)R z a b a b a b ．将原方程改为2(i)2(i)20a b x a b x ，分离实部与虚部后等价于2220ax ax ，① 220bx bx ．②若0b ，则21a ，但当1a 时，①无实数解，从而1a ，此时存在实数1x 1z 满足条件．若0b ，则由②知{0,2}x，但显然0x 不满足①，故只能是2x ，代入①解得14a ，进而b，相应有z ．综上，满足条件的所有复数z 之和为312．7. 设O 为ABC 的外心，若2AO AB AC，则sin BAC 的值为 ．答案 解：不失一般性，设ABC 的外接圆半径2R ．由条件知，2AC AO AB BO，①故112AC BO ．取AC 的中点M ，则OM AC ，结合①知OM BO ，且B 与A 位于直线OM 的同侧．于是1cos cos(90)sin 4MC BOC MOC MOC OC ． 在BOC 中，由余弦定理得BC ，进而在ABC中，由正弦定理得sin 2BC BAC R． 8. 设整数数列1210,,,a a a 满足1012853,2a a a a a ，且1{1,2},1,2,,9i i i a a a i ，则这样的数列的个数为 ．答案：80．解：设1{1,2}(1,2,,9)i i i b a a i ，则有11011292a a a b b b ，① 2345285567b b b a a a a b b b ．②用t 表示234,,b b b 中值为2的项数．由②知，t 也是567,,b b b 中值为2的项数，其中{0,1,2,3}t ．因此237,,,b b b 的取法数为021222323333(C )(C )(C )(C )20 ．取定237,,,b b b 后，任意指定89,b b 的值，有224 种方式．最后由①知，应取1{1,2}b 使得129b b b 为偶数，这样的1b 的取法是唯一的，并且确定了整数1a 的值，进而数列129,,,b b b 唯一对应一个满足条件的数列1210,,,a a a ．综上可知，满足条件的数列的个数为20480 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）已知定义在R 上的函数()f x 为3log 1,09,()49.x x f x x设,,a b c 是三个互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ，求abc 的取值范围．解：不妨假设a b c ．由于()f x 在(0,3]上严格递减，在[3,9]上严格递增，在[9,) 上严格递减，且(3)0,(9)1f f ，故结合图像可知(0,3)a ，(3,9)b ，(9,)c ，并且()()()(0,1)f a f b f c ． …………………4分由()()f a f b 得331log log 1a b ，即33log log 2a b ，因此239ab ．于是9abc c ． …………………8分又0()41f c ， …………………12分故(9,16)c ．进而9(81,144)abc c ．所以，abc 的取值范围是(81,144)． …………………16分注：对任意的(81,144)r ，取09rc =，则0(9,16)c ∈，从而0()(0,1)f c ∈．过点00(,())c f c 作平行于x 轴的直线l ，则l 与()f x 的图像另有两个交点(,())a f a ，(,())b f b （其中(0,3),(3,9)a b ），满足()()()f a f b f c ，并且9ab ，从而abc r =．10.（本题满分20分）已知实数列123,,,a a a 满足：对任意正整数n ，有(2)1n n n a S a ，其中n S 表示数列的前n 项和．证明：(1) 对任意正整数n ，有n a(2) 对任意正整数n ，有11n n a a ．证明：(1) 约定00S ．由条件知，对任意正整数n ，有221111(2)()()n n n n n n n n n a S a S S S S S S ，从而220n S n S n ，即n S （当0n 时亦成立）． …………………5分显然，1n n n a S S ． …………………10分 (2) 仅需考虑1,n n a a 同号的情况．不失一般性，可设1,n n a a 均为正（否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则11n n n S S S ，故必有1n n S S ，此时1n n a a从而11n n a a ．…………………20分11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线24y x 的过点(1,0)F 的弦，AOB 的外接圆交抛物线于点P （不同于点,,O A B ）．若PF 平分APB ，求PF 的所有可能值．解：设222123123,,,,,444y y y A y B y P y，由条件知123,,y y y 两两不等且非零． 设直线AB 的方程为1x ty ，与抛物线方程联立可得2440y ty ，故124y y ． ① 注意到AOB 的外接圆过点O ，可设该圆的方程为220x y dx ey ，与24y x 联立得，4210164y d y ey ．该四次方程有123,,,0y y y y 这四个不同的实根，故由韦达定理得12300y y y ，从而312()y y y ．②…………………5分因PF 平分APB ，由角平分线定理知，12PA FA yPB FB y ，结合①、②，有2222312222231212112122222222222321222132()()16(2)44()16(2)()44y y y y y y y y y PA yy PB y y y y y y y y y2222422122122224212112(8)16(416)64192(8)16(416)64192y y y y y y y y y y ， ………………10分 即62226222112122126419264192y y y y y y y y ，故 224224121122()(192)0y y y y y y ．当2212y y 时，21y y ，故30y ，此时P 与O 重合，与条件不符． 当422411221920y y y y 时，注意到①，有22221212()192()208y y y y ． …………………15分因22121282y y y y ，故满足①以及2212y y 的实数12,y y 存在，对应可得满足条件的点,A B ．此时，结合①、②知222231212()4411444y y y y y PF ．…………………20分。
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2018.1.17达人。
1、三个和尚从山下抬水吃，需要两个人才能抬起来，山下到寺庙的距离是852米。
平均每个和尚需要抬多远？
2、王师傅准备制作一批风筝，计划每天制作75个，这样20天就可以完成。
但在实际制作中，平均每天比计划多做25个。
那么王师傅可以提前多少天完成？
3、张老师买了13个篮球，付给营业员700元，找回76元。
一个篮球的价格是多少元？
4、周末小王去爬山，山坡总长720米，小王上山时平均每分钟走40米，下山时平均每分钟走60米。
那么小王上山下山过程中平均每分钟走多少米？
5、巧克力每千克18元，玉米糖每千克10元，牛奶糖每千克14元。
把这三种糖取同样的质量混合成什锦糖出售，一天共卖出378元，这一天共卖出这种什锦糖多少千克？
6、两辆汽车同时从相距450千米的甲乙两地相对开出，甲车的速度是每小时72千米，乙车的速度是每小时78千米。
这两辆车多长时间后能相遇？
7、超市新进16箱纯牛奶和10箱酸奶，一共付了1280元。
纯牛奶和酸牛奶的总价正好相等，每箱纯牛奶多少元？8、某车间加工一批零件，前5天一共加工了145个。
照这样计算，再加工3天可以完成任务，这批零件一共有多少个？
9、甲、乙两人买了24个杯子花了同样多的钱。
甲拿了16个，乙拿了8个。
这样甲要给乙20元。
问：每个杯子多少钱？
10、甲乙两个容器的容量一共是1200毫升，甲容器的容量是乙容器的3倍。
甲容器的容量是多少毫升？乙容器的容量是多少毫升？
11、第一个瓶子里有200毫升的水，比第二个杯子少装了50毫升的水，第三个杯子里装的水是第二个杯子的3倍。
第三个杯子里有多少毫升的水？
12、甲乙两个容器共装水1200毫升，如果甲容器给乙容器200毫升，则两个容器里的水是一样多的。
甲乙两个容器原来各有水多少毫升？
13、一列80米长的队伍要通过一座400米长的大桥。
队伍前进的速度是每分钟60米，则从队伍的排头上桥到队尾离桥，需要几分钟？
14、5名同学同时从学校到720米外的图书馆只有一辆三轮车（只能一人骑车，可以载2人），平均每人步行多少米？。