运筹学试题3

《运筹学》试题3一．（10分）用共轭梯度法求下列无约束非线性规划Min Z=22215x x + 取初始可行点T x )2,2(0=，终止误差为610- 二．（15分）（1）叙述（MP ）问题的迭代法的一般步骤；（2）写出可行下降方向的代数条件，并证明； （3）可行下降方向代数条件的几何解释。

三．（30分）已知线性规划问题： 44332118max x c x c x x Z +++-=⎪⎩⎪⎨⎧=≥+≤--+-≤+++)4,3,2,1(056543153243214321j x x x x x x x x x stj λ求：（1）以21,x x 为基变量列出单纯形表（当)1时=λ。

（2）以21,x x 为最优基，确定问题最优解不变时43,c c 的变化范围。

（3）保持最优基不变时的λ的变化范围。

（4）增加一个新变量，其约束条件中系数向量为T)3,2(，目标函数中系数为k c ，求问题最优解不变时的k c 取值范围。

四．（15分）用动态规划方法求解某机器可以在高低两种不同的负荷下进行生产，在高负荷下进行时，产品的年产量g 和投入的机器数量x 的关系为x x g 8)(=，机器的完好率为0.4，在底负荷下生产产品年产量和投入的机器数量关系为y y h 6)(=，相应的机器完好率为0.9。

设开始时完好机器数量为1000台，要求制定一个2年计划，在每年开始时决定如何重新分配完好的机器在两种不同负荷下生产的数量使2年内产品总产量达到最高。

五．（15分）如下表已知三个产地A 、B 、C ，四个销售地点D 、E 、F 、G ，产销量及单位运价表如下表，（1） 求使总运费最小的调运方案，（2） C 32为何值时有无穷多最优调运方案？ （3） C 33为何值时最优调运方案不变？六．（15分）某公司打算在三个不同的地区设置5个销售点，根据市场预测，在不同地区设置不同数量的销售点，每月可得的利润如下表，试问在各地区应如何设置销售点，才能使每《运筹学》试题参考答案及评分标准如解题过程正确数据错可给50——90%的分数一．)10,2(),()(2121x x x f x f x f T=∂∂∂∂=∇ T x f )20,4()(0=∇ T d )20,4(0-= T d x )202,42(00λλλ--=+2200)202(5)42()(λλλ-+-=+d x f 0='f 得 252/260=λ T d x x )0635.0,587.1(0001-=+=λ--------------------------------------------------------4分 T x x x f )635.0,17.3()10,2()(211-==∇02548.0)()(2210=∇∇=x f x f γ()Td x f d 125.0,3019.3)(0011-=+-∇=γ2211)125.00635.0(5)3019.36.1()(λλλ+-+-=+d x f令0=λd df得=1λ0.4855 1112d x x λ+==（0，0）T -------------------10分二．（1）迭代法一般步骤：①. 选取初始点0x ，0:=k ②. 构造搜索方向k p ③. 根据k p 方向确定k λ ④. 令k k k k p x x λ+=+1 ⑤. 若1+k x已满足某终止条件，停止迭代，输出近似最优解1+k x。

否则令1:+=k k ，转向第②步。

--------------------------------------------5分（2）可行方向下降的代数条件：0)(>∇p x g T i ，)(x I i ∈0)(<∇p x f T 。

-----------------------------------7分由泰勒公式：||)(||)()()(p p x g x g p x g T i i i λολλ+∇+=+ 当x 为)(x g i 的积极约束时，有0)(=x g i 。

只要0>λ足够小，)(p x g i λ+和p x g T i )(∇λ同号，于是当0)(>∇p x g T i 时有0)(≥+p x g i λ )(x I i ∈。

当x 为)(x g i 的非积极约束时，有0)(>x g i 。

由)(x g i 的连续性，当0>λ足够小时，由保号性知 0)(≥+p x g i λ )(x I i ∉。

所以只要 0)(>∇p x g T i ，)(x I i ∈就可保证0)(≥+p x g i λ，于是p 为x 点处的一个可行方向。

称0)(>∇p x g T i ，)(x I i ∈ 为p 在点x 处是可行方向的代数条件。

--------------------------------------------------------------------------------------------9分由泰勒公式：||)(||)()()(p p x f x f p x f T λολλ+∇+=+。

当λ足够小时，只要0)(<∇p x f T ，有)()(x f p x f <+λ。

称0)(<∇p x f T 为p 在x 点处的一个下降方向的代数条件。

----------------------------------------------------------------------------------------11分 可行下降方向代数条件的几何解释： 对于 0)(0)(>⋅-∇⇒<∇p x f p x f T T ，由0cos ||||||)(||)(>-∇=⋅∇-θp x f p x f T T 0900<<⇒θ，即p 与该点处目标函数负梯度向量之间夹角为锐角。

同理 0)(>∇p x g T i 说明p 与该点处积极约束的梯度向量之间的夹角成锐角。

因此，若p ∃，使得p 和T x f )(∇-及T i x g )(∇均为锐角，则p 为可行下降方向。

-----------------------------------------------------------------------------15分 三． （1）（2） 053≤-c ，084≤-c -----------------------------------------------------------16分（3）010/55/551510/110/35/15/25151≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-λλλλB2550≤≤-∴λ--------24分（4）0161≤-=--k k B k c P B c c 16≤∴k c ---------------- ----------30分四． 2年划分2个阶段，k x 表示K 个阶段高负荷生产的设备台数k s 表示第K 个阶段完好的设备台数 ),(9.04.01k k k k x s x s -+=+{}0)(,)()(68)(33110m ax =+-+=++≤≤s f s f x s x s f k k k k k s x k k kk -------------------7分2=k时，}{222222022,8)(68)(m ax 22s x s x s xs f s x ==-+=≤≤1=k 时}{0,2.138)(68)(112111011m ax 11==+-+=≤≤x s s x s x s f s x01=x ，13200)1000(,90012===f z x 为最优解和最优值-----------15分五．（1）用最小元素法求得初始基本可行解为20012=x ， 30013=x ，20023=x ，40024=x ，30031=x ，034=x81953,2431342323121=+=+=+=+=+=+v u v u v u v u v u v u 得 73101204321321=======v v v v u u u 因为1222222-=--=c r 得闭回路 12132322x x x x得调整后基本可行解为20022=x ， 50013=x ，023=x ，40024=x ，30031=x ，034=x由位势法知为最优解。

----------------------------------------------------------------------10分 （2）0113232=--=c r 知232=c 时有无穷多最优解-------------------------- ----15分 （3）因为33x 不是基变量，所以0133333≥--=c r 即433≥c 时最优解不变。

---20分六． 有三个变量划分三个阶段，k x 表示K 个阶段的销售点个数k s 表示第K 个阶段到第四个阶段的销售点个数之和 k k k k k s x x s s ≤≤-=+0,1{}0)(,)()()(44110m ax =+=++≤≤s f s f x g s f k k k k s x k k kk ---------------------------------5分2=k 时最优解为)3,1,1(*=x ，最优值为34------------------------------------------------15分。