[推荐学习]高三数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数Ⅰ第七节对数与对数函数课时跟踪检测理
第2章 第7讲对数与对数函数-2022版高三数学(新高考)一轮复习课件

第二章 函数、导数及其应用
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(2)构造函数 f(x)=4x 和 g(x)=logax,当 a>1 时不满足条件,当 0<a<1 时,画出两 个函数在(0,12]上的图象,可知,f(12)<g(12),即 2<loga12,则 a> 22,所以 a 的取值范
对数形式 一般对数 常用对数 自然对数
特点 底数为a(a>0,且a≠1)
底数为____1_0___ 底数为____e__
记法
____lo__g_a_N______ ___l_g_N_____ ____ln__N_____
第二章 函数、导数及其应用
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2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质: ①loga1=___0___; ②logaa=__1_(_其__中__a_>_0_且__a_≠_1_)____________. (2)对数恒等式: alogaN=___N___.(其中a>0且a≠1,N>0) (3)对数的换底公式:
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第二章 函数、导数及其应用
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[解析] (1)log2 22=log22-12 =-12; (2)log53+log513=log51=0; (3)lg52+2lg2-(12)-1=lg52+lg4-(12)-1=lg10-2=-1; (4)解法一:原式=llgg92·llgg43=2llgg23··l2gl3g2=4. 解法二:原式=2log23·lloogg2243=2×2=4.
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5.(必修 1P75AT10 改编)已知图中曲线 C1,C2,C3,C4 是函数 y=logax 的图象, 则曲线 C1,C2,C3,C4 对应的 a 的值依次为( B )
(江苏专用)高三数学一轮总复习 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 第七节 对数与对数函数课时跟踪检测 理

课时跟踪检测(十) 对数与对数函数一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.(2015·某某调研)函数y =log 232x -1的定义域是________.解析:由log 23(2x -1)≥0⇒0<2x -1≤1⇒12<x ≤1.答案:⎝ ⎛⎦⎥⎤12,1 2.函数f (x )=log 12(x 2-4)的单调递增区间为________.解析:函数y =f (x )的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),因为函数y =f (x )是由y =log 12t 与t =g (x )=x 2-4复合而成,又y =log 12t 在(0,+∞)上单调递减,g (x )在(-∞,-2)上单调递减,所以函数y =f (x )在(-∞,-2)上单调递增.答案:(-∞,-2)3.(2016·某某模拟)已知a =log 23+log 23,b =log 29-log 23,c =log 32,则a ,b ,c 的大小关系是________.解析:因为a =log 23+log 23=log 233=32log 23>1,b =log 29-log 23=log 233=a ,c =log 32<log 33=1.答案:a =b >c4.(2015·某某高考)lg 52+2lg 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫12-1=________.解析:lg 52+2lg 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫12-1=lg 5-lg 2+2lg 2-2=(lg 5+lg 2)-2=1-2=-1. 答案:-15.函数y =log 2|x +1|的单调递减区间为______,单调递增区间为______. 解析:作出函数y =log 2x 的图象,将其关于y 轴对称得到函数y =log 2|x |的图象,再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y =log 2|x +1|的图象(如图所示).由图知,函数y =log 2|x +1|的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为(-1,+∞).答案:(-∞,-1) (-1,+∞)二保高考,全练题型做到高考达标1.函数f (x )=|x -2|-ln x 在定义域内零点的个数为________. 解析:在同一坐标系中分别作函数y =|x -2|与y =ln x 的图象如图所示.由图可知y =|x -2|与y =ln x 有2个交点,所以函数f (x )零点的个数为2.答案:22.(2016·某某五校联考)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,3-x+1,x ≤0,则f (f (1))+f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是________.解析:由题意可知f (1)=log 21=0,f (f (1))=f (0)=30+1=2,f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312=331-log 2+1=33log 2+1=2+1=3,所以f (f (1))+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312=5.答案:53.设a =log 323,b =log 525,c =log 727,则a ,b ,c 的大小关系为________.解析:因为log 323=log 32-1,log 525=log 52-1,log 727=log 72-1,log 32>log 52>log 72,故a >b >c .答案:a >b >c4.计算:log 2.56.25+lg 0.001+ln e +2-1+log 23=______. 解析:原式=log 2.5(2.5)2+lg 10-3+ln e 12+2log 232 =2-3+12+32=1.答案:15.若函数f (x )=log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+32x (a >0,a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞内恒有f (x )>0,则f (x )的单调递增区间为________.解析:令M =x 2+32x ,当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞时,M ∈(1,+∞),f (x )>0,所以a >1.所以函数y =log a M 为增函数,又M =⎝⎛⎭⎪⎫x +342-916,因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫-34,+∞.又x 2+32x >0,所以x >0或x <-32.所以函数f (x )的单调递增区间为(0,+∞).答案:(0,+∞)6.如图,矩形ABCD 的三个顶点A ,B ,C 分别在函数y =log22x ,y =x 12,y =⎝⎛⎭⎪⎫22x的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2,则点D 的坐标为________.解析:由条件得,点A 在函数y =log22x 的图象上,从而由2=2,得x A =12.而点B 在函数y =x 12上,从而2=x 12,解得x B =4.于是点C 的横坐标为4.又点C 在函数y =⎝⎛⎭⎪⎫22x上,从而y C =14,所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,14. 答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫12,14 7.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,3x,x ≤0,关于x 的方程f (x )+x -a =0有且只有一个实根,则实数a 的取值X 围是______.解析:问题等价于函数y =f (x )与y =-x +a 的图象有且只有一个交点,结合函数图象可知a >1.答案:(1,+∞)8.(2016·某某四市调研)函数f (x )=log 2x ·log 2(2x )的最小值为______.解析:依题意得f (x )=12log 2x ·(2+2log 2x )=(log 2x )2+log 2x =⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x +122-14≥-14,当且仅当log 2x =-12,即x =22时等号成立,因此函数f (x )的最小值为-14.答案:-149.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,f (0)=0,当x >0时,f (x )=log 12x .(1)求函数f (x )的解析式; (2)解不等式f (x 2-1)>-2.解:(1)当x <0时,-x >0,则f (-x )=log 12(-x ).因为函数f (x )是偶函数,所以f (-x )=f (x ). 所以函数f (x )的解析式为f (x )=⎩⎨⎧log 12x ,x >0,0,x =0,log 12-x ,x <0.(2)因为f (4)=log 124=-2,f (x )是偶函数, 所以不等式f (x 2-1)>-2可化为f (|x 2-1|)>f (4). 又因为函数f (x )在(0,+∞)上是减函数, 所以|x 2-1|<4,解得-5<x <5, 即不等式的解集为(-5,5).10.已知函数f (x )=log a (x +1)-log a (1-x ),(a >0且a ≠1). (1)求f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明; (3)当a >1时,求使f (x )>0的x 的解集. 解:(1)要使函数f (x )有意义.则⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,1-x >0,解得-1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为(-1,1). (2)证明:由(1)知f (x )的定义域为(-1,1), 且f (-x )=log a (-x +1)-log a (1+x ) =-[log a (x +1)-log a (1-x )]=-f (x ), 故f (x )为奇函数.(3)因为当a >1时,f (x )在定义域(-1,1)内是增函数,所以f (x )>0⇔x +11-x>1,解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是(0,1). 三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.已知函数f (x )=log a (2x -a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,23上恒有f (x )>0,则实数a 的取值X 围是________.解析:当0<a <1时,函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,23上是减函数,所以log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43-a >0,即0<43-a <1,解得13<a <43,故13<a <1;当a >1时,函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,23上是增函数,所以log a (1-a )>0,即1-a >1,解得a <0,此时无解.综上所述,实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13,1. 答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫13,1 2.(2016·某某中学月考)已知函数f (x )=log a 1-xb +x (0<a <1)为奇函数,当x ∈(-1,a ]时,函数f (x )的值域是(-∞,1],则a +b 的值为________.解析:由1-xb +x >0,解得-b <x <1(b >0).又奇函数定义域关于原点对称,故b =1.所以f (x )=log a 1-x 1+x (0<a <1).又g (x )=1-x x +1=-1+2x +1在(-1,a ]上单调递减,0<a <1,所以f (x )在(-1,a ]上单调递增.又因为函数f (x )的值域是(-∞,1],故f (a )=1,此时g (a )=a ,即1-a a +1=a ,解得a =2-1(负根舍去),所以a +b = 2. 答案: 23.已知函数f (x )=3-2log 2x ,g (x )=log 2x .(1)当x ∈[1,4]时,求函数h (x )=[f (x )+1]·g (x )的值域;(2)如果对任意的x ∈[1,4],不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立,某某数k 的取值X 围.解:(1)h (x )=(4-2log 2x )·log 2x =-2(log 2x -1)2+2, 因为x ∈[1,4],所以log 2x ∈[0,2], 故函数h (x )的值域为[0,2]. (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x ), 得(3-4log 2x )(3-log 2x )>k ·log 2x ,令t =log 2x ,因为x ∈[1,4],所以t =log 2x ∈[0,2], 所以(3-4t )(3-t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立, ①当t =0时,k ∈R ;②当t ∈(0,2]时,k <3-4t 3-tt恒成立,即k <4t +9t-15,因为4t +9t ≥12,当且仅当4t =9t ,即t =32时取等号,所以4t +9t-15的最小值为-3.综上,实数k 的取值X 围为(-∞,-3).。
高考数学一轮总复习教学课件第二章 函 数第7节 对数函数

g(x)=(a-1)x2-ax在同一坐标系中的图象可能是(
√
)
解析:(1)g(x)=(a-1)x2-ax的图象过原点,排除A,C;
当0<a<1时,f(x)=logax单调递减,g(x)开口向下,排除D.故选B.
(2)(2024·浙江杭州模拟)已知二次函数f(x)的图象如图所示,将
其向右平移2个单位长度得到函数g(x)的图象,则不等式g(x)>
在[-1,4)上单调递减,所以f(x)max=f(-1)=2log25,则B正确;
因为f(x)在(-6,-1)上单调递增,在[-1,4)上单调递减,
且f(-4)=f(2)=4,
所以不等式f(x)<4的解集是(-6,-4)∪(2,4),则C错误;
因为f(x)在[-1,4)上单调递减,所以D错误.
故选AB.
.
解析:(3)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上单
调递减,
所以可将 f(lo (2x-5))>f(log38)等价于|lo (2x-5)|>|log38|,
即 log3(2x-5)>log38 或 log3(2x-5)<-log38=log3 ,即 2x-5>8 或
再借助y=logax的单 忽略函数的定义域
调性求解
角度三
对数函数性质的综合应用
[例4] (多选题)(2023·河北邯郸模拟)已知函数f(x)=log2(x+6)+
log2(4-x),则(
)
√
B.f(x)有最大值
√
A.f(x)的定义域是(-6,4)
C.不等式f(x)<4的解集是(-∞,-4)∪(2,+∞)
数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书:第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数与对数函数

§2.6对数与对数函数考纲展示►1。
理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念,和对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数(a〉0,且a≠1).考点1 对数的运算1.对数的概念如果a x=N(a>0且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作________,其中________叫做对数的底数,________叫做真数.答案:x=log a N a N2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则:如果a>0且a≠1,M〉0,N>0,那么①log a(MN)=____________;②log a错误!=____________;③log a M n=________(n∈R);④log a m M n=错误!log a M。
(2)对数的性质:①a log a N=________;②log a a N=________(a>0且a≠1).(3)对数的重要公式:①换底公式:log b N=错误!(a,b均大于0且不等于1);②log a b=错误!,推广log a b·log b c·log c d=________。
答案:(1)①log a M+log a N②log a M-log a N③n log a M (2)①N②N(3)②log a d(1)[教材习题改编]lg错误!+lg错误!的值是()A。
错误!B.1C.10 D.100答案:B(2)[教材习题改编](log29)·(log34)=()A.错误!B.错误!C.2 D.4答案:D(3)[教材习题改编]已知log53=a,log54=b,lg 2=m,求错误!+lg 4b的值(用m表示).解:错误!+错误!=错误!+错误!=2lg 5=2(1-lg 2)=2(1-m).误用对数运算法则.(1)log3错误!-log3错误!+错误!-1=________.(2)(log29)·(log34)=________.答案:(1)2 (2)4解析:(1)原式=log3错误!+31=log3错误!+3=-1+3=2。
高考数学一轮复习 第2章 函数与基本初等函数 第7课时 对数函数练习 理-人教版高三全册数学试题

第7课时 对数函数1.(log 29)·(log 34)的值为( ) A .14 B .12 C .2 D .4答案 D解析 原式=(log 232)·(log 322)=4(log 23)·(log 32)=4·lg3lg2·lg2lg3=4.2.(2018·某某某某模拟)已知a =log 23+log 23,b =log 29-log 23,c =log 32,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a =b <c B .a =b >c C .a <b <c D .a >b >c 答案 B解析 a =log 23+log 23=log 233,b =log 29-log 23=log 233,因此a =b ,而log 233>log 22=1,log 32<log 33=1,所以a =b >c ,故选B.3.若log a 23<1(a>0且a≠1),则实数a 的取值X 围是( )A .(0,23)B .(1,+∞)C .(0,23)∪(1,+∞)D .(23,1)答案 C解析 当0<a<1时,log a 23<log a a =1,∴0<a<23;当a>1时,log a 23<log a a =1,∴a>1.∴实数a 的取值X 围是(0,23)∪(1,+∞). 4.函数y =ln 1|2x -3|的图像为( )答案 A解析 易知2x -3≠0,即x≠32,排除C ,D 项.当x>32时,函数为减函数,当x<32时,函数为增函数,所以选A.5.如图,函数f(x)的图像为折线ACB ,则不等式f(x)≥log 2(x +1)的解集是( ) A .{x|-1<x≤0} B .{x|-1≤x≤1} C .{x|-1<x≤1} D .{x|-1<x≤2}答案 C解析 作出函数y =log 2(x +1)的大致图像,如图所示.其中函数f(x)与y =log 2(x +1)的图像的交点为D(1,1),结合图像可知f(x)≥log 2(x +1)的解集为{x|-1<x≤1},故选C.6.设函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1+log 2(2-x ),x<1,2x -1,x ≥1,则f(-2)+f(log 212)等于( )A .3B .6C .9D .12答案 C解析 因为-2<1,所以f(-2)=1+log 2[2-(-2)]=3. 因为log 212>1,所以f(log 212)=2log 212-1=2log 26=6. 所以f(-2)+f(log 212)=9.故选C.7.若实数a ,b ,c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0,则下列关系中正确的是( ) A .a<b<c B .b<a<c C .c<b<a D .a<c<b答案 C解析 根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c<0,即log 2c<log 2b<log 2a<0,可得c<b<a<1.故选C. 8.(2014·某某,理)函数f(x)=log 12(x 2-4)的单调递增区间为( )A .(0,+∞) B.(-∞,0) C .(2,+∞) D .(-∞,-2) 答案 D解析 函数y =f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),因为函数y =f(x)是由y =log 12t 与t =g(x)=x 2-4复合而成,又y =log 12t 在(0,+∞)上单调递减,g(x)在(-∞,-2)上单调递减,所以函数y =f(x)在(-∞,-2)上单调递增.选D.9.(2018·某某金陵中学模拟)设函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x>0,log 12(-x ),x<0,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值X 围是( )A .(-1,0)∪(0,1)B .(-∞,-1)∪(1,+∞)C .(-1,0)∪(1,+∞)D .(-∞,-1)∪(0,1)答案 C解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a>0,log 2a>log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a<0,log 12(-a )>log 2(-a ),解得a>1或-1<a<0,故选C.10.已知定义在R 上的函数f(x)=2|x -m|-1(m 为实数)为偶函数.记a =f(log 0.53),b =f(log 25),c =f(2m),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .a<b<c B .a<c<b C .c<a<b D .c<b<a答案 C解析 因为f(x)=2|x -m|-1为偶函数,所以m =0.因为a =f(log 123)=f(log 23),b =f(log 25),c =f(0),log 25>log 23>0,而函数f(x)=2|x -m|-1在(0,+∞)上为增函数,所以f(log 25)>f(log 23)>f(0),即b>a>c.故选C.11.若函数y =log a (x 2-ax +2)在区间(-∞,1]上为减函数,则a 的取值X 围是( ) A .(0,1) B .[2,+∞) C .[2,3) D .(1,3)答案 C解析 当0<a<1时,由复合函数与对数函数的性质知,不合题意;当a>1时,要满足⎩⎪⎨⎪⎧12-a +2>0,a 2≥1,解得2≤a<3.12.已知函数f(x)=2+log 2x ,x ∈[1,2],则函数y =f(x)+f(x 2)的值域为( ) A .[4,5] B .[4,112]C .[4,132]D .[4,7]答案 B解析 y =f(x)+f(x 2)=2+log 2x +2+log 2x 2=4+3log 2x ,注意到为使得y =f(x)+f(x 2)有意义,必有1≤x 2≤2,得1≤x≤2,从而4≤y≤112.13.已知函数f(x)=xln(e 2x+1)-x 2+1,f(a)=2,则f(-a)的值为( ) A .1 B .0 C .-1 D .-2答案 B解析 f(x)+f(-x)=xln(e 2x+1)-x 2+1+[-xln(e -2x+1)-(-x)2+1]=x[ln(e 2x+1)-ln(e-2x+1)]-2x 2+2=xln e 2x +1e -2x +1-2x 2+2=xlne 2x-2x 2+2 =2x 2-2x 2+2=2, 所以f(a)+f(-a)=2,因为f(a)=2,所以f(-a)=2-f(a)=0.故选B.14.(2017·课标全国Ⅰ)设x ,y ,z 为正数,且2x=3y=5z,则( ) A .2x<3y<5z B .5z<2x<3y C .3y<5z<2x D .3y<2x<5z答案 D解析 ∵2x=3y=5z,∴ln2x=ln3y=ln5z, ∴xln2=yln3=zln5.∴x y =ln3ln2,∴2x 3y =2ln33ln2=ln32ln23=ln9ln8>1, ∴2x>3y ,同理可得2x<5z. ∴3y<2x<5z.故选D. 15.log 327-log 33+(5-1)0-(94)12+cos 4π3=________.答案 0解析 原式=log 3(27÷3)+1-32-12=1+1-32-12=0.16.若log a (x +1)>log a (x -1),则x∈________,a ∈________. 答案 (1,+∞)(1,+∞)17.(1)若log a 3<log a π,则实数a 的取值X 围是________. (2)若log 3a<log πa ,则实数a 的取值X 围是________. 答案 (1)a>1 (2)0<a<1 18.设函数f(x)=|lgx|,(1)若0<a<b 且f(a)=f(b).证明:a·b=1; (2)若0<a <b 且f(a)>f(b).证明:ab <1. 答案 略解析 (1)由|lga|=|lgb|,得-lga =lgb.∴ab =1. (2)由题设f(a)>f(b),即|lga|>|lgb|.上式等价于(lga)2>(lgb)2,即(lga +lgb)(lga -lgb)>0,lg(ab)lg a b >0,由已知b >a >0,得0<a b <1.∴lg ab<0,故lg(ab)<0.∴ab<1.1.已知a>b>1,若log a b +log b a =52,a b =b a ,则ab +2=________.答案 1解析 ∵log a b +log b a =log a b +1log a b =52,∴log a b =2或12.∵a>b>1,∴log a b<log a a =1,∴log a b =12,∴a =b 2.∵a b=b a,∴(b 2)b=bb 2,∴b 2b=bb 2,∴2b =b 2,∴b =2,∴a =4,∴ab +2=1. 2.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.如果实数t 满足f(lnt)+f(ln 1t )≤2f(1),那么t 的取值X 围是________.答案 [1e,e]解析 由于函数f(x)是定义在R 上的偶函数,所以f(lnt)=f(ln 1t ).由f(lnt)+f(ln 1t )≤2f(1),得f(lnt)≤f(1).又函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以|lnt|≤1,-1≤lnt ≤1,故1e ≤t ≤e.3.已知函数f(x)=lg[(a 2-1)x 2+(a +1)x +1]. (1)若f(x)的定义域为R ,某某数a 的取值X 围; (2)若f(x)的值域为R ,某某数a 的取值X 围. 答案 a≤-1或a>53 (2)1≤a≤53解析 (1)依题意(a 2-1)x 2+(a +1)x +1>0,对一切x ∈R 恒成立,当a 2-1≠0时,其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1>0,Δ=(a +1)2-4(a 2-1)<0,即⎩⎪⎨⎪⎧a>1或a<-1,a >53或a<-1. ∴a<-1或a>53.又a =-1时,f(x)=0,满足题意. ∴a ≤-1或a>53.(2)依题意,只要t =(a 2-1)x 2+(a +1)x +1能取到(0,+∞)上的任何值,则f(x)的值域为R ,故有a 2-1>0,Δ≥0,解之1<a≤53,又当a 2-1=0,即a =1时,t =2x +1符合题意;a =-1时不合题意,∴1≤a ≤53.。
数学(文)一轮复习:第二章 基本初等函数、导数及其应用 第讲对数与对数函数

第6讲对数与对数函数,)1.对数概念如果a x=N(a〉0,a≠1),那么数x叫做以a 为底N的对数,记作x=log a N.其中a叫做对数的底数,N叫做真数性质底数的限制:a>0,且a≠1对数式与指数式的互化:a x=N⇒log a N=x负数和零没有对数1的对数是零:log a1=0底数的对数是1:log a a=1对数恒等式:a log a N=N运算性质log a(M·N)=log a M+log a N a>0,且a≠1, log a错误!=log a M-log a Nlog a M n=n log a M(n∈R)M >0,N〉0 2.对数函数的图象与性质a〉10<a<1图象性质定义域:(0,+∞)值域:R过定点(1,0)当x〉1时,y〉0当0〈x〈1时,y<0当x〉1时,y〈0当0<x<1时,y〉在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.1.辨明三个易误点(1)在运算性质中,要特别注意条件,底数和真数均大于0,底数不等于1。
(2)对公式要熟记,防止混用.(3)对数函数的单调性、最值与底数a有关,解题时要按0〈a 〈1和a〉1分类讨论,否则易出错.2.对数函数图象的两个基本点(1)当a>1时,对数函数的图象“上升”;当0<a〈1时,对数函数的图象“下降”.(2)对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),错误!,函数图象只在第一、四象限.3.换底公式及其推论(1)log a b=错误!(a,c均大于0且不等于1,b〉0);(2)log a b·log b a=1,即log a b=错误!(a,b均大于0且不等于1);(3)log am b n=错误!log a b(a〉0且a≠1,b>0,m≠0,n∈R);(4)log a b·log b c·log c d=log a d(a,b,c均大于0且不等于1,d>0).1.函数y=错误!ln(1-x)的定义域为()A.(0,1) B.D.B 因为y=错误!ln(1-x),所以错误!解得0≤x〈1.2.错误!(log29)·(log34)=()A.错误!B.错误!C.2 D.4D原式=错误!·错误!=4。
高三数学一轮复习第二章函数对数与对数函数课件文

1.(安徽省淮南市2011届高三第一次模拟考试)若x∈(e-1,1),a=ln x,b=
( 1 )ln x,c=eln x,则 (
)
2
(A)c>b>a.
(B)b>a>c.
(C)a>b>c.
(D)b>c>a
【解析】c=eln x=x∈(e-1,1),a=lnx∈(-1,0),b=( 1 )ln x∈(1,2),所以b>c>a.
考点
考纲解读
1
对数的运算
理解对数的概念,掌握对
数的运算性质.
2
对数函数
掌握对数函数的概念、图
象和性质.
常考查对数函数的图象和性质,如定义域问题、真数与底数、 单调性、比较大小、解对数不等式、与导数函数结合、与数列结
合等问题.大题主要以结合导数为主.考查形式上选择题、填空题、 解答题均有可能.高考中客观题常考查对数的运算性质,对数的真数 与底数,对数函数的单调性等基本知识,一般是中低档题,主观题中常 考查对数的综合应用,如与数列的结合试题等.
2
【答案】D
2.(安徽省合肥市2011年高三第一次教学质量检测)“a=1”是“函 数f(x)=lg(ax+1)在(0,+∞)单调递增”的( )
(A)充分必要条件.
(B)必要不充分条件.
(C)充分不必要条件.
(D)既不充分也不必要条件.【解析】显然函数f(x)=lg(x+1),f(x)=lg(2x+1)在(0,+∞)上均单调递增, 所以“a=1”是“函数f(x)=lg(ax+1)在(0,+∞)单调递增”的充分不 必要条件.
性质
定义域:(0,+∞) 值域:R 奇偶性:非奇非偶函数 过定点(1,0) 当x∈(0,1)时,y<0, 当x∈(1,+∞)时,y>0 在(0,+∞)是增函数
2020版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第七节对数与对数函数学案理含解析

高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ:第七节对数与对数函数1.对数概念如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=log a N,其中a叫做对数的底数,N叫做真数,log a N叫做对数式性质对数式与指数式的互化:a x=N⇔x=log a Nlog a1=0,log a a=1,a log a N=N运算法则log a(M·N)=log a M+log a Na>0,且a≠1,M>0,N>0log aMN=log a M-log a Nlog a M n=n log a M(n∈R)换底公式换底公式:log a b=log c blog c a(a>0,且a≠1,c>0,且c≠1,b>0) y=log a x a>10<a<1图象性质定义域为(0,+∞)值域为R过定点(1,0),即x=1时,y=0当x>1时,y>0;当0<x<1时,y>0当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0;在区间(0,+∞)上是增函数在区间(0,+∞)上是减函数3.反函数指数函数y=a x(a>0且a≠1)与对数函数y=log a x(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.[小题体验]1.已知a >0,且a ≠1,函数y =a x与y =log a (-x )的图象可能是______(填序号).答案:②2.函数f (x )=log a (x +2)-2(a >0,且a ≠1)的图象必过定点________. 答案:(-1,-2)3.函数f (x )=log 5(2x +1)的单调增区间是________.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞ 4.(1)2log 323-log 3427-31+log 32=________;(2)412-(lg 2+lg 5)=________.答案:(1)-5 (2)11.在运算性质log a M α=αlog a M 中,要特别注意条件,在没有M >0的条件下应为log a M α=αlog a |M |(α∈N *,且α为偶数).2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点: (1)务必先研究函数的定义域; (2)注意对数底数的取值范围. [小题纠偏]1.函数y =log 0.54x -3的定义域为______.答案:⎝ ⎛⎦⎥⎤34,12.函数f (x )=log (x +1)(2x -1)的单调递增区间是______.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞ 3.已知函数y =log a (2-ax )(a >0,且a ≠1)在[0,1]上为减函数,则a 的取值范围为________.解析:因为a >0,所以g (x )=2-ax 为减函数,即任取x 1,x 2∈[0,1],且x 1<x 2,有g (x 1)>g (x 2),又log a g (x 1)>log a g (x 2),所以a >1.而又因为g (x )=2-ax 在[0,1]恒大于0,所以2-a >0,所以a <2,综上,1<a <2.答案:(1,2)考点一 对数式的化简与求值基础送分型考点——自主练透 [题组练透]1.计算:(1)4log 23=________. (2)log 225·log 34·log 59=________. 解析:(1)4log 23=22log 23=2log 29=9 (2)原式=lg 25lg 2·lg 4lg 3·lg 9lg 5=2lg 5lg 2·2lg 2lg 3·2lg 3lg 5=8. 答案:(1)9 (2)82.计算⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14-lg 25÷10012-=______.解析:原式=(lg 2-2-lg 52)×10012=lg 122·52×10=lg 10-2×10=-2×10=-20. 答案:-203.12lg 3249-43lg 8+lg 245=________. 解析:12lg 3249 -43lg 8+lg 245=12(5lg 2-2lg 7)-43·12·3lg 2+12(lg 5+2lg 7) =12(lg 2+lg 5)=12. 答案:12[谨记通法]对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简; (2)将同底对数的和、差、倍合并;(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.考点二 对数函数的图象及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1.(2018·苏北三市三模)如图,已知正方形ABCD 的边长为2,BC 平行于x 轴,顶点A ,B 和C 分别在函数y 1=3log a x ,y 2=2log a x 和y 3=log a x (a >1)的图象上,则实数a 的值为________.解析:设C (x 0,log a x 0),则2log a x B =log a x 0, 即 x 2B =x 0,解得x B = x 0,故x C -x B =x 0-x 0=2,解得 x 0=4, 即B (2,2log a 2),A (2,3log a 2),由AB =2,可得3log a 2-2log a 2=2,解得a = 2. 答案: 22.若不等式log a x >(x -1)2恰有三个整数解,则a 的取值范围为________. 解析:由不等式log a x >(x -1)2恰有三个整数解,得a >1.在同一直角坐标系中画出y =log a x (a >1)与y =(x -1)2的图象,可知不等式的整数解集为{2,3,4},则应满足⎩⎪⎨⎪⎧log a 4>4-12,log a 5≤5-12,解得165≤a <94. 答案:[165,94)[由题悟法]研究对数型函数图象的思路(1)研究对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,要注意底数a >1或0<a <1这两种不同情况.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.[即时应用](2018·常州一中模拟)设f (x )=|lg x |,a ,b 为实数,且0<a <b . (1)若a ,b 满足f (a )=f (b ),求证:ab =1; (2)在(1)的条件下,求证:由关系式f (b )=2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 2所得到的关于b 的方程g (b )=0,存在b 0∈(3,4),使g (b 0)=0.证明:(1)结合函数图象,由f (a )=f (b )可判断a ∈(0,1),b ∈(1, +∞),从而-lg a =lg b ,即lg ab =0. 故ab =1.(2)因为0<a <b , 所以a +b2>ab =1.由已知可得b =⎝⎛⎭⎪⎫a +b 22,即4b =a 2+b 2+2ab ,得1b 2+b 2+2-4b =0,g (b )=1b 2+b 2+2-4b ,因为g (3)<0,g (4)>0,根据零点存在性定理可知,函数g (b )在(3,4)内一定存在零点,即存在b 0∈(3,4),使g (b 0)=0.考点三 对数函数的性质及应用题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]高考对对数函数的性质及其应用的考查,多以填空题的形式考查,难度低、中、高档都有.常见的命题角度有: (1)比较对数值的大小; (2)简单的对数不等式;(3)对数函数性质的综合问题.[题点全练]角度一:比较对数值的大小1.已知a =log 29-log 23,b =1+log 27,c =12+log 213,则a ,b ,c 的大小关系为________(用“>”表示).解析:a =log 29-log 23=log 233,b =1+log 27=log 227,c =12+log 213=log 226,因为函数y =log 2x 是增函数,且27>33>26, 所以b >a >c . 答案:b >a >c角度二:简单的对数不等式2.(2018·启东联考)已知一元二次不等式f (x )>0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞),则 f (lg x )<0的解集为________.解析:因为一元二次不等式f (x )>0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞),所以一元二次不等式f (x )<0的解集为(1,2),由f (lg x )<0可得1<lg x <2,从而解得10<x <100,所以不等式的解集为(10,100).答案:(10,100)角度三:对数函数性质的综合问题3.(2019·盐城中学第一次检测)已知函数f (x )=lg(2+x )+lg(2-x ).(1)求函数f (x )的定义域,并判断函数f (x )的奇偶性; (2)记函数g (x )=10f (x )+3x ,求函数g (x )的值域;(3)若不等式f (x )>m 有解,求实数m 的取值范围. 解:(1)∵函数f (x )=lg(2+x )+lg(2-x ),∴⎩⎪⎨⎪⎧2+x >0,2-x >0,解得-2<x <2.∴函数f (x )的定义域为(-2,2). ∵f (-x )=lg(2-x )+lg(2+x )=f (x ), ∴f (x )是偶函数.(2)∵f (x )=lg(2+x )+lg(2-x )=lg(4-x 2), ∴g (x )=10f (x )+3x =-x 2+3x +4=-⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322+254(-2<x <2),∴g (x )max =g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=254,g (x )min =g (-2)=-6.∴函数g (x )的值域是⎝⎛⎦⎥⎤-6,254. (3)∵不等式f (x )>m 有解,∴m <f (x )max , 令t =4-x 2,由于-2<x <2,∴0<t ≤4, ∴m <lg 4.∴实数m 的取值范围为(-∞,lg 4).[通法在握]1.解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤2.比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较. (3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.[演练冲关]1.(2019·苏州模拟)已知函数f (x )=log a x 2+a |x |(a >0,且a ≠1),若f (-3)<f (4),则不等式f (x 2-3x )<f (4)的解集为________.解析:易知函数f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∵f (-x )=log a x 2+a |x |=f (x ),∴f (x )在定义域上为偶函数,∴f (-3)=f (3). ∵f (-3)<f (4),∴f (3)<f (4),∴a >1,f (x )在(0,+∞)上单调递增.故不等式f (x 2-3x )<f (4)满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2-3x ≠0,|x 2-3x |<4,解得-1<x <4,且x ≠0,x ≠3.故不等式f (x 2-3x )<f (4)的解集为(-1,0)∪(0,3)∪(3,4). 答案:(-1,0)∪(0,3)∪(3,4) 2.已知函数f (x )=log 4(ax 2+2x +3). (1)若f (1)=1,求f (x )的单调区间;(2)是否存在实数a ,使f (x )的最小值为0?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.解:(1)因为f (1)=1,所以log 4(a +5)=1, 因此a +5=4,a =-1, 这时f (x )=log 4(-x 2+2x +3). 由-x 2+2x +3>0,得-1<x <3, 函数f (x )的定义域为(-1,3). 令g (x )=-x 2+2x +3,则g (x )在(-1,1)上递增,在(1,3)上递减. 又y =log 4x 在(0,+∞)上递增,所以f (x )的单调递增区间是(-1,1),递减区间是(1,3). (2)假设存在实数a ,使f (x )的最小值为0, 则h (x )=ax 2+2x +3应有最小值1,因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0,3a -1a=1,解得a =12.故存在实数a =12,使f (x )的最小值为0.一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.(2018·淮安调研)函数f (x )=log 2(3x -1)的定义域为________. 解析:由3x -1>0,解得x >13,所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫13,+∞. 答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫13,+∞2.函数f (x )=log 3(x 2-2x +10)的值域为________.解析:令t =x 2-2x +10=(x -1)2+9≥9,故函数f (x )可化为y =log 3t ,t ≥9,此函数是一个增函数,其最小值为log 39=2,故f (x )的值域为[2,+∞).答案:[2,+∞) 3.计算log 23log 34+(3)3log 4log 34=________.解析:log 23 log 34+(3)3log 4=lg 3lg 2·2lg 2lg 3+331log 42=2+3log 32=2+2=4. 答案:44.(2019·长沙调研)已知函数y =log a (x +3)-1(a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 也在函数f (x )=3x +b 的图象上,则f (log 32)=________.解析:∵函数y =log a (x +3)-1(a >0,a ≠1)的图象恒过定点A (-2,-1),将x =-2,y =-1代入f (x )=3x +b ,得3-2+b =-1,∴b =-109,∴f (x )=3x -109,则f (log 32)=3log 32-109=2-109=89.答案:895.若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x +6,x ≤2,3+log a x ,x >2(a >0,且a ≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是________.解析:当x ≤2时,y =-x +6≥4. 因为f (x )的值域为[4,+∞),所以当a >1时,3+log a x >3+log a 2≥4,所以log a 2≥1,所以1<a ≤2;当0<a <1时,3+log a x <3+log a 2,不合题意.故a ∈(1,2]. 答案:(1,2]6.(2018·镇江期末)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=1-log 2x ,则不等式f (x )<0的解集是________.解析:当x <0时,f (x )=-f (-x )=log 2(-x )-1,f (x )<0,即log 2(-x )-1<0,解得-2<x <0;当x >0时,f (x )=1-log 2x ,f (x )<0,即1-log 2x <0,解得x >2,综上,不等式f (x )<0的解集是(-2,0)∪(2,+∞).答案:(-2,0)∪(2,+∞) 二保高考,全练题型做到高考达标1.(2019·镇江中学调研)函数y =log 2x +log 2(4-x )的值域为________. 解析:由题意知,x >0且4-x >0,∴f (x )的定义域是(0,4). ∵函数f (x )=log 2x +log 2(4-x )=log 2[x (4-x )],∴0<x (4-x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x +4-x 22=4,当且仅当x =2时等号成立.∴log 2[x (4-x )]≤2,∴函数y =log 2x +log 2(4-x )的值域为(-∞,2]. 答案:(-∞,2]2.(2018·镇江中学学情调研)已知函数f (x )=lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-a 2x 的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞,则实数a 的值为________.解析:因为函数f (x )=lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-a 2x 的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞,所以当x >12时,1-a 2x >0,即a2x<1,所以a <2x,所以x >log 2a .令log 2a =12,得a =212=2,所以实数a 的值为 2. 答案: 23.若函数f (x )=lg(x 2-2ax +1+a )在区间(-∞,1]上递减,则a 的取值范围为________.解析:令函数g (x )=x 2-2ax +1+a =(x -a )2+1+a -a 2,对称轴为x =a ,要使函数在(-∞,1]上递减,则有⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0,a ≥1,即⎩⎪⎨⎪⎧2-a >0,a ≥1,解得1≤a <2,即a ∈[1,2).答案:[1,2)4.(2019·连云港模拟)已知函数f (x )=lg 1-x 1+x ,若f (a )=12,则f (-a )=________.解析:因为f (x )=lg 1-x1+x 的定义域为-1<x <1,所以f (-x )=lg 1+x 1-x =-lg 1-x1+x =-f (x ),所以f (x )为奇函数,所以f (-a )=-f (a )=-12.答案:-125.函数f (x )=4-|x |+lg x 2-5x +6x -3的定义域为__________.解析:由⎩⎪⎨⎪⎧4-|x |≥0,x 2-5x +6x -3>0,得⎩⎪⎨⎪⎧-4≤x ≤4,x >2且x ≠3,故函数定义域为(2,3)∪(3,4].答案:(2,3)∪(3,4]6.(2018·苏州调研)若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x +8,x ≤2,log a x +5,x >2(a >0,且a ≠1)的值域为[6,+∞),则实数a 的取值范围是________.解析:当x ≤2时,f (x )∈[6,+∞),所以当x >2时,f (x )的取值集合A ⊆[6,+∞).当0<a <1时,A =()-∞,log a 2+5,不符合题意;当a >1时,A =(log a 2+5,+∞),若A ⊆[6,+∞),则有log a 2+5≥6,解得1<a ≤2.答案:(1,2]7.函数f (x )=log 2x ·log2(2x )的最小值为______.解析:依题意得f (x )=12log 2x ·(2+2log 2x )=(log 2x )2+log 2x =⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x +122-14≥-14,当且仅当log 2x =-12,即x =22时等号成立,因此函数f (x )的最小值为-14.答案:-148.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,log 12-x ,x <0,若f (a )>f (-a ),则实数a 的取值范围是________________.解析:由f (a )>f (-a )得⎩⎪⎨⎪⎧a >0,log 2a >log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0,log 12-a >log 2-a ,即⎩⎪⎨⎪⎧a >0,log 2a >-log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0,-log 2-a >log 2-a .解得a >1或-1<a <0. 答案:(-1,0)∪(1,+∞)9.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,f (0)=0,当x >0时,f (x )=log 12x .(1)求函数f (x )的解析式; (2)解不等式f (x 2-1)>-2.解:(1)当x <0时,-x >0,则f (-x )=log 12(-x ).因为函数f (x )是偶函数,所以f (-x )=f (x ). 所以函数f (x )的解析式为f (x )=⎩⎨⎧log 12x ,x >0,0,x =0,log 12-x ,x <0. (2)因为f (4)=log 124=-2,f (x )是偶函数, 所以不等式f (x 2-1)>-2可化为f (|x 2-1|)>f (4).又因为函数f (x )在(0,+∞)上是减函数,所以|x 2-1|<4,解得-5<x <5,即不等式的解集为(-5,5).10.(2019·如东上学期第一次阶段检测)已知函数f (x )=log a (x +1)+log a (3-x )(a >0且a ≠1),且f (1)=2.(1)求a 的值及f (x )的定义域;(2)若不等式f (x )≤c 恒成立,求实数c 的取值范围.解:(1)因为f (1)=2,所以2log a 2=2,故a =2,所以f (x )=log 2(1+x )+log 2(3-x ),要使函数f (x )有意义,需有⎩⎪⎨⎪⎧ 1+x >0,3-x >0,解得-1<x <3,所以f (x )的定义域为(-1,3).(2)由(1)知,f (x )=log 2(1+x )+log 2(3-x )=log 2[(1+x )(3-x )]=log 2(-x 2+2x +3)=log 2[-(x -1)2+4],故当x =1时,f (x )有最大值2,所以c 的取值范围是[2,+∞).三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.(2019·南京五校联考)已知函数f (x )=x 2+e x -12(x <0)与g (x )=x 2+ln(x +a ),若函数f (x )图象上存在点P 与函数g (x )图象上的点Q 关于y 轴对称,则a 的取值范围是________.解析:设点P (x 0,y 0)(x 0<0),则点P 关于y 轴的对称点Q(-x 0,y 0)在函数g (x )的图象上,所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 0=x 20+e x 0-12,y 0=-x 02+ln -x 0+a ,消去y 0,可得x 20+e x 0-12=(-x 0)2+ln(-x 0+a ), 所以e x 0-12=ln(-x 0+a )(x 0<0). 令m (x )=e x -12(x <0),n (x )=ln(a -x )(x <0),问题转化为函数m (x )与函数n (x )的图象在x <0时有交点.在平面直角坐标系中分别作出函数m (x )与函数n (x )的图象如图所示.当n (x )=ln(a -x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12时,a = e. 由图可知,当a <e 时,函数m (x )与函数n (x )的图象在x <0时有交点.故a 的取值范围为(-∞,e).答案:(-∞,e)2.(2018·昆山测试)已知函数f (x )=lgkx -1x -1(k ∈R). (1)当k =0时,求函数f (x )的值域;(2)当k >0时,求函数f (x )的定义域;(3)若函数f (x )在区间[10,+∞)上是单调增函数,求实数k 的取值范围.解:(1)当k =0时,f (x )=lg 11-x,定义域为(-∞,1). 因为函数y =11-x(x <1)的值域为(0,+∞), 所以f (x )=lg 11-x的值域为R. (2)因为k >0,所以关于x 的不等式kx -1x -1>0⇔(x -1)(kx -1)>0⇔(x -1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1k >0.(*)①若0<k <1,则1k >1,不等式(*)的解为x <1或x >1k;②若k =1,则不等式(*)即(x -1)2>0,其解为x ≠1;③若k >1,则1k <1,不等式(*)的解为x <1k 或x >1.综上,当0<k ≤1时,函数f (x )的定义域为(-∞,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ,+∞;当k >1时,函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,1k ∪(1,+∞).(3)令g (x )=kx -1x -1,则f (x )=lg g (x ).因为函数f (x )在[10,+∞)上是单调增函数,且对数的底数10>1,所以当x ∈[10,+∞)时,g (x )>0,且函数g (x )在[10,+∞)上是单调增函数. 而g (x )=kx -1x -1=k x -1+k -1x -1=k +k -1x -1,若k -1≥0,则函数g (x )在[10,+∞)上不是单调增函数;若k -1<0,则函数g (x )在[10,+∞)上是单调增函数.所以k <1.①因为函数g (x )在[10,+∞)上是单调增函数,所以要使当x ∈[10,+∞)时,g (x )>0,必须g (10)>0,即10k -110-1>0,解得k >110.②综合①②知,实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫110,1.。
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课时跟踪检测(十) 对数与对数函数一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.(2015·徐州调研)函数y =log 232x -的定义域是________.解析:由log 23(2x -1)≥0⇒0<2x -1≤1⇒12<x ≤1.答案:⎝ ⎛⎦⎥⎤12,1 2.函数f (x )=log 12(x 2-4)的单调递增区间为________.解析:函数y =f (x )的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),因为函数y =f (x )是由y =log 12t 与t =g (x )=x 2-4复合而成,又y =log 12t 在(0,+∞)上单调递减,g (x )在(-∞,-2)上单调递减,所以函数y =f (x )在(-∞,-2)上单调递增.答案:(-∞,-2)3.(2016·南通模拟)已知a =log 23+log 23,b =log 29-log 23,c =log 32,则a ,b ,c 的大小关系是________.解析:因为a =log 23+log 23=log 233=32log 23>1,b =log 29-log 23=log 233=a ,c =log 32<log 33=1.答案:a =b >c4.(2015·安徽高考)lg 52+2lg 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫12-1=________.解析:lg 52+2lg 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫12-1=lg 5-lg 2+2lg 2-2=(lg 5+lg 2)-2=1-2=-1. 答案:-15.函数y =log 2|x +1|的单调递减区间为______,单调递增区间为______. 解析:作出函数y =log2x 的图象,将其关于y 轴对称得到函数y =log 2|x |的图象,再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y =log 2|x +1|的图象(如图所示).由图知,函数y =log 2|x +1|的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为(-1,+∞).答案:(-∞,-1) (-1,+∞)二保高考,全练题型做到高考达标1.函数f (x )=|x -2|-ln x 在定义域内零点的个数为________.解析:在同一坐标系中分别作函数y =|x -2|与y =ln x 的图象如图所示.由图可知y =|x -2|与y =ln x 有2个交点,所以函数f (x )零点的个数为2.答案:22.(2016·无锡五校联考)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,3-x+1,x ≤0,则f (f (1))+f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是________.解析:由题意可知f (1)=log 21=0,f (f (1))=f (0)=30+1=2,f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312=331-log 2+1=33log 2+1=2+1=3,所以f (f (1))+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312=5.答案:53.设a =log 323,b =log 525,c =log 727,则a ,b ,c 的大小关系为________.解析:因为log 323=log 32-1,log 525=log 52-1,log 727=log 72-1,log 32>log 52>log 72,故a >b >c .答案:a >b >c4.计算:log 2.56.25+lg 0.001+ln e +2-1+log 23=______. 解析:原式=log 2.5(2.5)2+lg 10-3+ln e 12+2log 232 =2-3+12+32=1.答案:15.若函数f (x )=log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+32x (a >0,a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞内恒有f (x )>0,则f (x )的单调递增区间为________.解析:令M =x 2+32x ,当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞时,M ∈(1,+∞),f (x )>0,所以a >1.所以函数y =log a M 为增函数,又M =⎝⎛⎭⎪⎫x +342-916,因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫-34,+∞.又x 2+32x >0,所以x >0或x <-32.所以函数f (x )的单调递增区间为(0,+∞).答案:(0,+∞)6.如图,矩形ABCD 的三个顶点A ,B ,C 分别在函数y =x ,y =x 12,y =⎝⎛⎭⎪⎫22x的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2,则点D 的坐标为________.解析:由条件得,点A 在函数y =log22x 的图象上,从而由2=x ,得x A =12.而点B 在函数y =x 12上,从而2=x 12,解得x B =4.于是点C 的横坐标为4.又点C 在函数y =⎝⎛⎭⎪⎫22x 上,从而y C =14,所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,14.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫12,147.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,3x,x ≤0,关于x 的方程f (x )+x -a =0有且只有一个实根,则实数a 的取值范围是______.解析:问题等价于函数y =f (x )与y =-x +a 的图象有且只有一个交点,结合函数图象可知a >1.答案:(1,+∞)8.(2016·苏州四市调研)函数f (x )=log 2x ·log 2(2x )的最小值为______.解析:依题意得f (x )=12log 2x ·(2+2log 2x )=(log 2x )2+log 2x =⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x +122-14≥-14,当且仅当log 2x =-12,即x =22时等号成立,因此函数f (x )的最小值为-14.答案:-149.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,f (0)=0,当x >0时,f (x )=log 12x .(1)求函数f (x )的解析式;(2)解不等式f (x 2-1)>-2.解:(1)当x <0时,-x >0,则f (-x )=log 12(-x ).因为函数f (x )是偶函数,所以f (-x )=f (x ). 所以函数f (x )的解析式为f (x )=⎩⎨⎧log 12x ,x >0,0,x =0,log 12-x ,x <0.(2)因为f (4)=log 124=-2,f (x )是偶函数, 所以不等式f (x 2-1)>-2可化为f (|x 2-1|)>f (4). 又因为函数f (x )在(0,+∞)上是减函数, 所以|x 2-1|<4,解得-5<x <5, 即不等式的解集为(-5,5).10.已知函数f (x )=log a (x +1)-log a (1-x ),(a >0且a ≠1). (1)求f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明; (3)当a >1时,求使f (x )>0的x 的解集. 解:(1)要使函数f (x )有意义.则⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,1-x >0,解得-1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为(-1,1). (2)证明:由(1)知f (x )的定义域为(-1,1), 且f (-x )=log a (-x +1)-log a (1+x ) =-[log a (x +1)-log a (1-x )]=-f (x ), 故f (x )为奇函数.(3)因为当a >1时,f (x )在定义域(-1,1)内是增函数,所以f (x )>0⇔x +11-x>1,解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是(0,1). 三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.已知函数f (x )=log a (2x -a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,23上恒有f (x )>0,则实数a 的取值范围是________.解析:当0<a <1时,函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,23上是减函数,所以log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43-a >0,即0<43-a <1,解得13<a <43,故13<a <1;当a >1时,函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,23上是增函数,所以log a (1-a )>0,即1-a >1,解得a <0,此时无解.综上所述,实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13,1. 答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫13,1 2.(2016·盐城中学月考)已知函数f (x )=log a 1-xb +x (0<a <1)为奇函数,当x ∈(-1,a ]时,函数f (x )的值域是(-∞,1],则a +b 的值为________.解析:由1-xb +x >0,解得-b <x <1(b >0).又奇函数定义域关于原点对称,故b =1.所以f (x )=log a 1-x 1+x (0<a <1).又g (x )=1-x x +1=-1+2x +1在(-1,a ]上单调递减,0<a <1,所以f (x )在(-1,a ]上单调递增.又因为函数f (x )的值域是(-∞,1],故f (a )=1,此时g (a )=a ,即1-a a +1=a ,解得a =2-1(负根舍去),所以a +b = 2. 答案: 23.已知函数f (x )=3-2log 2x ,g (x )=log 2x .(1)当x ∈[1,4]时,求函数h (x )=[f (x )+1]·g (x )的值域;(2)如果对任意的x ∈[1,4],不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立,求实数k 的取值范围.解:(1)h (x )=(4-2log 2x )·log 2x =-2(log 2x -1)2+2, 因为x ∈[1,4],所以log 2x ∈[0,2], 故函数h (x )的值域为[0,2]. (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x ), 得(3-4log 2x )(3-log 2x )>k ·log 2x ,令t =log 2x ,因为x ∈[1,4],所以t =log 2x ∈[0,2], 所以(3-4t )(3-t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立, ①当t =0时,k ∈R ;②当t ∈(0,2]时,k <-4t3-tt恒成立,即k <4t +9t-15,因为4t +9t ≥12,当且仅当4t =9t ,即t =32时取等号,所以4t +9t-15的最小值为-3.综上,实数k 的取值范围为(-∞,-3).。