数学(文)一轮教学案：第九章第1讲 直线的方程和两条直线的位置关系 Word版含解析

第九章 直线和圆的方程第1讲 直线的方程和两条直线的位置关系考纲展示 命题探究考点一 直线及其方程1 表示直线方向的两个量(1)直线的倾斜角①定义：在平面直角坐标系中，当直线l 与x 轴相交时(取x 轴作为基准)，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角．②范围：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角α为0°，故直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.(2)直线的斜率①定义：当α≠90°时，tan α表示直线l 的斜率，用k 表示，即k ＝tan α；当α＝90°时，直线l 的斜率k 不存在．②计算公式：给定两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，经过P 1，P 2两点的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 2 直线方程的形式及适用条件注意点对直线的倾斜角和斜率的理解每条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率；倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度．在设直线的斜率为k时，就是默认了直线的斜率存在．注意检验当斜率不存在时是否符合题意.1．思维辨析(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()(3)在平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程．()(4)任何直线方程都能写成一般形式．()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．如图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则()A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2答案 D解析直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故选D.3．过点M(1，－2)的直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为()A．2x＋y＝0 B．2x－y－4＝0C．x＋2y＋3＝0 D．x－2y－5＝0答案 B解析设P(x0,0)，Q(0，y0)，∵M(1，－2)为线段PQ中点，∴x0＝2，y0＝－4，∴直线PQ的方程为x2＋y－4＝1.即2x－y－4＝0.[考法综述]高考中对直线方程的考查，一种常见方式是求曲线的切线方程，也可能与其他知识(如圆锥曲线、圆)综合考查，难度中低档．求直线方程的一种重要方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫做待定系数法．运用此方法，要注意各种形式的方程的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．命题法 求直线的斜率、倾斜角及方程典例 (1)直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．(0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π (2)根据所给条件求直线的方程．①直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；②直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；③直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.[解析] (1)直线x sin α－y ＋1＝0的斜率是k ＝sin α，又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1，当0≤k ≤1时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4； 当－1≤k ＜0时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. (2)①由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.②由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a＝1， 又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9. 故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.③当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，符合题意；当斜率存在时，设斜率为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34. 故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.[答案] (1)D (2)见解析【解题法】 直线的倾斜角、斜率、方程的求法(1)求倾斜角α的取值范围的一般步骤①求出斜率k ＝tan α的取值范围．②利用正切函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜角α的取值范围．(2)求斜率的常用方法①已知直线上两点时，由斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)来求斜率． ②已知倾斜角α或α的三角函数值时，由k ＝tan α(α≠90°)来求斜率．③方程为Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的直线的斜率为k ＝－A B .(3)求直线方程的两种方法①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．②待定系数法，具体步骤为：a ．设所求直线方程的某种形式．b ．由条件建立所求参数的方程(组)．c ．解这个方程(组)求出参数．d ．把参数的值代入所设直线方程．1.已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12答案 D解析 由已知直线l 恒过定点P (2,1)，如图所示．若l 与线段AB 相交，则k P A ≤k ≤k PB ，∵k P A ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k ≤12.故选D.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的斜率是( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 2＝2a 1＋d ＝10，S 5＝52(a 1＋a 5)＝5(a 1＋2d )＝55，所以d ＝4，所以k PQ ＝a n ＋2－a n n ＋2－n ＝2d 2＝d ＝4，故选A.3．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，所以C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，所以C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0. 故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0.故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a . 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．考点二 两条直线的位置关系1 两条直线的位置关系2 两直线相交交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应． 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．3 距离4 对称问题包括中心对称和轴对称(1)中心对称①点关于点对称：若点M (x 1，y 1)与N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解． ②直线关于点对称问题的主要解法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l 1∥l 2，由点斜式得到所求的直线方程．(2)轴对称①点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上，且连接P 1P 2的直线垂直于对称轴l ，由方程组⎩⎨⎧ A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，A (y 1－y 2)＝B (x 1－x 2)，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中A ≠0，x 1≠x 2)． ②直线关于直线的对称：a.若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称的点P 2，那么经过交点及点P 2的直线就是l 2；b.若已知直线l 1与对称轴l 平行，则与l 1对称的直线和l 1分别到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l 1的对称直线．注意点 判断两直线位置关系及求距离时注意事项(1)两条不重合直线平行时，不要忘记两直线的斜率都不存在的情况；判定两条直线垂直时，不要忘记一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜率等于零的情况．(2)使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式；使用两平行线间的距离公式前一定要把两直线中x ，y 的系数化成分别相等的.1．思维辨析(1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( )(2)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( ) (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．( )(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．( )(6)当直线l 1，l 2斜率都存在时，若k 1＝k 2，则l 1∥l 2.( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)×2．(1)已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( )A ．0B ．－8C ．2D ．10 (2)直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，则C 的值为________．答案 (1)B (2)－4解析 (1)由于k AB ＝4－mm ＋2＝－2(m ≠－2)，则m ＝－8.(2)因为两直线的交点在y 轴上，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43在第一条直线上，所以C ＝－4.3．直线x －2y ＋1＝0关于x ＝3对称的直线方程为________． 答案 x ＋2y －7＝0解析 设M (x ，y )为所求直线上的任意一点，则其关于x ＝3对称的点为(6－x ，y )，从而有6－x －2y ＋1＝0，即x ＋2y －7＝0，所以直线x －2y ＋1＝0关于x ＝3对称的直线方程为x ＋2y －7＝0.[考法综述] 高考要求能根据直线方程判断两条直线的位置关系，利用平行或垂直求其中一条直线的方程或参数的取值范围，考查用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标，求距离和对称问题等．命题法1 两条直线的平行、垂直关系、距离的计算典例1 (1)已知两直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和l 2：x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0.①若l 1⊥l 2，求实数a 的值； ②试判断l 1与l 2是否平行． (2)已知点P (2，－1)．①求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；②求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？[解] (1)①由直线l 1的方程知其斜率为－a2， 当a ＝1时，直线l 2的斜率不存在，l 1与l 2不垂直； 当a ≠1时，直线l 2的斜率为－1a －1.由－a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a －1＝－1⇒a ＝23. 故所求实数a 的值为23.②由①知，当a ＝1时，l 1、l 2相交， 当a ≠1时，直线l 1的斜率为－a2， 直线l 2的斜率为－1a －1.由l 1∥l 2可得－a 2＝－1a －1，解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝2时，l 1的方程为x ＋y ＋3＝0， l 2的方程为x ＋y ＋3＝0，显然l 1与l 2重合．当a ＝－1时，l 1的方程为x －2y －6＝0，l 2的方程为x －2y ＝0，显然l 1与l 2平行．所以，当a ＝－1时，l 1∥l 2； 当a ＝2时，l 1与l 2重合；当a ≠1且a ≠2时，l 1与l 2不平行．(2)①过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件， 此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34. 此时l 的方程为3x －4y －10＝0. 综上，可得直线l 的方程为 x ＝2或3x －4y －10＝0.②作图可得过P 点与原点O 的距离最大的直线是过P 点且与PO垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1. 所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.【解题法】 两直线位置关系问题的解题策略(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是否存在一定要特别注意．(2)①若直线l 1和l 2有斜截式方程l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则直线l 1⊥l 2的充分条件是k 1·k 2＝－1.②设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.则l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.命题法2 与直线有关的对称问题典例2 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 的对称直线l ′的方程．[解] (1)设对称点A ′的坐标为(m ，n )，由已知可得⎩⎨⎧n ＋2m ＋1×23＝－1，2×m －12－3×n －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3313，n ＝413，即A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如B (2,0)，则B 关于l 的对称点必在m ′上，设对称点为B ′(a ，b )，则由⎩⎨⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)． 又m ′过N 点，由两点式得直线m ′的方程为y －33013－3＝x －4613－4，即9x －46y ＋102＝0.(3)解法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)． 则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上． 易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.解法二：设直线l 关于点A 的对称直线l ′上的任意一点P (x ，y )，则点P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点P ′(－2－x ，－4－y )，∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 【解题法】 对称问题的解题策略(1)解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．(2)光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称．1.平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 答案 A解析 设所求直线的方程为2x ＋y ＋c ＝0(c ≠1)，则|c |22＋12＝5，所以c ＝±5，故所求直线的方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0. 2．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12C.⎝⎛⎦⎥⎤1－22，13D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12 答案 B解析 (1)当直线y ＝ax ＋b 与AB ，BC 相交时(如图1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，x ＋y ＝1.得y E ＝a ＋b a ＋1，又易知x D ＝－b a ，∴|BD |＝1＋ba ， 由S △DBE ＝12×a ＋b a ·a ＋b a ＋1＝12，得b ＝11＋1a ＋1∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12.(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC ，BC 相交时(如图2)，由S △FCG ＝12(x G－x F )·|CM |＝12，得b ＝1－221－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1(∵0<a <1)，∵对于任意的a >0恒成立，∴b ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12∩⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，即b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12.故选B.3．已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0答案 C解析 若△OAB 为直角三角形，则∠A ＝90°或∠B ＝90°. 当∠A ＝90°时，有b ＝a 3；当∠B ＝90°时，有b －a 30－a ·a 3－0a －0＝－1，得b ＝a 3＋1a .故(b －a 3)⎝⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0，选C. 4．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．答案 －3解析 ∵y ＝ax 2＋b x ，∴y ′＝2ax －bx 2，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b 2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴a ＋b ＝－3.5．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．答案 5解析易知A(0,0)，B(1,3)，且P A⊥PB，∴|P A|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.∴|P A|·|PB|≤|P A|2＋|PB|22＝5(当且仅当|P A|＝|PB|时取“＝”)．(1)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为____________________．(2)直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是________．[错解][错因分析]①处忽略截距为“0”的情况，导致求解时漏掉直线方程3x＋2y＝0而致错．②处忽视与x 轴垂直的特殊情况，此时直线的斜率不存在，但倾斜角为90°，从而导致漏解．[正解] (1)当截距不为0时，设所求直线方程为x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0.∵点P (－2,3)在直线l 上，∴－2＋3－a ＝0， ∴a ＝1，此时所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0.当截距为0时，设所求直线方程为y ＝kx ，则有3＝－2k ， 即k ＝－32，此时直线l 的方程为y ＝－32x ，即3x ＋2y ＝0. 综上，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0. (2)当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1>1或－a a ＋1<0即可，解得－1<a <－12或a <－1或a >0.综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)．[答案] (1)x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0 (2)⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：50分钟基础组1.[2016·枣强中学热身]已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2答案 A解析 ∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上截距为2，∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，故选A.2．[2016·衡水中学猜题]设直线l 与x 轴的交点是P ，且倾斜角为α，若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α＋45°，则( )A ．0°≤α≤180°B ．0°≤α<135°C ．0°≤α<180°D ．0°<α<135° 答案 D解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧0°<α<180°，0°≤α＋45°＜180°.∴0°<α<135°.∴选D.3．[2016·衡水中学一轮检测]一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <0答案 B解析 因为y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n <0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.4．[2016·冀州中学模拟]已知直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y ＝0平行，则实数m 的取值为( )A ．－12 B.12 C ．2 D ．－2 答案 A解析 因为直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y ＝0平行，所以m 1＝－12≠0，解得m ＝－12，故选A.5．[2016·衡水二中周测]已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝0，l 2：(a －2)x ＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 一方面，若a ＝－1，则l 1：x －3y －2＝0，l 2：－3x －y －1＝0，显然两条直线垂直；另一方面，若l 1⊥l 2，则(a －2)＋a (a －2)＝0，∴a ＝－1或a ＝2，因此，“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件，故选A.6．[2016·枣强中学仿真]如果直线(2a ＋5)x ＋(a －2)y ＋4＝0与直线(2－a )x ＋(a ＋3)y －1＝0互相垂直，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．2，－2D ．2,0，－2答案 C解析 由题意可知(2a ＋5)(2－a )＋(a －2)·(a ＋3)＝(2－a )·[(2a ＋5)－(a ＋3)]＝－(a －2)(a ＋2)＝0，解得a ＝±2，故选C.7．[2016·衡水二中月考]设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且坐标原点O 到直线l 的距离为3，则△AOB 的面积S 的最小值为( )A.12 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 原点O 到直线l 的距离d ＝|m ×0＋n ×0－1|m 2＋n 2＝1m 2＋n 2＝3，∴m 2＋n 2＝13，在直线l 的方程中，令y ＝0可得x ＝1m ，即直线l与x 轴交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，令x ＝0可得y ＝1n ，即直线l 与y 轴交于点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1n ，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12·1|m |·1|n |＝12|m |·|n |≥1m 2＋n 2＝3，当且仅当|m |＝|n |时上式取等号，由于m 2＋n 2＝13，故当m 2＝n 2＝16时，△AOB 的面积取最小值3.8．[2016·武邑中学热身]过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________．答案 3x ＋y ＝0解析 联立2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0，得交点P (1，－3)．设过点P 且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为3x ＋y ＋m ＝0.把点P 代入即可得m ＝0.9．[2016·衡水二中期中]已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．答案 12解析 直线x ＋2y ＝2与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12. 由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.10．[2016·枣强中学模拟]直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角的大小是________．答案 5π6解析 由题意k ＝－33，即tan θ＝－33， ∴θ＝5π6.11．[2016·衡水二中期末]如图，已知A (－2，0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 斜率的取值范围为________．答案 (4，＋∞)解析 从特殊位置考虑．如图，∵点A (－2,0)，关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)，∴kA 1F ＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴k FD >kA 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．12. [2016·武邑中学猜题]设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)若a >－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．解 (1)当直线l 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a ＋2＝0，解得a ＝－2，此时直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋a a ＋1＝2＋a ，解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.(2)由直线方程可得M ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a a ＋1，0，N (0，2＋a )，因为a >－1， 所以S △OMN ＝12×2＋a a ＋1×(2＋a )＝12×[(a ＋1)＋1]2a ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a ＋1)＋1a ＋1＋2 ≥12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(a ＋1)·1a ＋1＋2＝2，当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.能力组13.[2016·冀州中学仿真]已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为( )A ．11B ．10C ．9D ．8答案 B解析 依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )、B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，则A (4,8)、B (－4,2)， ∴|AB |＝(4＋4)2＋(8－2)2＝10，故选B.14. [2016·武邑中学预测]l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．答案 x ＋2y －3＝0解析 当两条平行直线与A 、B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为k AB ＝－1－10－1＝2，所以两条平行直线的斜率为－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.15．[2016·衡水二中模拟]已知直线：sin θa x ＋cos θb y ＝1(a ，b 为给定的正常数，θ为参数，θ∈[0,2π))构成的集合为S ，给出下列命题：①当θ＝π4时，S 中直线的斜率为b a ； ②S 中所有直线均经过一个定点；③当a ＝b 时，存在某个定点，该定点到S 中的所有直线的距离均相等；④当a >b 时，S 中的两条平行直线间的距离的最小值为2b ； ⑤S 中的所有直线可覆盖整个平面．其中正确的是________(写出所有正确命题的编号)． 答案 ③④解析 直线方程可化为b sin θ·x ＋a cos θ·y ＝ab .当θ＝π4时，S 中直线的斜率为－b sin π4a cos π4＝－b a ，故①错误；由直线方程易知所有直线不经过一个定点，故②错误；③当a ＝b 时，直线方程为sin θ·x ＋cos θ·y ＝a ，显然原点(0,0)到直线的距离d ＝a sin 2θ＋cos 2θ＝a (定值)，故③正确；设两平行直线为b sin θ1·x ＋a cos θ1·y －ab ＝0，b sin θ2·x ＋a cos θ2·y －ab ＝0，显然θ1≠θ2，否则重合，那么当sin θ1＝sin θ2＝0时，不妨取θ1＝0，θ2＝π，则两直线为y ＝b ，y ＝－b ，距离为2b ，当cos θ1＝cos θ2＝0时，不妨取θ1＝π2，θ2＝3π2，则两直线为x ＝a ，x ＝－a ，距离为2a ，当x ，y 的系数均不为0时，则b sin θ1b sin θ2＝a cos θ1a cos θ2，即sin θ1cos θ2＝sin θ2cos θ1，即sin(θ1－θ2)＝0，不妨令θ1>θ2，则θ1－θ2＝π，即 θ1＝π＋θ2，于是第一条直线为b sin(π＋θ2)·x ＋a cos(π＋θ2)·y －ab ＝0，即－b sin θ2·x －a cos θ2·y －ab ＝0，即b sin θ2·x ＋a cos θ2·y ＋ab ＝0，故两平行线间的距离d ＝2ab b 2sin 2θ2＋a 2cos 2θ2>2ab a 2sin 2θ2＋a 2cos 2θ2＝2aba ＝2b ，综上可知④正确；显然S 中直线不过原点，故⑤错误．16．[2016·枣强中学期末]在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1(－2,0)、A 2(2,0)，再取两个动点N 1(0，a )、N 2(0，b )，且ab ＝3.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹M 的方程；(2)已知点F 2(1,0)，设直线l ：y ＝kx ＋m 与(1)中的轨迹M 交于P 、Q 两点，直线F 2P 、F 2Q 的倾斜角为α、β，且 α＋β＝π，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．解 (1)依题意知直线A 1N 1的方程为：y ＝a2(x ＋2)，① 直线A 2N 2的方程为：y ＝－b2(x －2)，②设R (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点，①×②得y 2＝－ab 4(x 2－4)，由ab ＝3，整理得x 24＋y 23＝1.∵点N 1、N 2不与原点重合，∴点A 1(－2,0)、A 2(2,0)不在轨迹M 上， ∴轨迹M 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．(2)证明：由题意知，直线l 的斜率存在且不为零，联立方程得⎩⎨⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2x 1x 2＝4m 2－123＋4k2，且kF 2P ＝kx 1＋m x 1－1，kF 2Q ＝kx 2＋mx 2－1.由已知α＋β＝π，得kF 2P ＋kF 2Q ＝0， ∴kx 1＋m x 1－1＋kx 2＋mx 2－1＝0， 化简，得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0， 代入，得2k ×4m 2－123＋4k 2－8mk (m －k )3＋4k 2－2m ＝0，整理得m ＝－4k .∴直线l 的方程为y ＝k (x －4)， ∴直线l 过定点，该定点的坐标为(4,0)．。