实数单元复习
实数(单元复习)标准教案
实数(单元复习)标准教案一、教学目标：1. 理解实数的定义及分类，掌握有理数和无理数的特点。
2. 掌握实数的运算规则，包括加、减、乘、除、乘方和开方等。
3. 能够运用实数解决实际问题，提高运用数学知识解决问题的能力。
二、教学内容：1. 实数的定义及分类2. 有理数和无理数的特点3. 实数的运算规则4. 实数在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：实数的定义及分类，实数的运算规则，实数在实际问题中的应用。
2. 教学难点：实数的运算规则，特别是乘方和开方运算。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解实数的定义、分类和运算规则。
2. 运用案例分析法，分析实数在实际问题中的应用。
3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的合作意识。
4. 利用信息技术手段，如PPT、网络资源等，辅助教学。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾实数的定义及分类，引导学生思考实数在生活中的应用。
2. 讲解实数的运算规则，通过例题展示运算过程，让学生熟练掌握。
3. 开展小组讨论：让学生运用实数解决实际问题，分享解题心得。
4. 总结课堂内容：回顾本节课所学，强调实数的重要性。
5. 布置作业：设计适量作业，巩固课堂所学。
6. 课后反思：根据学生作业完成情况，总结教学效果，调整教学策略。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 作业评价：检查学生作业的完成质量，评估学生对实数运算规则的掌握程度。
3. 测试评价：组织单元测试，评估学生对实数知识的整体掌握情况。
七、教学资源：1. 教材：实数相关章节教材，用于引导学生学习。
2. PPT：制作精美PPT，辅助讲解实数概念和运算规则。
3. 网络资源：收集相关实数应用案例，供学生课后拓展学习。
4. 练习题库：准备各类实数练习题，巩固学生所学知识。
八、教学进度安排：1. 第1-2课时：讲解实数的定义及分类。
2. 第3-4课时：讲解实数的运算规则。
实数(全章复习与巩固)(基础篇)-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题6.11 实数（全章复习与巩固）（基础篇）（专项练习）一、单选题1．4的算术平方根是（ ） A ．2±B ．2C ．2D 22．下列实数是无理数的是（ ） A 327-B ．13C ．3.14159D 63．下列说法不正确的是（ ） A ．0的平方根是0 B ．一个负数的立方根是一个负数 C ．﹣8的立方根是﹣2D ．8的算术平方根是24．若3m x y -和35n x y 的和是单项式，则()3m n +的平方根是（ ） A ．8B ．8-C ．4±D ．8±5．估计463 ） A ．3与4之间B ．4与5之间C ．5与6之间D ．6与7之间6．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x 为64时，输出的y 是（ ）A ．22B ．32C ．23D ．87．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（ ）A ．22-2B ．2+2C ．2D ．28．若320a =10b =3c =，则a b c 、、的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c<a<bD ．c b a <<9．若a 、b 为实数，则下列说法正确的是（ ）A aB ．有理数与无理数的积一定是无理数C ．若a 、b 均为无理数，则a b +一定为无理数D ．若a 为无理数，且()()220a b ++=，则2b =-10．下面是李华同学做的练习题，他最后的得分是（ ）姓名 李华 得分______填空题（评分标准，每道题5分） （1）16的平方根是4±（2）立方根等于它本身的数有0和1（3）38-的相反数是2（4）3=3--ππA ．5分B ．10分C ．15分D ．20分二、填空题11．16的平方根是___________． 12．计算327________．1321的相反数是__________，3.14π-=____________ 14．若实数a 、b 满足：2a b +，32a b．则()()a b a b +-的值是_____________．15．四个实数2-，023中，最小的实数是______． 16．实数a 在数轴上的位置如图，则|3a =_________．171032（填“＞”，“＜”或“=”）18．找规律填空：02，262103…，______（第n 个数）．三、解答题19．求下列各式中的x ： (1) 2481x =(2) ()3227x +=-20．计算(1) 20223113274-+-(2) 223(3)(3)1664---21．已知：9的平方根是3和5x +，y 13 (1) 求x y +的值；(2) 求22x y +的算术平方根．22．如图，长方形ABCD 的长为2cm ，宽为1cm ．（1）将长方形ABCD 进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据）（2）求所拼正方形的边长．23．【观察】请你观察下列式子． 第111．第2132+=． 第31353++． 第413574+++=． 第5135795++++． 【发现】根据你的阅读回答下列问题： (1) 写出第7个等式 ．(2) 135(21)n +++++＝ ．(3) 利用（241220284452++++++24．阅读材料，完成下列任务：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π2等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．材料一：479<273<<， ∵1712<． 71的整数部分为1． 7172．材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．我们知道面积是2221>21x =+，可画出如图示意图．由图中面积计算，2211S x x =+⨯⋅+正方形，另一方面由题意知2S =正方形，所以22112x x +⨯⋅+=．略去2x ，得方程212x +=，解得0.5x =2 1.5． 解决问题：(1) 85(2) 5（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）参考答案1．C【分析】根据平方与开平方互为逆运算，可得一个正数的算术平方根． 解：∵22＝4， ∵4的算术平方根是2；故选：C ．【点拨】本题考查了求一个数的算术平方根，平方与开平方互为逆运算是求一个正数的算术平方根的关键．2．D【分析】无理数即为无限不循环小数，初中阶段接触的无理数的表现形式主要有：∵开方开不尽的数；∵含有π的数；∵0.010010001...（每两个1之间依次多个0）这样的数；据此解答即可．解：A 3273--，属于整数，不是无理数，不符合题意； B 、13为分数，不是无理数，不符合题意；C 、3.14159为有限小数，不是无理数，不符合题意；D 6 故选：D ．【点拨】本题考查了无理数的定义以及求一个数的立方根，熟练掌握初中阶段无理数的主要表现形式是解本题的关键．3．D【分析】直接利用算术平方根、平方根、立方根的定义分析得出答案． 解：A 、0的平方根是0，原说法正确，故此选项不符合题意；B 、一个负数的立方根是一个负数，原说法正确，故此选项不符合题意；C 、﹣8的立方根是﹣2，原说法正确，故此选项不符合题意；D 、8的算术平方根是2 故选：D ．【点拨】此题主要考查了算术平方根、平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的定义是解题的关键．4．D【分析】根据题意可得3m x y -和35n x y 是同类项，从而得到3,1m n ==，再代入，即可求解．解：∵3m x y -和35n x y 的和是单项式， ∵3m x y -和35n x y 是同类项，∵3,1m n ==，∵()()333164m n +=+=， ∵()3m n +的平方根是8±． 故选：D ．【点拨】本题主要考查了合并同类项，求一个数的平方根，熟练掌握根据题意得到3m x y -和35n x y 是同类项是解题的关键．5．C【分析】先把46332“夹逼法”即可求解． 解：463232== ∵253236＜＜， ∵5326＜＜， 故选：C【点拨】本题考查了无理数的估值问题，“夹逼法”的应用是解题的关键． 6．A解：由题中所给的程序可知：把64取算术平方根，结果为8， ∵8是有理数， ∵8 ∵y 82 故选A ． 7．A2，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算．解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2， ∵2，2，∵阴影部分的面积(22224222=⨯--=． 故选A ．【点拨】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长.8．C10320的值的范围，再进行比较即可得出答案． 解：82027<<， 32203∴<<，3104<<，320310<故选：A ．【点拨】本题考查了实数大小比较，估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．9．D【分析】A a B 、有理数与无理数的积不一定是无理数，举例说明； C 、a 、b 均为无理数，a b +不一定还是无理数，举例说明；D 、利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0求出b 的值，即可做出判断． 解：A a 42=，错误；B 、有理数与无理数的积不一定是无理数，例如：020，错误；C 、a 、b 均为无理数，a b +不一定还是无理数，，例如：220-=，错误；D 、若a 为无理数，且()()220a b ++=，得到20a +≠，20b +=，解得：2b =-，正确，故选：D ．【点拨】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．B【分析】直接利用平方根、立方根、绝对值、相反数的性质分别判断得出答案． 解：（1164=的平方根是2±，故此选项错误；（2）立方根等于它本身的数有0和1、 1-，故此选项错误；（3382--的相反数是2，故此选项正确；（4）()3=3=3----πππ，故此选项正确． 李华最后得分为10分， 故选：B ．【点拨】此题主要考查了实数的性质，绝对值的性质，平方根和立方根概念，正确化简各数是解题关键．11．4±【分析】根据平方根的定义即可求解． 解：即：16的平方根是16=4± 故填：4±【点拨】此题主要考查平方根，解题的关键是熟知平方根的定义． 12．-3【分析】根据立方根的性质计算即可． 解：327--3， 故答案为：-3．【点拨】本题考查了立方根的性质，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0，熟记立方根的性质是解题的关键．13． 12- 3.14π-【分析】根据相反数的定义及去绝对值符合号法则，即可求得． 21的相反数是)2112-=>3.14π，3.14<0π∴-，()3.14 3.14 3.14πππ∴-=--=-，故答案为：12 3.14π-．【点拨】本题考查了相反数的定义及去绝对值符合号法则，掌握和灵活运用相反数的定义及去绝对值符合号法则是解决本题的关键．14．32【分析】根据算术平方根和立方根的性质得到a +b =4，a －b =8，进而直接代入求解即可．解：∵实数a 、b 2a b +=32a b ，∵a +b =4，a －b =8， ∵()()a b a b +-=4×8=32， 故答案为：32．【点拨】本题考查了算式平方根、立方根、代数式求值，理解算式平方根和立方根的性质是解答的关键．15．-2【分析】根据实数大小比较的方法解答即可． 解：∵2-2<3， ∵最小的实数是-2 故答案为：-2．【点拨】本题考查了实数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．163a【分析】根据数轴上点的位置判断出3a 利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．解：∵a ＜0，∵30a ＜，则原式3a ， 3a 17．>103>，进而即可求解． 解：∵109>， 103>， 1032>， 故答案为：>．10 18()21n -【分析】除第一个数外，其他数变成二次根式后，根号下面的数都是2的倍数，第二个数为2的1倍，第三个数为2的2倍，依此类推，第n 个数为2的()1n -倍，从而得出答案．解：由题意得：由题意得： 第一项：00200==⨯=； 2212⨯ 第三项：24224=⨯= 6236=⨯……第n ()()2121n n ⨯-=-()21n -【点拨】本题考查了算术平方根，解题的关键是发现题目中数据的变化规律，要熟练掌握．19．(1)92x =± (2)5x =-【分析】（1）利用平方根解方程即可；（2）利用立方根解方程．（1）解：2481x =，∵2814x =， ∵81942x =±=±； （2）解：()3227x +=-，∵3227x +=-23x，解得：5x =-．【点拨】本题考查开方法解方程．熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键． 20．33 (2)8-【分析】（1）先计算乘方与开方，并去绝对值符号，再计算加减即可．（2）先计算开方与乘方，再计算加减即可．（1）解：原式13132=-+++33；（2）解：原式3344=---8=-．【点拨】本题考查实数的混合运算，求绝对值，平方根和立方根，熟练掌握实数运算法则是解题的关键．21．(1)5- 73【分析】（1）先根据平方根的意义可得350x ++=，从而求出x 的值，13值的范围，从而求出y 的值，然后代入式子中进行计算即可解答；（2）把x ，y 的值代入式子中求出22xy +的值，然后再利用算术平方根的意义，进行计算即可解答．（1）解：9的平方根是3和5x +， 350x ∴++=，解得：8x =-，91316<<，3134∴<<，y 133y ∴=，835x y ∴+=-+=-，x y ∴+的值为5-；（2）当8x =-，3y =时，2222(8)364973x y +=-+=+=，22x y ∴+73【点拨】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．22．（1）分割方法不唯一，如图，见分析；（22cm .【分析】（1）根据AB=2AD ，可找到CD 的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全成一个新的正方形；（2）设拼成的正方形边长为cm x ，根据面积相等得到方程，即可求解．解：（1）如图，∵AB=2AD ，找到CD,AB 的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方形；（2）设拼成的正方形边长为cm x ，根据题意得2122x =⨯=，∵2x2cm ．【点拨】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割． 23．135791113++++++7 (2)n +1(3)14 【分析】（1）根据规律直接写出式子即可；（2135(21)n +++++n +1个式子，根据规律即可得； （3）41220283644524(1357891113)+++++++++++++利用规律即可得．（1）解：根据材料可知，第七个式子的被开方数为1+3+5+7+9+11+13， ∵第7135711137+++++，135711137+++++=； （2(21)1135(21)12n n n +++++++=+，故答案为：1n +；（3）解：根据（2）中的规律知， 11341220283644524(1357891113)4142++++++++++++++=． 【点拨】本题考查了数字变化规律类，解题的关键是掌握是式子的规律．24．859 (2)2.25【分析】（1）根据材料一中的方法求解即可；（2）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可．（1）解：8185100<98510<<，859． 85859．（2）解：我们知道面积是5552>，52x =+，可画出如图示意图．由图中面积计算，2224S x x =+⨯+正方形，另一方面由题意知5S =正方形，所以2445x x ++=．略去2x ，得方程410x -=，解得0.25x =5 2.25．【点拨】本题考查了无理数的估算，解题关键是准确理解题目给出的方法，熟练进行计算．。
人教版七年级数学下册第六章《 实数》单元同步复习题及答案
第六章《实数》单元同步检测试卷一．选择题（共10小题）1．下列各数3.14，，0.，，2.131 331 333 1…（相邻两个1之间3的个数逐次多1），，，其中无理数的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．在如图所示的数轴上表示﹣2的点在（）A．点A和点B之间B．点B和点C之间C．点C和点D之间D．点D和点E之间3．若a＝，b＝﹣|﹣|，c＝，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a4．当式子的值取最小值时，a的取值为（）A．0B．C．﹣1D．15．有一个数值转换器，流程如下：当输入x的值为64时，输出y的值是（）A．2B．C．D．6．已知，则的平方根为（）A．1B．C．±1D．7．，，则1720的平方根为（）A．13.11B．±13.11C．41.47D．±41.478．下列说法：①＝﹣10；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③﹣3是的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个9．若把﹣写成整数a与正的纯小数x的和，那么整数a的值为（）A．﹣3B．﹣4C．﹣5D．﹣610．如图，O为原点，实数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C，则下列结论正确的是（）A．ac＜bc B．c2＜ac C．b2＜bc D．ab＜bc二．填空题（共5小题）11．若一个数x的平方根是m﹣3和m﹣7，那么这个数x是．12．已知2x+1的平方根是±3，则﹣5x﹣7的立方根是．13．若k＜＜k+1（k是整数），则k＝．14．当x取时，代数式2﹣取值最大，并求出这个最大值．15．小亮求的近似值，下面是他的草稿纸上的部分内容：3.52＝12.25，3.82＝14.44，3.92＝15.21，3.852＝14.8225，3.872＝14.9769，3.882＝15.0544，3.8752＝15.015625依据以上数据，可以得到的近似值（精确到0.01）是．三．解答题（共6小题）16．把下列各数填在相应的大括号中3.1415926，8，，0.275，0，﹣，﹣6，π，﹣0.25，﹣|﹣2|，2.5353353335…分数：{…}非负整数：{…}无理数：{…}．17．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求7a﹣2b﹣2c的平方根．18．（1）若x，y为实数，且x＝+4，求（x﹣y）2的平方根；（2）已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．19．阅读理解∵＜＜，即2＜＜3．∴1＜﹣1＜2∴﹣1的整数部分为1．∴﹣1的小数部分为﹣2．解决问题：已知a是﹣3的整数部分，b是﹣3的小数部分，求（﹣a）3+（b+4）2的平方根．20．定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以，是无理数．可以这样证明：设与b是互质的两个整数，且b≠0．则a2＝2b2因为b是整数且不为0，所以，a是不为0的偶数，设a＝2n，（n是整数），所以b2＝2n2，所以b也是偶数，与a，b是互质的正整数矛盾．所以，是无理数．仔细阅读上文，然后，请证明：是无理数．21．阅读下面的文字，解答问题大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：＜＜，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）请解答：（1）的整数部分是，小数部分是．（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求|a﹣b|+的值．（3）已知：9+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．参考答案一．选择题（共10小题）1．B．2．C．3．D．4．B．5．C．6．C．7．D．8．C．9．C．10．A．二．填空题（共5小题）11．412．﹣3．13．9．14．5，2．15．3.87．三．解答题（共6小题）16．解：分数：{3.1415926，，0.275，﹣，﹣0.25}；非负整数：{8，9，0}；无理数：{π，2.5353353335…}，故答案为：3.1415926，，0.275，﹣，﹣0.25；8，9，0，；π，2.5353353335…，17．解：∵2a﹣1的算术平方根是3，∴2a﹣1＝9，∴a＝5，∵3a+b﹣9的立方根是2，∴3a+b﹣9＝8，∴b＝2，∵c是的整数部分，，∴c＝3，∴7a﹣2b﹣2c＝35﹣4﹣6＝25，∴7a﹣2b﹣2c的平方根是±5．18．解：（1）由题意得：，解得y＝3，∴x＝4，∴（x﹣y）2＝1，∴（x﹣y）2的平方根是±1．（2）由x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，得x﹣2＝4，2x+y+7＝27，解得x＝6，y＝8．∴x2+y2＝100，∴x2+y2的算术平方根是10．19．解：∵＜＜，∴4＜＜5，∴1＜﹣3＜2，∴a＝1，b＝﹣4，∴（﹣a）3+（b+4）2＝（﹣1）3+（﹣4+4）2＝﹣1+17＝16，∴（﹣a）3+（b+4）2的平方根是：±4．20．解：设与b是互质的两个整数，且b≠0．则，a2＝5b2，因为b是整数且不为0，所以a不为0且为5的倍数，设a＝5n，（n是整数），所以b2＝5n2，所以b也为5的倍数，与a，b是互质的正整数矛盾．所以是无理数．21．解：（1）∵，∴的整数部分是7，小数部分是﹣7．故答案为：7；﹣7．（2）∵，∴，∵，∴b＝2，∴|a﹣b|+＝＝＝5．（3）∵，∴11＜9+＜12，∵9+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x＝11，y＝＝，∴x﹣y＝＝，∴x﹣y的相反数是：．。
实数(单元复习)标准教案
实数(单元复习)标准教案第一章：实数的概念与分类1.1 实数的定义与性质理解实数的定义：实数是包括有理数和无理数的所有数。
掌握实数的性质：实数具有加法、减法、乘法、除法等运算性质，以及相反数、绝对值等概念。
1.2 实数的分类掌握有理数：整数和分数的统称，包括正整数、负整数、正分数、负分数。
理解无理数：不能表示为两个整数比的数，如π和√2等。
第二章：实数的运算2.1 实数的加减法掌握加减法的运算规则：同号相加减去绝对值，异号相加减去绝对值较大的数。
能够熟练进行实数的加减法运算。
2.2 实数的乘除法掌握乘除法的运算规则：同号相乘除为正，异号相乘除为负。
能够熟练进行实数的乘除法运算。
第三章：实数的倒数与绝对值3.1 实数的倒数理解倒数的概念：一个数的倒数是1除以该数。
能够求出一个实数的倒数。
3.2 实数的绝对值理解绝对值的概念：一个数的绝对值是该数到原点的距离。
能够求出一个实数的绝对值。
第四章：实数的大小比较4.1 实数的大小比较法则掌握实数的大小比较法则：正实数大于负实数，负实数大于正实数，两个正实数比较大小按数值大小比较。
能够判断两个实数的大小关系。
4.2 实数的排序理解实数排序的方法：按数值大小进行排序。
能够对给定的实数进行排序。
第五章：实数的应用5.1 实数在几何中的应用理解实数在几何中的应用：坐标系中点的坐标表示。
能够利用实数表示几何图形中的点、线、面等。
5.2 实数在生活中的应用理解实数在生活中中的应用：长度、面积、体积等量的表示。
能够运用实数解决实际问题。
第六章：实数的乘方与开方6.1 实数的乘方理解乘方的概念：一个数的乘方是该数自乘的结果。
能够计算实数的乘方。
6.2 实数的开方理解开方的概念：一个数的开方是该数的平方根。
能够计算实数的开方。
第七章：实数与代数式的运算7.1 实数与代数式的加减法掌握实数与代数式加减法的运算规则：同类项相加减，不同类项不能直接相加减。
能够熟练进行实数与代数式的加减法运算。
实数(单元复习)标准教案
实数(单元复习)标准教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解实数的定义及分类，掌握有理数和无理数的特点。
（2）掌握实数的性质，如相反数、绝对值、平方等。
（3）学会实数的运算方法，包括加、减、乘、除、乘方等。
2. 过程与方法：（1）通过复习实数的定义和性质，提高学生的逻辑思维能力。
（2）运用实数运算方法，培养学生解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）实数的定义及分类。
（2）实数的性质和运算方法。
2. 教学难点：（1）实数分类的理解和运用。
（2）实数运算的灵活应用。
三、教学过程：1. 导入新课：回顾实数的定义，引导学生思考实数的分类和性质。
2. 知识讲解：（1）讲解实数的分类，包括有理数和无理数。
（2）阐述实数的性质，如相反数、绝对值、平方等。
（3）介绍实数的运算方法，如加、减、乘、除、乘方等。
3. 例题解析：选取典型例题，讲解实数的运算方法和应用。
4. 课堂练习：设计练习题，让学生巩固实数的分类、性质和运算方法。
5. 总结提升：对本节课的内容进行总结，强调实数在数学中的重要性。
四、课后作业：1. 复习实数的定义、分类和性质。
2. 练习实数的运算方法，解决实际问题。
3. 总结实数在实际生活中的应用。
五、教学评价：1. 学生对实数的定义、分类和性质的掌握程度。
2. 学生实数运算方法的运用能力。
3. 学生解决实际问题的能力。
4. 学生对数学学科的兴趣和积极性。
六、教学策略与方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究实数的性质和运算方法。
2. 通过小组讨论，培养学生合作学习的能力。
3. 利用信息技术辅助教学，如数学软件、网络资源等。
4. 设计富有挑战性的数学问题，激发学生的创新思维。
七、教学实践与拓展：1. 结合实际生活中的问题，让学生运用实数知识和方法解决问题。
2. 开展数学竞赛，提高学生的学习积极性。
第3章实数复习
算术平方根的隐含条件应用
（ 1） 若 1 3a | 8b 3 | 0 ,求 3 ab的值
（ 2） 若y
x 2 2 x 3, 求y x的平方根
(3)求 a 4 9 2a a 2的值
(4)已知| 2004- a | a 2005 a，求a 20042的值
2
112 121 2 12 144 132 169 2 14 196 152 225
162 256 2 17 289 182 324 192 361 2 20 400 252 625
121 11 144 12 169 13 196 14 225 15 256 16 289 17 324 18 361 19 400 Biblioteka 0 625 25二.识记
1 1 23 8
3
（立方根）
3 27
3
4 64 3 5 125
3
1 1 3 82 3 27 3 3 64 4
3
63 216
7 3 343 83 512 93 729 103 1000
3 3
216 6
3
125 5
343 7 3 512 8 3 729 9 3 1000 10
已知 128x 是一个正整数，求最小正整数x的值.
2 x 5.设x、y为有理数，且满足等式 2 y y 2 17 4 2，
3
求x+y的值
7.2121121112… (两个“2”之间依次多一个1)
(1)
(2)
9 3
×
× ×
第3章 《实数》复习训练卷(含答案)
第3章 《实数》复习训练卷一、选择题。
1．下列实数：227，3.14159265，-80.6，03π无理数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②实数分为正实数和负实数：③立方根等于它本身的数是±1和0；④无理数都是无限小数；⑤平方根等于本身的数是1和0．正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．27(7)0y z ++-=，则x y z -+的平方根为（ ）A ．±2B ．4C ．2D ．±44．若一个正数的两个平方根为1a +和27a -，则这个正数是（ ）A ．2B ．3C ．8D ．9 5．有下列说法：（1）﹣3（2）7是（﹣7）2的算术平方根；（3）27的立方根是±3；（4）1的平方根是±1；（5）0没有算术平方根．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．2020年3月14日，是全球首个“国际圆周率日（πDay ）”．国际圆周率日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的中国古代科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下关于“圆周率”的四个命题，错误的是（ ）A ．圆周率是一个大于3而小于4的无理数B ．圆周率是一个近似数C ．圆周率是一个与圆的大小无关的常数D ．圆周率等于该圆的周长与直径的比值7．依据图中呈现的运算关系，可知m n +=（ ）．A ．-4040B ．4040C ．-2020D ．202081的结果是介于下列哪两个数之间（ ）A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间9．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x 为64时，输出的y 是（ ）A ．22B ．2C ．2D ．±210．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①，卡片的长为a ，宽为b ）不重叠地放在一个底面为长方形宽为4）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）A ．B ．16C ．)24D ．)44二、填空题。
实数单元复习
第十二章实数单元复习(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第十二章实数《实数》单元复习上海市甘泉外国语中学 孙振飞（一）实数分类例1（1）下列说法正确有 ．（填序号）①无限小数都是无理数；②带根号的数是无理数；③有理数都是有限小数；④实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和与积都是无理数；⑥有理数与无理数分别平方后不可能相同．（2）把下列各数填入相应的集合内：－7，，31，•413. ，0，8，21，39，0．0…，－2π． ①有理数集合: { …}；②无理数集合: { …}； ③正实数集合: { …}；④非正整数集合: { …}．分析：有理数和无理数统称为实数，实数也可以按正负性分为正实数、零和负实数；无理数是无限=（0． 第（1）问答案为④、⑥．第（2）问①－7，，31，•413. ，0；②8，21，39，…，－2π；③，31，•413. ，8，21，39，0．0…；④－7，0．（二）相反数、绝对值、实数大小比较例2（1）35-的相反数是 ，它的绝对值是 ．（2）设10a =-，136b =-，那么a 、b 的大小关系是 ．分析：数a 的相反数为—a ，一个式子的相反数就是将其每一项均改变符号；正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是0．第（1）问答案分别为5+3-、35-．比较两个实数的大小方法较多：近似值法、数轴法、差值法、平方法等等，第（2）题可以采用平方法，(－10)2＝10，(－316)2＝3611=103636，故－10>－316，即a >b ． （三）实数与数轴上点的对应关系例3（1）所有和数轴上的点一一对应的数组成 ……………………………… （ ） A ．整数 B ．有理数 C ．无理数 D ．实数（2）①请将图1数轴上各点与下列实数对应起来：3，2、－、5、π；②求A 、B 两点之间的距离．分析：实数与数轴上的点具有一一对应的关系：任何一个实数均可以在数轴上找到它的位置，反过来，数轴上任何一个点均代表一个实数．故第（1）问选D ．第（2）问的①依据各数的正负性以及2、5、π这三个无理数的近似值，较容易确定出点A 、B 、C 、D 、E 表示的数分别为－、2、5、3、π；第②问是求数轴上两点之间的距离，应该用右边点表示的数减去左边点表示的数，得AB ＝2＋．（四）平方根、立方根概念例4（1）数64的立方根是 ，平方根是 ，算术平方根是 ． （2）平方根等于它的本身的数是 ． （3）算术平方根等于它的本身的数是 ． （4）立方根等于它的本身的数是 ．（5）32的五次方根是 ，64的六次方根是 ．分析：一个正数有两个互为相反数的平方根，其正的平方根也叫算术平方根，负数没有平方根；而一个数的立方根只有一个，其正负性与原数的正负性是一致的；奇数次方根与立方根类似，偶数次方根与平方根类似；0的任何方根均为0．答案如下：（1）4，8±，8；（2）0；（3）0和1；（4）0和1±；（5）2，2±．（五）分数指数幂、科学计数法、近似数例5（1）-21（-）4＝ ，325表示成幂的形式是_____________，2136-＝ ．（2）近似数×105有 个有效数字，精确到 位． （3）计算：()6133412⨯ ．图1（4）利用幂的运算性质计算633326⨯÷（结果写成幂的形式）． 分析：第（1）问，a －p ＝11()pp a a=(p 是正整数)，即负整数指数幂运算结果为其正整数幂的倒数，具体计算时可依据“底倒指反”来处理，如-21（-）4＝2（-4）＝16nma 可知，325写成幂的形式为235，2136-＝1211()366==．有效数字是指从该数左边第一个不为零的数字开始数，有几个数（包括后面的0）就有几个有效数字，故第（2）题有三个有效数字，而精确度的确定还受到系数后面所乘的10的幂的制约，本题中数字9表示的是十万位，故系数中的数字0表示千位．第（3）题是幂的运算性质的具体运用：m n m n a a a +⋅=、()m n mn a a =、()m m m ab a b =⋅；第（4）题则要先将方根转化为分数指数幂，然后再用幂的性质进行计算．第（3）题，解：()6133412⨯＝()11133626484848⨯====．第（4）题，解：633326⨯÷＝1111111133636362623(62)333+÷⨯=÷⨯==．（六）实数计算例6计算：（1）233431000125⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+；（2）()23119271+⎪⎭⎫ ⎝⎛--；（3）0． 01）； （4）043323112116)5.0()2(278⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷-+--⎪⎭⎫⎝⎛-．分析：实数的计算首先是要准确掌握基本的运算法则和性质，其次要按照运算由高级到低级的顺序进行先后计算，当然可以运用运算律改变运算顺序以达到简便计算的效果，另外，还要注意题目结果精确度的要求．解：（1）原式＝5－10＋34＝－144；（24==；（3）原式≈2×＋÷2－10×＝2．828＋1．118－2＝≈；（4）原式＝228813--÷+＝23－2－1＋1＝－113．三、同步练习1．下列实数21-, π , 4 , 31 , 5中是无理数的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列说法：（1）无理数一定是无限小数；（2）带根号的数一定是无理数；（3）无限小数是无理数；（4）不带根号的数是有理数．其中正确的说法的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 3．下列说法不正确．．．的是（ ） A ．－1的立方根是－1； B ．－1的立方是－1； C ．－1是1的平方根； D ．－1的平方根是－1．4．下列式子中正确的是（ ）A ．3322-=-B ．24-=-C ．()222-=- D ．24±=5．=524332_____________，把3415写成幂的形式为 ．6．近似数是精确到 位，近似数万是精确到 位．7．近似数×105有 个有效数字，数363559精确到百位是 ． 8．10-π的相反数为 ，绝对值为 ． 9．比较下列各组数的大小:1.0 ， －7 －34．（用“＞”、“﹤”、“＝”）10．已知30.5390.8138=，353.9 3.777=，753.139.53=，则=353900 ，=3000539.0 ．11．估算192+的值是在（ ）A ．5和6之间B ．6和7之间C ．7和8之间D ．8和9之间12．某老师在讲实数这一节时，画了如图2所示的图形，即以数轴单位长，作为边作一个正方形，再以O 为圆心，以正方形的对角线长为半径作弧与数轴交于两点A 、B ．（1）A 、B 表示数 ；（2）作这样图说明： ．13．在数轴上表示－2的点与表示10-点之间的距离为 ． 14．计算：（1）)32332(321--； （2） 2(23)-； （3）2)23(-； （4）233170.12531168⎛⎫-+- ⎪⎝⎭；（5）14503110.+-+π（保留三个有效数字）； （6）3212121213255--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷+⨯(结果可用幂的形式表示)．图2四、能力渗透1．若423x -=，则x ＝ ．分析：由3x =，易知x 有两个值，为3±，对于本题，要将4－2x 看成整体，得4－2x ＝3或－3，解得x ＝432-或432+． 2．若26的整数部分为a ，小数部分为b ，则a －b ＝ ．分析：由5﹤26﹤6，可知a ＝5，则b ＝26－5，a －b ＝5－（26－5）＝10－26．3．一个正数x 的平方根是32-a 与a -5，求x 的值．分析：正数有两个平方根，它们互为相反数，所以32-a ＋a -5＝0，解得a ＝－2，即平方根为7±，从而x ＝49．4．已知()023132=-++y x ，求－18 xy 的平方根．分析：()231x +与32y -均为非负数，而它们的和又为0，故每个数只能为0，即3x ＋1＝0，3－2y ＝0，得x ＝－13，y ＝32，－18 xy ＝－18×（－13）×32＝9，其平方根为3±．5．已知x 、y 都是实数，且422+-+-=x x y ，求y x 的平方根．分析：由a 的非负性可得2020x x -≥⎧⎨-≥⎩，可知x ＝2，得y ＝4，结果为4±．6．如图3，数轴上表示1、2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数是（ ）．A ．2－1B ．1－2C ．2－2D ．2－2分析：因为点B 关于点A 的对称点为C ，所以AC ＝AB ，设点A 表示的数为x ，则1－x＝2－1，得x ＝2－2，选C ．7．如图4，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4、2，求阴影部分的面积．分析：本题需将阴影部分的两个长方形通过平移拼成一个大的长方形，其一边长等于小正方形的边长2，与之相邻的边长为大正方形的边长与小正方形边长之差，即2－2，所以面积为2（2－2）＝22－2．五、错误辨析图4图31．实数13，24，6π中，分数的个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3分析：对分数是有理数的实质没有准确理解，只看一个数的形式，误选为D ．其实24，6π均为无理数，正确答案为B ． 2．若25)12(2=+x ，则x ＝ ．分析：不少同学受思维定势的影响，得2x ＋1＝5，造成漏解的现象．正确解法是2x ＋1＝5±，x ＝2或－3．3．16的平方根是 ．分析：误认为求16的平方根，错解为4±．正确处理应分为两步：第一步求得16＝4，第二步是求4的平方根，结果为2±．4．下列说法中，错误的是（ ）A ．2的平方根是2±B ．2是2的平方根C ．2-是2的一个平方根D ．2的平方根是2分析：搞不清平方根的定义与性质，感觉四个答案均正确，A 、D 判断的依据是平方根的性质，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，故D 是错误的，应选D ；而B 、C 判断的依据则是平方根的定义，(2)2与(－2)2均为2，所以2和2-均是2的平方根，B 、C 都是正确的．5．=-π3 ．分析：本题常出现三类错误：一是3π-误认为是正数，结果错得3π-；二是在改相反数时，变号不彻底，错得－3π-；三是有部分同学对π取近似值进行计算，得出近似结果为．正确答案为π－3．6．13－（－8）＝ ． 分析：不少同学误认为“负负得正”，错解为2或12．正确答案为－12． 六、生活与数学1．要使人造地球卫星绕地球运转，必须使它的速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度，第一宇宙速度的计算公式为)/(1s m gR v =，第二宇宙速度的计算公式为22(/)v gR m s =，66.410R m =⨯．求第一、第二宇宙速度．（g 取10，保留两个有效数字）．2．某种牙膏上部圆的直径为3cm ，下部底边的长为4．8cm ，如图5，现要制作长方形的牙膏盒，牙膏盒上面是正方形．在手工课上，小明，小毛，小丽和小芳4位同学分别制作的牙膏盒高度都一样高，且符合要求．不同的是上面正方形的边长，如下表：（1)这4位同学制作的盒子都能装下这种牙膏吗（2)若你是这种牙膏厂的厂长，从节省材料又方便取放牙膏的角度来看，你认为谁的制作更优秀参考答案： 三、同步练习 1．B ． 2．B ． 3．D ． 4．A ．5．23，345-．6．千分位，百位． 7．3，×105．8．ππ． 9．＞，﹤． 10．，． 11．B12．（1）2、－2；（2）实数与数轴上的点一一对应． 132．14．（1）0；（2）3－2；（3）5－4）－1；（5）；（6）1＋323()2．六、生活与数学1．3180008.010(/)v m s =≈⨯，42 1.4148000 1.110(/)v m s =≈⨯≈⨯．正方形的边长小明小毛小丽小芳2.4cm 3cm3.6cm4.8cm2．（12．4≈＜，3作的盒子装不下这种牙膏，而小丽、小芳制作的能装下这种牙膏．（2）从节省材料的角度又方便取放角度来看，小丽的制作最优秀．。
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初二数学VIP 一对一教学第五次课
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实数单元复习
一、 主要内容： （本次课主要知识、例题、练习）
知识点一、【平方根】
如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：
1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
2、当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
3、当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.
（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；16的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。
知识点二、【算术平方根】：
1、如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2
，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，
“根号a”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，
算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：
a ±。
例2.
（5）
（1）下列说法正确的是 （ ）
A ．1的立方根是1±；
B ．24±=； （
C ）、81的平方根是3±； （
D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）
A 、981±=
B 、14.314.3-=-ππ
C 、3927-=-
D 、235=
-
（3）2
)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
（6）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。
求x － y 的值.
（7）(64)2等于多少？(121
49)2
等于多少？对于正数a ，(a )2等于多少？
知识点三、【开平方性质】
(1)916⨯=_________，916⨯=_________；
=25
16
_________，2516=_________.
知识点四、【立方根】：
（8）
1、如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。
记做：3a ，读作，3次根号a 。
注意：
这里的3表示的是根指数。
一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。
2、平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非
负数才能有平方根。
例3.
（1）64的立方根是 。
（2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（ ） A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000
（3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33
，③64的立方根是2，④()4832
±=±。
其中正确的有 （ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
知识点五、【无理数】：
1、无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
在初中阶段，无理数的表现形式主
要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）开方开不尽的数，如:39,5,2等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。
应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π 2、 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）
所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±
、⑥3
2
-
、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。
（填序号）
（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个
（4）
A 2
B 3
C 4
D 5
知识点六、【实数】：
1、有理数与无理数统称为实数。
在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大
的负整数是-1，最小的正整数是1.
2、实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是a 1
（a≠0）；实数a 的绝对值|a|=⎩⎨⎧<-≥)
0()0(a a a a ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。
3、实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数
大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。
（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。
对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
4、实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。
运算法则和运算顺序与有理数
的一致。
例5.
（1）下列说法正确的是（ ）；
A 、任何有理数均可用分数形式表示 ；
B 、数轴上的点与有理数一一对应 ；
C 、1和2之间的无理数只有2 ；
D 、不带根号的数都是有理数。
（2）①a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )
A 、b a -
B 、ab
C 、b a +
D 、a b -
（3）如右图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 两点对应的实数是3和-1，则点C 所对应的实数是（ ）。
A. 1+3
B. 2+3
C. 23-1
D. 23+1
（4）实数a 、b 在轴上的位置如图所示，且b a >，则化简b a a +-2
的结果为（ ）。
A ．b a +2 B.b a +-2 C .b D.b a -2 （5）比较大小(填“>”或“<”). 3
10， 3- 320， 76______67，
2
1
5- 21，
（6）将下列各数：51,3,8,23---，用“＜”连接起来；______________________________________。
（7）若2,3==b a ，且
0<ab ，则：b a -= 。
a 0 b
a
o
b
（8）计算：
32278115.041--+ 32
3811613125.0⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-
（9）已知：()()064.01,12173
2
-=+=-y x ，求代数式3245102y y x x ++--的值。
课后练习
（10）
（11）
3.
4.
5.。