从开立圆术看中国古代数学的微积分思想
微积分发展简史
五、微积分创立的历史意义
1、微积分学的创立，极大地推动了数学的发展， 过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分， 往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。
2、一门科学的创立决不是某一个人的业绩， 他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果 的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微 积分也是这样。
３、微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明 产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、 对以后许多数学的发展起决定性作用的思想。”恩 格斯称之为“17世纪自然科学的三大发明之一”。 ４、微积分的建立，无论是对数学还是对其他科 学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示 了数学对于人的认识发展、改造世界的能力的巨大促 进作用。
微积分发展简史
微积分的概念 微积分的萌芽 微积分的发展 微积分的建立 微积分创立的积分学是微分学(Differential Calculs)和积 分学(Integral Calculs)统称,英文简称 Calculs, 意为计 算。这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的 计算问题。后来人们也将微积分学称为分析学或无穷小分 析。微积分中的基本概念主要是函数、极限、连续、导数、 积分等，其中极限是微积分的基石。
2、微分学的主要内容包括：导数、微分。
3、积分学的主要内容包括：定积分、不定积分。
二、微积分的萌芽
（1）中国数学家的极限、积分思想 “割圆术”（魏晋刘徽） 一尺之棰，日取其半，万世不竭（战国庄周） 圆周率、球体积、球表面积的研究（祖冲之、祖暅）
（2）外国数学家的极限、积分思想
欧几里得(公元前330年～前275年)是古希 腊数学家，以其所著的《几何原本》闻名于世，其 中对不可约量及面积与体积的研究，包含了穷竭法 的萌芽。
浅谈中国古代文化与微积分的联系
浅谈中国古代文化与微积分的联系摘要：中国拥有五千年的灿烂历史文化，在历史发展长河中，曾诞生过众多学派和杰出的思想家。
同时古代的中国人善于发现自然界中的数学现象和事物联系，利用智慧和经验总结出了一系列的数学规律，这逐渐发展出了中国古代数学。
毫无疑问，数学的发展大大推动了中国科技水平的进步，将中国的文明水平推向高峰。
本文从先秦时期几位著名思想家出发，浅析中国古代思想在高等数学，特别是在极限理论学和微积分学中的体现。
在高等教育思政课的教育理念背景下，这既可以给注重理论和逻辑的高等数学增添趣味性，也可以提升学生对中国数学史甚至是民族文化的了解和自信。
1.中国古典文化中的极限思想1、庄子的极限思想萌芽战国时期著名思想家庄子在他的著作《南华经》中写道，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这作为大部分高等数学入门的经典名言，也展现了中国古典极限思想的萌芽。
从数学角度来分析这句话，对于一个单位长度的木棒，在进行“日取其半”后，它的长度会不断地缩短。
在经过“万世”的时间之后，它的长度会接近于零，但却永远不等于零，故此称“万世不竭”。
但是我们将目光放远，如果时间无限长，那么长度是否也就可以无限接近于零？但是时间“无限”是我们在现实中不可能做到的，所以长度的极限为零也是现实中不可能实现的。
因此我认为，极限描述的是一种理想状态，是一种动态的结果。
2、刘徽的极限初步应用无独有偶，南北朝时期的古典数学家刘徽，也在他的《九章算术注》中写道“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。
刘徽利用割圆术对圆周率及圆的面积进行有效推算。
在不断推算的过程中，分割的程度影响了结果的准确度。
刘徽说到“割之又割，以至于不可割”其中的“不可割”是一种理想状态，是在现实生活中难以实现的。
只有达到这样的理想状态，多边形的面积才能和圆的面积完全相等。
这和庄子的思想不谋而合，都揭示出了极限描述的是一种理想状态，是一种动态的结果。
从割圆术到微积分
从割圆术到微积分丹阳市鹤溪中学杨松扣一. 圆据神话传说，盘古开天辟地时，他的眼珠化为日月两轮，又圆又大。
什么是圆呢？古今中外，文人墨客对它给出了众多的褒贬不一的描述，象光滑、圆滑、圆满等，人们时常把圆作为完满美丽的象征。
《墨经》中给圆下了个非常恰当的定义，那就是：“圆，一中同长也。
”怎样画圆呢？上古时期的女娲就是手执“规”的神，她教会大家用圆规画圆。
圆，又是由什么样的图形演变而来的呢？《周髀算经》中写道：“数之法出于圆方，圆出于方。
”“环矩以为圆，合矩以为方。
”“方数为典，以方为圆。
”生产实践中经常会遇到求圆的周长的问题，周长的计算涉及到一个圆周率π，古人根据经验一直沿用“周三径一”。
实践中发现，周三径一并不是圆周长与直径的关系，而是圆内接六边形的周长与直径的比值。
公元三世纪，我国数学家刘徽对这个问题作了深入的研究，运用他的话说：“周三者，从六觚之环耳。
”（觚──正多边形的一边；环──周长）二. 割圆术刘徽通过长年累月的研究后发现，古代的圆周率π＝3实在是不精确，甚至是错误的，然而不能提出可靠的论据，就没有说服力。
取得论据是非常艰难的，不过刘徽毕竟从研究方与圆的关系中获得了成功，他在为《九章算术》作注时谈到：“学者踵古，习其谬失。
不有明据，辩之斯难。
凡物类形象，不圆则方，方圆之率，诚著于近，则虽远可知也。
”刘徽进行长期的追本觅源，刻苦钻研，终于悟出其中的真谛实义，创造出震惊中外数坛的“割圆术”。
何为“割圆术”？刘徽是从正六边形开始运算，令边数一倍一倍地增加，边数变为12，24，48，96，192，…，逐个算出六边形、十二边形、二十四形、……的边长，然后乘以边数得到周长，逐步地逼近圆的周长，则正多边形的周长与圆的直径的比值就逐渐接近圆周率。
刘徽的这种方法是随着边数的增加无限地接近圆周率，但仍然要比圆周率小。
虽然刘徽的割圆术还没有精确地算出圆周率，但它的精髓所在，是寓于其中的一种光辉创见，实际上引出了极限的概念。
微积分发展简史
微积分发展简史一．微积分思想萌芽微积分的思想萌芽，部分可以追溯到古代。
在古代希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏用朴素的极限思想，即无穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子。
在中国，公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子?天下篇》中记载了惠施的一段话："一尺之棰，日取其半，万世不竭"，是我国较早出现的极限思想。
但把极限思想运用于实践，即利用极限思想解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽。
他的"割圆术"开创了圆周率研究的新纪元。
刘徽首先考虑圆内接正六边形面积，接着是正十二边形面积，然后依次加倍边数，则正多边形面积愈来愈接近圆面积。
用他的话说，就是："割之弥细，所失弥少。
割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。
"按照这种思想，他从圆的内接正六边形面积一直算到内接正192边形面积，得到圆周率的近似值3.14。
大约两个世纪之后，南北朝时期的著名科学家祖冲之（公元429-500年）祖恒父子推进和发展了刘徽的数学思想，首先算出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间，这是我国古代最伟大的成就之一。
其次明确提出了下面的原理："幂势既同，则积不容异。
"我们称之为"祖氏原理"，即西方所谓的"卡瓦列利原理"。
并应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题。
欧洲古希腊时期也有极限思想，并用极限方法解决了许多实际问题。
较为重要的当数安提芬(Antiphon,B.C420年左右)的"穷竭法"。
他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积。
但他的方法并没有被数学家们所接受。
后来，安提芬的穷竭法在欧多克斯(Eudoxus,B.C409-B.C356)那里得到补充和完善。
之后，阿基米德(Archimedes,B.C287-B.C212)借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。
中国古代数学中的微积分思想探究
272学苑论衡微积分的形成和发展一直是数学界讨论与探究的重要话题。
但在微积分的相关资料中，无论是古代，还是当代；无论是中国，还是外国；多会在定理的前面加上某某外国人的名字，几乎没有反映我国对于微积分所作出的贡献，世人应该尊重和承认我国古代数学对微积分所做出的伟大贡献。
总所周知，牛顿与莱布尼兹通过一个世纪的艰难探索才发明了微积分，而在产生微积分的必要条件中，有些是我国很早以前就发现的。
一、微积分思想简介微积分是探究微分和积分性质与运用的重要数学工具，也是高等数学的重要组成部分，其包括：函数、极限、微分、积分，在微积分学中极限是基础思想，函数是基础知识。
许多数学家通过大量的思考与探究，终于总结出了微积分学，我们通过了解微积分的理论可以知道，极限是发展微积分的重要思想。
如果说概念与定理是组成微积分学的小成员，那么极限思想就是组建微积分学的关键性结构。
极限思想对不同的数学思想进行整合，为极限理论提供了坚实的基础，极限思想是众多微积分学思想中最主要的思想，对微积分思想与方法的完善提供了条件。
极限思想的本质是通过极限概念对数学问题进行分析和解答，其中无穷分割的极限思想最为主要，曲面图形面积是引发无穷分割理论思考的另一因素。
数学家曾探究过在求平面图形面积时利用无穷小求和的思想，还有在求圆的面积时利用内切多边形的方法，简称割圆术，是现如今极限思想的体现。
二、中国古代数学中微积分思想的发展高等数学在解决数学问题时，通常用函数表示动态现象，用数表示静态现象，根据函数思想的深入探究与分析，进而得出了微积分的理念，对高等数学的发展具有重要的价值。
通过对微积分相关教材的研究，以及分析微积分的发展历史，可以发现许多数学定理被冠名，体现了数学家对微积分做出来巨大的贡献，我国数学的发展具有丰富的历史，实际上在我国古代数学中就蕴藏着微积分思想。
微积分的发展分为：极限概念、利用无限小求面积、微分与积分间的关系。
在极限概念和无限小求面积的探究中，绝大部分是欧洲数学家合作探究得出的，微分与积分的关系是由著名物理学家牛顿探究完成的，但是我国古代数学家在这些方面都做出了巨大的贡献。
刘徽割圆术和物理解题的极限、微元、积分思想
刘徽割圆术和物理解题的微元法“圆，一中同长也。
”纯语文翻译:圆这种图形,有一个中心,从这个这个中心到圆上各点都一样长.数学意义:圆有一个圆心,圆心到圆上各点的距离(即半径)都相等.关于“圜”的定义。
墨子说：“圜，一中同长也。
”(《墨经上》)这里的“圜”即为圆，墨子指出圆可用圆规画出，也可用圆规进行检验。
圆规在墨子之前早已得到广泛地应用，但给予圆以精确的定义，则是墨子的贡献。
墨子关于圆的定义与欧几里得几何学中圆的定义完全一致。
遇到求圆的周长的问题，周长的计算涉及到一个圆周率π，古人根据经验一直沿用“周三径一”。
实践中发现，周三径一并不是圆周长与直径的关系，而是圆内接六边形的周长与直径的比值。
公元三世纪，我国数学家刘徽对这个问题作了深入的研究，运用他的话说：“周三者，从六觚之环耳。
”他在为《九章算术》作注时谈到：“学者踵古，习其谬失。
不有明据，辩之斯难。
凡物类形象，不圆则方，方圆之率，诚著于近，则虽远可知也。
”刘徽进行长期的追本觅源，刻苦钻研，终于悟出其中的真谛实义，创造出震惊中外数坛的“割圆术”。
他是从正六边形开始运算，令边数一倍一倍地增加，边数变为12，24，48，96，192，…，逐个算出六边形、十二边形、二十四形、……的边长，然后乘以边数得到周长，逐步地逼近圆的周长，则正多边形的周长与圆的直径的比值就逐渐接近圆周率。
圆，是由什么样的图形演变而来的呢？《周髀算经》中写道：“数之法出于圆方，圆出于方。
”“环矩以为圆，合矩以为方。
”“方数为典，以方为圆。
”于是刘徽看到了圆与方形的关系，用了下下面的方法证明了《九章算术》中计算圆面积的法则：圆内接正n 边形，其面积，周长，一边分别记为Sn,Pn,a n设AB 是圆内接正6边形的一边，AC是内接正12边形的一边，S OBC=1/2DB*DC=1/4a6*r=1/2P6*r,同理，S24=1/2P12*r对一般情形，有S2n=1/2P n*r,为了确定圆面积的上界，他还提出S2 n < S < S n + 2 ( S2 n - S n ) = S2 n + ( S2 n - S n ) ,得到:314×64/625< S < 314×169/625,由S =1/2L r ,得L≈2 S2 n/r= 628. 故π=628/200= 3.14.在割圆术中刘徽巧妙地运用了“方形好算，圆形难算”这个特点，把圆看成边数是无穷的正多边形，它是未知的，而边形有限的正多边形则是可求的，已知的。
中国古代数学中的微积分思想
2019第1期中（总第288期）Z HONG GUO NONG CUN JIAO YU微积分学对于数学学科来说主要作用就是研究微分以及积分性质与运用的一种数学工具，微积分学是为了满足数学需要而存在的，也是高等数学的基本组成内容，其主要包含了极限、函数、微分学、积分学及应用，函数是微积分学的基础知识，极限是微积分应用的基础思想，微分与积分是具有特殊过程与特殊表现形式的极限。
一、微积分思想介绍微积分学是很多数学家经过无数次的思考与研讨总结出的一项数学知识，通过对微积分学的发展历程与微积分理论可以知道，微积分学发展到今天实际上都是由极限思想支撑的。
如果说微积分学当中的每一条概念与定理是组成数学这大家庭的小成员，极限思想就是组织这些小成员成为一家人的关键性任务。
其规整的将这些不同的数学思想连接起来，为极限理论提供了一定的理论基础，进而为完善微积分学的思想与方法提供了前提条件，虽然微积学当中包含了许多不同的数学思想，但是极限思想却是最主要的思想。
极限思想的本质是利用极限概念来分析问题与处理问题，尤其是无穷分割的极限思想能直接决定微积分思想，然而能够激起关于无穷论理的思考的另一种因素是曲边图形的面积。
有著名数学家曾发表过关于此思想的文章，文章主要记载了利用无穷小求和思想来求平面图形的面积。
还有其他数学总结出利用圆的内接正多边形来判断圆面积的方法，简称割圆术，但是用如今的数学名词来形容就是极限思想。
二、中国古代数学中的微积分思想发展用数来表述数学中的静态现象与用函数表述数学中的动态现象是解决数学问题时常见的情况，根据对函数思想的深入研究而产生了微积分，这也是数学发展过程中一项非常有纪念价值的思想。
对微积分教材以及微积分发展历史进行分析，可以总结出，很多数学定理都被冠名，也就是说代表了这些数学家对与微积分数学思想的形成做出的贡献，我国数学发展到今天为止已经有了非常丰富的内容，实际上我国古代数学中还蕴藏着微积分学的初期思想。
中国古代数学对微积分形成的贡献
中国古代数学对微积分形成的贡献陈顺清（四川文理学院数学系四川达州635000）[摘要] 文章介绍了中华民族对世界数学，特别是微积分的形成与发展作出的贡献，对数学分析教学提出了自己的看法。
[关键词] 微积分，无限数，实数系，进前取。
[中图分类] O175.8 MR（2000）主题分类34B15对于近代数学的重要成果之一——微积分的形成与发展的历史无疑是数学界的重要话题。
翻开有关微积分的教材和介绍其发展历史的著述，无论是外国人编写的，还是我国的作者；无论是过去，还是现在；大多数定理的前面都冠之以某某外国人的大名，却很少甚至根本没有反映中华民族对于微积分的形成与发展所作出的贡献。
大量历史事实无可辩驳地说明，我国是人类数学的故乡之一。
中华民族有着光辉灿烂的数学史，对世界数学的形成与发展作出了巨大贡献。
中华民族功不可磨，理应受到世人的承认与尊重。
一、我国古代数学对于微积分形成的贡献众所周知，在牛顿与莱布尼兹发明微积分前经历了十分艰难曲折的一个世纪的酝酿阶段。
“作为产生微积分的必要条件中，有些是在我国早已有之，而为希腊式数学力所不及的。
”1无限数概念的萌芽我国春秋战国时期，百家争鸣，学术繁荣。
先秦时期的哲学家和科学家，从数和形的侧面来反映和刻画现实世界中的无限性。
（1）对宇宙无限性的认识例如，《尸子》中对“宇宙”的阐述：“四方上下曰宇，往古来今曰宙。
”说明“宇”是包括东西、南北、上下的三维空间；“宙”是包括过去、现在和将来的一维空间。
宇宙是空间和时间的统一。
又如，《墨经》也指出：“《经上》：宇，弥异所也。
”、“《经说上》：宇、东、西、家、南、北。
”、“《经上》：久（宙），弥异时也。
”、“《经说上》：久，古、今、旦、莫（暮）。
”、这里看出，墨翟与尸佼认为宇宙是无边无际，无始无终的，这样的理解已经包含着对时间与空间无限性的思想。
另外，在《庄子·天下篇》中说：“南方无穷而有穷”。
在《墨经》中也有，“《经说上》：久，有穷、无穷。