2016届河北省三市七校高三第二次联考数学文科试题
河北省衡水市2016届高三下学期大联考数学(文)试题 Word版-推荐下载
文数试题
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟. 2.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.每小题选出答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，所有试 题都要答在答题卡上.
③" = " 是" y sin 2x " 为偶函数的充要条件；
2
④当 a 0 时，幂函数 y xa 在区间 0，+上单调递减.
其中正确结论的个数是 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
x2 5.已知椭圆 a2
页
y2 b2
1a
b 0短轴的两个端点为 A,B，点 C 为椭圆上异于 A,B 的一点，直线 AC 与直
1第
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
【全国百强校word】河北省衡水中学2016届高三下学期二模考试文数试题
文数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合22{|230},{|log 0}M x x x N x x =--<=<，则M N I 等于（ ）A ．()1,0-B ．()1,1-C ．()0,1D ．()1,3 2.若复数z 的实部为1，且2z =，则复数z 的虚部是（ ） A ．3- B ．3± C ．3i ± D ．3i3.若命题:,cos()cos p a R παα∈-=，命题2:,10q x R x ∀∈+>，则下面结论正确的是（ ） A ．p 是假命题 B ．q ⌝是真命题 C ．p q ∧是假命题 D ．p q ∨是真命题4.若函数()21,1ln ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则(())f f e =（ ）（其中e 为自然对数的底数）A ．0B ．1C ．2D ．ln(1)xe +5.若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46.在等差数列{}n a 中，12012a =-，其前n 项和为n S ，若2012122002201210S S -=，则2016S 的值等于（ ） A ．2011 B ．-2012 C ．2014 D ．-20137.如图是某班50名学生其中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100，则图中x 的值等于（ ）A ．0.120B ．0.180C ．0.012D ．0.018 8.函数sin y x x =在区间[,]ππ-上的图象是（ ）9.若函数()2sin()(214)84f x x x ππ=+-<<的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则()OB OC OA +⋅=u u u r u u u r u u u r（ ）（其中O 为坐标原点） A ．-32 B ．32 C ．-72 D ．7210.双曲线1C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若1C 的一个焦点与抛物线22:12C y x =的焦点重合，且抛物线2C 的准线交双曲线1C 所得的弦长为43，则双曲线1C 的实轴长为（ ） A ．6 B ．26 C ．3 D ．2311.已知点P 是椭圆221168x y +=上顶点的动点，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，O 是坐标原点，若M 是12F PF ∠的平分线上一点，且10F M MP ⋅=u u u u r u u u r，则OM u u u u r 的取值范围是（ ）A ．[)0,3B ．()0,22 C ．[22,3) D ．(0,4]12.已知函数()2,0ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，若函数()f x 的图象在A 、B 两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,1)--B ．()1,2C ．(1,)-+∞D ．(ln 2,)-+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若直线10ax by -+=平分圆22:2410C x y x y ++-+=的周长，则ab 的取值范围是_____. 14.若某程序框图如下图所示，则该程序运行后输出的i 值为______.15.已知变量,x y 满足约束条件240240x y y x y k -+≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，且目标函数3z x y =+的最小值为-1，则实常数k =_____.16.在一个棱长为4的正方体内，最多能放入 个直径为1的球.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项为1，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n 都有24121n n a n a n -=-. （1）求数列{}n a 的通项公式及n S ；（2）是否存在正整数n 和k ，使得1,,n n n K S S S ++成等比数列？若存在，求出n 和k 的值；若不存在，请说明理由.18.（本小题满分12分）全国第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委员会第二次会议，2014年3月在北京开幕，期间为了了解企员工的工资收入状况，从108名相关人员中用分层抽样的方法抽取了若干人组成调研小组，有关数据见下表：（单位：人）（1）求,x y ；（2）若从中层、高管抽取的人员中选2人，求这二人都来自中层的概率. 19.（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，//,90,AD BC ADC BA BC ∠==o，把BAC ∆沿AC 折起到PAC ∆的位置，使得点P 在平面ACD 上正投影O 恰好落在线段AC 上，如图2所示，点E 、F 分别为棱PC 、CD 的中点。
河北省唐山市2015—2016学年度高三年级第二次模拟考试文科数学试题
试卷类型：A唐山市2015—2016学年度高三年级第二次模拟考试文科数学说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）已知集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则A∪B＝（A）(－2，1) （B）(－1，1)（C）(－2，2) （D）(－1，2)（2）设复数z满足(1＋z)(1＋2i)＝i，则复平面内表示复数z的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）已知α为实数，则“α＝2kπ＋4（k∈Z）”是“tanα＝1”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件（4）大学生甲、乙、丙为唐山世园会的两个景区提供翻译服务，每个景区安排一名或两名大学生，则甲、乙被安排到不同景区的概率为（A）13（B）12（C）56（D）23（5）执行右侧的程序框图，若输入M的值为1，则输出的S＝（A）6 （B）12（C）14 （D）20（6）已知a ＝log 34，b ＝log π3，c ＝50.5，则a ，b ，c 的大小关系是（A ）a ＜b ＜c （B ）a ＜c ＜b （C ）b ＜c ＜a （D ）b ＜a ＜c（7）若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ＋2y ≤6，2x －y ≤2，则z ＝3x ＋4y 的最大值是（A ）3（B ）8 （C ）14（D ）15（8）函数f (x )＝cos (x ＋2π5)＋2sin π 5sin (x ＋ π5)的最大值是（A ）1 （B ）sin π5（C ）2sin π5（D ）5（9）椭圆y 2＋x 2m 2＝1（0＜m ＜1）上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则m 的取值范围是（A ）[22，1)（B ）(0，22]（C ）[1 2，1)（D ）(0， 12]（10）在 ABCD 中，AB ＝2AD ＝4，∠BAD ＝60°，E 为BC 的中点，则BD →·AE →＝（A ）－12 （B ）12 （C ）－6 （D ）6 （11）在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，P A ＝AB ．该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A ） 1 2 （B ） 13（C ） 1 4 （D ） 15（12）已知函数f (x )＝xx －1＋sin πx 在[0，1)上的最大值为m ，在(1，2]上的最小值为n ，则m ＋n ＝ （A ）－2 （B ）－1 （C ）1 （D ）2正视图 侧视图俯视图第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． （13）已知双曲线C 的焦点在x 轴上，渐近线方程是y ＝±2x ，则C 的离心率e ＝____． （14）已知△ABC 的三边长分别为2，3，7，则△ABC 的面积S ＝_____． （15）已知函数f (x )＝e x －ax －1，若x 轴为曲线y ＝f (x )的切线，则a ＝____．（16）已知AB 是球O 的直径，C 、D 为球面上两动点，AB ⊥CD ，若四面体ABCD 体积的最大值为9，则球O 的表面积为_____． 三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－7，S 8＝0． （Ⅰ）求{a n }的前n 项和为S n ；（Ⅱ）数列{b n }满足b 1＝ 1 16，b n b n ＋1＝2an ，求数列{b n }的通项公式．（18）（本小题满分12分）二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x （0＜x ≤10）与销售价格y（Ⅰ）试求y 关于x 的回归直线方程；（参考公式：b ˆ＝i ＝1∑x i y i －n ·x -y-n i ＝1∑x 2i －nx-2，a ˆ＝y -－b ˆx -．）（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w ＝0.05x 2－1.75x ＋17.2万元，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，预测x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大？ （19）（本小题满分12分）如下图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，E 为边AD 的中点，分别沿BE ，CE 将△ABE ，△DCE 折叠，使平面ABE 和平面DCE 均与平面BCE 垂直． （Ⅰ）证明：AD ∥平面BEC ；（Ⅱ）求点E 到平面ABCD 的距离．A CD BBCEE A D（20）（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2＝4x ，经过点(4，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，M (－4，0)，O 为坐标原点．（Ⅰ）证明：k AM ＋k BM ＝0；（Ⅱ）若直线l 的斜率为k （k ＜0），求kk AM ·k BM 的最小值．（21）（本小题满分12分）设函数f (x )＝x 22＋(1－k )x －k ln x ．（Ⅰ）讨论f (x )的单调性；（Ⅱ）若k 为正数，且存在x 0使得f (x 0)＜ 32－k 2，求k 的取值范围．请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 内接于圆O ，AC 与BD 相交于点F ，AE 与圆O 相切于点A ，与CD 的延长线相交于点E ，∠ADE ＝∠BDC ．（Ⅰ）证明：A 、E 、D 、F 四点共圆； （Ⅱ）证明：AB ∥EF ．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ（φ为参数，0＜φ＜π），曲线C 2与曲线C 1关于原点对称．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 3的极坐标方程是ρ＝2（0＜θ＜π）．过极点O 的直线l 分别与曲线C 1，C 2，C 3相交于点A ，B ，C ． （Ⅰ）求曲线C 1的极坐标方程； （Ⅱ）求|AC |·|BC |的取值范围． （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋1|＋m |x －1|．（Ⅰ）当m ＝2时，求不等式f (x )＜4的解集； （Ⅱ）若m ＜0，f (x )≥2m ，求m 的最小值．唐山市2015—2016学年度高三年级第二次模拟考试文科数学参考答案一、选择题A 卷：CBADB DCABA BDB 卷：CCADB DDABA BC 二、填空题（13） 5 （14）332（15）1 （16）36π三、解答题 （17）解：（Ⅰ）由S 8＝0得a 1＋a 8＝－7＋a 8＝0，∴a 8＝7，d ＝a 8－a 18－1＝2， …3分所以{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－7n ＋n (n －1) ＝n 2－8n ． …6分（Ⅱ）由题设得b n b n ＋1＝2a n ，b n ＋1b n ＋2＝2a n ＋1，两式相除得b n ＋2＝4b n ，…8分又b 1b 2＝2a1＝ 1 128，b 1＝ 1 16，所以b 2＝ 1 8＝2b 1，所以b n ＋1＝2b n ，即{b n }是以 116为首项，以2为公比的等比数列，故b n ＝2n －5．…12分（18）解：（Ⅰ）由已知：x -＝6，y -＝10，5i ＝1∑x i y i ＝242，5i ＝1∑x 2i ＝220，^b ＝ni ＝1∑x i y i －nx -y-ni ＝1∑x 2i －nx-2＝－1.45，a ˆ＝y -－^b x -＝18.7；…6分所以回归直线的方程为^y ＝－1.45x ＋18.7 （Ⅱ）z ＝－1.45x ＋18.7－(0.05x 2－1.75x ＋17.2) ＝－0.05x 2＋0.3x ＋1.5 ＝－0.05(x －3)2＋1.95，所以预测当x ＝3时，销售利润z 取得最大值．…12分（19）解：（Ⅰ）分别取BE ，CE 中点M ，N ，连接AM ，MN ，DN ，由已知可得△ABE ，△DCE 均为腰长为4的等腰直角三角形，所以AM ⊥BE ，且AM ＝22．又∵平面ABE ⊥平面BCE ，且交线为BE ， ∴AM ⊥平面BEC ，同理可得：DN ⊥平面BEC ，且DN ＝22． ∴AM ∥DN ，且AM ＝DN ，∴四边形AMND 为平行四边形．∴AD ∥MN ，又∵MN ⊂平面BEC ，AD ⊂/平面BEC ， ∴AD ∥平面BEC ．…6分（Ⅱ）点E 到平面ABC 的距离，也就是三棱锥E －ABC 的高h ． 连接AC ，MC ，在Rt △EMC 中有MC ＝EM 2＋EC 2＝210， 在Rt △AMC 中有AC ＝AM 2＋MC 2＝43．可得AC 2＋AB 2＝BC 2，所以△ABC 是直角三角形．由V E —ABC ＝V A —BEC 得 1 3· 1 2AB ·AC ·h ＝ 1 3· 12BE ·EC ·AM ，可知h ＝463．∴点E 到平面ABC 的距离为463．…12分（20）解：（Ⅰ）设l ：x ＝my ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将x ＝my ＋4代入y 2＝4x 得y 2－4my －16＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－16．…3分k AM ＝y 1x 1＋4＝4y 1y 21＋16＝4y 1y 21－y 1y 2＝4y 1－y 2，同理k BM ＝4y 2－y 1，所以k AM ＋k BM ＝0．…6分AC D B B C EE A D MN BCEADM（Ⅱ）k k AM ·k BM ＝(y 1－y 2)2－16m ＝16m 2＋64－16m ＝－m ＋4－m ≥4，当且仅当m ＝－2时等号成立， 故k k AM ·k BM的最小值为4． …12分（21）解：（Ⅰ）f '(x )＝x ＋1－k －kx＝x 2＋(1－k )x －kx ＝(x ＋1)(x －k )x,（ⅰ）k ≤0时，f '(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；（ⅱ）k ＞0时，x ∈(0，k )，f '(x )＜0；x ∈(k ，＋∞)，f '(x )＞0， 所以f (x )在(0，k )上单调递减，f (x )在(k ，＋∞)上单调递增．…5分（Ⅱ）因k ＞0，由（Ⅰ）知f (x )＋k 2－3 2的最小值为f (k )＋k 2－ 32＝k 22＋k －k ln k － 3 2，由题意得k 22＋k －k ln k － 3 2＜0，即k2＋1－ln k － 32k＜0．…8分令g (k )＝k2＋1－ln k － 3 2k ，则g '(k )＝12－1k ＋ 3 2k 2＝k 2－2k ＋32k 2＞0，所以g (k )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0， 所以k ∈(0，1)时，g (k )＜0，于是k 22＋k －k ln k － 32＜0；k ∈(1，＋∞)时，g (k )＞0，于是k 22＋k －k ln k － 32＞0．故k 的取值范围为0＜k ＜1．…12分（22）解：（Ⅰ）因为AE 与圆O 相切于点A ，所以∠CAE ＝∠CBA ； 因为四边形ABCD 内接于圆O ，所以∠CBA ＝∠ADE ； 又已知∠ADE ＝∠BDC ，所以∠BDC ＝∠CAE ， 故A ，E ，D ，F 四点共圆． …5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠ADE ＝∠AFE ＝∠BDC ， 又∠BDC ＝∠BAC （同弧所对的圆周角相等）， 所以∠AFE ＝∠BAC ，故AB ∥EF ． …10分（23）解：（Ⅰ）由⎩⎨⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ．（φ为参数，0＜φ＜π）得(x －1)2＋y 2＝1（0＜y ≤1），所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ（0＜θ＜π2）． …5分（Ⅱ）由题意可设A (ρ1，θ)，C (2，θ)（0＜θ＜π2）， 则|AC |＝2－ρ1＝2－2cos θ，|BC |＝2＋ρ1＝2＋2cos θ， 所以|AC |·|BC |＝4sin 2θ∈(0，4)．…10分（24）解：（Ⅰ）当m ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－3x ，x ＜－1，3－x ，－1≤x ≤1，3x －1，x ＞1．由f (x )的单调性及f (53)＝f (－1)＝4， 得f (x )＜4的解集为{x |－1＜x ＜ 53}．…5分 （Ⅱ）由f (x )≥2m 得|x ＋1|≥m (2－|x －1|)， 因为m ＜0，所以－ 1m|x ＋1|≥|x －1|－2，在同一直角坐标系中画出y ＝|x －1|－2及y ＝－ 1m |x ＋1|的图像，根据图像性质可得－ 1m≥1，即－1≤m ＜0，故m 的最小值为－1． …10分。
河北省唐山一中2016届高三数学二模试卷(文科) Word版含解析
2016年河北省唐山一中高考数学二模试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|log2x＜2}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（）A．（1，4）B．（2，4）C．（1，2）D．（1，+∞）2．已知a∈R，若复数为纯虚数，则|1+ai|=（）A．10B．C．5D．3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a7+a12=60，则S13的值是（）A．130B．260C．20D．1504．如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨5．若抛物线C：y2=2xcosA（其中角A为△ABC的一个内角）的准线过点，则cos2A+sin2A的值为（）A．B．C．D．6．已知函数，若f（x+θ）是周期为2π的偶函数，则θ的一个可能值是（）A．B．C．πD．7．已知数列{a n}中，，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（）A．n≤2014B．n≤2016C．n≤2015D．n≤20178．已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）A．B．C．D．9．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π10．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且PB，点AM=，P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．椭圆12．若关于x的方程4sin2x﹣msinx+1=0在（0，π）内有两个不同的实数解，则实数m的取值范围为（）A．m＞4或m＜﹣4B．4＜m＜5C．4＜m＜8D．m＞5或m=4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置13．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是．14．已知点M（x，y）的坐标满足，N（﹣2，1），点O为坐标原点，则•的最大值为．15．四棱锥M﹣ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，若|MA|+|MB|=10，则三棱锥A ﹣BCM的体积的最大值是．16．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”，给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=x2+1}；②M={（x，y）|y=log2x}；③M={（x，y）|y=2x﹣2}；④M={（x，y）|y=sinx+1}；其中是“垂直对点集”的序号是．三、解答题共5小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2n，n∈N*．（1）求证：数列{a n+2}为等比数列；（2）设，且数列{b n}的前n项和为T n，求．18．城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少难以满足乘客需求，为此，唐山市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，min（1）估计这60名乘客中候车时间小于10分钟的人数；（2）若从表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自同一组的概率．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．（1）证明：AE⊥PD；（2）设AB=2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求三棱锥B﹣AEF的体积．20．已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．21．已知函数f（x）=（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e2]上的最值；（Ⅱ）证明：对任意n∈N+，不等式ln（）e＜都成立（其中e为自然对数的底数）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（1）求证：．（2）求AD•AE的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ．（1）求C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|1﹣2x|﹣3|x+1|，f（x）的最大值为M，正数a，b满足+=Mab．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）是否存在a，b，使得a6+b6=？并说明理由．2016年河北省唐山一中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|log2x＜2}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（）A．（1，4）B．（2，4）C．（1，2）D．（1，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：log2x＜2=log24，即0＜x＜4，∴A=（0，4），由B中y=3x+2＞2，得到B=（2，+∞），则A∩B=（2，4），故选：B．2．已知a∈R，若复数为纯虚数，则|1+ai|=（）A．10B．C．5D．【考点】复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，由题意求出a值，则答案可求．【解答】解：∵为纯虚数，∴，解得：a=2，∴|1+ai|=|1+2i|=．故选：D．3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a7+a12=60，则S13的值是（）A．130B．260C．20D．150【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质结合已知求得a7，再由S13=13a7得答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a2+a7+a12=60，得3a7=60，a7=20．∴S13=13a7=13×20=260．故选：B．4．如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【考点】线性回归方程．【分析】根据回归直线的性质分别进行判断即可．【解答】解：=（3+4+5+6）==4.5，则=0.7×4.5+0.35=3.5，即线性回归直线一定过点（4.5，3.5），故A正确，∵0.7＞0，∴产品的生产能耗与产量呈正相关，故B正确，∵=（2.5+t+4+4.5）=3.5，得t=3，故C错误，A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨，故D正确故选：C5．若抛物线C：y2=2xcosA（其中角A为△ABC的一个内角）的准线过点，则cos2A+sin2A的值为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的准线方程，由题意可得cosA=﹣，运用同角的平方关系和二倍角公式，计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线C：y2=2xcosA的准线方程为x=﹣，准线过点，可得﹣=，即cosA=﹣，sinA==，则cos2A+sin2A=cos2A+2sinAcosA=（﹣）2+2••（﹣）=﹣．故选：A．6．已知函数，若f（x+θ）是周期为2π的偶函数，则θ的一个可能值是（）A．B．C．πD．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的周期性求得ω的值，再根据正弦函数、余弦函数的奇偶性可得3ωθ+=kπ+，k∈Z，从而求得θ的值．【解答】解：函数，若f（x+θ）=2sin[3ω（x+θ）+]=2sin（3ωx+3ωθ+）是周期为2π的偶函数，∴=2π，且3ωθ+=kπ+，k∈Z，求得ω=，θ=kπ+，结合所给的选项，则θ的一个可能值是，故选：B．7．已知数列{a n}中，，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（）A．n≤2014B．n≤2016C．n≤2015D．n≤2017【考点】程序框图．【分析】通过观察程序框图，分析为填判断框内判断条件，n的值在执行运算之后还需加1，故判断框内数字应减1，按照题意填入判断框即可．【解答】解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，第1次循环，A=，n=1+1=2，第2次循环，A==，n=2+1=3，…当执行第2016项时，n=2017，由题意，此时，应该不满足条件，退出循环，输出A的值．所以，判断框内的条件应为：n≤2016．故选：B．8．已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）A．B．C．D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义；几何概型．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是△ABC边BC 上的中线AO的中点．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得本题的答案．【解答】解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则∵，∴，得=﹣2由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的．∴S△PBC=S△ABC．将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P==故选C9．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为圆柱与球的组合体．表面共有5部分组成．【解答】解：由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1．所以几何体的表面积为π×12+2π×1×3+++=9π．故选B．10．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c 的关系，求出离心率的值．【解答】解：将x=c代入双曲线的方程得y=即M（c，）在△MF1F2中tan30°=即=解得e==故选：D．11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且PB，点AM=，P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．椭圆【考点】轨迹方程．【分析】建立空间右手系，得到M的坐标，设出P的坐标，由题意列式求得P的轨迹．【解答】解：建立如图所示的坐标系，M（1，，0），设P（x，y，0），由动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，得，整理得：．∴动点P的轨迹是抛物线．故选：B．12．若关于x的方程4sin2x﹣msinx+1=0在（0，π）内有两个不同的实数解，则实数m的取值范围为（）A．m＞4或m＜﹣4B．4＜m＜5C．4＜m＜8D．m＞5或m=4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用换元法，结合三角函数的性质以及一元二次方程与一元二次函数之间的关系进行求解即可．【解答】解：设t=sinx，则0＜t≤1，则方程等价为f（t）=4t2﹣mt+1=0在（0，1]内有唯一解，即或f（1）=5﹣m＜0，得m=4或m＞5．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置13．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（﹣3，﹣1）∪（1，3）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知得圆上点到原点距离d=，从而|d﹣r|＜|a|或d+r＞|a|，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：圆心（a，a）到原点的距离为|a|，半径r=2，圆上点到原点距离为d，∵圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为根号，∴d=，∴|d﹣r|＜|a|或d+r＞|a|∴||＜|a|＜，即1＜|a|＜3，解得1＜a＜3或﹣3＜a＜﹣1．∴实数a的取值范围是（﹣3，﹣1）∪（1，3）．故答案为：（﹣3，﹣1）∪（1，3）．14．已知点M（x，y）的坐标满足，N（﹣2，1），点O为坐标原点，则•的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，得到•的表达式，通过平移直线求出其最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（1，6），设M（x，y），则•=﹣2x+y，令﹣2x+y=z，则y=2x+z，平移直线发现y=2x+z过A（1，6）时，z最大，z的最大值是：z=﹣2+6=4，故答案为：4．15．四棱锥M﹣ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，若|MA|+|MB|=10，则三棱锥A ﹣BCM的体积的最大值是24．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥A﹣BCM体积等于三棱锥M﹣ABC的体积，已知正方形ABCD的边长为6，空间一动点M满足|MA|+|MB|=10，M点的轨迹是椭球，只要求出M点到AB的最大值即可．【解答】解：∵三棱锥A﹣BCM体积=三棱锥M﹣ABC的体积，又正方形ABCD的边长为6，S△ABC=×6×6=18，又空间一动点M满足|MA|+|MB|=10，M点的轨迹是椭球，当|MA|=|MB|时，M点到AB距离最大，h==4，∴三棱锥M﹣ABC的体积的最大值为V=S△ABC h=×18×4=24，∴三棱锥A﹣BCM体积的最大值为24，故答案为：24．16．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”，给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=x2+1}；②M={（x，y）|y=log2x}；③M={（x，y）|y=2x﹣2}；④M={（x，y）|y=sinx+1}；其中是“垂直对点集”的序号是③④．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】对于①利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．对于②、③、④通过函数的定义域与函数的值域的范围，画出函数的图象，利用“垂直对点集”的定义，即可判断正误；【解答】解：对于①M={（x，y）|y=x2+1}，取点（0，1），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，不是“垂直对点集”．对于②M={（x，y）|y=log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于③M={（x，y）|y=2x﹣2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．对于④M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确．所以③④正确．故答案为：③④三、解答题共5小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2n，n∈N*．（1）求证：数列{a n+2}为等比数列；（2）设，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求．【考点】数列的求和． 【分析】（1）由S n =2a n ﹣2n ，推出a n =2a n ﹣1+2，然后证明{a n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列．（2）求出数列{b n }的前n 项和为T n ，然后利用裂项消项法求解数列的和即可． 【解答】（1）证明：由S n =2a n ﹣2n 有S n ﹣1=2a n ﹣1﹣2（n ﹣1），相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1﹣2 ∴a n =2a n ﹣1+2即a n +2=2（a n ﹣1+2）… 又S 1=2a 1﹣2，解得a 1=2…故{a n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列…（2）由（1）得，，…，………18．城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少难以满足乘客需求，为此，唐山市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，（2）若从表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自同一组的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表． 【分析】（1）候车时间少于10分钟的人数所占的比例为，用60乘以此比例，即得所求． （2）从这6人中选2人作进一步的问卷调查，用列举法列出上述所有可能情况共有15种，求得抽到的两人恰好来自同一组的情况共计7种，由此求得抽到的两人恰好来自不同组的概率．【解答】解：（1）候车时间少于10分钟的人数所占的比例为=，故这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数为 60×=28．（2）设表中第三组的4个人分别为a 1、a 2、a 3、a 4、第四组的2个人分别为b 1、b 2， 从这6人中选2人作进一步的问卷调查，①用列举法列出上述所有可能情况：（a1，a2）、（a1，a3）、（a1，a4）、（a1，b1）、（a1，b2）、（a2，a3）、（a2，a4）、（a2，b1）、（a2，b2）、（a3，a4）、（a3，b1）、（a3，b2）、（a4，b1）、（a4，b2）、（b1，b2），共计15种．②抽到的两人恰好来自同一组：（a1，a2）、（a1，a3）、（a1，a4）、（a2，a3）、（a2，a4）、（a3，a4）、（b1，b2），共计7种，故抽到的两人恰好来自同一组的概率为．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．（1）证明：AE⊥PD；（2）设AB=2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求三棱锥B﹣AEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由PA⊥平面ABCD得出AE⊥PA，由△ABC是等边三角形得出AE⊥AD，故而AE⊥平面PAD，于是AE⊥PD；（2）由AE⊥平面PAD可知∠EHA为直线EH与平面PAD所成的角，故而当AH⊥PD时，∠EHA最大，求出此时PA的长，代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE．∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD是等边三角形，又E为BC的中点，∴∠EAC=30°，∠DAC=60°，∴∠EAD=90°，即AE⊥AD．又PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AE⊥PD．（2）由（1）得AE⊥平面PAD，∴∠EHA为直线EH与平面PAD所成的角．∴tan∠EHA==．∴当AH最短时，tan∠EHA取得最大值．即当AH⊥PD时，tan∠EHA==，∴AH=．又AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=AD=2，∴V B ﹣AEF =V F ﹣ABE ====．20．已知椭圆的一个顶点为A （0，﹣1），焦点在x 轴上．若右焦点到直线x ﹣y+2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m （k ≠0）相交于不同的两点M 、N ．当|AM|=|AN|时，求m 的取值范围．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）依题意可设椭圆方程为，由题设解得a 2=3，故所求椭圆的方程为．（2）设P 为弦MN 的中点，由得（3k 2+1）x 2+6mkx+3（m 2﹣1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m 2＜3k 2+1．由此可推导出m 的取值范围．【解答】解：（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点F （）由题设解得a 2=3故所求椭圆的方程为；（2）设P 为弦MN 的中点，由得（3k 2+1）x 2+6mkx+3（m 2﹣1）=0由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m 2＜3k 2+1①∴从而∴又|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，则即2m=3k2+1②把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2由②得解得．故所求m的取范围是（）．21．已知函数f（x）=（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e2]上的最值；（Ⅱ）证明：对任意n∈N+，不等式ln（）e＜都成立（其中e为自然对数的底数）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数单调性的性质．【分析】（Ⅰ）求导f′（x）=；由导数的正负确定函数的单调性，从而求最值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令F（x）=，则F（x）=在[1，e）上单调递增，在（e，e2]上单调递减且F（x）＜，（x＞1）；从而可得elnx＜x，从而证明．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=，∴f′（x）=；当x∈[1，e）时，f′（x）＞0，当x∈（e，e2]时，f′（x）＜0；故f（x）在[1，e）上单调递增，在（e，e2]上单调递减；且f（1）=0﹣1=﹣1；f（e）=﹣1＜0，f（e2）=﹣1＜﹣1；故函数f（x）在区间[1，e2]上的最小值为﹣1；最大值为﹣1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，令F（x）=；则F（x）=在[1，e）上单调递增，在（e，e2]上单调递减；且F（x）＜，（x＞1）；故＜，（x＞1）；故elnx＜x；令x=得，eln＜；故对任意n∈N+，不等式ln（）e＜都成立（其中e为自然对数的底数）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（1）求证：．（2）求AD•AE的值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由弦切角定理推导出△PAB～△PCA，由此能证明．（2）由切割线定理得PA2=PB•PC，由AE是∠BAC的角平分线，得△AEC～△ABD，由此能求出AD•AE的值．【解答】证明：（1）∵PA为圆O的切线，∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，∴△PAB～△PCA，∴解：（2）∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，∴PA2=PB•PC，∴PC=40，BC=30，又∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=900，又由（1）知，∴，，∵AE是∠BAC的角平分线，且∠AEC=∠ABD，∴△AEC～△ABD，∴，∴．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ．（1）求C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）对极坐标方程两边同乘ρ即可得到普通方程；（2）将直线参数方程代入曲线普通方程解出A，B两点对应的参数关系，利用参数得几何意义得出|AB|．【解答】解：（1）∵ρsin2θ=8cosθ，∴ρ2sin2θ=8ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程是：y2=8x．（2）直线的参数方程标准形式为，代入y2=8x得3t2=8（2+t），即3t2﹣16t﹣64=0．设AB对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=，t1t2=﹣．∴|AB|=|t1﹣t2|==．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|1﹣2x|﹣3|x+1|，f（x）的最大值为M，正数a，b满足+=Mab．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）是否存在a，b，使得a6+b6=？并说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）直接采用零点分段法确定函数的最值；（2）先假设存在，再两次运用基本不等式得出≤和≥相互矛盾，所以假设不成立．【解答】解：（1）分三类讨论如下：①当x＜﹣1时，f（x）=x+4，单调递增，f（x）＜3；②当﹣1≤x≤时，f（x）=﹣5x﹣2，单调递减，f（x）max=f（﹣1）=3，③当x＞时，f（x）=﹣x﹣4，单调递减，f（x）＜f（）=﹣，综合以上讨论得，f（x）的最大值M=3；（2）假设存在正数a，b，使得a6+b6=≥2=2a3b3，所以，≤，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①又因为+=Mab=3ab≥2•，所以，≥，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②显然①②相互矛盾，所以，假设不成立，即不存在a，b使得a6+b6=．2016年7月21日。
河北省2016年高考文科数学试题（附答案）
12cos 3A =河北省2016年高考文科数学试题（附答案）(满分满分150分，时间120分钟分钟) )第Ⅰ卷一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. .） （1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =££，则AB =（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7} (2)(2)设设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－）－3 3 （B ）－）－2 2（C ）2 （D ）3 （3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学种花种在一个花坛中，学..科.网余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13（B ）12（C ）13（D ）56（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.c.已知已知5a =，2c =，则b=（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的若椭圆中心到的距离为其短轴长的 14，则该椭圆的离心率为椭圆的离心率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（6）将函数y=2sin (2x+π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y=2sin(2x+π4) （B ）y=2sin(2x+π3)（C ）y=2sin(2x y=2sin(2x––π4) （D ）y=2sin(2x y=2sin(2x––π3) （7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径圆中两条相互垂直的半径..若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0a>b>0，，0<c<10<c<1，则，则，则（A ）log a c<log b c （B ）log c a<log c b （C ）a c<b c（D ）c a >c b（9）函数y=2x 2–e |x|在[–2,2]2,2]的图像大致为的图像大致为的图像大致为（A ） （B ）（C ） （D ）（1010）执行右面的程序框图，如果输入的）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出则输出,x y 的值满足的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x=（1111）平面）平面a 过正文体ABCD ABCD——A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D a 平面,ABCD m a=平面，11ABB A n a =平面，则m ，n 所成角的正弦值为所成角的正弦值为 （A ）32 （B ）22 （C ）33 （D ）13（1212）若函数）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-¥+¥单调递增，则a 的取值范围是的取值范围是（A ）[]1,1- （B ）11,3éù-êúëû （C ）11,33éù-êúëû （D ）11,3éù--êúëû第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分..第(13)(13)题题~第(21)(21)题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考生都必须作答生都必须作答..第(22)(22)题题~第(24)(24)题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . 二.填空题(本大题共4小题，每小题5分)（1313）设向量）设向量a=(x a=(x，，x+1)x+1)，，b=(1b=(1，，2)2)，且，且a ^b ，则x=_________. （1414）已知）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=_________. （1515）设直线）设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若两点，若|AB|=2|AB|=23，则圆C 的面积为积为________________________。
2016年河北省唐山一中高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2016年河北省唐山一中高考数学二模试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|log2x＜2}，B＝{y|y＝3x+2，x∈R}，则A∩B＝（）A．（1，4）B．（2，4）C．（1，2）D．（1，+∞）2．（5分）已知a∈R，若复数为纯虚数，则|1+ai|＝（）A．10B．C．5D．3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a7+a12＝60，则S13的值是（）A．130B．260C．20D．1504．（5分）如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨5．（5分）若抛物线C：y2＝2x cos A（其中角A为△ABC的一个内角）的准线过点，则cos2A+sin2A的值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数，若f（x+θ）是周期为2π的偶函数，则θ的一个可能值是（）A．B．C．πD．7．（5分）已知数列{a n}中，，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（）A．n≤2014B．n≤2016C．n≤2015D．n≤20178．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π10．（5分）双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且PB，点AM＝，P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．椭圆12．（5分）若关于x的方程4sin2x﹣m sin x+1＝0在（0，π）内有两个不同的实数解，则实数m的取值范围为（）A．m＞4或m＜﹣4B．4＜m＜5C．4＜m＜8D．m＞5或m＝4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置13．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2＝8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a 的取值范围是．14．（5分）已知点M（x，y）的坐标满足，N（﹣2，1），点O为坐标原点，则•的最大值为．15．（5分）四棱锥M﹣ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，若|MA|+|MB|＝10，则三棱锥A﹣BCM的体积的最大值是．16．（5分）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，都存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M＝{（x，y）|y＝}；②M＝{（x，y）|y＝log2x}；③M＝{（x，y）|y＝e x﹣2；④M＝{（x，y）|y＝sin x+1．其中是“垂直对点集”的序号是．三、解答题共5小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n﹣2n，n∈N*．（1）求证：数列{a n+2}为等比数列；（2）设，且数列{b n}的前n项和为T n，求．18．（12分）城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少难以满足乘客需求，为此，唐山市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如表所示（单位：min）（1）估计这60名乘客中候车时间小于10分钟的人数；（2）若从表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自同一组的概率．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，P A⊥平面ABCD，∠ABC ＝60°，E、F分别是BC、PC的中点．（1）证明：AE⊥PD；（2）设AB＝2，若H为PD上的动点，EH与平面P AD所成最大角的正切值为，求三棱锥B﹣AEF的体积．20．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2＝0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y＝kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e2]上的最值；（Ⅱ）证明：对任意n∈N+，不等式ln（）e＜都成立（其中e为自然对数的底数）[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，P A为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，P A＝20，PB＝10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（1）求证：．（2）求AD•AE的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ．（1）求C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）＝|1﹣2x|﹣3|x+1|，f（x）的最大值为M，正数a，b满足+＝Mab．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）是否存在a，b，使得a6+b6＝？并说明理由．2016年河北省唐山一中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|log2x＜2}，B＝{y|y＝3x+2，x∈R}，则A∩B＝（）A．（1，4）B．（2，4）C．（1，2）D．（1，+∞）【解答】解：由A中不等式变形得：log2x＜2＝log24，即0＜x＜4，∴A＝（0，4），由B中y＝3x+2＞2，得到B＝（2，+∞），则A∩B＝（2，4），故选：B．2．（5分）已知a∈R，若复数为纯虚数，则|1+ai|＝（）A．10B．C．5D．【解答】解：∵为纯虚数，∴，解得：a＝2，∴|1+ai|＝|1+2i|＝．故选：D．3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a7+a12＝60，则S13的值是（）A．130B．260C．20D．150【解答】解：在等差数列{a n}中，由a2+a7+a12＝60，得3a7＝60，a7＝20．∴S13＝13a7＝13×20＝260．故选：B．4．（5分）如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【解答】解：＝（3+4+5+6）＝＝4.5，则＝0.7×4.5+0.35＝3.5，即线性回归直线一定过点（4.5，3.5），故A正确，∵0.7＞0，∴产品的生产能耗与产量呈正相关，故B正确，∵＝（2.5+t+4+4.5）＝3.5，得t＝3，故C错误，A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨，故D正确故选：C．5．（5分）若抛物线C：y2＝2x cos A（其中角A为△ABC的一个内角）的准线过点，则cos2A+sin2A的值为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线C：y2＝2x cos A的准线方程为x＝﹣，准线过点，可得﹣＝，即cos A＝﹣，sin A＝＝，则cos2A+sin2A＝cos2A+2sin A cos A＝（﹣）2+2••（﹣）＝﹣．故选：A．6．（5分）已知函数，若f（x+θ）是周期为2π的偶函数，则θ的一个可能值是（）A．B．C．πD．【解答】解：函数，若f（x+θ）＝2sin[3ω（x+θ）+]＝2sin（3ωx+3ωθ+）是周期为2π的偶函数，∴＝2π，且3ωθ+＝kπ+，k∈Z，求得ω＝，θ＝kπ+，结合所给的选项，则θ的一个可能值是，故选：B．7．（5分）已知数列{a n}中，，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（）A．n≤2014B．n≤2016C．n≤2015D．n≤2017【解答】解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，第1次循环，A＝，n＝1+1＝2，第2次循环，A＝＝，n＝2+1＝3，…当执行第2015项时，n＝2016，由题意，此时，应该不满足条件，退出循环，输出A的值．所以，判断框内的条件应为：n≤2015．故选：C．8．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则∵，∴，得＝﹣2由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的．∴S△PBC＝S△ABC．将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P＝＝故选：C．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π【解答】解：由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1．所以几何体的表面积为π×12+2π×1×3+++＝9π．故选：B．10．（5分）双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：将x＝c代入双曲线的方程得y＝即M（c，）在△MF1F2中tan30°＝即＝解得e＝＝故选：D．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且PB，点AM ＝，P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．椭圆【解答】解：建立如图所示的坐标系，M（1，，0），设P（x，y，0），由动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，得，整理得：．∴动点P的轨迹是抛物线．故选：B．12．（5分）若关于x的方程4sin2x﹣m sin x+1＝0在（0，π）内有两个不同的实数解，则实数m的取值范围为（）A．m＞4或m＜﹣4B．4＜m＜5C．4＜m＜8D．m＞5或m＝4【解答】解：设t＝sin x，则0＜t≤1，则方程等价为f（t）＝4t2﹣mt+1＝0在（0，1]内有唯一解，即或f（1）＝5﹣m＜0，得m＝4或m＞5．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置13．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2＝8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a 的取值范围是（﹣3，﹣1）∪（1，3）．【解答】解：圆心（a，a）到原点的距离为|a|，半径r＝2，圆上点到原点距离为d，∵圆（x﹣a）2+（y﹣a）2＝8上总存在两个点到原点的距离为根号，∴d＝，∴|d﹣r|＜|a|或d+r＞|a|∴||＜|a|＜，即1＜|a|＜3，解得1＜a＜3或﹣3＜a＜﹣1．∴实数a的取值范围是（﹣3，﹣1）∪（1，3）．故答案为：（﹣3，﹣1）∪（1，3）．14．（5分）已知点M（x，y）的坐标满足，N（﹣2，1），点O为坐标原点，则•的最大值为4．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（1，6），设M（x，y），则•＝﹣2x+y，令﹣2x+y＝z，则y＝2x+z，平移直线发现y＝2x+z过A（1，6）时，z最大，z的最大值是：z＝﹣2+6＝4，故答案为：4．15．（5分）四棱锥M﹣ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，若|MA|+|MB|＝10，则三棱锥A﹣BCM的体积的最大值是24．【解答】解：∵三棱锥A﹣BCM体积＝三棱锥M﹣ABC的体积，又正方形ABCD的边长为6，S△ABC＝×6×6＝18，又空间一动点M满足|MA|+|MB|＝10，M点的轨迹是椭球，当|MA|＝|MB|时，M点到AB距离最大，h＝＝4，∴三棱锥M﹣ABC的体积的最大值为V＝S△ABC h＝×18×4＝24，∴三棱锥A﹣BCM体积的最大值为24，故答案为：24．16．（5分）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，都存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M＝{（x，y）|y＝}；②M＝{（x，y）|y＝log2x}；③M＝{（x，y）|y＝e x﹣2；④M＝{（x，y）|y＝sin x+1．其中是“垂直对点集”的序号是③④．【解答】解：由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y＝f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．①M＝{（x，y）|y＝}，假设集合M是“垂直对点集”，则存在两点，，满足＝﹣1，化为＝﹣1，无解，因此假设不成立，即集合M不是“垂直对点集”，②M＝{（x，y）|y＝log2x}，（x＞0），取（1，0），则不存在点（x2，log2x2）（x2＞0），满足1×x2+0＝0，因此集合M不是“垂直对点集”；③M＝{（x，y）|y＝e x﹣2}，结合图象可知：集合M是“垂直对点集”；④M＝{（x，y）|y＝sin x+1，结合图象可知：集合M是“垂直对点集”．综上可得：只有③④是“垂直对点集”．故答案为：③④．三、解答题共5小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n﹣2n，n∈N*．（1）求证：数列{a n+2}为等比数列；（2）设，且数列{b n}的前n项和为T n，求．【解答】（1）证明：由S n＝2a n﹣2n有S n﹣1＝2a n﹣1﹣2（n﹣1），相减得a n＝2a n﹣2a n﹣1﹣2∴a n＝2a n﹣1+2即a n+2＝2（a n﹣1+2）…（2分）又S1＝2a1﹣2，解得a1＝2…（3分）故{a n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列…（4分）（2）由（1）得，，…（6分），…（8分）…（10分）…（12分）18．（12分）城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少难以满足乘客需求，为此，唐山市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如表所示（单位：min）（1）估计这60名乘客中候车时间小于10分钟的人数；（2）若从表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自同一组的概率．【解答】解：（1）候车时间少于10分钟的人数所占的比例为＝，故这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数为60×＝28．（2）设表中第三组的4个人分别为a1、a2、a3、a4、第四组的2个人分别为b1、b2，从这6人中选2人作进一步的问卷调查，①用列举法列出上述所有可能情况：（a1，a2）、（a1，a3）、（a1，a4）、（a1，b1）、（a1，b2）、（a2，a3）、（a2，a4）、（a2，b1）、（a2，b2）、（a3，a4）、（a3，b1）、（a3，b2）、（a4，b1）、（a4，b2）、（b1，b2），共计15种．②抽到的两人恰好来自同一组：（a1，a2）、（a1，a3）、（a1，a4）、（a2，a3）、（a2，a4）、（a3，a4）、（b1，b2），共计7种，故抽到的两人恰好来自同一组的概率为．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，P A⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E、F分别是BC、PC的中点．（1）证明：AE⊥PD；（2）设AB＝2，若H为PD上的动点，EH与平面P AD所成最大角的正切值为，求三棱锥B﹣AEF的体积．【解答】证明：（1）∵P A⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴P A⊥AE∵底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD是等边三角形，又E为BC的中点，∴∠EAC＝30°，∠DAC＝60°，∴∠EAD＝90°，即AE⊥AD．又P A⊂平面P AD，AD⊂平面P AD，P A∩AD＝A，∴AE⊥平面P AD，∵PD⊂平面P AD，∴AE⊥PD．（2）由（1）得AE⊥平面P AD，∴∠EHA为直线EH与平面P AD所成的角．∴tan∠EHA＝＝．∴当AH最短时，tan∠EHA取得最大值．即当AH⊥PD时，tan∠EHA＝＝，∴AH＝．又AD＝2，∴∠ADH＝45°，∴P A＝AD＝2，∴V B﹣AEF＝V F﹣ABE＝＝＝＝．20．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2＝0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y＝kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．【解答】解：（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点F（）由题设解得a2＝3故所求椭圆的方程为；（2）设P为弦MN的中点，由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）＝0由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1①∴从而∴又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，则即2m＝3k2+1②把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2由②得解得．故所求m的取范围是（）．21．（12分）已知函数f（x）＝（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e2]上的最值；（Ⅱ）证明：对任意n∈N+，不等式ln（）e＜都成立（其中e为自然对数的底数）【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝，∴f′（x）＝；当x∈[1，e）时，f′（x）＞0，当x∈（e，e2]时，f′（x）＜0；故f（x）在[1，e）上单调递增，在（e，e2]上单调递减；且f（1）＝0﹣1＝﹣1；f（e）＝﹣1＜0，f（e2）＝﹣1＜﹣1；故函数f（x）在区间[1，e2]上的最小值为﹣1；最大值为﹣1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，令F（x）＝；则F（x）＝在[1，e）上单调递增，在（e，e2]上单调递减；且F（x）＜，（x＞1）；故＜，（x＞1）；故elnx＜x；令x＝得，eln＜；故对任意n∈N+，不等式ln（）e＜都成立（其中e为自然对数的底数）．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，P A为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，P A＝20，PB＝10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（1）求证：．（2）求AD•AE的值．【解答】证明：（1）∵P A为圆O的切线，∴∠P AB＝∠ACP，又∠P为公共角，∴△P AB～△PCA，∴（4分）解：（2）∵P A为圆O的切线，BC是过点O的割线，∴P A2＝PB•PC，∴PC＝40，BC＝30，又∠CAB＝90°，∴AC2+AB2＝BC2＝900，又由（1）知，∴，，∵AE是∠BAC的角平分线，且∠AEC＝∠ABD，∴△AEC～△ABD，∴，∴．（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ．（1）求C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|．【解答】解：（1）∵ρsin2θ＝8cosθ，∴ρ2sin2θ＝8ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程是：y2＝8x．（2）直线的参数方程标准形式为，代入y2＝8x得3t2＝8（2+t），即3t2﹣16t﹣64＝0．设AB对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝，t1t2＝﹣．∴|AB|＝|t1﹣t2|＝＝．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）＝|1﹣2x|﹣3|x+1|，f（x）的最大值为M，正数a，b满足+＝Mab．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）是否存在a，b，使得a6+b6＝？并说明理由．【解答】解：（1）分三类讨论如下：①当x＜﹣1时，f（x）＝x+4，单调递增，f（x）＜3；②当﹣1≤x≤时，f（x）＝﹣5x﹣2，单调递减，f（x）max＝f（﹣1）＝3，③当x＞时，f（x）＝﹣x﹣4，单调递减，f（x）＜f（）＝﹣，综合以上讨论得，f（x）的最大值M＝3；（2）假设存在正数a，b，使得a6+b6＝≥2＝2a3b3，所以，≤，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①又因为+＝Mab＝3ab≥2•，所以，≥，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②显然①②相互矛盾，所以，假设不成立，即不存在a，b使得a6+b6＝．。
2016年河北省保定市高考数学二模试卷(文科)解析版
2016年河北省保定市高考数学二模试卷（文科）一、选择题本大题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有—项是符合题目要求的。
1．（5分）（2016•保定二模）已知集合A={（x，y）|y=x2}，B={（x，y）|y=}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{0}C．{（1，1）}D．{（0，0），（1，1）}2．（5分）（2016•保定二模）复数的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．1﹣i D．﹣1+i3．（5分）（2016•保定二模）命题p：∀x＜0，x2＜2x，则命题￢p为（）A．∃x0＜0，x02＜2B．∃x0≥0，x02≥2C．∃x0＜0，x02≥2D．∃x0≥0，x02＜24．（5分）（2016•保定二模）执行如图所示的程序框图，若输入x=3，则输出y的值为（）A．5 B．9 C．17 D．335．（5分）（2016•保定二模）已知函数f（x）=2xcosx，则函数f（x）的部分图象可以为（）A．B．C．D．6．（5分）（2016•保定二模）已知点C（1，5），点P（x，y）在不等式组，表示的平面区域内（含边界），则|PC|的最小值为（）A． B．﹣1 C．+1 D．7．（5分）（2016•保定二模）已知函数y=f（x）+x+2是偶函数，且f（2）=3，则f（﹣2）=（）A．3 B．5 C．7 D．98．（5分）（2016•保定二模）已知某几何体的三视图如图所示，三个视图都为直角三角形，其中主视图是以2为直角边的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A．16πB．9πC．8πD．4π9．（5分）（2016•保定二模）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过其右焦点F作圆x2+y2=a2的两条切线，切点记作C，D，原点为O，∠COD=，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．10．（5分）（2016•保定二模）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，G为三角形的重心，且满足a+b+c=，则角C=（）A．30°B．45°C．60°D．120°11．（5分）（2016•保定二模）已知x0是函数y=sinx﹣+1的零点，则﹣x0满足的方程是（）A．sinx+x=1 B．sinx﹣x=1 C．x•sinx+x=1 D．x•sinx﹣x=112．（5分）（2016•保定二模）若函数y1=2sinx1（x1∈[0，2π]），函数y2=x2+，则（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值为（）A．B． C．3π2D．4π二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2016•保定二模）已知a=log0.55，b=log0.53，c=log32，d=20.3，则a，b，c，d依小到大排列为．14．（5分）（2016•保定二模）若函数f（x）=x3+bx2+x+2有极值点，则b的取值范围是．15．（5分）（2016•保定二模）函数y=sinx+3cosx+1（x∈[π，2π]）的单调递增区间是．16．（5分）（2016•保定二模）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，对∀n∈N*有2S n=a+a n，令b n=，设{b n}的前n项和为T n，则T n的最小值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）（2016•保定二模）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2+ab，c=．数列{a n}是等比数列，且首项a1=，公比为．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=﹣，求数列{b n}的前n项和S n．量分析，其中文科考生抽取了2名，并且该校不低于480分的文科理科考生人数之比为1：2，不低于400分的文科理科考生人数之比为2：5．（1）求本次高三参加考试的总人数；（2）如图是其中6名学生的数学成绩的茎叶图，现从这6名考生中随机抽取3名考生进行座谈，求抽取的考生数学成绩均不低于135分的概率．19．（12分）（2016•保定二模）如图：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=AA1=2，且与C在底面A1B1C1上的射影D1为A1C1边的中点，D为AC的中点．（1）求证：BD丄平面ACC1A1；（2）设CC 1、B1C1的中点分别为E、M，求V的值．20．（12分）（2016•保定二模）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任意一点，且|MF1|+|MF2|=4，过椭圆焦点且垂直于长轴的弦长为3．（1）求椭圆E的标准方程；（2）是否存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个不同交点A，B，且丄，若存在，请求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）（2016•保定二模）设函数f（x）=lnx，g（x）=e x．（1）判断函数y=f（x）﹣ag（x）极值点的个数；（2）求证：当x∈（0，1）时，g（x）＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•保定二模）如图所示，E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC上的点（E、F不与边的端点重合）．已知线段BF、BC的长分别为m、n、AB、BE的长是关于x的方程x2﹣18x+mn=0的两个根．（1）证明：A、E、F、C四点共圆；（2）若n=2m=8，求四边形AEFC外接圆的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2016•保定二模）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为1﹣3sin2θ=．（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5:不等式选讲]24．（2016•保定二模）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，x∈R．（1）求证：当a=﹣2时，不等式lnf（x）＞1成立；（2）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a最大值．2016年河北省保定市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题本大题共12小题，每小题5分。
河北省保定市2016届高三数学下学期第二次模拟考试(定州三模)试题 文(扫描版)
某某省某某市2016届高三数学下学期第二次模拟考试（定州三模）试题文（扫描版）文科数学答案一、选择题：A 卷:DBCCA ACBDC DB ； B 卷: BDCCA ACBDC DB 二、填空题：13、d c b a <<< 14、11b b ><-或 (区间形式也可)15.]2,67[ππ16、212- 三、解答题：17、解:（1）ab c b a +=+222,ab c b a C 2cos 222-+=∴=12………………（2分）又C 为三角形的内角 3π=∴C ,……………………………（3分）21sin sin ==c C a A……………………………（5分） n n a 21=∴……………………………（6分）（2）n nnn n a a b 2log 2⋅=-=,……………………………（7分）23234+12+1+1222322222232(-1)22..................................(102222(1)2 2.nn n n n n n n n n S n S n n S n S n ∴=+⋅+⋅++⋅∴=+⋅+⋅++⋅+⋅-=++-⋅=-⋅+分)两式相减得整理得所以22)1(1+-=+n n n S ……………………………（12分）18. 解：(1)依题意2529z -=，∴6z =……………………………（2分） 219619=++y 52961935=++++y x 解得100=x ,41=y 所以本次高三参加考试的总人数为330人……………………………（5分） (2)在这6名考生中随机抽取3名考生包含的基本事件为:(121,130,135),(121,130,138),(121,130,142),(121,130,144),(121,135,138), (121,135,142),(121,135,144),(121,138,142),(121,138,144),(121,142,144), (130,135,138),(130,135,142),(130,135,144),(130,138,142),(130,138,144),(130,142,144),(135,138,142),(135,138,144),(135,142,144),(138,142,144)共20个， …………………………………………………………（9分）其中“抽取的考生成绩均不低于135分”包含的基本事件有4个， 其概率为51204=……………………………（12分）19. (1)证明：因为点C 在底面111C B A 上的射影为1D ，1111C B A CD 面⊥∴111CD D B ⊥∴，……………………………（2分）90=∠ABC ，又 90111=∠C B A ，BC AB =1111C A D B ⊥∴， 1111A ACC D B 面⊥∴，……………………………（4分）连接111,D B DD ，11//BB DD ，为平行四边形四边形D D BB 11∴，BD D B //11∴，11A ACC BD 面⊥∴……………………………（6分）(2)解：取11C D 的中点N ，11MN C D ∴⊥，……………………………（7分） 又E CD MN CD MN 11,面⊥∴⊥……………………………（8分）111112112223322212C ED M M CDE CD E V V MN S --∆∴==⋅⋅=⋅⋅=…………（12分） 20. 解:(1)由题知421=+MF MF ,得2=a . ……………………………（2分）又由322=a b ，得3=b ……………………………（4分） ∴椭圆E 的方程为13422=+y x .……………………………（5分） (2)假设存在以原点为圆心，r 为半径的圆．当圆的切线AB 的斜率不存在时，设),(11y x A ，则),(11y x B -，∵OB OA ⊥， ∴0=⋅OB OA ，即02121=-y x ，2121y x =，代入13422=+y x ，得71221=x .此时712212==x r ，圆的方程为71222=+y x .……………………………（7分） 当圆的切线AB 的斜率存在时，设其方程为m kx y +=，则12+=k mr ，1222+=k m r ①……………………………（8分） 由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 13422，整理得0)3(48)43(222=-+++m kmx x k ，设),(11y x A ，),(22y x B ，221438kkmx x +-=+,222143)3(4k m x x +-=⋅又∵OB OA ⊥，∴02121=+y y x x ， 即0)()1(221212=++++m x x km x x k ,……………………………（10分）即0348)3)(1(42222222=++--+m m k m k m k ，化简得)1(71222+=k m ，② 由①②求得7122=r .由于221237r b =<=，即△>0. 所求圆的方程为71222=+y x . 综上，存在以原点为圆心的圆满足题设条件，圆的方程为71222=+y x .…………（12分） 21. (1)解：令()ln xh x x ae =-,'1()x h x ae x=-, 当0≤a 时，'1()0x h x ae x=->，此时函数无极值点.……………………（2分） 当0>a 时，令'1()0x h x ae x =-=，则x ae x=1，显然0001,0x ae x x =>∃使当,100x ae x x x ><<时，即'()0h x >， 当,10xae xx x <>时，即'()0h x <此时函数有唯一极大值点,无极小值点.……………………………（5分） （2）要证32()2g x x>-，即证223>-x e e x x ；……………………………（6分） 令3()2xxk x e e x =-，'32322()(32)(32)(1)(22)x x x k x e x x e x x e x x x ∴=--+=-+-=-++-，…（7分）故当)1,0(∈x 时，01,0>+<-x e x；令22)(2-+=x x x p =0.则31x =-（负值舍去）故当31)x ∈-时，022)(2<-+=x x x p ,故'2()(1)(22)0x k x e x x x =-++->，即()(0,31)k x -在上单调递增；……………………………（9分）当(31,1)x ∈-时，022)(2>-+=x x x p ，故'2()(1)(22)0x k x e x x x =-++-<，即()(31,1)k x -在上单调递减；因为(0)2,(1),k k e ==故当)1,0(∈x 时，()(0)2k x k >= 即223>-x e e xx，故结论成立……（12分）22. (1) 证明：连接EF ，根据题意在BEF ∆和ACB ∆ 中，AB BE mn BC BF ⋅==⋅即CBBEAB BF =.………………（2分） 又CBA FBE ∠=∠，从而ABC FBE ∆∆~…………（4分） 因此BAC BFE ∠=∠.所以C F E A 、、、四点共圆.……………………………（5分） (2) 解：4,8==m n 时，方程0182=+-mn x x 的两根为16,221==x x . 故16,2==AB BE ……………………………（7分） 如图，设圆心为O , AE,CF 的中点分别为Q,H,连接OQ,OH则222OE OQ EQ =+221628448522--⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………（9分）故四边形AEFC 外接圆的面积为π85.……………………………（10分） 23. 解：(1)法1：直线l 的普通方程为3230x y --= 所以其斜率为3 所以直线l 的倾斜角为3π……………………………（3分） 法2：令11,3t x y =∴==-，，又直线l 过点（2，0） 所以303k --==所以直线l 的倾斜角为3π……………………………（3分） AE.OC BF曲线C 的极坐标方程为222sin 31ρθ=-，即2sin 3222=-θρρ，∴曲线C 的直角坐标方程为2222=-y x ……………………………（5分）(2) 法1：把323y x =-代入2222=-y x 得2524260x x -+=设其二根分别为1212122426,,,,55x x x x x x ∴+==…………………（8分） 所以22121212242641413||2()42()4555AB x x x x x x =+-=+-=-=…（10分） 法2：可得直线l 参数方程的标准形式为122()3x t t y t ⎧'=+⎪⎪'⎨⎪'=⎪⎩为参数，代入曲线C 的直角坐标方程为2222=-y x 得 25880t t ''--=……………………………（8分）∴AB =2121212414()45t t t t t t ''''''-=+-=……………………………（10分）24. (1) 证明：由3|2||1|)(≥++-=x x x f ……………………………（2分）得函数()f x 的最小值为3，从而()3f x e ≥>，所以ln ()1f x >成立. …………（5分） 解(2) 由绝对值的性质得1)()1(|||1|)(-=---≥-+-=a a x x a x x x f ，……（7分从而a a ≥-1，解得21≤a ，因此a 的最大值为21. …………………………（10分）。