2021年高考数学(理)二轮复习精品《专题06 三角函数的图像与性质》押题专练(含解析)
2021年高考数学(理)二轮复习精品《专题02 函数的图像与性质》押题专练(含解析)
解析：选 B 法一：如图所示，
设∠MON＝α，由弧长公式知 x＝α，在 Rt△AOM 中，|AO|＝1－t，cos x＝ |OA| ＝1－t，∴y＝cos x＝2cos2x
2 |OM|
2
－1＝2(t－1)2－1(0≤t≤1)．故其对应的大致图象应为 B.
法二：由题意可知，当 t＝1 时，圆 O 在直线 l2 上方的部分为半圆，所对应的弧长为π×1＝π，所以 cos π
f2 x ，f1 x ＜f2 x ，
系中分别画出函数 f1(x)与 f2(x)的图象，如图所示，则 g(x)的图象如图中实线部分所示．由图可知 g(x)在[0，
＋∞)上单调递增，又 g(x)在[a，b]上单调递增，故 a，b∈[0,5]，所以 b－a 的最大值为 5.
答案：5
18．定义在 R 上的函数 f(x)在(－∞，－2)上单调递增，且 f(x－2)是偶函数，若对ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ切实数 x，不等式 f(2sin
止移动．记△PCQ 的面积关于移动时间 t 的函数为 S＝f(t)，则 f(t)的图象大致为( )
解析：选 A 当 0≤t≤4 时，点 P 在 AB 上，点 Q 在 BC 上，此时 PB＝6－t，CQ＝8－2t，则 S＝f(t)＝1QC×BP 2
＝1(8－2t)×(6－t)＝t2－10t＋24；当 4＜t≤6 时，点 P 在 AB 上，点 Q 在 CA 上，此时 AP＝t，P 到 AC 的距离 2
1．已知 f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b 是偶函数，且其定义域为[6a－1，a]，则 a＋b＝( )
A.1 B．－1 7
C．1 D．7
解析：选 A.∵f(x)为偶函数，∴b＝0.定义域为[6a－1，a]则 6a－1＋a＝0，∴a＝1，∴a＋b＝1.
2021高考数学押题专练三角函数(解析版)
a
b
1
，则（
）
A．
g
x
的对称中心为
kπ 2
π 6
,1
，
k
Z
B．
g
x
在
π 4
,
2π 3
上的最大值为
2
C．
g
x
cos
2x
π 6
1
D． g x
3 2
1
解集为
kπ,
kπ
π 3
，
k
Z
【答案】AC
【详解】
因为函数
f
x
sin x a, x 0, cos x b, x 0 的图象关于
2k
2
, 2k
3 2
,
k
Z
，
5 由 6
, 5 3
不是
2k
2
, 2k
3 2
,
k
Z
的子集，故
B
不正确；
对于 C， g x ≥ 1 ，即 g x cos 4x 1 ，即 cos 4x 1 ，
2
2
2
即 2 2k 4x 4 2k , k Z ，
3
3
解得
k
x
k
, k Z ，故
y 轴对称，所以
f
x
f
x ，令
x
0 ，则
sin
x
a
cos
x
b
sin
π 2
x
b
，
所以 a
b
π 2
2kπ
k
Z
，所以
g x
sin
2x
π 6
π 2
1
2021年高考数学二轮复习 三角函数的图像与性质训练题 理
2021年高考数学二轮复习 三角函数的图像与性质训练题 理1．(xx·浙江高考)函数f(x)＝sin xcos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( )A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，22．(xx·浙江高考)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(xx·福建质检)函数f(x)＝x 2cos x 的图像大致是( )4．三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C)，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( )A ．1B ．－1C ．3D ．45．(xx·济南模拟)若函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(－2<x<10)的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图像交于B ，C 两点，则(＋)·＝( )A ．－32B ．－16C ．16D ．326．(xx·济南模拟)如图是函数y ＝Asin(ωx＋φ) 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图像．为了得到这个函数的图像，只需将y ＝sin x(x ∈R)的图像上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变7．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，则α＝________.8．(xx·荆州市质检)函数y ＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且函数图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，0对称，则函数的解析式为________________． 9.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f(x)的部分图像如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.10．(xx·安徽高考)设函数f(x)＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f(x)的图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变化得到． 11．(xx·长春市调研)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的部分图像如图所示． (1)求函数y ＝f(x)的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6时，求f(x)的取值范围．12．(xx·辽宁省五校模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，3)．(1)求sin 2α－ta n α的值；(2)若函数f(x)＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数y ＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域．1．选A 由f(x)＝sin xcos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，得最小正周期为π，振幅为1.2．选B 若f(x)是奇函数，则φ＝π2＋kπ(k∈Z)，且当φ＝π2时，f(x)为奇函数．3．选B 因为f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x 2cos x ＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除C 、D ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π32cos π3＝π218>0，所以排除A.4．选 B 因为三角形ABC 是锐角三角形，所以A ＋B>90°，即A>90°－B ，则sin A>sin(90°－B)＝cos B ，sin A －cos B>0，同理cos A －sin C<0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1.5．选D 由f(x)＝0解得x ＝4，即A(4,0)，过点A 的直线l 与函数的图像交于B ，C 两点，根据对称性可知，A 是BC 的中点，如图，所以＋＝2，所以(＋)·＝2·＝2||2＝2×42＝32.6．选A 由题意知，A ＝1；由2πω＝5π6＋π6，得ω＝2；由2×π3－π62＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，0<φ<π2，得φ＝π3，故y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.只要把函数y ＝sin x 的图像向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，即可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像．7．解析：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α＝π6，即α＝π12.答案：π128．解析：由题意知最小正周期T ＝π＝2πω，∴ω＝2,2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8＋φ＝kπ(k∈Z)， ∴φ＝kπ＋3π4(k ∈Z)．又0<φ<π，∴φ＝3π4，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4. 答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π49．解析：由图像可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝2π8＝π4，即周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图像过定点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以0＝Atan2×3π8＋φ，即3π4＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－3π4(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝π4.再由图像过定点(0,1)，可得A＝1.综上可知，f(x)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.故有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3.答案： 310．解：(1)因为f(x)＝sin x ＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以当x ＋π6＝2kπ－π2，即x ＝2kπ－2π3(k ∈Z)时，f(x)取最小值－ 3.此时x 的取值集合为(2)先将y ＝sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得y ＝3sin x 的图像；再将y ＝3sin x 的图像上所有的点向左平移π6个单位长度，得y ＝f(x)的图像．11．解：(1)由图像得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入得1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ，而－π2<φ<π2，所以φ＝π3.因此函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6，－2π3≤x＋π3≤π6，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤12，所以f(x)的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.12．解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α ＝－32＋33＝－36. (2)∵f(x)＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ， ∴y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1.∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x－π6≤5π6.∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1. 故函数y ＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为[－2,1]．35673 8B59 譙<24064 5E00 帀tBd40222 9D1E 鴞< H b33525 82F5 苵。
高考数学二轮专题三角函数的图像与性质训练试题
卢氏一中2021届高考数学二轮?三角函数的图像与性质?专题训练制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题1．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，那么Q 点的坐标为( )A ．(－12，32)B ．(－32，－12) C ．(－12，－32)D ．(－32，12) 解析：记α＝∠POQ ，由三角函数的定义可知，Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos α＝cos 23π＝－12，y ＝sin α＝sin 23π＝32.答案：A2．sin θ＝k －1，cos θ＝4－3k ，且θ是第二象限角，那么k 应满足的条件是( ) A ．k >43B ．k ＝1C ．k ＝85D ．k >1解析：根据(k －1)2＋(4－3k )2＝1，即5k 2－13k ＋8＝0，解得k ＝1或者85，由sin θ>0，cos θ<0，可得k ＝85.答案：C3．(2021·模拟)在同一平面直角坐标系中，画出三个函数f (x )＝2sin(2x ＋π4)，g (x )＝sin(2x ＋π3)，h (x )＝cos(x －π6)的局部图像(如图)，那么( )A ．a 为f (x )，b 为g (x )，c 为h (x )B ．a 为h (x )，b 为f (x )，c 为g (x )C ．a 为g (x )，b 为f (x )，c 为h (x )D ．a 为h (x )，b 为g (x )，c 为f (x )解析：由于函数f (x )、g (x )、h (x )的最大值分别是2、1、1，因此结合图形可知，曲线b 为f (x )的图像；g (x )、h (x )的最小正周期分别是π、2π，因此结合图形可知，曲线a 、c 分别是h (x )、g (x )的图像．答案：B4．(2021·新课标全国卷)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，那么( )A ．f (x )在(0，π2)单调递减B ．f (x )在(π4，3π4)单调递减C ．f (x )在(0，π2)单调递增D ．f (x )在(π4，3π4)单调递增解析：y ＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π4)，由最小正周期为π得ω＝2，又由f (－x )＝f (x )可知f (x )为偶函数，|φ|<π2可得φ＝π4，所以y ＝2cos2x ，在(0，π2)单调递减．答案：A5.将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图像向左平移π6个单位长度，平移后的图像如下图，那么平移后的图像所对应函数的解析式是( )A ．y ＝sin(x ＋π6)B ．y ＝sin(x －π6)C ．y ＝sin(2x ＋π3)D ．y ＝sin(2x －π3)解析：将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图像向左平移π6个单位长度，平移后的图像所对应的解析式为y ＝sin ω(x ＋π6)，由图像知，ω(7π12＋π6)＝3π2，所以ω＝2.答案：C6．(2021·模拟)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos2x －1，x ∈R ，假设函数h (x )＝f (x ＋α)的图像关于点(－π3，0)对称，且α∈(0，π)，那么α＝( )A.π3B.π4C.π2D.π6解析：∵f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos2x －1＝2sin(2x －π3)，∴h (x )＝f (x ＋α)＝2sin(2x ＋2α－π3)．因为函数h (x )的图像的对称中心为(－π3，0)，∴－2π3＋2α－π3＝k π.∴α＝(k ＋1)π2，又α∈(0，π)．∴α＝π2.答案：C 二、填空题7．(2021·高考)角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．假设P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，那么y ＝________.解析：r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－255，所以sin θ＝yr＝y 16＋y2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.答案：－88．(2021·模拟)假设函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(|φ|<π2)与函数g (x )＝cos(ωx －π6)(ω>0)的图像具有一样的对称中心，那么φ＝________.解析：∵两函数具有一样的对称中心，那么它们的周期一样，∴ω＝2.函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像可由函数y ＝cos(2x －π6)的图像平移得到，cos(2x －π6)＝sin[π2＋(2x －π6)]＝sin(2x ＋π3)，∴φ＝π3.答案：π39．设f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，假设f (x )≤|f (π6)|对一切x ∈R 恒成立，那么①f (11π12)＝0②|f (7π10)|<|f (π5)| ③f (x )即不是奇函数也不是偶函数④f (x )的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z)⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图像不相交以上结论正确的选项是________(写出所有正确结论的编号)． 解析：f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)(tan φ＝b a )，因为对一切x ∈R ，f (x )≤|f (π6)|恒成立，所以sin(π3＋φ)＝±1，可得φ＝2k π＋π6或者φ＝2k π－5π6，故f (x )＝a 2＋b 2sin(2x ＋π6)或者f (x )＝－a 2＋b 2sin(2x ＋π6)．而f (11π12)＝±a 2＋b 2sin(2×11π12＋π6)＝0，所以①正确；|f (7π10)|＝|a 2＋b 2sin4730π| ＝|a 2＋b 2sin 1730π|，|f (π5)|＝|a 2＋b 2sin1730π|，所以|f (7π10)|＝|f (π5)|，故②错误；③明显正确；④错误；由函数f (x )＝a 2＋b 2sin(2x ＋π6)和f (x )＝－a 2＋b 2sin(2x ＋π6)图像可知，不存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图像不相交，故⑤错．答案：①③ 三、解答题10．设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin2x ＋a (a ∈R)． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈[0，π6]时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R)的对称轴方程．解：(1)f (x )＝2cos 2x ＋sin2x ＋a＝1＋cos2x ＋sin2x ＋a ＝2sin(2x ＋π4)＋1＋a ，那么f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π.且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)时，f (x )单调递增，即f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z)． (2)当x ∈[0，π6]时⇒π4≤2x ＋π4≤7π12，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin(2x ＋π4)＝1.所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2. 令2x ＋π4＝k π＋π2那么x ＝k π2＋π8(k ∈Z)为f (x )的对称轴．11．(2021·模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0,0<φ<π2)的局部图像如下图．(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝[f (x －π12)]2，求函数g (x )在x ∈[－π6，π3]上的最大值，并确定此时x 的值．解：(1)由图知A ＝2， T 4＝π3，那么2πω＝4×π3，∴ω＝32.又f (－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π4＋φ)＝0，∴sin(φ－π4)＝0.∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4.∴φ－π4＝0.即φ＝π4.∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin(32x ＋π4)．(2)由(1)可得f (x －π12)＝2sin[32(x －π12)＋π4]＝2sin(32x ＋π8)，∴g (x )＝[f (x －π12)]2＝4×1－cos (3x ＋π4)2＝2－2cos(3x ＋π4)．∵x ∈[－π6，π3]，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π.即x ＝π4时，g (x )max ＝4.12．(2021·皖南八校联考)直线y ＝2与函数f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1(ω>0)的图像的两个相邻交点之间的间隔 为π.(1)求f (x )的解析式，并求出f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图像向左平移π4个单位得到函数g (x )的图像，求函数g (x )的最大值及g (x )获得最大值时x 的取值集合．解：(1)f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1＝1－cos2ωx ＋3sin2ωx －1＝2sin(2ωx －π6)．由题意可知函数f (x )的周期T ＝2π2ω＝π，即ω＝1.所以f (x )＝2sin(2x －π6)．令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，其中k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，其中k ∈Z.即f (x )的单调递增区间为[k π－π6，k π＋π3]，k ∈Z.(2)g (x )＝f (x ＋π4)＝2sin[2(x ＋π4)－π6]＝2sin(2x ＋π3)，那么g (x )的最大值为2， 此时有2sin(2x ＋π3)＝2，即sin(2x ＋π3)＝1，即2x ＋π3＝2k π＋π2，其中k ∈Z ，解得x ＝k π＋π12(k ∈Z)．所以当g (x )获得最大值时，x 的取值集合为{x |x ＝k π＋π12，k ∈Z}．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
2021高考数学复习资料 学案 三角函数的图象与性质专题
三角函数的性质与图像一、知识要点 1、周期函数的定义对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内任意一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期，周期函数的周期不唯一，,,0kT k z k ∈≠都是它的周期，所有周期中最小的正数就叫做它的最小正周期.2、sin ,cos ,tan y x y x y x ===正弦函数余弦函数正切函数的图象与性质3、复合函数的单调性设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数.如下表：4、使用周期公式，必须先将解析式化为sin()y A x h ωϕ=++或cos()y A x h ωϕ=++的形式；正弦余弦函数的最小正周期是2T πϖ=，正切函数的最小正周期公式是T πϖ=；注意一定要注意加绝对值.5、sin()y A wx h φ=++（或cos()y A wx h φ=++）图象的作法有两种： （1）描点法（五点法），先列表，令0x ωϕ+=,2π, π, 32π,2π，求出对应的五个x 的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到sin()y A wx h φ=++在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数sin()y A wx h φ=++的图像.（2）图像变换法：一般先把函数sin y x =的图像通过左右平移得到函数sin()y x φ=+的图像，再把函数sin()y x φ=+的图像通过横坐标的伸缩变换得到函数sin()y wx φ=+，再把函数sin()y wx φ=+通过纵坐标的伸缩变换得到函数sin()y A x ωϕ=+的图像，最后把函数sin()y A x ωϕ=+的图像通过上下平移得到函数sin()y A wx h φ=++的图像. 6、三角函数图像的变换（平移变换和上下变换） 平移变换：左加右减，上加下减把函数()y f x =向左平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=+的图像 把函数()y f x =向右平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=-的图像 把函数()y f x =向上平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=+的图像 把函数()y f x =向下平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=-的图像 伸缩变换：①把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的w 1倍得()y f x ω=(01)ω<< ②把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的w1倍得()y f x ω=(1)ω>③把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的ϖ倍得()y f x ω=(1)ω> ④把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的ϖ倍得()y f x ω=(01)ω<< 7、用“五点法”作正余弦函数的图象要注意必须先将解析式化为sin()y A x h ωϕ=++或cos()y A x h ωϕ=++的形式.三角函数图像的变换的方式并不是唯一的，可以有多种变换方式.可以先左右平移，再伸缩，后上下.也可以先伸缩，再左右平移，后上下.但是三角函数图像的变换一般先选择左右平移，再进行其它变换.这样容易理解，计算也简单. 二、典型例题 【方法讲评】【例1】(10分，每一问5分)已知函数())cos()(0,0)f x x x πωφωφφω=+-+<<>为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）求()8πf 的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间.【例2】(10分，每一问5分)已知函数()2sincos 442f x =． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由．【例3】(10分，每一问5分)已知函数x x f sin 2sin 2cos )(22+-=. （I ）求函数)(x f 的最小正周期；（II ）当)4,0(0π∈x 且524)(0=x f 时，求)6(0π+x f 的值. 【例4】(10分，每一问5分)已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x =-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]ππ-上的值域.【例5】（1）(5分)函数2()sin cos 2f x x x =+的最小正周期为 ．（2）(5分)已知(3sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，设函数23)(-⋅=b a x f .求函数()f x 的周期.【例6】（1）(5分)如果函数()cos 4f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为（ ）A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 （2）(5分)在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③cos(2)6y x π=+，④tan(2)4y x π=-中，最小正周期为π的所有函数为 .（请填序号）【例7】(5分)用五点法作出函数3sin(2)y x =+在一个周期的图像【例8】(1)(10分，每一问5分)已知函数22()sin cos 2cos f x x x x x =++,x R ∈.（I ）求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2y x =（x R ∈)的图象经过怎样的变换得到？ （2）(5分)怎样将函数3sin(2)3y x π=-的图像变换得到函数3sin 2y x =的图像？三、巩固练习1.(5分)函数图象的对称中心是 .2.(5分)已知角φ的终边经过点(4,3)P -，函数()sin()f x wx w φ=+>（0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π的值为（ ） A ．35 B ．45 C ．35- D ．45-3.(5分)已知函数()sin()2(0)3f x x πωω=++>的图象向右平移3π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）A ．6B ．3C ．83 D ．434.(5分)要想得到函数sin 21y x =+的图象，只需将函数cos2y x =的图象( )A ．向左平移4π个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移2π个单位长度，再向下平移1个单位长度 5.(5分)已知曲线1:cos C y x =,22:sin(2)3C y x π=+，则下面结论正确的是( ) A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=x x y 4cos 4sin 2ππ个单位长度，得到曲线2C6.(5分)函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移3π个单位长度，所得图象经过点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值是( )A.32 B ．2 C ．1 D.127.(10分，每一问5分)已知函数2()2cos 23sin cos 1f x x x x =+-.（1）求()f x 的周期和单调递增区间；（2）说明()f x 的图象可由sin y x =的图象经过怎样变化得到. 自主提高8.设函数()sin()cos()(0,||)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且为偶函数，求函数的解析式.9.已知函数2π()sin 3sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．10.设函数2()2sin cos cos 22f x x x x =+． （1）在给出的直角坐标系中画出函数()y f x =在区间[0,]π上的图象； （2）根据画出的图象写出函数()y f x =在[0,]π上的单调区间和最值．11.已知函数()3sin()cos()(0,0)f x x x πωφωφφω=+-+<<>为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）求()8f π的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间.。
2021高考数学(理)二轮专题复习【统考版】课件：2.1.1 三角函数的图象与性质
解法二(五点法) 由函数 f(x)的图象知，ω×－49π＋π6＝－π2， 解得 ω＝32，所以函数 f(x)的最小正周期为43π，故选 C.
答案：(1)C
(2)[2020·成都市诊断性检测]将函数 y＝sin4x－6π图象上所有 点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再把所得图象向左平
[警示] 求 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意 ω，A 的符 号．ω<0 时，应先利用诱导公式将 x 的系数转化为正数后再求解； 在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加 2kπ 时，不要忘掉 k∈Z，所求区间一般为闭区间.
角度 2 三角函数的奇偶性、周期性、对称性 [例 3－2] (1)[2020·全国卷Ⅲ]已知函数 f(x)＝sin x＋sin1 x，则 () A．f(x)的最小值为 2 B．f(x)的图象关于 y 轴对称 C．f(x)的图象关于直线 x＝π 对称 D．f(x)的图象关于直线 x＝π2对称
[对点训练]
1．[2020·全国卷Ⅱ]若 α 为第四象限角，则( ) A．cos 2α>0 B．cos 2α<0 C．sin 2α>0 D．sin 2α<0
解析：解法一 ∵α 是第四象限角，∴－π2＋2kπ<α<2kπ，k∈Z， ∴－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，∴角 2α 的终边在第三、四象限或 y 轴 非正半轴上，∴sin 2α<0，cos 2α 可正、可负、可零，故选 D.
应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项 (1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况 解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误． (2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定注意三角函数的 符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、 化异为同、化高为低、化繁为简等.
专题06知识点 三角函数的图像与性质
-
-3 2
-2
1
o
-1
2
3
2 2
7
3 2
5
4
2
x
y
y=tanx
y
y=cotx
3 -2
-
-2
o
2
3
x
2
-
-2
o
2
3 2 x
2
函数 y=sinx
y=cosx
定义 域
值域
R
R
［-1，1］x=2kπ+ ［-1,1］ 2
时 ymax=1
x=2kπ时
x=2kπ- 2
时 ymin=-1
ymax=1
0
2 3 5
3 2
6
4
3
2
3
4
6
2
3.弧长及扇形面积公式
弧长公式： l .r
扇形面积公式:S= 1 l.r 2
----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径
知识点二：诱导公式
1.常用的诱导公式
公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关 系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关 系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα
2021年高考数学(理)二轮专题学与练 06 三角函数的图像与性质(高考押题)(解析版)
高考押题专练1．已知α为锐角，且sin α＝45，则cos(π＋α)＝( )A ．－35 B.35C ．－45 D.45【解析】因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝35，所以cos(π＋α)＝－cos α＝－35，故选A.【答案】A2．已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P ⎝⎛⎭⎫12，y 0， 则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝( ) A ．－12 B ．1C.12 D ．－32【解析】由题意知当x ＝12时，y 0＝－32或y 0＝32，即sin α＝－32或sin α＝32，又因为sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos2a ＝1－2sin 2α，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝1－2×34＝－12. 【答案】A3．某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－56x ＋3π5B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫65x －2π5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫65x ＋3π5 D ．y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫56x ＋3π5【解析】不妨令该函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，由图知A ＝1，T 4＝3π4－π3＝5π12，于是2πω＝5π3，即ω＝65，π3是函数的图象递减时经过的零点，于是65×π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以φ可以是3π5，选C.【答案】C4．若将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，0 B.⎝⎛⎭⎫－π6，0 C.⎝⎛⎭⎫π12，0 D.⎝⎛⎭⎫－π12，0 【解析】将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，得y ＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π2＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π6，所以平移后图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，故选A.【答案】A5．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减【解析】A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．B 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确．C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－56π，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确．D 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的递减区间为2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，递增区间为2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝⎛⎭⎫π2，2π3是减区间，2π3，π是增区间，D 项错误．故选D. 【答案】D6．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6 C.π3 D.5π6【解析】函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图象的函数解析式为y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m －π6.因为函数的图象关于y 轴对称，所以m －π6＝k π，m ＝k π＋π6(k ∈Z )，所以m 的最小值为π6，故选B.【答案】B7．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移2π3个单位长度，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )的图象与直线x ＝－π2，x ＝π3，x 轴围成图形的面积为( )A.52B.32 C ．1＋32 D ．1－32【解析】将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移2π3个单位长度得到函数f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －2π3＋π3 ＝sin(2x －π)＝－sin2x 的图象，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝g (x )＝－sin x 的图象．函数y ＝g (x )的图象与直线x ＝－π2，x ＝π3，x 轴围成的图形面积S ＝⎠⎛0－π2(－sin x)d x－∫π30(－sin x)d x ＝cos x ⎪⎪⎪⎪ 0－π2－cos x ⎪⎪⎪⎪π30＝1－⎝⎛⎭⎫－12＝32，故选B . 【答案】B8．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的一条对称轴的方程是( ) A ．x ＝π6 B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝π12【解析】将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的函数解析式为y ＝cos ⎣⎡⎦⎤π6－2⎝⎛⎭⎫x －π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2x ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π3， 因为函数在函数图象的对称轴处取得最值，经检验x ＝π6成立，故选A .【答案】A9．已知函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，其导数f′(x)的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π2的值为( )A ．2 2B .2C ．－22 D ．－24【解析】依题意得f′(x)＝Aωcos (ωx ＋φ)，结合函数y ＝f′(x)的图象可知，T ＝2πω＝4⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A ＝12.因为0<φ<π，3π4<3π4＋φ<7π4，且f′⎝⎛⎭⎫3π8＝cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，φ＝π4，f(x)＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12sin ⎝⎛⎭⎫π＋π4＝－12×22＝－24，故选D . 【答案】D10．将函数f(x)＝sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后的图象关于原点对称，则函数f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( )A .32 B .12C ．－12D ．－32【解析】依题意得，函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ是奇函数，则sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝0，又|φ|<π2，因此π3＋φ＝0，φ＝－π3，所以f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，所以f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－32，选D . 【答案】D11．已知函数f(x)＝3sin 2x ＋2cos 2x ，下列结论正确的是( ) A ．函数f(x)的最小正周期为2π B ．函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎫π12，π4上单调递增 C ．函数f(x)的图象关于直线x ＝π6对称D ．函数f(x)的图象关于⎝⎛⎭⎫－π12，0对称 【解析】由已知，得f(x)＝3sin 2x ＋2cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1.函数f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π，A 错误；当π12<x<π4时，π3<2x ＋π6<2π3，所以函数f(x)在⎝⎛⎭⎫π12，π4上不具有单调性，B 错误；因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π6＋1＝2sin π2＋1＝3，即当x ＝π6时，函数f(x)取得最大值，所以函数f(x)的图象关于直线x ＝π6对称，C 正确；⎝⎛⎭⎫－π12，1是函数f(x)的图象的一个对称中心，D 错误，故选C . 【答案】C12．已知函数f(x)＝sin ωx －3cos ωx(ω>0)，若方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为( )A .⎝⎛⎦⎤136，72B .⎝⎛⎦⎤72，256 C .⎝⎛⎦⎤256，112 D .⎝⎛⎦⎤112，376 【解析】因为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3，方程2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，即sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3＝－12在(0，π)上有且只有四个实数根．设t ＝ωx －π3，因为0<x<π，所以－π3<t<ωπ－π3，所以19π6<ωπ－π3≤23π6，解得72<ω≤256，故选B .【答案】B13．函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)的值为( )A.2 B ．32 C ．62 D ．－2 【答案】A【解析】由图象可得，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，∴f (x )是周期为8的周期函数， 而2 017＝8×252＋1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝ 2.14．函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω≠0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4等于( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0 D ．－2或0 【答案】B【解析】.由f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x 得x ＝π4是函数f (x )的一条对称轴，所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝±2，故选B. 15．若函数y ＝f (x )的最小正周期为π，且图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，则f (x )的解析式可以是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin 2x －1 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 【答案】D.【解析】依次判断各选项，A 项周期不符；B 项函数图象不关于点⎝⎛⎭⎫π3，0成中心对称；C 错，因为y ＝2sin 2x －1＝－cos 2x ，同样点⎝⎛⎭⎫π3，0不是图象的对称中心，故选D.16．已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，74 C.⎣⎡⎦⎤34，94 D.⎣⎡⎦⎤32，74 【答案】D【解析】函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，其中k ∈Z .依题意，则有－π＋2k π≤ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4≤2k π(ω＞0)得4k －52≤ω≤2k －14，由⎝⎛⎭⎫4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0且4k －52＞0得k ＝1，因此ω的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，74，故选D.17．为了得到函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可将函数g (x )＝3sin 2x ＋cos 2x 的图象( ) A ．向左平移π3 B ．向右平移π3C ．向左平移π6D ．向右平移π6【答案】D【解析】依题意得g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，因此为了得到函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可将函数g (x )的图象向右平移π6个单位长度，故选D.18．将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增，为奇函数 C ．在⎝⎛⎭⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称 【答案】B【解析】依题意，得g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x ，故函数g (x )图象的对称轴为x ＝π4＋k π2(k ∈Z )，故A 错误；因为g (－x )＝－sin 2x ＝－g (x )，故函数g (x )为奇函数，函数g (x )在⎝⎛⎭⎫－34π，－14π上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－14π，14π上单调递增，故B 正确，C 错误；因为g ⎝⎛⎭⎫38π＝sin 34π＝22≠0，故D 错误．综上所述，故选B.19．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( ) A ．－ 3 B.33C. 3 D ．1 【答案】C【解析】因为f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，πω＝π2，ω＝2，则f (x )＝tan 2x ，f ⎝⎛⎭⎫π6＝tan π3＝3，故选C. 20．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ个单位，得到的图象关于原点对称，则φ的最小正值为( )A.π6B.π3 C.5π12 D.7π12 【答案】A【解析】函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ个单位，得到的图象对应的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ＋π3，因为图象关于原点对称，所以－2φ＋π3＝k π，k ∈Z ，所以φ＝π6－k π，k ∈Z ，则当k ＝0时，φ取得最小正值π6，故选A.21．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π3(－2＜x ＜10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →＝( )A ．－32B ．－16C ．16D ．32 【答案】D【解析】因为当－2＜x ＜10时，0＜π6x ＋π3＜2π，故令f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π3＝0，则π6x ＋π3＝π，解得x ＝4，由正弦函数的对称性可知点B ，C 关于点A (4,0)成中心对称，故有(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝32，故选D.22．已知函数f (x )＝sin(2x ＋α)在x ＝π12时有极大值，且f (x －β)为奇函数，则α，β的一组可能值依次为( )A.π6，－π12B.π6，π12C.π3，－π6D.π3，π6 【答案】D【解析】依题意得2×π12＋α＝2k 1π＋π2，即α＝2k 1π＋π3，k 1∈Z ，A ，B 均不正确．由f (x －β)是奇函数得f (－x －β)＝－f (x －β)，即f (－x －β)＋f (x －β)＝0，函数f (x )的图象关于点(－β，0)对称，f (－β)＝0，sin(－2β＋α)＝0，sin(2β－α)＝0,2β－α＝k 2π，k 2∈Z ，结合选项C ，D 取α＝π3得β＝k 2π2＋π6，k 2∈Z ，故选D.23．函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是________． 【解析】y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间即为0≤x ＋π3≤π2与x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的交集，所以单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6. 【答案】⎣⎡⎦⎤0，π6 24．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.若y ＝f (x －φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2是偶函数，则φ＝________. 【解析】利用偶函数定义求解．y ＝f (x －φ)＝sin ⎣⎡⎦⎤2x －φ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ＋π6是偶函数，所以－2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得φ＝－π6－k π2，k ∈Z .又0＜φ＜π2，所以k ＝－1，φ＝π3. 【答案】π325．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4(ω＞0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为________．【解析】将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，ω＞0的图象向左平移π4个单位后得到图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤ωx ＋ω－1π4，ω＞0，向右平移π4个单位后得到图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤ωx －ω＋1π4，ω＞0.因为平移后的对称轴重合，所以ωx ＋ω－1π4＝ωx －ω＋1π4＋k π，k ∈Z ，化简得ω＝2k ，k ∈Z ，又ω＞0，所以ω的最小值为2.【答案】226．已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中正确的是________(填入正确结论的序号)． ①y ＝f (x )的图象关于点(2π，0)中心对称； ②y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π对称； ③f (x )的最大值为32； ④f (x )既是奇函数，又是周期函数．【解析】依题意，对于①，f (4π－x )＝cos(4π－x )·sin[2(4π－x )]＝－cos x ·sin 2x ＝－f (x )，因此函数y ＝f (x )的图象关于点(2π，0)中心对称，①正确；对于②，f ⎝⎛⎭⎫π4＝22，f ⎝⎛⎭⎫2π－π4＝－22，因此f ⎝⎛⎭⎫2π－π4≠f ⎝⎛⎭⎫π4，函数y ＝f (x )的图象不关于直线x ＝π对称，②不正确；对于③，f (x )＝2sin x cos 2x ＝2(sin x －sin 3x )；令t ＝sin x ，则y ＝2(t －t 3)，t ∈[－1,1]，y ′＝2(1－3t 2)，当－33＜t ＜33时，y ′＞0；当－1≤t ＜－33或33＜t ≤1时，y ′＜0，因此函数y ＝2(t －t 3)在[－1,1]上的最大值是y ＝2⎣⎡⎦⎤33－⎝⎛⎭⎫333＝439，即函数f (x )的最大值是439，③不正确；对于④，f (－x )＝－f (x )，且f (2π＋x )＝2sin(2π＋x )cos 2(2π＋x )＝2sin x cos 2x ＝f (x )，因此函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，④正确．综上所述，其中正确的结论是①④.【答案】①④27．已知函数f (x )＝2sin x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．【解析】(1)f (x )＝2sin x ·⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1， 故f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，1＋32， 即函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤0，1＋32.1．列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，•是否符合实际，检验后写出答案．2.和差倍分问题： 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量3.等积变形问题： 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝ r2h②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc4．数字问题一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．5．市场经济问题（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润×100%商品成本价（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．6．行程问题：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．7．工程问题：工作量＝工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝18．储蓄问题利润＝每个期数内的利息×100% 利息＝本金×利率×期数本金实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案）类型一：列二元一次方程组解决——行程问题【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得：(2.5+2)x+2.5y=363x+(3+2)y=36解得：x=6，y=3.6答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。
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A．－1 B．1 2
C.1
D．－ 3
2
2
3．某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是( )
－5x＋3π A．y＝sin 6 5
6x－2π B．y＝sin 5 5
C．y＝sin
6x＋3π 55
5x＋3π D．y＝－cos 6 5
解析：不妨令该函数解析式为 y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，由图知 A＝1，T＝3π－π＝5π，于是2π＝5π，即ω
m
的最小值
6
6
为π，故选 B. 6
答案：B
7．将函数 f(x)＝sin
2x＋π 3
的图象向右平移2π个单位长度，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，
3
横坐标变为原来的 2 倍，得到函数 y＝g(x)的图象，则函数 y＝g(x)的图象与直线 x＝－π，x＝π，x 轴围成图 23
形的面积为( )
A.5
2
44
4
4
4
＝1sin
2x＋π 4
，f
π 2
＝1sin
π＋π 4
＝－1×
2＝－
2，故选 D.
2
2
22
4
答案：D
10．将函数
f(x)＝sin(2x＋φ)
|φ|<π 2
的图象向左平移π个单位后的图象关于原点对称，则函数
f(x)在
0，π 2
6
上的最小值为( )
A. 3
B.1
2
2
C．－1 D．－ 3
2
2
11．已知函数 f(x)＝ 3sin2x＋2cos2x，下列结论正确的是( ) A．函数 f(x)的最小正周期为 2π
4 4 3 12
ω3
＝6，π是函数的图象递减时经过的零点，于是6×π＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，所以φ可以是3π，选 C.
53
53
5
答案：C
4．若将函数 y＝3cos
2x＋π 2
的图象向右平移π个单位长度，则平 移后图象的一个对称中心是(
)
6
π，0 A. 6
－π，0 B. 6
π ，0
－ π ，0
C. 12
1．已知α为锐角，且 sinα＝4，则 cos(π＋α)＝( ) 5
A．－3 B.3
5
5
C．－4 D.4
5
5
解析：因为α为锐角，所以 cosα＝ 1－sin2α＝3，所以 cos(π＋α)＝－cosα＝－3 ，故选 A.
5
5
答案：A
2．已知角α的终边与单位圆 x2＋y2＝1
交于
P
1，y0 2
，
π＋2α 则 sin 2 ＝( )
因为 f(x)＝cos
x＋π 3
图象的对称轴为直线
x＝kπ－π(k∈Z)，所以
y＝f(x)的图象关于直线
x＝8π对称，B
项正
3
3
确．C
项，f(x＋π)＝cos
x＋4π 3
.令
x＋4π＝kπ＋π(k∈Z)，得
x＝kπ－5π，当
k＝1
时，x＝π，所以
f(x＋π)的一
3
2
6
6
个零点为 x＝π，C 项正确．D 项，因为 f(x)＝cos
则 m 的最小值是( )
A. π B.π 12 6
C.π D.5π
3
6
x－π 解析：函数 y＝ 3cosx＋sinx＝2cos 6 的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后，所得图象的函数解析
式为
y＝2cos
x＋m－π 6
.因为函数的图象关于
y
轴对称，所以
m－π＝kπ，m＝kπ＋π(k∈Z)，所以
D. 12
x＋π 5．设函数 f(x)＝cos 3 ，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线 x＝8π对称 3
C．f(x＋π)的一个零点为 x＝π 6
π，π D．f(x)在 2 单调递减
x＋π 解析：A 项，因为 f(x)＝cos 3 的周期为 2kπ(k∈Z)，所以 f(x)的一个周期为－2π，A 项正确．B 项，
π－2x 6
的图象向右平移
π
个单位长度后所得图象的函数解析式为
y＝
12
cos
π－2 6
x－ π 12
＝cos
2π－2x 3
＝cos2
x－π 3
，
因为函数在函数图象的对称轴处取得最值，经检验 x＝π成立，故选 A. 6
答案：A
π 9．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，其导数 f′(x)的图象如图所示，则 f 2 的值为( )
B.3
2
2
C．1＋ 3 D．1－ 3
2
2
解析：将函数 f(x)＝sin
2x＋π 3
的图象向右平移2π个单位长度得到函数 f(x)＝sin 3
2
x－2π 3
＋π 3
＝sin(2x－π)＝－sin2x 的图象，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，得到函
数 y＝g(x)＝－sinx 的图象．函数 y＝g(x)的图象与直线 x＝－π，x＝π，x 轴围成的图形面积 S＝错误!－π(－
π ，π B．函数 f(x)在区间 12 4 上单调递增
C．函数 f(x)的图象关于直线 x＝π对称 6
－ π ，0 D．函数 f(x)的图象关于 12 对称
解析：由已知，得 f(x)＝
3sin2x＋2cos2x＝
2x＋π 3sin2x＋cos2x＋1＝2sin 6 ＋1.函数 f(x)的最小正周期
x＋π 3
的递减区间为
2kπ－π，2kπ＋2π(k∈Z)，递增区间为
6
3
3
2kπ＋2π，2kπ＋5π(k∈Z)，所以
π，2π 23
是减区间，2π，π是增区间，D 项错误．故选
D.
3
3
3
答案：D
6．将函数 y＝ 3cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，
23
2
0
| sinx)dx－∫π0(－sinx)dx＝cosx 3
－π 2
答案：B
|π
－cosx 3
0
＝1－
－1 2
＝3，故选 B.
2
8．将函数 y＝cos
π－2x 6
的图象向右平移
π
个单位长度后所得图象的一条对称轴的方程是(
)
12Biblioteka A．x＝π B．x＝π6
4
C．x＝π D．x＝ π
3
12
解 析 ： 将 函 数 y ＝ cos
T＝2π＝π，A 错误；当 π <x<π时，π<2x＋π<2π，所以函数 f(x)在
π ，π 12 4
上不具有单调性，B 错误；因为 f
π 6
2
12 4 3
63
＝2sin
2×π＋π 66
＋1＝2sinπ＋1＝3，即当
x＝π时，函数
f(x)取得最大值，所以函数
f(x)的图象关于直线
x＝π对
A．2 2 B. 2
C．－ 2 D．－ 2
2
4
解析：依题意得 f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，结合函数
y＝f′(x)的图象可知，T＝2π＝4
3π－π 88
＝π，ω＝2.又
ω
Aω＝1，因此
A＝1.因为
0<φ<π，3π<3π＋φ<7π， 且
f′
3π 8
＝cos
3π＋φ 4
＝－1，所以3π＋φ＝π，φ＝π，f(x)