初二能力拓展班第5讲、三角形巩固提高(教师版)

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【例题 10】如 图 ，在 Rt △ ABC 中 ，∠ ACB=90 °，CD ⊥ AB 于 D ，设 AC=b ，BC=a ，CD=h ， AB=c ， 求证：
【课后作业】 1.等腰三角形底边长为 5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 3cm，则腰长为（ A. 2cm B. 8cm C. 2cm 或 8cm
3a 1 4a 1 12 a a 1 .5 4a 1 12 a 3a 1 解得 13 1 12 a 3a 1 4a 1 a 5
∴1.5<a<5
答当 1.5<a<5 时，三条线段 3a－1,4a+1,12－a 能组成一个三角形 【练习 2】有四条线段，长度分别为 4cm，8cm，10cm，12cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成 多少个三角形？
1 1 ∠ABC，而由 CE＝CD，又可证∠E＝ ∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。 2 2
证明：因为三角形 ABC 是等边三角形，D 是 AC 的中点 所以∠1＝
1 ∠ABC 2
又因为 CE＝CD，所以∠CDE＝∠E 所以∠ACB＝2∠E 即∠1＝∠E
D A
所以 BD＝BE，又 DM⊥BC，垂足为 M 所以 M 是 BE 的中点 （等腰三角形三线合一定理）
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明．
【练习 7】如图，有两个长度相同的滑梯（即 BC＝EF） ，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，则∠ABC＋∠DFE＝______． 解答：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，BC＝EF，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF， ∴∠ABC＋∠DFE＝90°，因此填 90°．
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直角三角形的识别： ①有一个角等于 90°的三角形是直角三角形； ②有两个角互余的三角形是直角三角形； ③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三 角形。 直角三角形的性质： ①直角三角形的两个锐角互余； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 要点 5 全等三角形 边角边公理（SAS） ：有两边和它的夹角对应相等的两个三角形全等。 角边角公理（ASA） ：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 推论（AAS） ：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 边边边公理（SSS） ：有三边对应哪个相等的两个三角形全等。 斜边、直角边公理（HL） ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 【练习 1】 （1）已知：等腰三角形的一边长为 12，另一边长为 5，则第三条的长。 （2）已知：等腰三角形中一内角为 80°，求这个三角形的另外两个内角的度数。 解： （1）分两种情况：①若腰长为 12，底边长为 5，则第三边长为 12。 ②若腰长为 5，底边长为 12，则第三边长为 5。但此时两边之和小于第三边，故不合题意。 （2）分两种情况：①若顶角为 80°，则另两个内角均为底角分别是 50°、50°。 ②若底角为 80°，则另两个内角分别是 80°、20°。 因此这个三角形的另外两个内角分别是 50°、50°或 80°、20°。 【例题 1】要使三条线段 3a－1,4a+1,12－a 能组成一个三角形求 a 的取值范围。 解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组：
APC=60 °， 则 ∠ ACB 的 度 数 是 多 少 ？
【例题 8】已知：点 P 是等边⊿ABC 内的一点，∠BPC＝150°，PB＝2，PC＝3，求 PA 的长。 解：∵BC＝BA， ∴将⊿BAP 绕点 B 顺时针方向旋转 60°，使 BA 与 BC 重合，得⊿BCD，连结 PD。 ∴BD＝BP＝2， PA＝DC。 ∴⊿BPD 是等边三角形。 ∴∠BPD＝60°。
简析：勾股定理的逆定理“若两边的平方和等于第三边的平方，则三角形为直角三角形” ．
【例题 9】 （2006•大兴安岭）已知∠AOB=90°，在∠AOB 的平分线 OM 上有一点 C，将一个三角板的直角 顶点与 C 重合，它的两条直角边分别与 OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点 D、E． （1）当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时（如图 1） ，易证： （2）当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时，在图 2、图 3 这两种情况下，上述结论是否还成立？若 成立，请给予证明；若不成立，线段 OD、OE、OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证
由(1)得△ABE≌△ADF,∴AE=DF=1,∴EF=AF-AE= 3 1 . 【练习 3】 如 图 ， 在 正 方 形 ABCD 中 ， E 为 CD 边 上 一 点 ， F 为 BC 延 长 线 上 一 点 ， CE=C F ， ∠ FDC=30 °． （ 1 ） 观 察 猜 想 BE 和 D F 的 大 小 关 系 ， 并 证 明 你 的 猜 想 ； （ 2 ） 求 ∠ BE F 的 度 数 ．
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第5讲
【知识要点】 要点 1 三角形的边、角关系 ①三角形任何两边之和大于第三边； ②三角形任何两边之差小于第三边； ③三角形三个内角的和等于 180°； ④三角形三个外角的和等于 360°；
三角形巩固提高
⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； ⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 要点 2 三角形的主要线段和外心、内心 ①三角形的角平分线、中线、高； ②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相 等； ③三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等； ④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的 一半。 要点 3 等腰三角形 等腰三角形的识别： ①有两边相等的三角形是等腰三角形； ②有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） ； ③三边相等的三角形是等边三角形； ④三个角都相等的三角形是等边三角形； ⑤有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。 等腰三角形的性质： ①等边对等角； ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； ③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴； ④等边三角形的三个内角都等于 60°。 要点 4 直角三角形
【练习 5】如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连结 PA、PB、PC，•以 BP 为边作∠PBQ＝60°，且 BQ＝BP，连结 CQ． （1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论． （2）若 PA：PB：PC＝3：4：5，连结 PQ，试判断△PQC 的形状，并说明理由． 解： （1）把△ABP 绕点 B 顺时针旋转 60°即可得到△CBQ．利用等边三角形的 性质证△ABP≌△CBQ，得到 AP＝CQ． （2）连接 PQ，则△PBQ 是等边三角形．PQ＝PB，AP＝CQ 故 CQ：PQ：PC＝PA：PB：PC＝3：4：5， ∴△PQC 是直角三角形． 【练习 6】如图，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条 不同的实线上各取一个格点， 使其中任意两点不在同一实线上； ②连结三个格点， 使之构成直角三角形， 小华在下面的正方形网格中作出了 Rt△ABC． 请你按照同样的要求， 在右边的两个正方形网格中各画出 一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等．
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解 ：有 3 种 情 况 可 以 组 成 三 角 形 ：① 12cm ，10cm ，8cm ；② 12cm ，10cm ，4cm ；③ 10c m ， 8cm ， 4cm ． 【例题 2】 （2010· 潼南中考）如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 G 是 BC 延长线上一点，连结 AG， BE⊥AG， DF⊥AG.(1)证明：△ABE≌△DAF； （2）若∠AGB=30° ，求 EF 的长. 【解析】 （1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=AD，
【例题 3】如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，AD 和 BD 分别是∠BAC 和∠ABC 的平分线， 它们相交于点 D，求点 D 到 BC 的距离
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【练习 4】 （2009· 厦门中考）如图，在 ΔABC 中，∠C=90° ,∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D,若 BD=10 厘米，BC=8 厘米，则点 D 到直线 AB 的距离是_______厘米。 【解析】过点 D 作 DE 垂直于 AB 于 E,由勾股定理得 CD BD2 BC2 102 82 6 , 由角平分线性质得 DE CD 6 答案：6. 【例题 4】如图，已知在等边三角形 ABC 中，D 是 AC 的中点，E 为 BC 延长线上一点，且 CE＝CD， DM⊥BC，垂足为 M。求证：M 是 BE 的中点。 分析：欲证 M 是 BE 的中点，已知 DM⊥BC，所以想到连结 BD，证 BD＝ED。因为△ABC 是等边 三角形，∠DBE＝
2 1 在△ABE 和△DAF 中， AB DA ， 4 3
∴△ABE≌△DAF. （2）∵四边形 ABCD 是正方形， 在正方形 ABCD 中， AD∥BC, ∴∠1=∠AGB=30o 在 Rt△ADF 中，∠AFD=90o
A
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B
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E
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F
D
C
G
AD=2 , ∴AF= 3 , DF =1,
B 1 M C E
【例题 5】 《中华人民共和国道路交通管理条例》规定： “小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过 70 千米/时” ．一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示） ，在距离路边 25 米处有“车速检测 仪 O” ，测得该车从北偏西 60°的 A 点行驶到北偏西 30°的 B 点，所用时间为 1.5 秒． （1）试求该车从 A 点到 B 的平均速度； （2）试说明该车是否超过限速． 解析： （1）要求该车从 A 点到 B 点的速度．只需求出 AB 的距离， 在△OAC 中，OC＝25 米．∵∠OAC＝90°－60°＝30°，∴OA＝2CO＝50 米 由勾股定理得 CA＝ OA OC 50 25 ＝25 3 （米）