小题专项集训(二)函数的概念、图象和性质
函数与图像的基本概念与性质
函数与图像的基本概念与性质一、函数的概念与性质1.函数的定义：函数是两个非空数集A、B之间的对应关系，记作f：A→B。
2.函数的性质：（1）一一对应：对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应。
（2）自变量与因变量：在函数f中，集合A称为函数的定义域，集合B称为函数的值域。
对于定义域中的任意一个元素x，在值域中都有唯一的元素y与之对应，称为函数值。
（3）函数的单调性：若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称函数f在定义域上为增函数；若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称函数f在定义域上为减函数。
3.函数的分类：（1）线性函数：形如f(x)=ax+b（a、b为常数，a≠0）的函数。
（2）二次函数：形如f(x)=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。
（3）分段函数：形如f(x)={g1(x), x∈D1}{g2(x), x∈D2}的函数，其中D1、D2为定义域的子集，且D1∩D2=∅。
二、图像的概念与性质1.函数图像的定义：函数图像是指在平面直角坐标系中，根据函数的定义，将函数的定义域内的每一个点（x, f(x)）连接起来形成的图形。
2.函数图像的性质：（1）单调性：增函数的图像呈上升趋势，减函数的图像呈下降趋势。
（2）奇偶性：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f为奇函数；若函数f(-x)=f(x)，则称函数f为偶函数。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）周期性：若函数f(x+T)=f(x)，则称函数f为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的图像具有周期性。
（4）拐点：函数图像在拐点处，曲线的斜率发生改变。
三、函数与图像的关系1.函数与图像的相互转化：通过函数的解析式，可以在平面直角坐标系中绘制出函数的图像；同时，根据函数图像的形状，可以反推出函数的解析式。
函数性质图像知识点总结
函数性质图像知识点总结一、函数的定义在数学上，函数可以定义为一种特殊的关系，它将输入（自变量）映射到输出（因变量）。
具体来说，如果对于每一个自变量值，函数都有唯一的对应因变量值，那么这个关系就是一个函数。
形式上，我们可以用f(x)来表示函数，其中x是自变量，f(x)是对应的因变量。
例如，y = 2x + 3就是一个函数，其中y是因变量，x是自变量。
二、函数的性质1.定义域和值域函数的定义域是指所有可能的自变量值的集合，而值域是所有可能的因变量值的集合。
在图像上，定义域通常表示为x轴上的取值范围，而值域则表示为y轴上的取值范围。
例如，对于函数f(x) = x²，其定义域为所有实数，而值域为非负实数集合。
2.奇函数与偶函数奇函数与偶函数是函数的对称性质。
如果对于任意的x，有f(-x) = -f(x)，那么函数f(x)就是奇函数；如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，那么函数f(x)就是偶函数。
奇函数在原点对称，而偶函数在y轴对称。
3.单调性函数的单调性是指在定义域上，函数值的增减关系。
如果对于任意的x₁和x₂，当x₁< x₂时有f(x₁)≤f(x₂)，那么函数f(x)就是递增的；如果对于任意的x₁和x₂，当x₁< x₂时有f(x₁)≥f(x₂)，那么函数f(x)就是递减的。
4.周期性如果存在一个正数T，使得对于所有的x，有f(x+T) = f(x)，那么函数f(x)就是周期函数。
其中最小的T称为函数的周期，通常用P来表示。
常见的周期函数有sin(x)和cos(x)。
5.有界性函数的有界性是指函数值的范围限制。
如果存在两个实数M和N，使得对于任意的x，有|f(x)| ≤ M，那么函数f(x)就是有界的。
如果函数在定义域上有上界和下界，则称为有界函数。
6.反函数若对于一个函数f(x)，存在一个函数g(x)，使得f(g(x)) = x且g(f(x)) = x，那么函数g(x)就是函数f(x)的反函数。
高中数学知识点训练：2：函数的概念、图象与性质.pdf
一、下列加点字的注音全都正确的一组是（ ）A既然（j）阴晦hu）断茎（jng）心绪（xB．闰土rùn）寓所（y亲戚（q祭祀（shC脚踝（hui）潮汛（xn）嗤笑（ch）瑟索（s）作揖（j）惘然（wng）恣睢shu）隔膜（m）A．既然：这里是已经的意思。
心绪：心。
B．苏生：苏醒、重现。
嗤笑：讽刺。
C．恣睢：放纵、凶暴。
偶然：心里好像失去什么的样子。
D．无端：无缘无故。
萧条：荒凉、冷落的意思。
1．两手搭在髀间，没有系裙，张着两脚，正像一个画图仪器里细脚伶的圆规。
2．现在我所谓的希望，不也是我自己手制的偶像吗？（）3．我就知道，我们之间已经隔了一层可悲的厚障壁了。
（）4．然而圆规很不平，显出鄙夷的神色，仿佛嗤笑法国人不知道拿破仑，美国不人不5．我只觉得四面有看不见的高墙，将我隔成孤身，使我非常气闷。
（）、结合上下文，解释加点的词语。
1.时候既然是深冬。
既然：2.我也很高兴，因为我早听到闰土这名字，而且知道他和我仿佛年纪，闰月生的，五行缺土，所以他的父亲叫他闰土。
仿佛： 3.我那时并不知道这所谓猹的是怎么一件东西--便是现在也没有知道--只是无端的觉得状如小狗而很凶猛。
无端：、写出下面句子所用的描写方法。
1. 深蓝的天空中挂着一轮金黄的圆月，下面是海边的沙地，都种着一望无际的碧绿的西瓜，其间有一个十一二岁的少年，项带银圈，手捏一柄钢叉，向一匹猹尽力的刺去，那猹却将身一扭，反从他的胯下逃走了。
（ ） 2. 然而圆规很不平，显出鄙夷的神色，仿佛嗤笑法国人不知道拿破仑，美国人不知道华盛顿似的，冷笑说：“忘了？这真是贵人眼高……” “那有这事……我……”我惶恐着，站起来说。
（ ）、选词填空。
1. 渐近故乡时，天气又 （A. 阴暗 B. 阴晦 C. 阴冷）了…… 2. 苍黄的天底下，远近 （A. 横着 B. 有 C. 躺着）几个萧索的荒村，没有一些活气。
3. 我到了自家的房外，我的母亲早已 （A. 准备 B. 赶忙 C. 迎着）出来了，接着便 （A. 跑出 B. 飞出 C. 窜出）了八岁的侄儿宏儿。
新教材第三章-函数的概念与性质2-含答案
函数的概念与性质（二）第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中，对任意，不满足的是（ ） A ． B ． C ．D ．2．已知定义在上的奇函数的图象与轴交点的横坐标分别为，，，，，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列函数中，值域为的是（ ） A ．B ．C ．D ． 4．已知幂函数在上单调递减，若，，，则下列不等关系正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．5．关于函数，有下列结论①函数是偶函数；②函数在上递减； ③函数在上递增；④函数在上的最大值为1， 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①②④C ．②③D ．①③④x 2()(2)f x f x =()f x x =()2f x x =-()f x x x =-()1f x x =-R ()f x x 1x 2x 3x 2019x 1232019x x x x m ++++=23(2)1x m x m -+-≤1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,3(),0-∞∅[0,4]{}()1,1,2,3,4,5f x x x =-∈2()4f x x =-+()f x =1()2(0)f x x x x=+->2()(5)()mf x m m x m =--∈Z (0,)+∞6ma -=⎝⎭1mb -=⎝⎭12mc -⎛⎫= ⎪⎝⎭b ac <<c b a <<c a b <<b c a <<()1f x =(,1)-∞-(0,1)(3,3)-6．已知偶函数的图象如图所示（网格中小正方形边长为1）， 则的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数是定义在上的增函数，若，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．8．已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 9．若函数的图象与函数的图象有三个交点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知满足，若对任意的，恒成立，则实数的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．()f x ()[()]g x f f x=()f x (0,)+∞22(252)(2)f a a f a a -+<++a 1(,)(2,)2-∞+∞1(0,)(2,)2+∞1(0,)(2,6)2(0,6)2()()m f x x m -=∈N (0,)+∞22(1)(32)m m a a --+<-a (1,3)-23(,)323(1,)2-23(,1)(,)32-∞-21()1x f x x -=-2()21()g x ax ax a a =++-∈R a 13(,0)(0,)44-31(,0)(0,)44-11(,0)(0,)22-1113(,)(,)2424--,x y ∈R 33(2)2019(2)1(2)2019(2)1x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩0t >k t x y t +≥+k 4-1-1411．定义，已知，，若，且，，则的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．12．设定义在上的函数满足，且对任意的，都有，则的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知定义在上的函数满足：是奇函数，是偶函数，则等于 ．14．已知的值域为，则实数的取值范围是 ． 15．记表示中的最小者，设函数，则等于 ．16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，对任意的，恒有，则实数的最大值为 ．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)a cad bc b d=-1221()(1220)f x x x =-+-1222()(10)f x x x =-+12()()()mf xg x nf x=(4)g =(6)2)g =()g x 3468R ()f x (0)2f =,x y ∈R (1)()()2()23f xy f x f y f y x +=⋅--+y [2)-+∞[1)-+∞(,1]-∞(,2]-∞R ()f x 2()f x x +3()f x x +(2)f 212,4()113,4x x m x f x x x x ⎧+-≤⎪⎪=⎨⎪+->⎪⎩[1,)-+∞m {}min ,,x y z ,,x y z {}2()min 66,1,7f x x x x x =-++-+{}|()1a f a ≥()f x R 0x ≤2()f x x =[1,1]x a a ∈-+(2)3()f x a f x +≥a17．（10分）设函数，．（1）若函数在区间的最大值为，求函数的解析式； （2）在（1）的结论下，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．18．（12分）在充分竞争的市场环境中，产品的定价至关重要，它将影响产品的销量，进而影响生产成本、品牌形象等．某公司根据多年的市场经验，总结得到了其生产的产品在一个销售季度的销量（单位：万件）与售价（单位：元）之间满足函数关系，的单件成本单位：元与销量之间满足函数关系． （1）当产品的售价在什么范围内时，能使得其销量不低于万件？（2）当产品的售价为多少时，总利润最大？注：总利润销量售价单件成本2()f x x ax a =++a ∈R ()f x [0,2]2a +()f x x 5()54f x -≤≤[2,]m -m A y x 14,616222,1621x x y x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩A(C )y 30C y=A 5A (=(⨯-))19．（12分）已知函数定义在上的奇函数，且，对任意时，有成立．（1）解不等式；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．20．（12分）已知函数．（1）若对于任意，恒有，求实数的取值范围；（2）若，求函数在区间上的最大值．()f x [1,1]-(1)1f =,[1,1],0a b a b ∈-+≠()()0f a f b a b+>+1()(12)2f x f x +<-2()21f x m am ≤-+[1,1]a ∈-m ()||()f x x x a x a =-+∈R [1,2]x ∈2()2f x x ≥a 2a ≥()f x [0,2]()g a21．（12分）设函数定义在上，当时，，且对任意，有，当时．（1）证明：；（2）求的值并判断的单调性．22．（12分）已知函数．且，记由所有组成的数集为．（1）已知，，求； （2）对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）若，，判断数集中是否存在最大的项？若存在，求出最大项；若不存在，请说明理由．()y f x =R 0x >()1f x >,m n ()()()f m n f m f n +=⋅m n ≠()()f m f n ≠1212()()()22f x f x x xf ++≥(0)f ()f x 2()()2x af x a x +=∈+R 1()(2,)n n n x f x x n +=≠-∈*N n x E 11x =33x =2x 1[,1]6x ∈1()f x x<a 11x =1a >E函数的概念与性质（二）答 案第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．【答案】D【解析】选项D 中，， 选项A 、B 、C 中函数，均满足． 2．【答案】A【解析】由题意知，由，解得． 3．【答案】C【解析】A 中，B 中，D 中， 只有C 中函数符合题意． 4．【答案】B【解析】由题意知，解得，则． 5．【答案】B【解析】函数满足，是偶函数；作出函数图象，可知在，上递减，，上递增， 当时，．6．【答案】D【解析】，所以是偶函数，， 则，排除A ，又设，取，所以存在，使得，排除B 、C ．2()22(2)21f x x f x x =-≠=-2()(2)f x f x =0m =23210x x --≤113x -≤≤{}()0,1,2,3,4f x ∈()(,4]f x ∈-∞()[0,)f x ∈+∞251m m m ⎧--=⎨<⎩2m =-112321222a b c ⎛⎫⎛⎛⎫=>=>= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()f x f x -=(,1)-∞-(0,1)(1,0)-(1,)+∞(3,3)x ∈-max ()(0)1f x f ==()[()][()]()g x f f x f f x g x -=-==()g x 0(1)1f <<[(1)]0f f >0()0f x =01x >01x >0[()]1f f x >7．【答案】C【解析】由题意知，解得或．8．【答案】B【解析】∵幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，所以，因为，所以或，∴当时，，图象关于轴对称，不满足题意； 当时，，图象关于原点对称，满足题意， ∴不等式即，因为函数在上递减，所以，解得，即实数的取值范围是． 9．【答案】A【解析】，，当时显然不成立，当时，如图，两函数图象在第三象限一定有两个交点，当二次函数图象过时，，此时仅有两个交点，故； 当时，如图，设有等根，则，解得，此时图象交点横坐标为或（不可取），故需， 综上，． 22222520202522a a a a a a a a ⎧-+>⎪++>⎨⎪-+<++⎩102a <<26a <<2()m f x x-=(0,)+∞20m -<m ∈N 0m =1m =0m =022-=-y 1m =121-=-22(1)(32)mm a a --+<-1122(1)(32)a a --+<-12y x-=(0,)+∞10320132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩2332a <<a 23(,)3221,11()1,1111,1x x x f x x x x x x +>⎧-⎪==---<<⎨-⎪+≤-⎩2()(1)1()g x a x a =+-∈R 0a =0a >(1,2)A 34a =304a <<0a <21(1)1x a x +=+-2(21)4(2)0Δa a a =---=14a =-3x =-1x =104a -<<13(,0)(0,)44a ∈-10．【答案】D【解析】由题意令，知其为奇函数且在上递增，所以当时，得，即，对函数，若，则在上递增， 存在，使得，不符合题意，当时，，时取等号，所以．11．【答案】B 【解析】，， 由，，得，解得，，函数在上递减且非负，在上递增且为正，故在上递减，则． 12．【答案】A【解析】令，则， 令，则①，令，则，即②， 解方程组①②得，则选A ．第Ⅱ卷3()2019f x x x =+R (2)(2)0f x f y -+-=220x y -+-=4x y +=k y t t =+0k ≤ky t t=+(0,)+∞0t >4ky t t =+<0k>ky t t=+≥t=44k ≥⇒≥1112222212()()()()(10)(1220)()m f x g x mf x nf x m x x n x x nf x ==-=-+--+-[2,10]x∈(4)g =(6)2)g =-42)n ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩1m n ==()g x ==y =[2,10]y =[2,10]()g x [2,10]max [()](2)4g x g ==0x y ==2(1)(0)2(0)33f f f =-+=1y =(1)3()2(1)233()23f x f x f x f x x +=--+=--1x =(1)3()2()23()1f y f y f y f y +=--+=+(1)()1f x f x +=+()2f x x =+二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】【解析】是奇函数，则，是偶函数，则，解方程组得．或特别的，可令，则．14．【答案】(,0]-∞ 【解析】当时，，当时取等号， 故当时，， 即在时恒成立，所以．15．【答案】【解析】函数的部分图象如图，直线与曲线交于点， 故时，实数的取值范围是或．16．【答案】 【解析】由题意知，函数在上递减，又，所以，即， 所以，即在上恒成立， 所以，即，解得．12-2()f x x +(2)4(2)4f f -+=--3()f x x +(2)8(2)8f f --=+(2)12f =-32()f x x x =--(2)12f =-14x >131x x+-≥-1x =14x ≤221x x m +-≥-2(1)x m +≥14x ≤0m ≤[0,1][5,6]()f x 1y =(0,1),(1,1),(5,1),(6,1)A B C D ()1f a ≥a 01a ≤≤56a ≤≤-22,0(),0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()f xR )3()f f x =(2)3()f x a f x +≥(2))f x a f +≥2x a +≤21)a x ≤[1,1]x a a ∈-+21)(1)a a ≤-(31)a ≤-a ≤三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意知，对称轴． ①当即时，，解得； ②当即时，，无解， 故函数的解析式是．（2）由（1）知，， 由题知， 又函数在上递增，令，解得． 所以．18．【答案】（1）；（2）当产品A 的售价为14元时，总利润最大．【解析】（1）由，得或，解得或，即．∴当产品的售价时，其销量不低于万件．（2）由题意，总利润． ①当时，，当且仅当时等号成立； 2()1f x x x =--1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 2ax =-12a-≤2a ≥-max ()(2)432f x f a a ==+=+1a =-12a->2a <-max ()(0)2f x f a ==+2()1f x x x =--22155()1()244f x x x x =--=--≥-(2)5f -=12m ≥()f x 11(,)()22m m <()5f m =3m =1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[6,17]5y ≥1452616x x ⎧-≥⎪⎨⎪≤≤⎩2251621x x -≥⎧⎨<≤⎩616x ≤≤1617x <≤617x ≤≤A [6,17]x ∈y 5(28)30,61630()302(22)30,1621x x x L y x xy y x x x -⎧-≤≤⎪=⋅-=-=⎨⎪--<≤⎩616x ≤≤21(14)68682L x =--+≤14x =②当时，单调递减，， ∴当产品的售价为元时，总利润最大．19．【答案】（1）；（2）或或．【解析】（1）任取，，由已知得，所以， 所以在上单调递增，原不等式等价于，所以，原不等式解集为．（2）由（1）知，即， 即，对恒成立． 设，若，显然成立；若，则，即或，故或或．20．【答案】（1）或；（2）见解析．【解析】（1）对于任意，恒有，即， 即，即，即在上恒成立，得，解得或． 1621x <≤L (22)301663066L x x =--<⨯-=A 141[0,)62m ≤-2m ≥0m =12[1,1]x x <∈-1212121212()()()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=⋅-+-1212()()0()f x f x x x +->+-12()()0f x f x -<()f x []1,1-112211121121x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪-≤+≤⎨⎪-≤-≤⎪⎪⎩106x ≤<1[0,)6()(1)1f x f ≤=2211m am -+≥220m am -≥[]1,1a ∈-2()2g a ma m =-+0m =0m ≠()(1)010g g -≥⎧⎨≥⎩2m ≤-2m ≥2m ≤-2m ≥0m =1a ≤-5a ≥[1,2]x ∈2()2f x x ≥||12x a x -+≥||21x a x -≥-22||(21)x a x -≥-223(42)10x a x a --+-≤[1,2]223(42)1012(42)210a a a a ⎧--+-≤⎪⎨--⨯+-≤⎪⎩1a ≤-5a ≥（2）．当时，， 这时在上单调递增，在上单调递减， 此时； 当时，，在上单调递增， 此时．综上所述，2(1),23()422,3a a g a a a ⎧+≤<⎪=⎨⎪-≥⎩．21．【答案】（1）证明见解析；（2），在上是增函数． 【解析】（1），， ， 所以，当时取等号， 即．（2）令，得，解得或， 若，当时，有，与已知矛盾，． 设，则，由已知得，，2222221(1)(),,24(),1(1)(),24a a x x ax ax x x a f x x ax x x a a a x x a⎧++--+≤⎪⎧-++≤⎪⎪==⎨⎨-+>--⎪⎩⎪-->⎪⎩23a ≤<11222a a a -+<<≤()y f x =1[0,]2a +1[,2]2a +21(1)()()24a a g a f ++==3a ≥122a +≥()y f x =[0,2]()(2)22g a f a ==-(0)1f =()f x R 2111()(2)()22x x f x f f =⨯=2222()(2)()22x xf x f f =⨯=1212()()()222x x x xf f f +=2121212()()2()(()())0222x x x xf x f x f f f ++-=-≥12x x =1212()()()22f x f x x xf ++≥0m n ==(0)(0)(0)f f f =(0)0f =(0)1f =(0)0f =0m ≠(0)0(0)f m f +==(0)1f =12x x <210x x ->21()1f x x ->22112111()()()()()f x f x x x f x x f x f x =-+=-⋅>所以在上是增函数．22．【答案】（1）；（2）；（3）见解析．【解析】（1）已知，，， 解得，∴． （2）对任意的，恒成立， ∵，∴． 函数在上是单调递减的，∴， 所以的取值范围是．（3）． ①当时，，即，，，即，∴数集中的最大项为；②当时，在单调递减，，，，，当时，，∴， ∴， ∴数集中的最大项为； ③当时，在单调递增，，()f x R 24x =(,1)-∞11x =212()3ax f x +==34223()32323aaa x f a +++===++10a =24x =1[,1]6x ∈212x a x x+<+20x +>12(2)221a x x x x x<+-=-++221y x x =-++1[,1]6min 1y =a (,1)-∞24()222x a a f x x x +-==+++4a =()2f x =11x =21()2x f x ==1()2(1)n n x f x n +==≥E 24a >()f x (2,)-+∞(2,)x ∈-+∞()(2,)f x ∈+∞11x =24(1)23a x f -==+1n ≥1()2n n x f x +=>1()(2)n f x f +<1244()2243n a a f x x +--<+<+=E 23a +14a <<()f x (2,)-+∞(2,)x ∈-+∞()(,2)f x ∈-∞，，，∴． 由，∴恒成立．∴，∴数集中无最大项．综上可知，当时，数集中的最大项为； 当时，数集中无最项．11x =24(1)23a x f -==+21411033a a x x ---=+=>21x x >212132()(),x x f x f x x x >⇒>⇒>1n n x x +>112()()n n x f x f x x +=>>=E 4a ≥E 23a +14a <<E。
函数的性质和图像
函数的性质和图像函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。
函数的性质和图像是我们理解和研究函数的重要工具。
首先，让我们来谈谈函数的定义。
简单来说，如果对于给定的一个变量 x 的取值范围，都有唯一确定的变量 y 的值与之对应，那么我们就说 y 是 x 的函数。
比如说，y ＝ 2x 就是一个函数，当 x 取 1 时，y就是 2；x 取 2 时，y 就是 4，而且对于每个 x 的值，对应的 y 值都是唯一确定的。
函数的性质有很多，其中单调性是一个关键的性质。
单调性指的是函数值随着自变量的增大是增大还是减小。
如果函数值随着自变量的增大而增大，我们就说这个函数是单调递增的；反之，如果函数值随着自变量的增大而减小，那就是单调递减的。
比如说，一次函数 y ＝2x 就是单调递增的，而 y ＝－2x 就是单调递减的。
再来说说奇偶性。
如果对于函数 f(x)，都有 f(x) ＝ f(x)，那么这个函数就是偶函数；如果 f(x) ＝ f(x)，那就是奇函数。
偶函数的图像关于y 轴对称，比如 y ＝ x²；奇函数的图像关于原点对称，比如 y ＝ x³。
还有周期性。
如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋ T) ＝ f(x)都成立，那么就把函数 y ＝ f(x)叫做周期函数，周期为 T。
像正弦函数 y ＝ sin x 就是周期函数，其周期为2π。
接下来，我们聊聊函数的图像。
函数的图像可以直观地展现函数的性质。
以一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 为例，它的图像是一条直线。
我们可以通过找两个点，比如当 x ＝ 0 时，y ＝ 1；当 x ＝ 1 时，y ＝ 3，然后连接这两个点就得到了函数的图像。
从图像上，我们可以很容易地看出这个函数是单调递增的。
二次函数 y ＝ x²的图像是一条抛物线。
它的顶点在原点，开口向上。
通过图像，我们能清楚地看到函数的最小值在顶点处取得。
初中数学函数三大专题复习
初中数学函数三大专题复习
一、函数的定义与性质
1. 函数的定义：函数是一个将一个集合的每一个元素映射到另
一个集合的规则。
2. 函数的性质：
- 定义域：函数定义中的所有可能输入的集合称为定义域。
- 值域：函数所有可能的输出值的集合称为值域。
- 单调性：函数是递增的或递减的，称为函数的单调性。
- 奇偶性：函数在定义域内的奇偶性可以根据函数的对称性来
确定。
二、函数的图像与性质
1. 函数的图像：函数的图像是表示函数值和自变量之间对应关
系的图形。
2. 基本函数的图像：
- 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的图像特点。
- 图像的对称性特点，如奇函数关于原点对称，偶函数关于y
轴对称。
3. 函数的性质与图像：
- 函数的最大值和最小值可以通过图像上的关键点来确定。
- 函数的奇偶性可以通过图像的对称性来判断。
三、函数的运算与应用
1. 函数之间的运算：
- 函数的加法、减法、乘法和除法的定义与性质。
- 复合函数的概念和计算方法。
2. 函数的应用：
- 实际问题中常用的函数模型，如线性函数、二次函数、指数函数等。
- 函数的图像在实际问题中的应用，如求函数的最小值、最大值等。
总结：
初中数学函数的三大专题复习包括函数的定义与性质、函数的图像与性质以及函数的运算与应用。
掌握这些知识可以帮助我们理解函数的基本概念和特点，提高数学问题的解题能力。
函数的概念、图象和性质 Word版含解析
2.1函数的概念、图象和性质命题角度1函数的概念及其表示高考真题体验·对方向1.(2017山东·1)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=()A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)2.(2014江西·3)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R),若f[g(1)]=1,则a=()A.1B.2C.3D.-1新题演练提能·刷高分1.(2018北京西城期中)函数f(x)=的定义域是()A. B.C. D.2.(2018湖南邵阳期末)设函数f(x)=log2(x-1)+,则函数f的定义域为()A. B. C. D.3.(2018陕西西安一中模拟)若函数f(x)满足f(x+1)=f(x),则f(x)的解析式在下列四式中只有可能是()A.f(x)=B.f(x)=x+C.f(x)=2-xD.f(x)=lo x4.(2018广东深圳模拟)函数y=的值域为()A.,+∞B.-∞,C.0,D.(0,2]5.(2018河南南阳模拟)已知f(1-cos x)=sin2x,则f(x2)的解析式为.6.(2018北京西城期末)已知函数f(x)=若c=0,则f(x)的值域是;若f(x)的值域是-,2,则实数c的取值范围是.命题角度2函数的性质及其应用高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅱ·11)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50B.0C.2D.502.(2017全国Ⅰ·5)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]3.(2017北京·5)已知函数f(x)=3x-,则f(x)()A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数4.(2016山东·9)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,f=f,则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.25.(2016全国Ⅲ·15)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.6.(2016天津·13)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是.新题演练提能·刷高分1.(2018河北唐山二模)设m∈R,则“m=1”是“f(x)=m·2x+2-x”为偶函数的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2018重庆二诊)已知定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(2+x)=f(-x),且f(1)=2,则f(2 018)+f(2 019)的值为()A.-2B.0C.2D.43.(2018山东烟台一模)定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则使得f(x)>f(x2-2x+2)成立的x的取值范围是()A.(1,2)B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)D.(2,+∞)4.(2018河北石家庄一模)已知f(x)是定义在[-2b,1+b]上的偶函数,且在[-2b,0]上为增函数,则f(x-1)≤f(2x)的解集为()A.-1,B.-1,C.-1,1D.,15.(2018安徽合肥第二次质检)已知函数f(x)=,实数a,b满足不等式f(2a+b)+f(4-3b)>0,则下列不等式恒成立的是()A.b-a<2B.a+2b>2C.b-a>2D.a+2b<26.(2018山西太原一模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=4x2+2,设g(x)=f(x)-2x2,若g(x)的最大值和最小值分别为M和m,则M+m=()A.1B.2C.3D.47.(2018湖北黄冈、黄石等八市3月联考)已知实数a>0,a≠1,函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围是.命题角度3函数图象的识别与应用高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅱ·3)函数f(x)=的图像大致为()2.(2018全国Ⅲ·7)函数y=-x4+x2+2的图像大致为()3.(2017山东·10)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是()A.(0,1]∪[2,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)∪[2,+∞) D.(0,]∪[3,+∞)4.(2016全国Ⅰ·7)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为()新题演练提能·刷高分1.(2018山东烟台期末)函数y=x2-cos x的图象大致为()2.(2018福建厦门第一次质检)已知函数f(x)的图象如图所示,则该函数的解析式可能是()A.f(x)=B.f(x)=e x ln|x|C.f(x)=D.f(x)=(x-1)ln|x|3.(2018山东济南一模)函数y=的图象大致为()4.(2018东北三省三校一模)函数f(x)=|x|+(其中a∈R)的图象不可能是()5.(2018青海西宁一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(-x-1)=f(x-1),当x∈[-1,0]时,f(x)=-x3,则关于x的方程f(x)=|cos πx|在-上的所有实数解之和为()A.-7B.-6C.-3D.-1命题角度4函数与方程高考真题体验·对方向1.(2014北京·6)已知函数f(x)=-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)2.(2015湖南·15)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.新题演练提能·刷高分1.(2018河南濮阳一模)函数f(x)=ln 2x-1的零点位于区间()A.(2,3)B.(3,4)C.(0,1)D.(1,2)2.(2018青海西宁一模)偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,则函数g(x)=f(x)-|lg x|在x∈(0,10)上的零点个数为()A.11B.10C.9D.83.(2018北京城六区一模)已知函数f(x)=(1)当m=0时,函数f(x)的零点个数为;(2)如果函数f(x)恰有两个零点,那么实数m的取值范围为.4.(2018广东惠州4月模拟)已知函数f(x)对任意的x∈R,都有f+x=f-x,函数f(x+1)是奇函数,当-≤x≤时,f(x)=2x,则方程f(x)=-在区间[-3,5]内的所有零点之和为.。
数学函数图像知识点总结
数学函数图像知识点总结函数是数学中的一个重要概念，通过函数可以描述各种现象和规律。
函数图像是函数的图形表示，通过函数图像可以直观地理解函数的性质和行为。
在学习数学函数图像时，我们需要掌握一些重要的知识点，包括函数的定义、基本函数图像、函数的性质、函数图像的变换等内容。
本文将围绕这些知识点展开详细的介绍。
一、函数的定义1.1 函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每一个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
通俗的讲，函数就是一种映射关系，将自变量映射到因变量。
函数的定义可以用一个公式、图形或者文字描述。
函数通常用f(x)或者y来表示，其中x是自变量，y是因变量。
函数的一般表示形式为y=f(x)，其中f表示函数名，x表示自变量，y表示因变量。
1.2 函数的性质函数有许多重要的性质，包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。
在图像中，这些性质通常能够直观地表现出来。
- 定义域：函数的自变量的取值范围称为函数的定义域。
在函数图像上，定义域通常可以通过图形的横坐标范围来表示。
- 值域：函数的因变量的取值范围称为函数的值域。
在函数图像上，值域通常可以通过图形的纵坐标范围来表示。
- 奇偶性：函数的奇偶性是指函数图像关于y轴对称还是关于原点对称。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
- 周期性：具有周期性的函数在一定的距离内重复出现相似的图像。
周期函数的图像通常具有明显的重复性特征。
1.3 常见的基本函数在函数图像中，一些基本函数的图像具有重要的参考意义，这些函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
- 线性函数：线性函数的图像是一条直线，具有固定的斜率和截距。
- 二次函数：二次函数的图像是一个抛物线，具有一个顶点。
- 指数函数：指数函数的图像是以底数为底的指数幂函数，具有快速增长或者快速衰减的特点。
- 对数函数：对数函数的图像是以底数为底的对数函数，具有反映增长速度缓慢的特点。
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小题专项集训(二) 函数的概念、图象和性质
(时间：40分钟 满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共50分) 1．函数y ＝16－4x 的值域是
( )．
A ．[0，＋∞)
B ．[0,4]
C ．[0,4)
D ．(0,4)
解析 ∵4x >0，∴0≤16－4x <16，∴16－4x ∈[0,4)． 答案 C
2．设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是
( )．
A ．f (x )f (－x )是奇函数 B.
f (x )
f (－x )
是奇函数 C ．f (x )－f (－x )是偶函数
D ．f (x )＋f (－x )是偶函数
解析 F (x )＝f (x )＋f (－x )＝f (－x )＋f (x )＝F (－x )． 答案 D
3．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝ ( )． A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2
解析 f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1. 答案 A
4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
log 2x ，x >0，2x ，x ≤0，若f (a )＝1
2，则a 的值为
( )．
A ．－1
B. 2 C ．－1或1
2
D ．－1或 2
解析 若a >0，有log 2a ＝12，a ＝2；若a ≤0，有2a ＝12，a ＝－1. 答案 D
5．函数y ＝f (x )在R 上单调递增，且f (m 2＋1)>f (－m ＋1)，则实数m 的取值范围是
( )．
A ．(－∞，－1)
B ．(0，＋∞)
C ．(－1,0)
D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
解析 由题意得m 2＋1>－m ＋1，即m 2＋m >0，故m <－1或m >0. 答案 D
6．奇函数f (x )在[3,6]上是增函数，且在[3,6]上的最大值为2，最小值为－1，则2f (－6)＋f (－3)＝
( )．
A ．5
B ．－5
C ．3
D ．－3
解析 由题意⎩⎨⎧
f (6)＝2，
f (3)＝1，又∵f (x )是奇函数，∴2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)
＝－4＋1＝－3. 答案 D
7.图中的图象所表示的函数解析式
为
( )．
A ．y ＝3
2|x －1|(0≤x ≤2) B ．y ＝32－3
2|x －1|(0≤x ≤2) C ．y ＝3
2－|x －1|(0≤x ≤2)
D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)
解析 函数经过(0,0)，⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，32，只有B 选项满足．
答案 B
8．规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b 2(a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k ＝
( )．
A ．－2
B ．1
C ．－2或1
D ．2
解析 根据运算有1·k ＋1＋k 2＝3，k 为正实数，所以k ＝1. 答案 B
9．设函数f (x )为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f (－2)＝0，则xf (x )<0的解集为
( )．
A ．(－1,0)∪(2，＋∞)
B ．(－∞，－2)∪(0,2)
C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D ．(－2,0)∪(0,2)
解析 xf (x )<0⇔⎩⎨⎧ x >0，f (x )<0或⎩⎨⎧ x <0，f (x )>0，所以⎩⎨⎧ x >0，
x >2或⎩⎨⎧
x <0，x <－2，所以x >2或
x <－2. 答案 C
10．对任意x ∈R ，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2
－4x ＋3中的最大的一个，则f (x )的最小值是
( )．
A ．2
B ．3
C ．8
D ．－1
解析 画出函数y ＝－x ＋3，y ＝32x ＋1
2，y ＝x 2－4x ＋3在同一坐标系中的图象，
则函数f (x )的图象为图中实线部分(如图)．当x ＝1时，f (x )取最小值2.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共25分) 11．函数f (x )＝
log 1
2(x －1)的定义域是________．
解析 由log 1
2(x －1)≥0⇒0<x －1≤1⇒1<x ≤2，所以函数f (x )＝log 1
2(x －1)
的定义域是(1,2]． 答案 (1,2]
12．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1，若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 解析 记g (x )＝x 3cos x ，则g (x )为奇函数．
故g (－a )＝－g (a )＝－[f (a )－1]＝－10. 故f (－a )＝g (－a )＋1＝－9. 答案 －9
13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2cos π3x ，x ≤2 000，x －100，x >2 000，则f (f (2 013))＝________.
解析 f (2 013)＝2 013－100＝1 913， ∴f (f (2 013))＝f (1 913)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3×1 913
＝2cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫π＋2π3＝1.
答案 1
14．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
13的x 的取
值范围是________．
解析 由于f (x )是偶函数，故f (|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
13.
再根据f (x )的单调性，得|2x －1|<13，解得13<x <2
3. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23
15．下列命题中：
①若f (x )是定义域为R 的奇函数，对于任意的x ∈R ，都有f (x )＋f (2－x )＝0，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且周期为4；
②已知x 1，x 2是函数f (x )定义域内的两个值，且x 1<x 2，若f (x 1)>f (x 2)，则f (x )是减函数；
③若f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)也为奇函数，则f (x )是以4为周期的周期函数．
其中真命题的序号是________．
解析 对于①，由f (x )＋f (2－x )＝0知，其图象关于点(1,0)对称．又因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (2－x )＝－f (x )＝f (－x )，故该函数周期为2，①错误；对于②，不符合减函数的定义，②错误；对于③，由题意知，f (x ＋2)＝－f (－x ＋2)＝f (x －2)，故周期为4，③正确．所以真命题的序号为③.
答案③。