6-6苏教版2019高三一轮复习课件直接证明与间接证明

基础诊断
考点突破
规律方法
(1)当一个命题的结论是以 “至多”、 “至少 ”、“ 唯
一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确 的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与 定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等． (2)用反证法证明不等式要把握三点：①必须否定结论；②必须从否 定结论进行推理；③推导出的矛盾必须是明显的．
2
所以只需证
1 1 2 a ＋a2 ≥a＋a－2－ 22，
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即 2(2－
1 2)a＋a≥8－4
1 2，只需证 a＋a≥2.
1 1 因为 a＞0，a＋a≥2 显然成立a＝a＝1时等号成立，所以要证的不
1 1 1 43a＋1＋3b＋1＋3c＋1 ≥9－3(a＋b＋c)＝6，
1 1 1 3 ∴ ＋ ＋ ≥ . 3a＋1 3b＋1 3c＋1 2
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规律方法
用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，
综合法的适用范围：
(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性、求证无
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5．在△ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 A， B，C 成等差数列，a，b，c 成等比数列，则△ABC 的形状为 ________．
π 解析 由题意 2B＝A＋C，又 A＋B＋C＝π，∴B＝3，又 b2＝ac， 由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac， ∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c， π ∴A＝C，∴A＝B＝C＝ ，∴△ABC 为等边三角形． 3 答案 等边三角形
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(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综 合法展现解决问题的过程． ( )
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解析
(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充
分条件． (2)应假设“a≤b”． (3)反证法只否定结论． 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
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2．要证 a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明________． 解析 a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0. 答案 (a2－1)(b2－1)≥0
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【训练 3】 (2017· 郑州一中月考)已知 a1＋a2＋a3＋a4>100，求证： a1，a2，a3，a4 中至少有一个数大于 25.
证明 假设 a1， a2， a3， a4 均不大于 25， 即 a1≤25， a2≤25， a3≤25， a4≤25，则 a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100， 这与已知 a1＋a2＋a3＋a4>100 矛盾，故假设错误． 所以 a1，a2，a3，a4 中至少有一个数大于 25.
第6讲
直接Байду номын сангаас明与间接证明
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考试要求
1.分析法和综合法的思考过程和特点，A级要求；
2.反证法的思考过程和特点，A级要求．
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知识梳理 1．直接证明 内容 综合法 利用已知条件和某些数 分析法 从要证明的结论出发，逐步
寻求使它成立的 充分 条件， 学定义、公理、定理等， 直到最后把要证明的结论归 定义 经过一系列的推理论证， 结为判定一个明显成立的条 最后推导出所要证明的 件(已知条件、定理、定义、 结论成立 公理等)为止
a1＝ 2＋1， 由已知得 3a1＋3d＝9＋3
2，
解得 d＝2，
故 an＝2n－1＋ 2，Sn＝n(n＋ 2)．
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(2)证明
Sn 由(1)得 bn＝ n ＝n＋ 2.假设数列{bn}中存在三项 bp，bq，
2 br(p，q，r∈N*，且互不相等)成等比数列，则 b2 ＝ b b . 即 ( q ＋ 2) q p r
种常用的间接证明方法．
(1)反证法的定义：假设原命题 不成立 (即在原命题的条件 下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此 说明假设错误，从而证明 原命题成立 的证明方法. (2) 用反证法证明的一般步骤：①反设 —— 假设命题的结论不
成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③
＝(p＋ 2)(r＋ 2)． ∴(q2－pr)＋ 2(2q－p－r)＝0.
2 q －pr＝0， * ∵p，q，r∈N ，∴ 2q－p－r＝0.
p＋r 2 2 ∴ ＝ pr ， ( p － r ) ＝0.∴p＝r，与 2
p≠r 矛盾．
∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
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[思想方法] 分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容 易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁； 综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思
考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，
然后再用综合法叙述出来．
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[易错防范] 1．用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲 证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直到一 个明显成立的结论． 2．在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否 定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等.
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考点一 综合法的应用 【例 1】 (2017· 东北三省三校模拟)已知 a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求 证： (1) a＋ b＋ c≤ 3； 1 1 1 3 (2) ＋ ＋ ≥ . 3a＋1 3b＋1 3c＋1 2 证明 (1) ∵ ( a ＋ b ＋ c )2 ＝ (a ＋ b ＋ c) ＋ 2 ab ＋ 2 bc ＋ 2 ca
≤(a＋b＋c)＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3， ∴ a＋ b＋ c≤ 3.
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(2)∵a＞0，∴3a＋1＞0， 4 ∴ ＋(3a＋1)≥2 3a＋1 4 3a＋1＝4， 3a＋1
4 4 4 ∴ ≥3－3a，同理得 ≥3－3b， ≥3－3c， 3a＋1 3b＋1 3c＋1 以上三式相加得
条件的等式或不等式； (2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结 论的题型．在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系 不明确，逻辑表达混乱．
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【训练 1】 (2017· 南京模拟)如图， 在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中， 底面 ABCD 是菱形，点 E 是 A1C1 的中点．求证： (1)BE⊥AC； (2)BE∥平面 ACD1.
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考点二
分析法的应用 1 1 a ＋a2－ 2≥a＋a－2.
2
【例 2】 已知 a＞0，证明： 证明 只需证 因为 要证
2 2
1 1 a ＋ 2－ 2≥a＋ －2， a a
1 1 a ＋ 2≥a＋a－(2－ 2)． a 2)＞0，
1 a＞0，所以a＋a－(2－
结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．
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诊 断 自 测 1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要 条件． (2)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”． (3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾． ( ( ( ) ) )
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【训练 2】 △ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，A，B，C 的 对边分别为 a，b，c. 1 1 3 求证： ＋ ＝ . a＋b b＋c a＋b＋c 1 1 3 证明 要证 ＋ ＝ ， a＋b b＋c a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c c a 即证 ＋ ＝3 也就是 ＋ ＝1， a＋b b＋c a＋b b＋c 只需证 c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 需证 c2＋a2＝ac＋b2，
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(2)如图，连接 D1F，因为四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 为直四棱柱， 所以四边形 B1BDD1 为矩形． 又 E，F 分别是 B1D1，BD 的中点， 所以 BF＝D1E，且 BF∥D1E. 所以四边形 BED1F 是平行四边形． 所以 BE∥D1F. 又 D1F⊂平面 ACD1，BE⊄平面 ACD1， 所以 BE∥平面 ACD1.
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实质 框图 表示
由因导果 P⇒Q1 → Q1⇒Q2 →…→ Qn⇒Q 因为……所 以……或由…… 得……
执果索因 Q⇐P1 → P1⇐P2 得到一个明显 →…→ 成立的条件 要证……只需证……即 证……
文字 语言
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2．间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一
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3．若 a，b，c 为实数，且 a<b<0，给出下列不等关系： 1 1 b a ①ac <bc ；②a >ab>b ；③a<b；④a>b.
2 2 2 2
其中正确的是________(填序号)． 解析 a2>ab. 又 ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2， 综上可得 a2>ab>b2. 答案 ② a2－ab＝a(a－b)，∵a<b<0，∴a－b<0，∴a2－ab>0，∴
等式成立． 规律方法 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐 步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获 解的关键． (2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找 出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个 中间结论，从而使原命题得证．