2017-2018学年河北省保定市定州市九年级(上)期末数学试卷

2017-2018学年河北省保定市定州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题；每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点M（﹣2，2），则k的值是（）A．﹣4B．﹣1C．1D．43．抛物线y=x2+2x+3的对称轴是（）A．直线x=1B．直线x=﹣1C．直线x=﹣2D．直线x=24．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．40m5．用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（）A．（x﹣2）2=5B．（x+2）2=5C．（x+2）2=3D．（x﹣2）2=36．“同吋掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是3”的概率为（）A．B．C．D．7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD的度数是（）A．88°B．92°C．106°D．136°8．在小孔成像问题中，如图所示，若为O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD 的长是物体AB 长的（ ）A ．B ．C ．2倍D ．3倍9．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，M 为EF 的中点，连接DM ，若⊙O 的半径为2，则MD 的长度为（ ）A ．B ．C ．2D ．110．一次函数y=ax ﹣a 与反比例函数y=（a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，把直角△ABC 的斜边AC 放在直线l 上，按顺时针的方向在直线l 上转动两次，使它转到△A 2B 1C 2的位置，设AB=，∠BAC=30°，则顶点A 运动到点A 2的位置时，点A 所经过的路线为（ ）A ．（ +）πB ．（ +）πC ．2πD ．π12．如图，抛物线y 1=a （x+2）2﹣3与y 2=（x ﹣3）2+1交于点A （1，3），过点A 作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ．则以下结沦：①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②2a=1；③当x=0时，y 2﹣y 1=4；④2AB=3AC ；其中正确结论是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④二、填空题{本大题共6个小题；每小题3分，共18分.把答案写在题中横线上）13．一元二次方程y 2=2y 的解为 ．14．某农户2010年的年收入为4万元，由于“惠农政策”的落实，2012年年收入增加到5.8万元．设每年的年增长率x 相同，则可列出方程为 ．15．已知二次函数y=2x 2﹣6x+m 的图象与x 轴没有交点，则m 的值为 ．16．如图，在▱ABCD 中，EF ∥AB ，DE ：EA=2：3，EF=4，则CD 的长为 ．17．已知：如图，矩形ABCD 的长和宽分别为2和1，以D 为圆心，AD 为半径作AE 弧，再以AB 的中点F 为圆心，FB 长为半径作BE 弧，则阴影部分的面积为 ．18．如图是反比例函数与在x 轴上方的图象，点C 是y 轴正半轴上的一点，过点C作AB∥x轴分别交这两个图象于点A，B．若点P在x轴上运动，则△ABP的面积等于．三、解答下列各题（本题有8个小题，共66分）19．（6分）解方程：x2﹣6x+4=0（用配方法）20．（6分）为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离B（树底）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3.2米，观察者目高CD=1.6米，求树AB的高度．21．（8分）如图，小明同学用一把直尺和一块三角板测量一个光盘的直径，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，求此光盘的直径．22．（8分）四张扑克牌（方块2、黑桃4、黑桃5、梅花5）的牌面如图l，将扑克牌洗匀后，如图2背面朝上放置在桌面上．小亮和小明设计的游戏规则是两人同时抽取一张扑克牌，两张牌面数字之和为奇数时，小亮获胜；否则小明获胜．请问这个游戏规则公平吗？并说明理由．23．（8分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（4，6）．双曲线y=（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求k的值及点E的坐标；（2）若F是OC边上一点，且∠CBF=∠BED，求点F的坐标．24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长．25．（10分）一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍（本题中0＜x ≤1）．（1）用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为元．（2）求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式．（3）设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量．26．（12分）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．2017-2018学年河北省保定市定州市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题；每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点M（﹣2，2），则k的值是（）A．﹣4B．﹣1C．1D．4【分析】把点（﹣2，2）代入反比例函数y=（k≠0）中，可直接求k的值．【解答】解：把点（﹣2，2）代入反比例函数y=（k≠0）中得2=所以，k=xy=﹣4，故选：A．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的比例系数等于在函数图象上面的点的横纵坐标的乘积．3．抛物线y=x2+2x+3的对称轴是（）A．直线x=1B．直线x=﹣1C．直线x=﹣2D．直线x=2【分析】先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴方程．【解答】解：∵y=x2+2x+3=（x+1）2+2，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），它的顶点坐标是（﹣，），对称轴为直线x=﹣．4．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．40m【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设旗杆高度为x米，由题意得， =，解得：x=15．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．5．用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（）A．（x﹣2）2=5B．（x+2）2=5C．（x+2）2=3D．（x﹣2）2=3【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可．【解答】解：∵x2+4x=﹣1，∴x2+4x+4=﹣1+4，即（x+2）2=3，故选：C．【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解，是解题的关键．6．“同吋掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是3”的概率为（）A．B．C．D．【分析】首先利用列表法，列举出所有的可能，再看至少有一个骰子点数为3的情况占总情况的多少即可．【解答】解：列表如下由表可知一共36种等可能结果，其中至少有一枚骰子的点数是3的有11种结果，所以至少有一枚骰子的点数是3的概率为，故选：B．【点评】此题主要考查了列表法求概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，注意本题是放回实验，找到两个骰子点数相同的情况数和至少有一个骰子点数为3的情况数是关键．7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD的度数是（）A．88°B．92°C．106°D．136°【分析】首先根据∠BOD=88°，应用圆周角定理，求出∠BAD的度数多少；然后根据圆内接四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD=180°，据此求出∠BCD的度数是多少即可．【解答】解：∵∠BOD=88°，∴∠BAD=88°÷2=44°，∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°﹣44°=136°，即∠BCD的度数是136°．故选：D．【点评】（1）此题主要考查了圆内接四边形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8．在小孔成像问题中，如图所示，若为O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物体AB长的（）A．B．C．2倍D．3倍【分析】如图，作OE⊥AB于E，EO的延长线交CD于F．由△AOB∽△DOC，推出===（相似三角形的对应高的比等于相似比），由此即可解决问题．【解答】解：如图，作OE⊥AB于E，EO的延长线交CD于F．∵AB∥CD，∴FO⊥CD，△AOB∽△DOC，∴===（相似三角形的对应高的比等于相似比），∴CD=AB，故选：A．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住相似三角形对应高的比等于相似比，属于中考常考题型．9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，M为EF的中点，连接DM，若⊙O的半径为2，则MD的长度为（）A．B．C．2D．1【分析】连接OM、OD、OF，由正六边形的性质和已知条件得出OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，由三角函数求出OM，再由勾股定理求出MD即可．【解答】解：连接OM、OD、OF，如图所示：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，M为EF的中点，∴OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，∴∠MOD=∠OMF=90°，∴OM=OF•sin∠MFO=2×=，∴MD===；故选：A．【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键．10．一次函数y=ax﹣a与反比例函数y=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先根据一次函数的性质判断出a取值，再根据反比例函数的性质判断出a的取值，二者一致的即为正确答案．【解答】解：A、由函数y=ax﹣a的图象可知a＜0，由函数y=（a≠0）的图象可知a ＞0，相矛盾，故错误；B、由函数y=ax﹣a的图象可知a＞0，﹣a＞0，由函数y=（a≠0）的图象可知a＜0，错误；C、由函数y=ax﹣a的图象可知a＜0，由函数y=（a≠0）的图象可知a＜0，正确；D、由函数y=ax﹣a的图象可知m＞0，﹣a＜0，一次函数与y轴交与负半轴，相矛盾，故错误；故选：C．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．11．如图，把直角△ABC 的斜边AC 放在直线l 上，按顺时针的方向在直线l 上转动两次，使它转到△A 2B 1C 2的位置，设AB=，∠BAC=30°，则顶点A 运动到点A 2的位置时，点A 所经过的路线为（ ）A ．（ +）πB ．（ +）πC ．2πD ．π【分析】A 点所经过的弧长有两段，①以C 为圆心，CA 长为半径，∠ACA 1为圆心角的弧长；②以B 1为圆心，AB 长为半径，∠A 1B 1A 2为圆心角的弧长．分别求出两段弧长，然后相加即可得到所求的结论．【解答】解：在Rt △ABC 中，AB=，∠BAC=30°，∴∠ACB=60°，AC=2；由分析知：点A 经过的路程是由两段弧长所构成的：①A ～A 1段的弧长：L 1==，②A 1～A 2段的弧长：L 2==，∴点A 所经过的路线为（+）π， 故选：A ．【点评】本题考查的是弧长的计算，30度角直角三角形的性质，旋转的性质，难点在于与动点知识相结合，但是只要将运动的过程分解清楚，就能顺利作答．12．如图，抛物线y 1=a （x+2）2﹣3与y 2=（x ﹣3）2+1交于点A （1，3），过点A 作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ．则以下结沦：①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②2a=1；③当x=0时，y 2﹣y 1=4；④2AB=3AC ；其中正确结论是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【分析】利用二次函数的性质得到y 2的最小值为1，则可对①进行判断；把A 点坐标代入y 1=a （x+2）2﹣3中求出a ，则可对②进行判断；分别计算x=0时两函数的对应值，再计算y 2﹣y 1的值，则可对③进行判断；利用抛物线的对称性计算出AB 和AC ，则可对④进行判断．【解答】解：∵y 2=（x ﹣3）2+1，∴y 2的最小值为1，所以①正确；把A （1，3）代入y 1=a （x+2）2﹣3得a （1+2）2﹣3=3，∴3a=2，所以②错误；当x=0时，y 1=（x+2）2﹣3=﹣，y 2=（x ﹣3）2+1=，∴y 2﹣y 1=+=，所以③错误； 抛物线y 1=a （x+2）2﹣3的对称轴为直线x=﹣2，抛物线y 2=（x ﹣3）2+1的对称轴为直线x=3，∴AB=2×3=6，AC=2×2=4，∴2AB=3AC ，所以④正确．故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置． 当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）．也考查了二次函数的性质．二、填空题{本大题共6个小题；每小题3分，共18分.把答案写在题中横线上）13．一元二次方程y 2=2y 的解为 y 1=0，y 2=2 ．【分析】利用因式分解法解方程．【解答】解：y 2﹣2y=0，y （y ﹣2）=0，y=0或y﹣2=0，所以y1=0，y2=2．故答案为y1=0，y2=2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．14．某农户2010年的年收入为4万元，由于“惠农政策”的落实，2012年年收入增加到5.8万元．设每年的年增长率x相同，则可列出方程为4（1+x）2=5.8 ．【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设每年的年增长率为x，根据“由2010年的年收入4万元增加到2012年年收入5.8万元”，即可得出方程．【解答】解：设每年的年增长率为x，则2011年的年收入为4（1+x）万元，2012年的年收入为4（1+x）2万元，根据题意得：4（1+x）2=5.8．故答案为4（1+x）2=5.8．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程﹣﹣增长率问题．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b（增长为+，下降为﹣）．15．已知二次函数y=2x2﹣6x+m的图象与x轴没有交点，则m的值为m＞．【分析】由二次函数y=2x2﹣6x+m的图象与x轴没有交点，可知△＜0，解不等式即可．【解答】解：∵二次函数y=2x2﹣6x+m的图象与x轴没有交点，∴△＜0，∴（﹣6）2﹣4×2×m＜0，解得：m＞；故答案为：m＞．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，熟记：有两个交点，△＞0；有一个交点，△=0；没有交点，△＜0是解决问题的关键．16．如图，在▱ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为10 ．【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例可解得AB的长，而在▱ABCD中，CD=AB．【解答】解：∵EF∥AB∴△DEF∽△DAB∴EF：AB=DE：DA=DE：（DE+EA）=2：5∴AB=10∵在▱ABCD中AB=CD．∴CD=10．【点评】本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，以及平行四边形的性质，注意对应边的比不要搞错．17．已知：如图，矩形ABCD的长和宽分别为2和1，以D为圆心，AD为半径作AE弧，再以AB的中点F为圆心，FB长为半径作BE弧，则阴影部分的面积为 1 ．【分析】根据题意扇形DAE的面积与扇形FBE的面积相等，则阴影部分的面积等于矩形面积的一半．【解答】解：∵AF=BF，AD=1，AB=2，∴AD=BF=1，∴扇形DAE的面积=扇形FBE的面积，∴阴影部分的面积=1×1=1．故答案为1．【点评】考查了扇形面积的求法以及拼图的能力．18．如图是反比例函数与在x轴上方的图象，点C是y轴正半轴上的一点，过点C作AB∥x轴分别交这两个图象于点A，B．若点P在x轴上运动，则△ABP的面积等于 5 ．【分析】先设C （0，b ），由直线AB ∥x 轴，则A ，B 两点的纵坐标都为b ，而A ，B 分别在反比例函数与的图象上，可得到A 点坐标为（，b ），B 点坐标为（﹣，b ），从而求出AB 的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：设C （0，b ），∵直线AB ∥x 轴，∴A ，B 两点的纵坐标都为b ，而点A 在反比例函数y=的图象上，∴当y=b ，x=，即A 点坐标为（，b ），又∵点B 在反比例函数y=﹣的图象上，∴当y=b ，x=﹣，即B 点坐标为（﹣，b ），∴AB=﹣（﹣）=，∴S △ABC =•AB•OC=••b=5．故答案为：5．【点评】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，即在反比例函数y=的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．三、解答下列各题（本题有8个小题，共66分）19．（6分）解方程：x 2﹣6x+4=0（用配方法）【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：由原方程移项，得x 2﹣6x=﹣4，等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得x 2﹣6x+9=﹣4+9，即（x ﹣3）2=5，∴x=±+3，∴x 1=+3，x 2=﹣+3．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．20．（6分）为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离B （树底）8.4米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE=3.2米，观察者目高CD=1.6米，求树AB 的高度．【分析】先过E 作EF ⊥BD 于点E ，再根据入射角等于反射角可知，∠1=∠2，故可得出∠DEC=∠AEB ，由CD ⊥BD ，AB ⊥BD 可知∠CDE=∠ABE ，进而可得出△CDE ∽△ABE ，再由相似三角形的对应边成比例即可求出大树AB 的高度．【解答】解：过点E 作EF ⊥BD 于点E ，则∠1=∠2，∵∠DEF=∠BEF=90°，∴∠DEC=∠AEB ，∵CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，∴∠CDE=∠ABE=90°，∴△CDE ∽△ABE ，∴=，∵DE=3.2米，CD=1.6米，EB=8.4米，∴=，解得AB=4.2（米）．答：树AB的高度为4.2米．【点评】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用、光的反射定律等知识，解答此题的关键知道入射角等于反射角，熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．21．（8分）如图，小明同学用一把直尺和一块三角板测量一个光盘的直径，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，求此光盘的直径．【分析】先画图，根据题意求出∠OAB=60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB，从而得出光盘的直径．【解答】解：如图，设光盘的圆心为O，三角板的另外两点为C，D，连接OB，OA，∵∠CAD=60°，∴∠CAB=120°，∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB=∠OAC，∴∠OAB=∠CA B=60°∵AB=3cm，∴OA=6cm，∴由勾股定理得OB=3cm，∴光盘的直径为6cm．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，是基础知识要熟练掌握．22．（8分）四张扑克牌（方块2、黑桃4、黑桃5、梅花5）的牌面如图l，将扑克牌洗匀后，如图2背面朝上放置在桌面上．小亮和小明设计的游戏规则是两人同时抽取一张扑克牌，两张牌面数字之和为奇数时，小亮获胜；否则小明获胜．请问这个游戏规则公平吗？并说明理由．【分析】先利用树状图展示所有有12种等可能的结果，其中两张牌面数字之和为奇数的有8种情况，再根据概率公式求出P（小亮获胜）和P（小明获胜），然后通过比较两概率的大小判断游戏的公平性．【解答】解：此游戏规则不公平．理由如下：画树状图得：共有12种等可能的结果，其中两张牌面数字之和为奇数的有8种情况，所以P（小亮获胜）==；P（小明获胜）=1﹣=，因为＞，所以这个游戏规则不公平．【点评】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．23．（8分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（4，6）．双曲线y=（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求k的值及点E的坐标；（2）若F是OC边上一点，且∠CBF=∠BED，求点F的坐标．【分析】（1）根据题意可得中点D的坐标为（2，6），可求解析式，即可求k和点E的坐标；（2）由题意可证Rt△FBC∽Rt△DEB，可求CF的长，则可得OF的长，即可求点F的坐标．【解答】解：（1）在矩形OABC中，B（4，6），∴BC边中点D的坐标为（2，6），∵又曲线y=的图象经过点（2，6），∴k=12，∴解析式y=∵E点在AB上，∴E点的横坐标为4，∵反比例函数y=图象经过点E，∴E点纵坐标为3，∴E点坐标为（4，3）；（2）由（1）得，BD=2，BE=3，BC=4，∵∠CBF=∠BED，∠BCF=∠DBE=90°∴Rt△FBC∽Rt△DEB，∴，即，∴CF=，∵OF=OC﹣CF∴OF=，即点F的坐标为（0，）．【点评】本题考查了反比例函数综合题，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的性质和判定，熟练运用相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长．【分析】（1）欲证明PA为⊙O的切线，只需证明OA⊥AP；（2）通过相似三角形△ABC∽△PAO的对应边成比例来求线段AC的长度．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠B=90°．又∵OP∥BC，∴∠AOP=∠B，∴∠BAC+∠AOP=90°．∵∠P=∠BAC．∴∠P+∠AOP=90°，∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．又∵OA是的⊙O的半径，∴PA为⊙O的切线；（2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5，∴OA=OB=5．又∵OP=，∴在直角△APO中，根据勾股定理知PA==，由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°．∵∠BAC=∠P，∴△ABC∽△POA，∴=．∴=，解得AC=8．即AC的长度为8．【点评】本题考查的知识点有切线的判定与性质，三角形相似的判定与性质，得到两个三角形中的两组对应角相等，进而得到两个三角形相似，是解答（2）题的关键．25．（10分）一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍（本题中0＜x ≤1）．（1）用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为（10+7x）元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为（12+6x）元．（2）求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式．（3）设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量．【分析】（1）根据题意今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，即为（10+10•0.7x）元/件；这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，即为（12+12•0.5x）元/件；（2）今年这种玩具的每件利润y等于每件的出厂价减去每件的成本价，即y=（12+6x）﹣（10+7x），然后整理即可；（3）今年的年销售量为（2+2x）万件，再根据年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量，得到w=2（1+x）（2﹣x），然后把它配成顶点式，利用二次函数的最值问题即可得到答案．【解答】解：（1）10+7x；12+6x；（2）y=（12+6x）﹣（10+7x），∴y=2﹣x （0＜x≤1）；（3）∵w=2（1+x）•y=2（1+x）（2﹣x）=﹣2x2+2x+4，∴w=﹣2（x﹣0.5）2+4.5∵﹣2＜0，0＜x≤1，∴w有最大值，∴当x=0.5时，w=4.5（万元）．最大答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元．【点评】本题考查了二次函数的顶点式：y=a（x﹣k）2+h，（a≠0），当a＜0，抛物线的开口向下，函数有最大值，当x=k，函数的最大值为h．也考查了代数式的表示和利润的含义以及配方法．26．（12分）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】方法一：（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点．方法二：（3）用参数表示点M坐标，分类讨论三种情况，利用两点间距离公式便可求解．（4）列出点M的参数坐标，利用MO=MB求解．此问也可通过求出OB的垂直平分线与y 轴的交点得出M点．【解答】解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得：，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（3）存在；如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△P′OD中，∠P′DO=90°，sin∠P′OD==，∴∠P′OD=60°，∴∠P′OB=∠P′OD+∠AOB=60°+120°=180°，即P′、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2）．方法二：（3）设P（2，t），O（0，0），B（﹣2，﹣2），∵△POB为等腰三角形，∴PO=PB，PO=OB，PB=OB，。