第一章 第四讲 集合习题课

第3课时习题课知识整合一、网络构建二、规律小结在处理与集合有关的题目时应注意：1．集合的属性(点集、数集、图形集等)．2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．3．集合A＝{a1，a2，a3，…，a n}的子集的个数为2n.4．空集优先的原则，如已知A⊆B，则首先要考虑A＝Ø.5．集合运算中的一些结论：(1)若A∩B＝A则A⊆B；(2)若A∪B＝B，则A⊆B；(3)若A∩B＝A∪B，则A＝B；(4)若A⊆B，则∁U A⊇∁U B；(5)(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)；(6)(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )．6．借助Venn 图或数轴解题．题 型 讲 解1．集合是一个不加定义的概念，只对其作了描述性的说明，把一些确定的对象集在一起就构成一个集合，应了解集合中的元素是确定的、互不相同的、没有顺序的．[例1] 若集合A ＝{1，x }，B ＝{x 2,0}，有没有x 的值，使A ＝B?[分析] 两集合相等，则其元素完全相同，同一集合内的元素应互不相同．[解析] ∵A ＝B ，且1≠0，∴⎩⎨⎧x ＝0x 2＝1无解，故不存在x 的值使A ＝B . 2．集合的表示方法有列举法、描述法、图示法，用列举法表示集合，应将元素一一列出，或将其规律体现出来；描述法是表示集合的重要方法，要对其中的元素有什么共同属性，代表元素是什么清清楚楚；图示法常用于表达集合之间的关系和抽象集合．[例2] 已知集合M ＝{x |x ＝a ＋b 2，a ，b ∈Q }．(1)判断下列元素与集合间的关系．①13＋22；②2－1；③23；④－1；⑤(2＋2)(3－2)；⑥13＋2. (2)若x 1∈M ，x 2∈M ，求证：x 1＋x 2∈M ，x 1·x 2∈M .[分析] 本题关键点是求解描述法中，代表元素的性质，即a ，b ∈Q .[解析] (1)①13＋22显然a ＝13，b ＝2都属于Q ，所以是集合M 的元素；②a ＝－1，b ＝1，是集合M 的元素；③23＝0＋13·2，a ＝0，b ＝13是集合M 的元素；④－1＝－1＋0×2，a ＝－1，b ＝0是集合M 中的元素；⑤(2＋2)(3－2)＝4＋2，a ＝4，b ＝1是集合M 中的元素； ⑥13＋2＝3－2(3＋2)(3－2)＝37－17·2，a ＝37，b ＝－17是集合M 中的元素． (2)设x 1＝a 1＋b 12，x 2＝a 2＋b 22，其中a 1，a 2，b 1，b 2∈Q ，x 1＋x 2＝a 1＋b 12＋a 2＋b 2 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)2，又a 1＋a 2，b 1＋b 2∈Q ，∴x 1＋x 2∈Mx 1x 2＝(a 1＋b 12)(a 2＋b 22)＝(a 1a 2＋2b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)2，又a 1a 2＋2b 1b 2，a 1b 2＋a 2b 1都属于Q ， ∴x 1x 2∈M .3．元素与集合的关系和集合与集合的关系要加以区分，要正确运用“∈”，“∉”，“⊆”，“”等数学符号．准确理解集合之间的关系．[探究] 在上题(2)中，x 1－x 2，x 1x 2(x ≠0)是否属于M ，同理可证明均属于M (证明可由学生自己完成)．[例3] (微山一中2012～2013高一十月份月考试题)已知集合A ＝{x |x 2－x ＝0}，则下列表示正确的是( )A ．1⊆AB ．{0}∈AC ．∅⊆AD ．∅∈A[分析] 首先分清是集合与集合之间的关系，还是元素与集合之间的关系，再弄清集合中元素的属性，然后作出判断．4．熟练掌握集合的交、并、补运算，这是高考考查的重点．[例4] 已知集合U ＝{x ∈R |1＜x ≤7}，A ＝{x ∈R |2≤x <5}，B ＝{x ∈R |3≤x ＜7}，求(1)(∁U A )∩(∁U B )；(2)∁U (A ∪B )；(3)(∁U A )∪(∁U B )；(4)∁U (A ∩B )．(5)观察上述结果你能得出什么结论．[分析] 利用数形结合的思想，将满足条件的集合在数轴上一一表示出来，从而求集合的交集、并集、补集，既简单又直观，这是最基本最常用的方法．本题可先在数轴上画出集合U 、A 、B ，然后求出A ∩B ，A ∪B ，∁U A ，∁U B ，就能逐一写出各小题的结果．[解析] 利用数轴工具，画出集合U 、A 、B 的示意图，如下图所示．可以得到，A ∩B ＝{x ∈R |3≤x ＜5}．A ∪B ＝{x ∈R |2≤x ＜7}，∁U A ＝{x ∈R |1＜x ＜2或5≤x ≤7}，∁U B ＝{x ∈R |1＜x ＜3或x ＝7}．规律总结：上述发现是偶然的呢？还是具有普遍的意义呢？如图．∴∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)对于∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)可由读者仿照上面来证明．同学们不妨再验证一个上述结论．已知集合U＝{x|x<10，x∈N*}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求∁U(A∪B)，∁U(A∩B)，(∁U A)∩(∁B)，(∁U A)∪(∁U B)．U[分析]可以把U，A∪B，A∩B，∁U A，∁U B的元素分别求出来，再进一步求出所要求的集合，也可以直接利用Venn图来直观地求解．作出Venn图，如图所示，由图形也可以直接观察出来结果．[点评]可用Venn图研究(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)与(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决这一类集合问题．[解析]∵A∪B＝{1,2,3,4,5,8}，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴∁U(A∪B)＝{6,7,9}．∵A∩B＝{5,8}，∴∁U(A∩B)＝{1,2,3,4,6,7,9}∵∁U A＝{1,3,6,7,9}，∁U B＝{2,4,6,7,9}．∴(∁U A)∩(∁U B)＝{6,7,9}，(∁U A)∪(∁U B)＝{1,2,3,4,6,7,9}．5．利用文氏图巧解集合题[例5](河南安阳一中分校2012～2013学年第一学期阶段性测试)设全集U＝{x|x≤8，x∈N＋}，若A⊆U，B⊆U，B∩(∁U A)＝{2,6}，A∩(∁U B)＝{1,8}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,7}，，则() A．A＝{1,8}B＝{2,6} B．A＝{1,3,5,8}B＝{2,3,5,6}C．A＝{1,8}B＝{2,3,5,6} D．A＝{1,3,8}B＝{2,5,6}[解析]作出Venn图如图所示．∵(∁U B)∩A＝{1,8}，(∁U B)∩(∁U A)＝{4,7}，∴∁U B＝{1,4,7,8}，∴B＝{2,3,5,6}．又∵(∁U A)∩B＝{2,6}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,7}∴∁U A＝{2,4,6,7}∴A＝{1,3,5,8}．故选B.规律总结：从本例解法中可以很清楚地看出Venn图在解集合题中的价值．在此题中，我们也可以发现∁U B＝∁U B∩(A∪∁U A)＝(∁U B∩A)∪(∁U B∩∁U A)．6．解答信息迁移题时，先要准确理解所给条件提供的信息，进行必要的提炼加工，转化为所学知识，利用已掌握方法，加以解答．[例6]对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1,2}，B＝{3,4}，则有A×B＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，B×A＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，A×A＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，B×B＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}．据此，试回答下列问题：(1)已知C＝{a}，D＝{1,2,3}，求C×D；(2)已知A×B＝{(1,2)，(2,2)}，求集合A、B；(3)若A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素．[解析](1)C×D＝{(a,1)，(a,2)，(a,3)}．(2)∵A×B＝{(1,2)，(2,2)}，∴A＝{1,2}，B＝{2}．(3)集合A中的任意一个元素与B中的一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．若A中有m 个元素，B中有n个元素，则A×B中的元素应为(m×n)个．故若A中有3个元素，B中有4个元素，则A×B中有3×4＝12个元素．定义集合A、B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则A*B中所有元素之和为()A．9B．14 C．18 D．21规律总结：新定义、信息迁移类型的题目往往比较新颖，通过读题，一定要弄懂运算的规律．基础巩固训练1．(2012～2013山西太原高三第二次模拟)已知集合U＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则下图阴影部分表示的集合为()A．{0,2} B．{0,1,3} C．{1,3,4} D．{2,3,4}2．(2012～2013山东鱼台一中高一年级九月份月考试题)若全集U＝{0,1,2,3}，∁U A＝{2}则集合A 的真子集共有()个A．3 B．5 C．7 D．83．已知U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则()A．M∩N＝{4,6} B．M∪N＝UC．(∁U N)∪M＝U D．(∁U M)∩N＝N4．若集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x>2}，则A∩B等于()A．{x|2<x≤3} B．{x|x≥1} C．{x|2≤x<3} D．{x|x>2}5．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩(∁R B)＝()A．{x|x＞1} B．{x|x≥1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}6．已知全集U＝A∪B＝{x∈N|x≤8}，A∩∁U B＝{1,3,5,7}，则集合B＝()A．{0,2,4,6,8} B．{4,6,8} C．{1,2,3,4} D．{2,4,6,8}7．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，那么集合A∩(∁U B)等于()．A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x＜－1} D．{x|－1≤x≤3}8．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝_______.。