高二数学下册期末复习试题4
2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 (IV)
2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 (IV)本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（每小题5分，共60分）1．若集合{}{}084|,51|<+-=<-=x x B x x A ，则=B A （ ） A ．{}6|<x x B ．{}2|>x x C ．{}62|<<x x D ． ∅ 2．函数)4(log 3-=x y 的定义域为 （ ）A ．RB ．),4()4,(+∞-∞C ．)4,(-∞D ． ),4(+∞3．某电视台在娱乐频道节目播放中，每小时播放广告20分钟，那么随机打开电视机观看这个频道看到广告的概率为 （ ）A ．12 B ．13 C ．14D ．164．在等比数列{}n a 中，*0()n a n N >∈且,16,464==a a 则数列{}n a 的公比q 是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知3(,sin ),2a α=1(cos ,)3b α=且//,a b 则锐角α的大小为 （ ） A ．4πB ．3πC ．6πD ．125π6．按照程序框图(如右图)执行， 第3个输出的数是( ).A ．3B ．4C ．5D ．67．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图 是一个圆，那么这个几何体的体积为 （ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π8．已知函数b x x x f +-=2)(2在区间)4,2(内有唯一零点，则b 的取值范围是（ ） A ． R B ．)0,(-∞ C ．),8(+∞- D ．)0,8(-9.若实数,x y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3 10.已知长方体的相邻三个侧面面积分别为6,3,2,则它的体积是( )A ．5B ．6 C.5 D ．611．三个数21log ,)21(,33321===c b a 的大小顺序为 （ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b <<12．设函数x x f 6sin )(π=，则)2009()3()2()1(f f f f ++++ 的值等于( )A ．21B ．23C ．231+ D ．32+二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数1322(),log (21)2x xe xf x x -⎧<=⎨-≥⎩则=))2((f f ．14．在⊿ABC 中，已知====c C b a 则,3,4,3π．15. 已知5sin =5α则44sin cos αα-的值是 . 16．某厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件，则样本容量n ＝ ． 三、解答题：(共70分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
高中高二数学下学期期末复习试卷(含解析)-人教版高二全册数学试题
2014-2015学年某某省某某市东海县石榴高中高二（下）期末数学复习试卷一、填空题：1．已知集合P={﹣4，﹣2，0，2，4}，Q={x|﹣1＜x＜3}，则P∩Q=．2．若复数z1=3+4i，z2=1+2i（i是虚数单位），则z1﹣z2=．3．命题：∀x∈R，sinx＜2的否定是．4．复数z=（1+3i）i（i是虚数单位），则z的实部是．5．已知函数y=f（x），x∈[0，2π]的导函数y=f′（x）的图象，如图所示，则y=f（x）的单调增区间为．6．已知则满足的x值为．7．函数在[2，4]上是增函数的充要条件是m的取值X围为．8．已知函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，则实数a的取值X 围是．9．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为．10．曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为．11．在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．12．已知实数a，b，c满足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，则b的取值X围是．13．设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是．14．观察下面的数阵，第20行第20个数是．12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25…二、解答题（共6小题，满分0分）15.给定两个命题：p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p和q中至少有一个为真命题，某某数a的取值X围．16.已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．17.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求：（Ⅰ）x0的值；（Ⅱ）a，b，c的值．18.因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y=a•f（x），其中f（x）=．若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．19.试比较n n+1与（n+1）n（n∈N*）的大小，分别取n=1，2，3，4，5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论．20.对于定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对于任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被函数g（x）替代．（1）若，试判断在区间[[1，e]]上f（x）能否被g（x）替代？（2）记f（x）=x，g（x）=lnx，证明f（x）在上不能被g（x）替代；（3）设，若f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，某某数a的X围．2014-2015学年某某省某某市东海县石榴高中高二（下）期末数学复习试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．已知集合P={﹣4，﹣2，0，2，4}，Q={x|﹣1＜x＜3}，则P∩Q={0，2} ．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：通过理解集合的表示法化简集合P和集合Q，两集合的交集是集合P和Q中的共同的数．解答：解：∵P={﹣4，﹣2，0，2，4}，Q={x|﹣1＜x＜3}，∴P∩Q={0，2}故答案为：{0，2}点评：本题考查集合的表示法、集合交集的求法．2．若复数z1=3+4i，z2=1+2i（i是虚数单位），则z1﹣z2= 2+2i ．考点：复数代数形式的加减运算．专题：计算题．分析：根据复数减法的运算法则，当且仅当实部与虚部分别相减可求．解答：解：Z1﹣Z2=（3+4i）﹣（1+2i）=2+2i故答案为：2+2i点评：本题主要考查了复数减法的基本运算，运算法则：当且仅当实部与虚部分别相减，属于基础试题．3．命题：∀x∈R，sinx＜2的否定是“∃x∈R，sinx≥2”．考点：命题的否定．分析：根据命题“∀x∈R，sinx＜2”是全称命题，其否定为特称命题，即“∃x∈R，sinx≥2”．从而得到本题答案．解答：解：∵命题“∀x∈R，sinx＜2”是全称命题．∴命题的否定是存在x值，使sinx＜2不成立，即“∃x∈R，sinx≥2”．故答案为：“∃x∈R，sinx≥2”．点评：本题给出全称命题，求该命题的否定形式．着重考查了含有量词的命题的否定、全称命题和特称命题等知识点，属于基础题．4．复数z=（1+3i）i（i是虚数单位），则z的实部是﹣3 ．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，化简=（1+3i）i，依据使不得定义求得z的实部．解答：解：复数z=（1+3i）i=﹣3+i，故实部为﹣3，故答案为﹣3．点评：本题考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，以及复数为实数的条件．5．已知函数y=f（x），x∈[0，2π]的导函数y=f′（x）的图象，如图所示，则y=f（x）的单调增区间为[0，π]．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：数形结合．分析：根据据f′（x）≥0，函数f（x）单调递增；f′（x）≤0时，f（x）单调递减；从图中找到f′（x）≥0的区间即可．解答：解：据f′（x）≥0，函数f（x）单调递增；f′（x）≤0时，f（x）单调递减由图得到x∈[0，π]时，f′（x）≥0故y=f （x）的单调增区间为[0，π]故答案为[0，π]点评：本题考查函数的单调性与导函数符号的关系：f′（x）≥0时，函数f（x）单调递增；f′（x）≤0时，f（x）单调递减6．已知则满足的x值为 3 ．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．分析：分x≤1和x＞1两段讨论，x≤1时，得，x＞1时，得，分别求解．解答：解：x≤1时，f（x）=，x=2，不合题意，舍去；x＞1时，，=3综上所示，x=3故答案为：3点评：本题考查分段函数求值问题，属基本题．7．函数在[2，4]上是增函数的充要条件是m的取值X围为．考点：利用导数研究函数的单调性；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先求导函数，要使函数在[2，4]上是增函数，则﹣x2+mx+2≥0在[2，4]上恒成立，故可建立不等式，解之即可求得m的取值X围．解答：解：求导函数要使函数在[2，4]上是增函数，则﹣x2+mx+2≥0在[2，4]上恒成立，构建函数g（x）=﹣x2+mx+2，因为函数图象恒过点（0，2），所以﹣x2+mx+2≥0在[2，4]上恒成立，只需m根据函数的单调递增，解得，即所求m的X围为故答案为：点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是求导函数，将问题转化为﹣x2+mx+2≥0在[2，4]上恒成立．8．已知函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，则实数a的取值X 围是﹣1≤a＜7 ．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：首先利用函数的导数与极值的关系求出a的值，由于函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，所以f′（﹣1）f′（1）＜0，进而验证a=﹣1与a=7时是否符合题意，即可求答案．解答：解：由题意，f′（x）=3x2+4x﹣a，当f′（﹣1）f′（1）＜0时，函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，解得﹣1＜a＜7，当a=﹣1时，f′（x）=3x2+4x+1=0，在（﹣1，1）上恰有一根x=﹣，当a=7时，f′（x）=3x2+4x﹣7=0在（﹣1，1）上无实根，则a的取值X围是﹣1≤a＜7，故答案为﹣1≤a＜7．点评：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了数形结合和转化的思想方法．9．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为8 ．考点：简单线性规划．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．解答：解：满足约束条件的区域是一个四边形，如图4个顶点是（0，0），（0，1），（，0），（2，3），由图易得目标函数在（2，3）取最大值35，即35=2ab+3∴ab=16，∴a+b≥2 =8，在a=b=8时是等号成立，∴a+b的最小值为8．故答案为：8点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．10．曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为e2．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：先利用复合函数求导法则求已知函数的导函数，再利用导数的几何意义求切线斜率，进而利用直线的点斜式写出切线方程，最后求直线与坐标轴的交点，计算直角三角形的面积即可解答：解：y′=，y′|x=4=e2∴曲线在点（4，e2）处的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4）即y=e2x﹣e2令x=0，得y=﹣e2，令y=0，得x=2∴此切线与坐标轴所围三角形的面积为×2×e2=e2故答案为e2点评：本题主要考查了导数的几何意义，求曲线在某点出的切线方程的方法，利用导数求切线方程是解决本题的关键11．在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：由已知直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象特点分析一个交点时，两个图象的位置，确定a．解答：解：由已知直线y=2a是平行于x轴的直线，函数y=|x﹣a|﹣1的图象是折线，所以直线y=2a过折线顶点时满足题意，所以2a=﹣1，解得a=﹣；故答案为：．点评：本题考查了函数的图象；考查利用数形结合求参数．12．已知实数a，b，c满足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，则b的取值X围是[1，5]．考点：函数最值的应用．专题：计算题；综合题．分析：根据a+b+c=9，ab+bc+ca=24，得到a+c=9﹣b，并代入ab+bc+ca=24，得到ac=24﹣（a+c）b，然后利用基本不等式ac，即可求得b的取值X围．解答：解：∵a+b+c=9，∴a+c=9﹣b，∵ab+ac+bc=（a+c）b+ac=24，得ac=24﹣（a+c）b；又∵ac，∴24﹣（a+c）b，即24﹣（9﹣b）b，整理得b2﹣6b+5≤0，∴1≤b≤5；故答案为[1，5]．点评：此题考查了利用基本不等式求最值的问题，注意基本不等式成立的条件为一正、二定、三等，以及消元思想的应用，属中档题．13．设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．考点：利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．专题：导数的概念及应用．分析：构造函数h（x）=f（x）g（x），利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．解答：解：令h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣h（x），因此函数h（x）在R上是奇函数．①∵当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0时单调递增，故函数h（x）在R上单调递增．∵h（﹣3）=f（﹣3）g（﹣3）=0，∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（﹣3），∴x＜﹣3．②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h （3）=﹣h（﹣3）=0，∴h（x）＜0，的解集为（0，3）．∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故答案为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．点评：恰当构造函数，熟练掌握函数的奇偶性单调性是解题的关键．14．观察下面的数阵，第20行第20个数是381 ．12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25…考点：归纳推理．专题：综合题；推理和证明．分析：观察这个数列知，第n行的最后一个数是n2，第19行的最后一个数是192=361，由此可求出第20行第20个数．解答：解：观察这个数列知，第n行的最后一个数是n2，第19行的最后一个数是192=361，∴第20行第20个数是361+20=381．故答案为：381．点评：本题给出三角形数阵，求第20行第20个数，着重考查了递归数列和归纳推理等知识点，属于基础题．二、解答题（共6小题，满分0分）15.给定两个命题：p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p和q中至少有一个为真命题，某某数a的取值X围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据二次函数恒成立的充要条件，我们可以求出命题p为真时，实数a的取值X围，根据二次函数有实根的充要条件，我们可以求出命题q为真时，实数a的取值X围，则命题p，q中一个为真，分类讨论后，即可得到实数a的取值X围．解答：解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔a=0或⇔0≤a＜4；关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根⇔△=1﹣4a≥0⇔a≤；p和q中至少有一个为真命题如果p真q假，则有0≤a＜4，且a＞，∴＜a＜4；如果p假q真，则有a＜0，或a≥4，且a≤∴a＜0；如果p真q真，则有0≤a＜4，且a≤，∴0≤a≤；所以实数a的取值X围为（﹣∞，4）点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，函数恒成立问题，其中判断出命题p与命题q为真时，实数a的取值X围，是解答本题的关键．16.已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1•z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2．解答：解：∴z1=2﹣i设z2=a+2i（a∈R）∴z1•z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i∵z1•z2是实数∴4﹣a=0解得a=4所以z2=4+2i点评：本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0．17.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求：（Ⅰ）x0的值；（Ⅱ）a，b，c的值．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：（1）观察图象满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值，求出x0的值；（2）根据图象可得f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，建立三个方程，联立方程组求解即可．解答：解：（Ⅰ）由图象可知，在（﹣∝，1）上f'（x）＞0，在（1，2）上f'（x）＜0．在（2，+∝）上f'（x）＞0．故f（x）在（﹣∝，1），（2，+∝）上递增，在（1，2）上递减．因此f（x）在x=1处取得极大值，所以x0=1．（Ⅱ）f'（x）=3ax2+2bx+c，由f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，得解得a=2，b=﹣9，c=12．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及观察图形的能力，属于基础题．18.因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y=a•f（x），其中f（x）=．若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）通过a=4可知y=，分别令每段对应函数值大于等于4，计算即得结论；（Ⅱ）通过化简、利用基本不等式可知y=2•（5﹣x）+a[﹣1]=（14﹣x）+﹣a﹣4≥﹣a﹣4，再令﹣a﹣4≥4，计算即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵a=4，∴y=，当0≤x≤4时，由﹣4≥4，解得x≥0，∴此时0≤x≤4；当4＜x≤10时，由20﹣2x≥4，解得x≤8，∴此时4＜x≤8；综上所述，0≤x≤8，即若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天；（Ⅱ）当6≤x≤10时，y=2•（5﹣x）+a[﹣1]=10﹣x+﹣a=（14﹣x）+﹣a﹣4，∵14﹣x∈[4，8]，而1≤a≤4，∴∈[4，8]，∴y=（14﹣x）+﹣a﹣4≥2﹣a﹣4=﹣a﹣4，当且仅当14﹣x=即x=14﹣4时，y有最小值为﹣a﹣4，令﹣a﹣4≥4，解得24﹣16≤a≤4，∴a的最小值为24﹣16≈1.6．点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19.试比较n n+1与（n+1）n（n∈N*）的大小，分别取n=1，2，3，4，5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论．考点：数学归纳法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：本题考查的知识点是归纳推理与数学归纳法，我们可以列出n n+1与（n+1）n（n∈N*）的前若干项，然后分别比较其大小，然后由归纳推理猜想出一个一般性的结论，然后利用数学归纳法进行证明．解答：解：当n=1时，n n+1=1，（n+1）n=2，此时，n n+1＜（n+1）n，当n=2时，n n+1=8，（n+1）n=9，此时，n n+1＜（n+1）n，当n=3时，n n+1=81，（n+1）n=64，此时，n n+1＞（n+1）n，当n=4时，n n+1=1024，（n+1）n=625，此时，n n+1＞（n+1）n，根据上述结论，我们猜想：当n≥3时，n n+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．证明：①当n=3时，n n+1=34=81＞（n+1）n=43=64即n n+1＞（n+1）n成立．②假设当n=k时，k k+1＞（k+1）k成立，即：＞1则当n=k+1时，=（k+1）（）k+1＞（k+1）（）k+1=＞1即（k+1）k+2＞（k+2）k+1成立，即当n=k+1时也成立，∴当n≥3时，n n+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．点评：本题考查了数学归纳法的应用，证明步骤的应用，归纳推理，考查计算能力，属于中档题．20.对于定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对于任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被函数g（x）替代．（1）若，试判断在区间[[1，e]]上f（x）能否被g（x）替代？（2）记f（x）=x，g（x）=lnx，证明f（x）在上不能被g（x）替代；（3）设，若f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，某某数a的X围．考点：函数恒成立问题；函数单调性的性质．专题：证明题；综合题；压轴题．分析：（1）构造函数，通过研究h（x）的导数得出其单调性，从而得出其在区间[[1，e]上的值域，可以证出f（x）能被g（x）替代；（2）构造函数k（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣lnx，可得在区间上函数k（x）为减函数，在区间（1，m）上为增函数，因此函数k（x）在区间的最小值为k（1）=1，最大值是k（m）大于1，所以不满足对于任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，故f（x）在上不能被g（x）替代；（3）根据题意得出不等式，去掉绝对值，再根据x﹣lnx的正负转化为或，通过讨论右边函数的最值，得出实数a的X围解答：解：（1）∵，令，∵，∴h（x）在[1，e]上单调增，∴．∴|f（x）﹣g（x）|≤1，即在区间[[1，e]]上f（x）能被g（x）替代．（2）记k（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣lnx，可得当时，k′（x）＜0，在区间上函数k（x）为减函数，当1＜x＜m时，k′（x）＞0，在区间（1，m）上函数k（x）为增函数∴函数k（x）在区间的最小值为k（1）=1，最大值是k（m）＞1，所以不满足对于任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，故f（x）在上不能被g（x）替代；（3）∵f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，即|f（x）﹣g（x）|≤1对于x∈[1，e]恒成立．∴．，由（2）知，当x∈[1，e]时，x﹣lnx＞0恒成立，∴有，令，∵=，由（1）的结果可知，∴F'（x）恒大于零，∴．②，令，∵=，∵，∴G'（x）恒大于零，∴，即实数a的X围为点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，通过分类讨论解决了不等式恒成立的问题，属于难题．。
高二下学期期末数学考试试卷含答案(共5套)
i A. > B. > 1 C. a 2 > b 2 D. ab < a + b - 18、已知 x > 0 ， y > 0 ，若 2 y + > m 2 + 2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）高二年级下学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、不等式 2x - 3 < 5 的解集为（）A. (-1,4)B. (1,4)C. (1,-4)D. (-1,-4)2、设复数 z 满足 (1 + i) z = 2 （ i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数在复平面中对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、某市对公共场合禁烟进行网上调查，在参与调查的 2500 名男性市民中有 1000 名持支持态度，2500 名女性市民中有 2000 人持支持态度，在运用数据说明市民对在公共场合禁烟是 否支持与性别有关系时，用什么方法最有说明力（ ） A. 平均数与方差 B. 回归直线方程 C. 独立性检验 D. 概率4、若函数 f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c 满足 f '(1) = 2 ，则 f '(-1) 等于（）A. - 1B. - 2C. 2D. 05 、函数 y = f ( x ) 的图象过原点，且它的导函数y = f '( x ) 的图象是如图所示的一条直线，y = f ( x ) 的图象的顶点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6、在一组样本数据 ( x , y ) ， ( x , y ) ，……， ( x , y ) (n ≥ 2, x , x ⋅ ⋅ ⋅ x 不全相等）的散点图中， 1 122nn12n若所有样本点 ( x , y ) (i = 1,2 ⋅ ⋅ ⋅ n) 都在直线 y = i i （ ）1 2x + 1上，则这组样本数据的样本相关系数为A. - 1B. 0C. 12D. 17、若 a < 1 ， b > 1 那么下列命题正确的是（ ）1 1 b a b a8xx yA. m ≥ 4 或 m ≤ -2B. m ≥ 2 或 m ≤ -4C. - 4 < m < 2D. - 2 < m < 49、某同学为了了解某家庭人均用电量（ y 度）与气温（ x o C ）的关系，曾由下表数据计算回归直线方程 y = - x + 50 ，现表中有一个数据被污损，则被污损的数据为（）+ 的取值范围A. ⎢ ,+∞ ⎪B. - ∞, ⎥C. ⎢ ,+∞ ⎪D. - ∞,- ⎥气温 30 2010 0 人均用电量20 30*50A. 35B. 40C. 45D. 4810、已知函数 f ( x ) 的导函数 f '( x ) = a( x + 1)( x - a) ，若 f ( x ) 在 x = a 处取得极大值，则a 的取值范围是（）A. (-∞,1)B. (-1,0)C. (0,1)D. (0,+∞ )11、已知函数 f ( x ) = x 3 - 2ax 2 - bx 在 x = 1 处切线的斜率为 1 ，若 ab > 0 ，则 1 1a b（ ）⎡ 9 ⎫ ⎛ 9 ⎤ ⎡ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎤ ⎣ 2 ⎭⎝ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎭ ⎝2 ⎦12、已知 a > b > c > 1 ，设 M = a - cN = a - bP = 2( a + b- ab ) 则 M 、 N 、 P 的大小2关系为（ ）A. P > N > MB. N > M > PC. M > N > P二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、下列的一段推理过程中，推理错误的步骤是_______ ∵ a < b∴ a + a < b + a 即 2a < b + a ……①∴ 2a - 2b < b + a - 2b 即 2(a - b ) < a - b ……②∴ 2(a - b )(a - b ) < (a - b )(a - b ) 即 2(a - b )2 < (a - b )2 ……③∵ (a - b )2 > 0∴ 可证得 2 < 1 ……④D. P > M > N14、已知曲线 y = x 2 4- 3ln x 在点（ x , f ( x ) 处的切线与直线 2 x + y - 1 = 0 垂直，则 x 的值为0 0 0________15、 f ( x ) = x +1( x > 2) 在 x = a 年取得最小值，则 a =________x - 216、设 a 、 b ∈ R ， a - b > 2 ，则关于实数 x 的不等式 x - a + x - b > 2 的解集是_______三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。
2021年高二数学第二学期期末复习试卷 文(四)(含解析)
2021年高二数学第二学期期末复习试卷文（四）（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数（i是虚数单位）=（）A． 2 B．﹣2 C． 2i D．﹣2i2．若集合M={x|x﹣2＜0}，N={x|x2﹣4x+3＜0}，则M∩N=（） A． {x|﹣2＜x＜2} B． {x|x＜2} C． {x|1＜x＜2} D． {x|1＜x＜3} 3．函f（x）=2x﹣2﹣x在定义域上是（）A．偶函数 B．奇函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数4．已知等差数列{an }中，a3+a7﹣a10=8，a11﹣a4=4，记Sn=a1+a2+…+an，则S13=（）A． 78 B． 152 C． 156 D． 1685．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为（） A． B． C． D．6．已知，则2x+y的最大值是（）A． 3 B． C． 0 D．﹣37．△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，，则△ABC一定是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形8．北京xx年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为（）A． 10米 B． 30米 C． 10米 D．米9．下列说法正确的是（）A．“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若α=β，则sinα=sinβ”的逆否命题为真命题10．已知函数，正实数a、b、c满足f（c）＜0＜f（a）＜f（b），若实数d是函数f（x）的一个零点，那么下列四个判断：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c．其中可能成立的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4二.填空题（每小题5分，共20分.）11．中心在坐标原点，一个焦点为（5，0），且以直线为渐近线的双曲线方程为．12．如图，是一程序框图，则输出结果为K= ，S=（说明，M=N是赋值语句，也可以写成M←N，或M：=N）13．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样②在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好③在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位④在一个2×2列联表中，由计算得k2=13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%以上．其中正确的序号是．选做题：在下面两道小题中选做一题，两题都选只计算前一题的得分.【参数方程与极坐标】14．（参数方程与极坐标）已知F是曲线（θ∈R）的焦点，，则|MF|的值是．【几何证明选讲】15．如图，P是圆O外的一点，PD为切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，PF=6，PD=2，则∠DFP= °．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且，∠AOQ=α，α∈[0，π）．（Ⅰ）若点Q的坐标是，求的值；（Ⅱ）设函数，求f（α）的值域．17．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示（1）求甲、乙两名运动员得分的中位数；（2）你认为哪位运动员的成绩更稳定？（3）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．18．如图，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）若M是侧棱PB中点，截面AMC把几何体分成的两部分，求这两部分的体积之比．19．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，打算本年度投入800万元，以后每年投入将比上年平均减少20%，本年度旅游收入为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加25%．（Ⅰ）设第n年（本年度为第一年）的投入为a n万元，旅游业收入为b n万元，写出a n，b n 的表达式；（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入超过总投入？20．如图，已知圆C：x2+y2=2与x轴交于A1、A2两点，椭圆E以线段A1A2为长轴，离心率．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设椭圆E的左焦点为F，点P为圆C上异于A1、A2的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线x=﹣2于点Q，判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明．21．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）．（Ⅰ）已知函数（其中），过f（x）图象是任意一点R的切线l将正方形ABCD截成两部分，设R点的横坐标为t，S（t）表示正方形ABCD被切线l所截的左下部分的面积，求S（t）的解析式；（Ⅱ）试问S（t）在定义域上是否存在最大值和最小值？若存在，求出S（t）的最大值和最小值；若不存在，请说明理由．xx学年广东省深圳市罗湖区翠圆中学高二（下）期末数学复习试卷（文科）（四）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数（i是虚数单位）=（）A． 2 B．﹣2 C． 2i D．﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：先利用完全平方差公式计算分子的值，再计算分式的值，注意虚数单位i注意 i2=﹣1．解答：解：复数===﹣2，故选 B．点评：本题考查复数代数形式的乘法和除法法则．2．若集合M={x|x﹣2＜0}，N={x|x2﹣4x+3＜0}，则M∩N=（）A． {x|﹣2＜x＜2} B． {x|x＜2} C． {x|1＜x＜2} D． {x|1＜x＜3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用交集定义和不等式性质求解．解答：解：∵集合M={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，N={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，∴M∩N={x|1＜x＜2}．故选：C．点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题．3．函f（x）=2x﹣2﹣x在定义域上是（）A．偶函数 B．奇函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数考点：函数奇偶性的判断．专题：综合题．分析：先看函数的定义域是否关于原点对称，否则是非奇非偶函数，在定义域关于原点对称时，考查f（x）与f（﹣x）的关系，依据奇偶函数的定义，做出判断．解答：解：函数的定义域为R，关于原点对称，f（﹣x）=2﹣x ﹣2x=﹣（2x﹣2﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）=2x﹣2﹣x在定义域上是奇函数，故选 B．点评：本题考查奇偶函数的定义和判断方法，一定要先看函数的定义域是否关于原点对称，然后考查f（x）与f（﹣x）的关系．4．已知等差数列{a n}中，a3+a7﹣a10=8，a11﹣a4=4，记S n=a1+a2+…+a n，则S13=（）A． 78 B． 152 C． 156 D． 168考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：两式相加结合等差数列的性质可得a7=12，而S13=13a7，代值计算可得．解答：解：∵等差数列{a n}中，a3+a7﹣a10=8，a11﹣a4=4，∴（a3+a7﹣a10）+（a11﹣a4）=（a3+a11）﹣（a4+a10）+a7=8+4=12，由等差数列的性质可得a3+a11=a4+a10，∴a7=12，∴S13===13a7=13×12=156故选：C．点评：本题考查等差数列的性质和前n项和公式，属基础题．5．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为（）A． B． C． D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，根据三视图的数据，求出三棱锥的表面积即可．解答：解：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，所以几何体的表面积为：3个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积的和，即：3×=．故选A．点评：本题是基础题，考查三视图的视图能力，空间想象能力，计算能力，送分题．6．已知，则2x+y的最大值是（）A． 3 B． C． 0 D．﹣3考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点A（1，1）时的最大值，从而得到z最大值即可解答：解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，∵直线z=2x+y过可行域内点A（1，1）时z最大，最大值为3，故选A．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．7．△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，，则△ABC一定是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形考点：平面向量数量积的运算；等差数列的性质．专题：计算题．分析：由，结合等腰三角形三线合一的性质，我们易判断△ABC为等腰三角形，又由△ABC 的三个内角A、B、C成等差数列，我们易求出B=60°，综合两个结论，即可得到答案．解答：解：∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列∴2B=A+C又∵A+B+C=180°∴B=60°设D为BC边上的中点则=2又∵∴=0∴即△ABC为等腰三角形，故△ABC为等边三角形，故选：B点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算和等差数列的性质，其中根据平面向量的数量积运算，判断△ABC为等腰三角形是解答本题的关键．8．北京xx年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为（）A． 10米 B． 30米 C． 10米 D．米考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；数形结合．分析：先画出示意图，根据题意可求得∠AEC和∠ACE，则∠EAC可求，然后利用正弦定理求得AC，最后在Rt△ABC中利用AB=AC•sin∠ACB求得答案．解答：解：如图所示，依题意可知∠AEC=45°，∠ACE=180°﹣60°﹣15°=105°∴∠EAC=180°﹣45°﹣105°=30°由正弦定理可知=，∴AC=•sin∠CEA=20米∴在Rt△ABC中，AB=AC•sin∠ACB=20×=30米答：旗杆的高度为30米故选B．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决．9．下列说法正确的是（）A．“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若α=β，则sinα=sinβ”的逆否命题为真命题考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型．分析：根据常用逻辑用语中有关充要条件的判断方法、特称命题否定的叙述、原命题与其否命题真假之间的关系、三角函数运算相关知识进行各命题真假的判断．解答：解：当x=1成立时有x2=1成立，∴“x2=1”是“x=1”的必要不充分条件，故A错；当“x=﹣1”成立时有（1）2﹣（﹣1）×5﹣6=0即“x2﹣5x﹣6=0”成立当x2﹣5x﹣6=0成立时，不一定有x=﹣1成立故“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，故B错；命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定应为：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故C错误；命题“若α=β，则sinα=sinβ”的逆否命题为“若sinα≠sinβ，则α≠β”是正确的，故D正确；故选D．点评：本题考查命题真假的判断，考查常用逻辑用语的基本知识，考查三角函数的运算，解决该类问题的关键是逐一对各个说法进行辨析，考查学生的转化与化归能力．10．已知函数，正实数a、b、c满足f（c）＜0＜f（a）＜f（b），若实数d是函数f（x）的一个零点，那么下列四个判断：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c．其中可能成立的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：函数零点的判定定理．专题：数形结合．分析：利用零点就是两函数图象的交点，再利用图象得结论．解答：解：因为函数在（0，+∞）上是减函数，又因为f（c）＜0＜f（a）＜f（b），所以a＜b＜c，又因为零点就是两函数图象的交点，在同一坐标系内画出函数y=与y=lnx的图象，如图a、b、c，d的位置如图所示只有②③成立．故可能成立的有两个．故选B．点评：本题考查函数零点的判定的应用和数形结合思想的应用，数形结合的应用大致分两类：一是以形解数，即借助数的精确性，深刻性来讲述形的某些属性；二是以形辅数，即借助与形的直观性，形象性来揭示数之间的某种关系，用形作为探究解题途径，获得问题结果的重要工具．二.填空题（每小题5分，共20分.）11．中心在坐标原点，一个焦点为（5，0），且以直线为渐近线的双曲线方程为．考点：双曲线的标准方程．专题：待定系数法．分析：设双曲线方程为 +=1，由5= ①，和 = ②，解方程组求得 a2，b2的值．解答：解：设双曲线方程为 +=1，由题意得 c=5= ①，= ②，由①②得 a2=16，b2=9，故所求的双曲线方程为﹣=1，故答案为：﹣=1．点评：本题考查利用待定系数法求双曲线的标准方程的方法，以及双曲线的简单性质得应用．12．如图，是一程序框图，则输出结果为K= 11 ，S=（说明，M=N是赋值语句，也可以写成M←N，或M：=N）考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是输出满足条件S=++…++的值．解答：解：根据题意，本程序框图为求和运算第1次循环：S=0+，K=3第2次循环：S=+，K=5第3次循环：S=++，K=7第4次循环：S=++…+，K=9第5次循环：S=++…++，K=11此时，K＞10输出K=11，S=++…++=．故答案为：11，．点评：本题主要考查程序框图，通过对程序框图的认识和理解按照程序框图的顺序进行执行，属于基础题．13．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样②在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好③在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位④在一个2×2列联表中，由计算得k2=13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%以上．其中正确的序号是②④．考点：独立性检验；分层抽样方法；线性回归方程．专题：计算题．分析：从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样系统抽样；在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.1个单位；k2=13.079，其两个变量间有关系的可能性是90%以上．解答：解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样不是分层抽样，故①不正确，②在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故②正确，③在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，故③不正确，④在一个2×2列联表中，由计算得k2=13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%以上．④正确故答案为：②④点评：本题考查独立性检验，考查分层抽样方法，考查线性回归方程，考查判断两个相关变量之间的关系，是一个综合题目，这种题考查的知识点比较多，需要认真分析．选做题：在下面两道小题中选做一题，两题都选只计算前一题的得分.【参数方程与极坐标】14．（参数方程与极坐标）已知F是曲线（θ∈R）的焦点，，则|MF|的值是．考点：椭圆的参数方程．专题：计算题．分析：先利用二倍角公式进行化简，然后消去参数θ得到曲线方程，求出抛物线的焦点坐标，根据两点的距离公式求出|MF|的值即可．解答：解：y=1+cos2θ=2cos2θ=2•化简得x2=2y∴F（0，）而，∴|MF|=故答案为：点评：本题主要考查了抛物线的参数方程，以及两点的距离公式的应用等有关基础知识，属于基础题．【几何证明选讲】15．如图，P是圆O外的一点，PD为切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，PF=6，PD=2，则∠DFP= 30 °．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题；压轴题．分析：根据切割线定理写出比例式，代入已知量，得到PE的长，在直角三角形中，根据边长得到锐角的度数，根据三角形角之间的关系，得到要求的角的大小．解答：解：连接OD，则OD垂直于切线，根据切割线定理可得PD2=PE•PF，∴PE=2，∴圆的直径是4，在直角三角形POD中，OD=2，PO=4，∴∠P=30°，∴∠DEF=60°，∴∠DFP=30°，故答案为：30°点评：本题考查圆的切线的性质和证明，考查直角三角形角之间的关系，是一个基础题，题目解答的过程比较简单，是一个送分题目．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且，∠AOQ=α，α∈[0，π）．（Ⅰ）若点Q的坐标是，求的值；（Ⅱ）设函数，求f（α）的值域．考点：正弦函数的定义域和值域；平面向量数量积的运算；单位圆与周期性；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）根据三角函数的定义和题意求出cosα，sinα的值，再由两角差的余弦公式展开后代入求值；（Ⅱ）根据向量的数量积坐标运算和条件代入，利用两角和正弦公式进行化简，根据α的范围和正弦函数的性质求出值域．解答：解：（Ⅰ）∵点Q的坐标是，∴．∴=．（Ⅱ）===．∵α∈[0，π），则，∴．故f（α）的值域是．点评：本题是由关三角函数的综合题，考查了三角函数的定义，两角和差的正弦（余弦）公式，正弦函数的性质的应用，三角函数是高考的重点，必须掌握和理解公式以及三角函数的性质，并会应用．17．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示（1）求甲、乙两名运动员得分的中位数；（2）你认为哪位运动员的成绩更稳定？（3）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．考点：茎叶图；极差、方差与标准差．分析：（1）由茎叶图中茎表示十位数，叶表示个数数，我们可以列出甲、乙两名篮球运动员各场的得分，进而求出甲、乙两名运动员得分的中位数；（2）由表中数据，我们易计算出甲、乙两名篮球运动员各场的得分的方差S甲2与S乙2，，然后比较S甲2与S乙2，根据谁的方差小谁的成绩稳定的原则进行判断．（3）我们计算出从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数，然后再计算出其中甲的得分大于乙的基本事件个数，代入古典概率计算公式，即可求解．解答：解：（1）运动员甲得分的中位数是22，运动员乙得分的中位数是23（2分）（2）∵（3分）（4分）（5分）∴S甲2＜S乙2，从而甲运动员的成绩更稳定（8分）（3）从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为49其中甲的得分大于乙的是：甲得（14分）有3场，甲得（17分）有3场，甲得（15分）有3场甲得2（4分）有4场，甲得2（2分）有3场，甲得2（3分）有3场，甲得3（2分）有7场，共计26场（11分）从而甲的得分大于乙的得分的概率为（12分）点评：本题考查的知识点是茎叶图，中位数，方差的计算及应用，古典概型等知识点，解题的关键是根据茎叶图的茎是高位，叶是低位，列出茎叶图中所包含的数据，再去根据相关的定义和公式进行求解和计算．18．如图，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）若M是侧棱PB中点，截面AMC把几何体分成的两部分，求这两部分的体积之比．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：证明题；综合题；转化思想．分析：（Ⅰ）依题意通过计算，以及平面PAD⊥平面ABCD，由面面垂直的性质定理，证明CD⊥平面PAD．（Ⅱ）设N是AB的中点，连接MN，依题意，证明PA⊥面ABCD，MN⊥面ABCD，计算与，得到V PADCM=V PADCB﹣V MACB，求出V PADCM：V MACB=两部分体积比．解答：证明：（Ⅰ）依题意知PA=1，∴AD⊥AB，又CD∥AB∴CD⊥AD（3分）又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由面面垂直的性质定理知，CD⊥平面PAD（6分）（Ⅱ）解：设N是AB的中点，连接MN，依题意，PA⊥AD，PA⊥AB，所以，PA⊥面ABCD，因为MN∥PA，所以MN⊥面ABCD．（8分）（10分）（11分）所以，（12分）V PADCM：V MACB=两部分体积比为2：1（14分）点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．19．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，打算本年度投入800万元，以后每年投入将比上年平均减少20%，本年度旅游收入为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加25%．（Ⅰ）设第n年（本年度为第一年）的投入为a n万元，旅游业收入为b n万元，写出a n，b n 的表达式；（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入超过总投入？考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）依题意每年投入构成首项为800万元，公比为的等比数列，每年旅游业收入组织首项为400万元，公比为的等比数列，进而求出a n，b n的表达式．（Ⅱ）先设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由b n﹣a n＞0，解得n的取值范围即可．解答：（Ⅰ）解，依题意每年投入构成首项为800万元，公比为的等比数列，每年旅游业收入组织首项为400万元，公比为的等比数列．所以，，（Ⅱ）解，经过n年，总收投入，经过n年，总收入，设经过n年，总收入超过总投入，由此，T n﹣S n＞0，＞0，化简得，设代入上式整理得，5x2﹣7x+2＞0，解得，，或x＞1（舍去），由，n=4时，=，n=5，=，因为在定义域上是减函数，所以 n≥5，答：至少经过5年旅游业的总收入超过总投入．点评：本小题主要考查数列的基本应用、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．20．如图，已知圆C：x2+y2=2与x轴交于A1、A2两点，椭圆E以线段A1A2为长轴，离心率．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设椭圆E的左焦点为F，点P为圆C上异于A1、A2的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线x=﹣2于点Q，判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明．考点：圆与圆锥曲线的综合；直线与圆的位置关系；椭圆的标准方程．专题：计算题；数形结合．分析：（Ⅰ）直接求出a再利用离心率求出c即可求出椭圆E的标准方程；（Ⅱ）先设出点P的坐标，利用条件求出点Q的坐标，再求出k OP和k PQ的表达式，利用点P 在圆上，可以得直线PQ与圆C保持相切．解答：解：（Ⅰ）因为，所以c=1（2分）则b=1，即椭圆E的标准方程为（4分）（Ⅱ）当点P在圆C上运动时，直线PQ与圆C保持相切（6分）证明：设P（x0，y0）（），则y02=2﹣x02，所以，，所以直线OQ的方程为（9分）所以点Q（﹣2，）（11分）所以（13分）又，所以k OP⊥k PQ=﹣1，即OP⊥PQ，故直线PQ始终与圆C相切（14分）点评：本题是对圆和椭圆的综合考查．在做这一类型题目时，一定要画出图象，利用图象来分析问题．21．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）．（Ⅰ）已知函数（其中），过f（x）图象是任意一点R的切线l将正方形ABCD截成两部分，设R点的横坐标为t，S（t）表示正方形ABCD被切线l所截的左下部分的面积，求S（t）的解析式；（Ⅱ）试问S（t）在定义域上是否存在最大值和最小值？若存在，求出S（t）的最大值和最小值；若不存在，请说明理由．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）讨论切点位置，得到不同的切点位置对应的面积解析式；注意讨论要全面；（Ⅱ）由（Ⅰ）的解析式分析各段的单调性，全等最值．解答：解：（Ⅰ）设R（t，f（t））（其中），f（x）图象上的两端点为又，所以过点R（t，f（t））的切线l的方程为：…（2分）（ⅰ）当切点为时，，切线l为：，切线l与CD的交点坐标为．当切线过点D（0，1）时，…（4分）故当时，切线l与CD相交，此时正方形ABCD被切线l所截的左下部分是直角梯形，S（t）=…（6分）（ⅱ）当切线过点B（1，0）时，当时，切线l与AD，AB都相交，正方形ABCD被切线l所截的左下部分是直角三角形，S（t）=…（7分）（ⅲ）当切点为时，切线l为：，切线l与BC的交点坐标为故当时，切线l与AD，BC都相交，正方形ABCD被切线l所截的左下部分是直角梯形，S（t）=…（9分）综上所述：…（10分）（Ⅱ）解：当，，故S（t）在上递增，S（t）最大无限接近，S（t）无最大值和最小值…（11分）当时，，S（t）在上递减，S（t）最大无限接近，S（t）无最大值和最小值…（12分）故当，成立…（13分）综上所述：S（t）在定义域上存在最大值，不存在最小值．…（14分）．点评：本题考查了分段函数进行是求法与函数的最值求法；借助于导数的几何意义、利用单调性求最值；考查了学生的计算能力；属于难题．*228394 6EEA 滪UNh'25630 641E 搞<)39110 98C6 飆24375 5F37 強-33667 8383 莃。
2023-2024学年高二数学下学期期末试卷与答案
本套试卷根据九省联考题型命制，题型为8+3+3+52023-2024学年高二数学下学期期末试卷模式考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：新高考全部内容一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|1}A x x a =< ，{|12}B x x =<<，若A B A = ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,)+∞B ．(1，2]C ．(2,)+∞D ．[2，)+∞2．已知复数(12)(1)2i z i +−=−+，则||(z = ) AB ．2CD ．33．若点(1,1)P −在角α的终边上，则sin()(4πα+= )A ．1−B． C ．0 D ．14．在直三棱柱111ABC A B C −中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．283πBC ．163π D5．设两个单位向量a ，b 的夹角为θ，若a在b 上的投影向量为13b ，则cos (θ= )A ．13−B ．13C． D．36．推动小流域综合治理提质增效，推进生态清洁小流域建设是助力乡村振兴和建设美丽中国的重要途径之一．某乡村落实该举措后因地制宜，发展旅游业，预计2023年平均每户将增加4000元收入，以后每年度平均每户较上一年增长的收入是在前一年每户增长收入的基础上以10%的增速增长的，则该乡村每年度平均每户较上一年增加的收入开始超过12000元的年份大约是( )（参考数据：3 1.10ln ≈，10 2.30ln ≈，11 2.40)ln ≈A ．2033年B ．2034年C ．2035年D ．2036年7．已知1F ，2F 分别为双曲线22126x y −=的左，右焦点，直线l 过点2F ，且与双曲线右支交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△12AF F ，△12BF F 的内切圆的圆心分别为1O ，2O ，则△12OO O 面积的取值范围是( ) A． B．C．)+∞ D． 8．已知01a b <<<，e 为自然对数的底数，则下列不等式不成立的是( ) A ．a b ae be <B ．b a ae be <C ．alna blnb >D ．b a a b <二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．下列说法错误的是( )A ．事件A 的概率P （A ）必满足0P <（A ）1<B ．事件A 的概率P （A ）0.999=，则事件A 是必然事件C ．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，现有患胃溃疡的病人服用此药，则估计此药有明显的疗效的可能性为76%D ．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖10．圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球．如图，圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO 的底面直径为2a ，则( )A ．设内切球的半径为1r ，外接球的半径为2r ，则212r r =B ．设内切球的表面积1S ，外接球的表面积为2S ，则124S S =C ．设圆锥的体积为1V ，内切球的体积为2V ，则1294V V = D ．设S ，T 是圆锥底面圆上的两点，且ST a =，则平面PST 截内切球所得截面的面积为215a π11．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列{}n a ，正方形数构成数列{}n b ，则下列说法正确的是( )A ．312123122221n n b b b b a a a a n ⋅…=+B ．1849既是三角形数，又是正方形数C ．12311113320n b b b b +++…+<D ．*m N ∀∈，2m ，总存在p ，*q N ∈，使得m p q b a a =+成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知甲组样本数据(1i x i =，2，…，6)，如下表所示：= ． 13．从1，2，3，4，7，9六个数中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到 个不同的对数值．14．已知抛物线2:2(0)C y px p =>与圆22:5O x y +=交于A ，B 两点，且||4AB =，直线l 过C 的焦点F ，且与C 交于M ，N 两点，则||2||MF NF +的最小值为 ．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数()sin()cos()sin cos ,(0,||)222f x x x πππωϕωϕωϕ=+−+><的最小正周期为π，且()f x 图象关于直线6x π=对称．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数2()()2sin g x f x x =+，求()g x 的单调增区间．16．华容道是古老的中国民间益智游戏，以其变化多端、百玩不厌的特点与魔方、独立钻石一起被国外智力专家并称为“智力游戏界的三个不可思议”．据《资治通鉴》注释中说“从此道可至华容也”．通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部，从出口逃走．不允许跨越棋子，还要设法用最少的步数把曹操移到出口．2021年12月23日，在厦门莲坂外图书城四楼佳希魔方，厦门市新翔小学六年级学生胡宇帆现场挑战“最快时间解44×数字华容道”世界纪录，并以4.877秒打破了“最快时间解44×数字华容道”世界纪录，成为了该项目新的世界纪录保持者． （1）小明一周训练成绩如表所示，现用ˆˆy bxa =+作为经验回归方程类型，求出该回归方程； 第x （天) 1 2 3 4 5 6 7 用时y （秒)105844939352315（2）小明和小华比赛破解华容道，首局比赛小明获得胜利的概率是0.6，在后面的比赛中，若小明前一局胜利，则他赢下后一局的概率是0.7，若小明前一局失利，则他赢下后一局比赛的概率为0.5，比赛实行“五局三胜”，求小明最终赢下比赛的概率是多少．参考公式：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ， ，(n u ，)n v ，其回归直线ˆˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1ˆi β==，ˆˆv u αβ=− 参考数据：721140ii x ==∑，71994i i i x y ==∑17．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，且112BD CD ==，BD CD ⊥．DE ⊥平面ABCD ，且12DEBF ==，//DE BF ．点H ，G 分别为线段DC ，EF 上的动点，满足(02)DH EG λλ==<<．（1）证明：直线//GH 平面BCF ；（2）是否存在λ，使得直线GH 与平面AEF 所成角的正弦值为14？请说明理由．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为(0,2)D ，直线:l y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，且直线DA 与DB 的斜率之积为13−，（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线//l l ′，直线l ′与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线DM 与DN 的斜率之和为1，求l ′与l 之间距离的取值范围．19．已知函数2cos ()x xf x x −=，(0,)x ∈+∞． （1）证明：函数()f x 在(0,)+∞上有且只有一个零点； （2）当(0,)x π∈时，求函数()f x 的最小值； （3）设()i i g x k x b =+，1i =，2，若对任意的[2x π∈，)+∞，12()()()g x f x g x 恒成立，且不等式两端等号均能取到，求12k k +的最大值．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符2023-2024学年高二数学下学期期末试卷答案合题目要求的．1．已知集合{|1}A x x a =< ，{|12}B x x =<<，若A B A = ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,)+∞B ．(1，2]C ．(2,)+∞D ．[2，)+∞【分析】由题知B A ⊆，再根据集合关系求解即可． 【解答】解：因为A B A = ， 所以B A ⊆，因为{|1}A x x a =< ，{|12}B x x =<<， 则2a ，所以实数a 的取值范围是[2，)+∞． 故选：D ．【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题． 2．已知复数(12)(1)2i z i +−=−+，则||(z = ) AB ．2CD ．3【分析】利用复数的除法运算法则求出复数，再利用复数模的公式，即可求解． 【解答】解：2(2)(12)5111112(12)(12)5i i i iz i i i i −+−+−=+=+=+=+++−，则||z = 故选：A ．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题． 3．若点(1,1)P −在角α的终边上，则sin()(4πα+= )A ．1−B． C ．0 D ．1【分析】由任意角的三角函数求出sin α，cos α，再由两角和的正弦公式代入即可得出答案． 【解答】解：因为点(1,1)P −在角α的终边上，则sin α=，cos α==所以sin()sin coscos sin0444πππααα+=+==． 故选：C ．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，两角和的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4．在直三棱柱111ABC A B C −中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．283πB ．27C ．163π D 【分析】作出图形，找到球心，解三角形求出半径，再根据球的表面积公式，即可求解． 【解答】解：如图，设上下底面中心分别为E ，F ， 取EF 的中点O ，连接BO ，BF ，则三棱柱111ABC A B C −外接球的半径R OB =，根据题意易知23BF =1OF =， 222247133R OB BF OF ∴==+=+=，∴三棱柱111ABC A B C −外接球的表面积为22843R ππ=． 故选：A ．【点评】本题考查正三棱柱的外接球问题，属基础题．5．设两个单位向量a ，b 的夹角为θ，若a在b 上的投影向量为13b ，则cos (θ= )A ．13−B ．13C ． D【分析】根据投影向量的定义可得13||||a b b b b b ⋅⋅=，结合向量的数量积运算求解即可． 【解答】解： a在b 上的投影向量为13b ，∴13||||a b b b b b ⋅⋅=， ∴211||33a b b ⋅== ， ∴1||||cos 3a b θ=，1cos 3θ∴=． 故选：B ．【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，考查了投影向量的定义，属于基础题．6．推动小流域综合治理提质增效，推进生态清洁小流域建设是助力乡村振兴和建设美丽中国的重要途径之一．某乡村落实该举措后因地制宜，发展旅游业，预计2023年平均每户将增加4000元收入，以后每年度平均每户较上一年增长的收入是在前一年每户增长收入的基础上以10%的增速增长的，则该乡村每年度平均每户较上一年增加的收入开始超过12000元的年份大约是( )（参考数据：3 1.10ln ≈，10 2.30ln ≈，11 2.40)ln ≈A ．2033年B ．2034年C ．2035年D ．2036年【分析】设经过n 年之后，每年度平均每户收入增加y 元，且4000(110%)12000n y =⋅+>，解不等式可得答案．【解答】解：设经过n 年之后，每年度平均每户收入增加y 元， 由题得4000(110%)12000n y =⋅+>，即1.13n >， 则 1.13nln ln >，33111.11110ln ln n ln ln ln >=≈−，又*n N ∈，则12n =．所以所求年份大约是2035年． 故选：C ．【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．已知1F ，2F 分别为双曲线22126x y −=的左，右焦点，直线l 过点2F ，且与双曲线右支交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△12AF F ，△12BF F 的内切圆的圆心分别为1O ，2O ，则△12OO O 面积的取值范围是( )A． B．C．)+∞ D． 【分析】先根据切线长定理判定两个内切圆的横坐标值，再设△12AF F 的内切圆半径为1r ，根据图形性质计算得△12OO O面积的解析式12112)OO O S r r =+ ，再利用函数单调性即可求得△12OO O 面积的取值范围．【解答】解：设圆1O 与1AF ，2AF ，12F F 分别切于点M ，N ，P ，由双曲线定义知，12||||2AF AF a −=，∴12||||||||2AM MF AN NF a +−−=||||AM AN = ，11||||MF F P =，22||||NF F P =，∴12||||F P F P −12||||2F P F P c +=∴12|||F P F P c a ==−，即点P 为双曲线的右顶点，1O P x ⊥ 轴，1O2O12O F 平分21AF F ∠，22O F 平分21BF F ∠，∴1222O F O π∠=， 设△12AF F 、△12BF F 的内切圆半径分别为1r ，2r ，12O O x ⊥ 轴，∴2122||2r r PF ⋅==，||OP =∴12121112()||)2OO O S r r OP r r =+⋅=+ ，设直线AB 倾斜角为α，又AB 为双曲线右支上两点，又渐近线方程为y=，∴由题意得2(,)33ππα∈，∴121(,)63O F Fππ∠∈，∴121tan O F F∠，即1(3r∈，又12112)OO OS rr=+在单调递减，在单调递增，当1r=时，122OO OS=，此时取得最小值，当1r=12OO OS=，当1r=时，12OO OS=，∴12OO OS∈．故选：B．【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．8．已知01a b<<<，e为自然对数的底数，则下列不等式不成立的是()A．a bae be<B．b aae be<C．alna blnb>D．b aa b<【分析】采用逐一验证的方法，通过构造函数()xf x xe=，()xeh xx=，()t x xlnx=，()lnxg xx=，根据这些函数在(0,1)上的单调性可得结果．【解答】解：因为01a b<<<，e为自然对数的底数，对于A，设()xf x xe=，01x<<，则()()0xf x x e′=+>，()f x在(0,1)上单调递增，故f（a）f<（b），即a bae be<，故A正确；对于B，设()xeh xx=，01x<<，则2(1)()0xe xh xx−′=<在(0,1)上恒成立，故()h x在(0,1)上单调递减，故h（a）h>（b），即a be ea b>，故b aae be<，故B正确；对于C，设()t x xlnx=，01x<<，则()1t x lnx′=+，当1(0,)xe∈时，()0t x′<，当1(xe∈，1)时，()0t x′>，故()t x在1(0,)e上单调递减，在1(e，1)上单调递增，故t（a）与t（b）得大小关系不确定，故C错误；对于D，设()lnxg xx=，01x<<，则21()0lnxg xx−′=>，故函数()g x在(0,1)上单调递增，所以g （a ）g <（b ），即lna lnba b<，化为blna alnb <，即b a lna lnb <，即b a a b <，故D 正确． 故选：C ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，依题意合理构造函数，并判断出所构造的函数的单调性是解决问题的关键，考查逻辑推理能力与数学运算能力，属于中档题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．下列说法错误的是( )A ．事件A 的概率P （A ）必满足0P <（A ）1<B ．事件A 的概率P （A ）0.999=，则事件A 是必然事件C ．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，现有患胃溃疡的病人服用此药，则估计此药有明显的疗效的可能性为76%D ．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖 【分析】根据概率的定义和性质逐个判断各个选项即可．【解答】解：对于A ，由概率的基本性质可知，0P （A ）1 ，故A 错误； 对于B ，事件A 的概率P （A ）0.999=，则事件A 是随机事件，故B 错误； 对于C ，由题意可知，估计此药有明显的疗效的可能性为380100%76%500×=，故C 正确； 对于D ，某奖券的中奖率为50%，则某人购买此券10张，可能有5张中奖，故D 错误． 故选：ABD ．【点评】本题主要考查了概率的定义和性质，属于基础题．10．圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球．如图，圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO 的底面直径为2a ，则( )A ．设内切球的半径为1r ，外接球的半径为2r ，则212r r =B ．设内切球的表面积1S ，外接球的表面积为2S ，则124S S =C ．设圆锥的体积为1V ，内切球的体积为2V ，则1294V V = D ．设S ，T 是圆锥底面圆上的两点，且ST a =，则平面PST 截内切球所得截面的面积为215a π【分析】作出圆锥的轴截面，依题意可得PAB ∆为等边三角形，设球心为G （即为PAB ∆的重心），即可求出PAB ∆的外接圆和内切圆的半径，即可为圆锥的外接球、内切球的半径，即可判断A 、B ，由圆锥及球的体积公式判断C ， ST 所对的圆心角为3π（在圆O 上），设ST 的中点为D ，即可求出OD ，不妨设D 为OB 上的点，连接PD ，过点G 作GE PD ⊥交PD 于点E ，利用三角形相似求出GE ，即可求出截面圆的半径，从而判断D ． 【解答】解：作出圆锥的轴截面如下：因为圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，所以PAB ∆为等边三角形， 又2PB a =，所以OP ，设球心为G （即为PAB ∆的重心），所以23PGPO ==，13OG PO ==，即内切球的半径为1r OG ==，外接球的半径为2r PG ==， 所以212r r =，故A 正确；设内切球的表面积1S ，外接球的表面积为2S ，则214S S =，故B 错误； 设圆锥的体积为1V，则23113V a a π==， 内切球的体积2V，则3324)3V a π==， 所以1294V V =，故C 正确；设S 、T 是圆锥底面圆上的两点，且ST a =，则ST 所对的圆心角为3π（在圆O 上），设ST 的中点为D，则sin3OD a π==，不妨设D 为OB 上的点，连接PD ，则PD ，过点G 作GE PD ⊥交PD 于点E ，则PEG POD ∆∆∽， 所以GE PG OD PD ==，解得GE =， 所以平面PST截内切球截面圆的半径r 所以截面圆的面积为2215a r ππ=，故D 正确．故选：ACD ．【点评】本题考查圆锥的内切球与外接球问题，属中档题．11．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列{}n a ，正方形数构成数列{}n b ，则下列说法正确的是( )A ．312123122221n n b b b b a a a a n ⋅…=+B ．1849既是三角形数，又是正方形数C ．12311113320n b b b b +++…+<D ．*m N ∀∈，2m ，总存在p ，*q N ∈，使得mp q b a a =+成立 【分析】利用累加法分别求出n a ，n b ，进而分别利用裂项求和法、放缩法，逐个分析各个选项即可． 【解答】解：三角形数构成数列{}:1n a ，3，6，10，…，易发现212a a −=，323a a −=，434a a −=，…，1(2)n n a a n n −−= ， 累加得，1(1)(2)2342n n n a a n −+−=+++…+=，(1)(2)2n n n a n +∴= ， 显然11a =满足上式， (1)2n n n a +∴=， 正方形数构成数列{}:1n b ，4，9，16，…，易发现213b b −=，325b b −=，437b b −=，…，121(2)n n b b n n −−=− ， 累加得1(22)(1)2n n n b b +−−=， 2(2)n b n n ∴= ， 显然11b =满足上式，2n b n ∴=，对于A ，22(1)1n n b n na n n n ==++， 3121231231222223411n n b b b b n a a a a n n ⋅⋅⋅…⋅=×××…×=++，故A 正确； 对于B ，令(1)18492nn n a +==，得(1)3698n n +=， 606136603698×=< ，616238443698×=>，(1)3698n n ∴+=无正整数解，即1849不是三角形数，令21849nb n ==，43n ∴=，即1849是正方形数，故B 错误； 对于C ，22114112()412121n b n n n n ==<=−−−+， ∴2212311111115111111511332331()2()2()434577921214521202120nb b b b nn n n n +++…++++…+<+−+−+…+−+−−<−+++，故C 正确；对于D ，取m p q ==，且*m N ∈， 令2(1)(1)22m m m m m +−=+，有1mm m b a a −=+，故*m N ∀∈，2m ，总存在p ，*q N ∈，使得mp q b a a =+成立，故D 正确． 故选：ACD ．【点评】本题主要考查了数列的应用，考查了归纳推理，考查了转化思想和运算求解能力，属于中档题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知甲组样本数据(1i x i =，2，…，6)，如下表所示：1x2x3x4x5x6x2 3 3 4 6 6若乙组样本数据23i i y x =−，则乙组样本数据的平均数y = 5 ，乙组样本数据的方差2s =乙． 【分析】根据题意，求出乙组数据，结合平均数和方差定义计算，即可得答案． 【解答】解：根据题意，乙组样本数据如下表所示：1y2y3y4y5y6y1 3 3 5 9 9则乙组样本数据的平均数1(133599)56y =×+++++=， 乙组样本数据的方差()()()()()()222222212815353555959563s =−+−+−+−+−+−=乙． 故答案为：5；283． 【点评】本题考查样本数据平均数、方差的计算，注意平均数和方差的计算公式，属于基础题． 13．从1，2，3，4，7，9六个数中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到 17 个不同的对数值．【分析】分所取得两个数中是否含有1分为两类，再利用排列的计算公式、对数的运算法则和性质即可得出．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①当取得两个数中有一个是1时，则1只能作真数，此时log 10a =，2a =或3或4或7或9． ②所取的两个数不含有1时，即从2，3，4，7，9中任取两个， 分别作为底数与真数可有2520A =个对数，其中3924log log =，2439log log =，4923log log =，2349log log =，综上可知：共可以得到201417+−=个不同的对数值． 故答案为：17．【点评】本题考查计数原理的应用，熟练掌握对数的运算法则和性质、排列的计算公式是解题的关键．14．已知抛物线2:2(0)C y px p =>与圆22:5O x y +=交于A ，B 两点，且||4AB =，直线l 过C 的焦点F ，且与C 交于M ，N 两点，则||2||MF NF +的最小值为 3+【分析】由已知可求得抛物线方程，设直线:1l x my =+，与抛物线联立方程组可求得111||||MF NF +=，进而根据基本不等式求||2||MF NF +最小值即可． 【解答】解：由抛物线2:2(0)C y px p =>与圆22:5O x y +=交于A ，B 两点，且||4AB =， 得到第一象限交点(1,2)在抛物线2:2(0)C y px p =>上，所以222p =， 解得2p =，所以2:4C y x =，则(1,0)F ，设直线:1l x my =+，与24y x =联立得2440y my −−=， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，所以124y y m +=，124y y =−，所以212|||4(1)MN y y m −=+， 由抛物线的定义，21212221221212122()41111441()||||111144()316x x m y y m y y MF NF x x x x x x m m y y ++++++=+====+++++++++，所以112||||||2||(||2||)()33||||||||NF MF MF NF MF NF MF NF MF NF +=++=+++， 当且仅当||1MF =，||1NF =+故答案为：3+【点评】本题考查求抛物线的方程，考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数()sin()cos()sin cos ,(0,||)222f x x x πππωϕωϕωϕ=+−+><的最小正周期为π，且()f x 图象关于直线6x π=对称．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数2()()2sin g x f x x =+，求()g x 的单调增区间． 【分析】（1）利用诱导公式及两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的周期性及对称性即可得解； （2）先利用降幂公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的单调性即可得解． 【解答】解：（1）已知()sin()cos()sin cos cos sin sin cos sin()22f x x x x x x ππωϕωϕωϕωϕωϕ=+−+=+=+， 因为函数的最小正周期为π， 所以2ππω=，故2ω=，又因()f x 图象关于直线6x π=对称，所以262k ππϕπ×++，k Z ∈，则,6k k Z πϕπ=+∈，又||2πϕ<， 所以6πϕ=，所以()sin(2)6f x x π=+；（2）由（1）得2()sin(2)6g x x sin x π=++11cos 22cos 2222xx x −++⋅12cos 21sin(2)126x x x π−+=−+， 令222262k x k πππππ−+−+ ，得,63k x k k Z ππππ−++∈，所以函数()g x 的单调递增区间为[,],63k k k Z ππππ−++∈．【点评】本题考查了三角函数的性质，重点考查了三角恒等变换，属中档题．16．华容道是古老的中国民间益智游戏，以其变化多端、百玩不厌的特点与魔方、独立钻石一起被国外智力专家并称为“智力游戏界的三个不可思议”．据《资治通鉴》注释中说“从此道可至华容也”．通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部，从出口逃走．不允许跨越棋子，还要设法用最少的步数把曹操移到出口．2021年12月23日，在厦门莲坂外图书城四楼佳希魔方，厦门市新翔小学六年级学生胡宇帆现场挑战“最快时间解44×数字华容道”世界纪录，并以4.877秒打破了“最快时间解44×数字华容道”世界纪录，成为了该项目新的世界纪录保持者． （1）小明一周训练成绩如表所示，现用ˆˆy bxa =+作为经验回归方程类型，求出该回归方程； 第x （天) 1 2 3 4 5 6 7 用时y （秒)105844939352315（2）小明和小华比赛破解华容道，首局比赛小明获得胜利的概率是0.6，在后面的比赛中，若小明前一局胜利，则他赢下后一局的概率是0.7，若小明前一局失利，则他赢下后一局比赛的概率为0.5，比赛实行“五局三胜”，求小明最终赢下比赛的概率是多少．参考公式：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ， ，(n u ，)n v ，其回归直线ˆˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()ˆ()nii i nii uu v v uu β==−−=−∑∑，ˆˆv u αβ=− 参考数据：721140ii x ==∑，71994i i i x y ==∑【分析】（1）先求出,x y ，套公式求出ˆb和ˆa ，得到回归方程； （2）记小明获胜时比赛的局数为X ，则X 的可能取值为3，4，5，分别求出其对应的概率，利用概率的加法公式即可求解．【解答】解：（1）由题意，根据表格中的数据，可得11(1234567)4,(105844939352315)5077x y =++++++==++++++=， 可得71722179941400ˆ14.5287i ii ii x yxybxx ==−−===−−∑∑，所以ˆˆ108a y bx =−=，因此y 关于x 的回归方程为：14.5108y x =−+；（2）记小明获胜时比赛的局数为X ，则X 的可能取值为3，4，5， (3)0.60.70.70.294P X ==××=，(4)0.40.50.70.70.60.30.50.70.60.70.30.50.224P X ==×××+×××+×××=，(5)0.60.70.30.50.50.60.30.50.30.50.60.30.50.50.70.40.50.50.70.70.40.50.30.50.70.40.50.70.30.50.1675P X ==××××+××××+××××+××××+××××+××××=，0.2940.2240.16750.6855P =++=小明获胜．【点评】本题考查了线性回归方程的计算以及互斥事件的概率加法计算，属于中档题． 17．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，且112BD CD ==，BD CD ⊥．DE ⊥平面ABCD ，且12DEBF ==，//DE BF ．点H ，G 分别为线段DC ，EF 上的动点，满足(02)DH EG λλ==<<．（1）证明：直线//GH 平面BCF ；（2）是否存在λ，使得直线GH 与平面AEF 所成角的正弦值为14？请说明理由．【分析】（1）法()i 过点G 作BD 的垂线，由题意可得//QH 平面BCF ，且//GQ 平面BCF ，进而可证得平面//GQH 平面BCF ，再证得线面的平行；法()ii 由题意建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，由向量的数量积为0，可得向量垂直，再证得线面的平行；（2）由空间向量求出直线与平面的法向量的夹角的余弦值，进而可得线面所成的角的正弦值，由题意可得λ的值．【解答】（1）证明：法()i 过点G 作BD 的垂线，交BD 于点Q ，则//GQ BF ， 连接QH ，则12DQ λ=，且由DH λ=，所以2DH DQ =，//QH BC ，又因为QH ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， 所以//QH 平面BCF ，且//GQ 平面BCF ， 又GQ QH Q = ，所以平面//GQH 平面BCF ， 又因为HG HQG ⊂， 所以//HG 平面BCF ；法()ii 因为112BDCD ==，12DE BF ==，如图，以D 为原点，分别以DC ，DB ，DE 方向为x ，y ，z 轴建立坐标系，由题意可得(2C ，0，0)，(0B ，1，0)，(2A −，1，0)，E，F ， (2,1,0)BC =−，BF =，(2,AE =−，EF = ， 设平面BCF 的法向量为1111(,,)n x y z =，则1100n BC n BF ⋅= ⋅=，即111200x y −= = ，取11x =，解得1(1,2,0)n =， 因为2DC EF ==，EG DH λ==，所以,22DH DC EG EF λλ== ，2EG EF λ=，解得(H λ，0，0)，(0,)2G λ+，(,,)2GH λλ=−−， 所以10n GH ⋅=，且GH ⊂/平面BCF ，所以//GH 平面BCF ；（2）设平面AEF 的法向量为2222(,,)n x y z =， 则由2200n AE n EF ⋅= ⋅=，即22222200x y y −= +=，令21z =−，解得2n =1)−，所以2n GH ⋅=++=，||GH=，||n =，所以2cos n <，GH >=，设直线GH 与平面AEF 所成的角为θ， 则2sin |cos n θ=<，||GH >= ， 解得1λ=．【点评】本题考查线面平行的证法及空间向量的方法求线面所成角的正弦值，属于中档题．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为(0,2)D ，直线:l y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，且直线DA 与DB 的斜率之积为13−，（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线//l l ′，直线l ′与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线DM 与DN 的斜率之和为1，求l ′与l 之间距离的取值范围．【分析】（1）联立方程组，根据13DA DB k k =−，利用韦达定理可求a ，从而得解；（2）设直线:l y kx m =+，(2)m ≠±，联立方程 组，根据1DM DN k k +=，利用韦达定理可得42m k =−，由两平行直线间的距离公式，并利用导数求最值． 【解答】解：（1）设1(A x ，1)kx ，2(B x ，2)kx ，由题意，可知2b =，则椭圆222:14x y C a +=， 联立方程组22214y kxx y a=+= ，整理可得：2222(4)40a k x a +−=，显然△0>，且120x x +=，2122244a x x a k −=+， 因为13DA DB k k =−，即12122213kx kx x x −−⋅=−， 化简得21212(31)6()120k x x k x x +−++=，所以22224(31)1204a k a k −+⋅+=+， 解得212a =，所以椭圆22:1124x y C +=； （2）由直线//l l ′，设直线:l y kx m =+，(2)m ≠±，设3(M x ，3)kx m +，4(B x ，4)kx m +， 联立方程组221124y kx m x y =+ +=，整理可得：222(13)63120k x kmx m +++−=， 则△222222364(31)(4)12(124)0k m k m k m −+−=−+>，可得22124m k + ，① 且342631kmx x k −+=+，234231231m x x k −=+， 又因为1DM DN k k +=，即3434221kx m kx m x x +−+−+=， 化简得3434(21)(2)()0k x x m x x −+−+=，则2223126(21)(2)03131m kmk m k k −−−+−=++， 化简得(2)(42)0m k m −−−=，因为2m ≠±，所以42m k =−， 结合①可知04k <<，l ′与l之间距离d = 设22441()1k k g k k −+=+，则222(21)(2)()(1)k k g k k −+′=+， 当12k =时，()0g k ′=， 则当1(0,)2k ∈，()0g k ′<，则()g x 单调递减，当1(,4)2k ∈，()0g k ′>，则()g x 单调递增，所以1()()02min g x g ==，又(0)1g =，(4)g =所以49()17g x <，所以d ∈．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合应用，平行线间的距离公式的应用，用导函数的性质可得函数值域的求法，属于中档题． 19．已知函数2cos ()x xf x x−=，(0,)x ∈+∞． （1）证明：函数()f x 在(0,)+∞上有且只有一个零点； （2）当(0,)x π∈时，求函数()f x 的最小值； （3）设()i i g x k x b =+，1i =，2，若对任意的[2x π∈，)+∞，12()()()g x f x g x 恒成立，且不等式两端等号均能取到，求12k k +的最大值．【分析】（1）设()cos h x x x =−，求导分析单调性，可得存在唯一0(6x π∈，)π，使得0()0h x =，进而可得答案．（2）求导得3sin 2cos ()x x x xf x x −−′=，分析()f x ′的符号，进而可得()f x 的单调性，即可得出答案．（3）分析当2b π<−时，0b 时，当2b π=−时，20b π−< 时，12k k +的最大值，即可得出答案．【解答】解：（1）证明：设()cos h x x x =−， 则()sin 1h x x ′=−−， 因为1sin 1x − ， 所以()0h x ′ 恒成立，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，又因为()066h ππ−>，()10h ππ=−−<， 所以存在唯一0(6x π∈，)π，使得0()0h x =，所以()f x 在(0,)+∞上有且只有一个零点， （2）3sin 2cos ()x x x xf x x −−′=， 设()sin 2cos m x x x x x =−−，()1sin cos 1cos (tan )m x x x x x x x ′=+−=+−， ()cos cos sin m x x x x x ′′=−+， 当(0,)x π∈上，sin 0x x >，()0m x ′′>，()m x ′单调递增， 又(0)10m ′=>，所以()m x 在(0,)π上的单调递增，因为()02m π=，所以当(0,)2x π∈时，()0m x <，()f x 单调递减，当(2x π∈，)π时，()0m x >，()f x 单调递增，所以()f x 在(0,)π上有最小值2()2f ππ=−．（3）由（1）可知，[2x π∈，)+∞时，()0f x <，由（2）可知2x π=为()f x 的极小值点，且[x π∈，)+∞时，222cos 112x x x x x πππ−−−−−>− ， 所以[2x π∈，)+∞时，()f x 在2x π=取到最小值2π−，2b π<−时，10k >，存在1(x m ∈，)+∞使得1()0g x >与1()()f x g x 矛盾，0b 时，20k <，存在2(x m ∈，)+∞使得22()g x π<−与2()()f x g x 矛盾，当2b π=−时，令10k =，则12()g x π=−，满足题，此时1k 取得最大值，再过点2(0,)π−作函数()f x 的切线，设切点为(P t ，())f t ，则2()()f t b f t t +′=，解得32t π=， 所以切线方程为2829x y ππ=−， 当2b π=−时，2k 的最大值为289π−，又因为3(2x π∈，)+∞时，33sin 2cos 22cos ()x x x x x x f x x x −−−′=， 设322cos ()x xx x ϕ−=， 4442sin 3cos 233()0x x x x x x xx x x x ϕ−++−++−′=<=<，所以()x ϕ单调递减， 即3222cos 8()9x x f x x π−′，所以20π−< 时，12k k +取得最大值289π，接下来证明当[2x π∈，)+∞时，22cos 829x x x x ππ−− ， 先证：32282()cos 09x x q x x x ππ=−+− ，[2x π∈，3]2π恒成立， 2284()1sin 3x xq x x ππ′=−++， 2164()cos 3x q x x ππ′′=−+，216()sin 3q x x π′′′=−， 当[2x π∈，3]2π时，()q x ′′′单调递增， 216()1023q ππ′′′=−+<，2316()1023q ππ′′′=+>，216()03q ππ′′′=>， 所以存在唯一的1(2x π∈，)π使得()0q x ′′′=，且(2x π∈，1)x 时，()0q x ′′′<，()q x ′′单调递减，1(x x ∈，3)2π时，()0q x ′′′>，()q x ′′单调递增， 因为2()023q π′=>，1()03q π′=−<，3()02q π′=， 所以存在唯一的3(2x π∈，)π使得()0q x ′=，且(2x π∈，3)x 时，()0q x ′>，()q x 单调递增， 3(x x ∈，3)2π时，()0q x ′<，()q x 单调递减， 又因为()29q ππ=，3()02q π=，所以当[2x π∈，3]2π时，32282()cos 09x x q x x x ππ=−+− ， 当3[2x π∈，)+∞时，228442()1sin (1)1sin 0333x x x x q xx x πππ′=−++=−++ ， 所以()0q x ， 综上所述，[2x π∈，)+∞时，22cos 829x x x x ππ−− ， 当3(2x π∈，)+∞，332sin 2cos 22cos 8()9x x x x x x f x x x π−−−′= ， 所以当20b π−< 时，2k 的最大值为289π，即12k k +的最大值为289π．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于难题．。
高二下学期数学期末考试试卷及答案
高二下学期数学期末考试试卷及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 若已知函数$f(x) = x^2 - 4x + 3$，则下列选项中$f(x)$的图像是正确的是：- A. 开口向上的抛物线- B. 开口向下的抛物线- C. 与x轴有两个交点- D. 与x轴有三个交点答案：D2. 已知等差数列的前5项和为25，则第10项是：- A. 5- B. 10- C. 15- D. 20答案：B3. 设函数$g(x) = \sqrt{1+x^2}$，则下列选项中$g(x)$的性质正确的是：- A. 在$x=0$处取得最小值- B. 在$x=0$处取得最大值- C. 为奇函数- D. 为偶函数答案：A4. 若$a$，$b$是方程$x^2 - 2ax + a^2 + 1 = 0$的两个根，则下列选项正确的是：- A. $a=0$- B. $b=0$- C. $a+b=2$- D. $a^2+b^2=2$答案：C5. 已知复数$z=3+4i$，则$|z|$的值是：- A. 5- B. 7- C. 9- D. 25答案：A二、填空题（每题5分，共25分）1. 若函数$h(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）的图像开口向上且顶点在y轴上，则满足的条件是______。
答案：$a > 0$，$b = 0$2. 已知数列$\{a_n\}$是等比数列，且$a_1 = 2$，$a_3 = 8$，则公比$q$是______。
答案：23. 函数$i(x) = \ln(x^2 + 1)$的定义域是______。
答案：$x \in \mathbb{R}$4. 若矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，则$A$的行列式值是______。
答案：-25. 已知点$P(2, -1)$在直线$y=3x+1$上，则直线的斜率是______。
{高中试卷}高二数学下册期末考试卷4[仅供参考]
![{高中试卷}高二数学下册期末考试卷4[仅供参考]](https://img.taocdn.com/s3/m/d1fca756ec3a87c24128c4c0.png)
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：高二数学下册期末考试卷高二理科数学试题考试时间：120分钟分数：150分一、选择题：（每小题5分，共12小题60分）1、A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边，（A ，B 可以不相邻）那么不同的排法有（ ） A ．24种 B ．60种 C ．90种 D ．120种2、设一随机试验的结果只有A 和A ，()P A p =，令随机变量10A X A =⎧⎨⎩，出现，，不出现，，则X 的方差为（） Ａ．pＢ．2(1)p p -Ｃ．(1)p p --Ｄ．(1)p p -3、若随机变量~(0.6)X B n ，，且3EX =，则(1)P X =的值是（ ）Ａ．420.4⨯ Ｂ．520.4⨯ Ｃ．430.4⨯ Ｄ．430.6⨯4、在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关 指数2R 如下， 其中拟合效果最好的模型是（ ）A ．模型1的相关指数2R 为0．98B ．模型2的相关指数2R 为0．80C ．模型3的相关指数2R 为0．50D ．模型4的相关指数2R 为0．255、若随机变量2~(210)X N ，，若X 落在区间()k -，∞和()k +，∞内的概率是相等的，则k 等于（ ）A ．2B ．10C ．可以是任意实数6、732x⎛⎝的展开式中常数项是（ ）Ａ．14Ｂ．14-Ｃ．42D ．42-7、已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ）。
A.1=ρ B.θρcos = C.θρcos 1-= D.θρcos 1= 8、若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 9、若7767610(31)x a x a x a x a -=++++，则761a a a +++的值为（ ）Ａ．1Ｂ．129Ｃ．128Ｄ．12710、设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）Ａ．46801010100C C C ·B ．64801010100C C C ·Ｃ．46802010100C C C ·Ｄ．64802010100C C C ·11、若346n n A C =，则n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．912、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（ ） Ａ．0.665 B ．0.56 Ｃ．0.24Ｄ．0.285 二、填空题：（每小题5分，共4小题20分） 13、由0,1,3,5,7,9这六个数字组成______个没有重复数字的六位奇数. 14、在220(1)x -展开式中，如果第4r 项和第2r +项的二项式系数相等，则r =，4r T =.15、某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为____（结果用分数表示）．16、直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。
高二数学下学期期末考试试题 理含解析 试题 4
2021-2021学年高二数学下学期期末考试试题 理〔含解析〕制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
一、选择题〔在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1.i 是虚数单位，那么12ii-的虚部是〔 〕 A. -2 B. -1C. i -D. 2i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算把复数化为代数形式后可得其虚部．【详解】由题意得221222i i i i i i--==--，所以复数12ii-的虚部是1-． 应选B ．【点睛】此题考察复数的运算和复数的根本概念，解答此题时容易出现的错误是认为复数z a bi =+的虚部为bi ，对此要强化对根本概念的理解和掌握，属于根底题．2.用反证法证明“方程()200++=≠ax bx c a 至多有两个解〞的假设中，正确的选项是〔 〕A. 至少有两个解B. 有且只有两个解C. 至少有三个解D. 至多有一个解【答案】C 【解析】分析：把要证的结论进展否认，得到要证的结论的反面，即为所求． 详解：由于用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否认成立，命题：“方程ax 2+bx+c=0〔a≠0〕至多有两个解〞的否认是：“至少有三个解〞， 应选：C ．点睛：此题主要考察用命题的否认，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进展否认，得到要证的结论的反面，是解题的打破口，属于中档题．()f x 的导函数为'()f x ，且满足2()'(2)ln f x x f x =+，那么'(2)f 的值是〔 〕A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C 【解析】 【分析】求出''1()2(2)f x x f x=+⋅，再把2x =代入式子，得到'(2)8f =. 【详解】因为''1()2(2)f x x f x =+⋅，所以'''1(2)4(2)(2)82f f f =+⋅⇒=.选C.【点睛】此题考察对'(2)f 的理解，它是一个常数，通过构造关于'(2)f 的方程，求得'(2)f 的值.4.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如表：那么哪位同学的试验结果表达A 、B 两变量有更强的线性相关性〔 〕A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D 【解析】试题分析：由题表格；相关系数越大，那么相关性越强。
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广东省执信中学09-10学年高二下学期期末考试数学（理）试卷校对：刘文迁试卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分为150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分 选择题(共 40 分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知A={211}x x -≤，B=2{60,}x x x --≤，则A B = （ ※ ） A. [2,0]- B. [0,1] C. [2,3]- D. [1,3]2、复数22(56)(3)m m m m i -++-是纯虚数，则实数m 的取值是 （ ※ ）A.23m m ==或B. 2m =C. 3m =D.03m m ≠≠，3、44(1(1的展开式中x 的系数是 （ ※ ） A. 4- B. 3- C. 3 D. 44、已知等差数列数列{}n a ，1235a a a ++=，78910a a a ++=，则456a a a ++=（ ※ ） A. 8 B. 7 C. 7.5 D. 8.55、若不等式23x x a -++>恒成立，则a 的取值范围是 （ ※ ） A. (,1)-∞ B. (1,)+∞ C. (,5)-∞ D. (5,)+∞6、已知函数3=y x x cos sin +的单增区间是 （ ※ ）A. [2,2]()22k k k Z ππππ-+∈ B. 4[2,2]()33k k k Z ππππ++∈ C. [2,2]()33k k k Z ππππ-+∈ D. 2[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈ 7、设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为]4,0[π，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为 （ ※ ）A ．[a1,0] B ．]21,0[aC ．|]2|,0[ab D ．|]21|,0[ab - 8、一个正四面体的外接球的表面积为3π，则该四面体的棱长为 （ ※ ）第二部分 非选择题(共 110 分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9、以点（1,2）为圆心，与直线4350x y +-=相切的圆的方程是 ※10、今有4个黄球，3个红球，同色球不加以区分，将7个球排成一列有 ※ 种不同的排列方法（用数字作答）.11、执信中学高三在2010年广州市第二次模拟考试中有800人参加考试，各科考试总分的成绩2(600,)N a ξ （0a >，总分满分750分），统计结果显示考试成绩在550分到650分之间的人数约为总人数的35，则此次考试成绩高分段（650≥）人数约有 ※ 人。
12、若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠03，则2211a b+的最小值为 ※ 13、对于问题“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为（-1,2），解关于x 的不等式20ax bx c -+>”，给出如下一种解法：参考上述解法，若关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为11(1,)(,1)32-- ，则关于x 的不等式1011kx bx ax cx ++<++的解集为 ※ . 14、极坐标方程4cos ρθ=的普通方程是 ※ .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答题须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15、（本小题满分12分）如图，直线y kx =分抛物线2y x x =-与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值.16、（本小题满分12分）如图，P 是平面ADC 外的一点，PC AD ⊥,CD=AD=4 ,PD=3,AP=5.（1）求证：APD ∠是直线AP 与 平面PCD 所成的角 （2）若PC=PD ,求二面角P-AD-C 的余弦值.17、（本小题满分14分）某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品, 2种家电商品, 3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动. (Ⅰ)试求选出的3种商品中至多有一种是家电商品的概率;(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高x 元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为40元的奖券.假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是12,若使促销方案对商场有利，则x 最少为多少元？18、（本小题满分14分） 设椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>，点A （a ，0），B （0，b -），原点O 到直线AB ． （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l ：2y x m =+与椭圆M 相交于C 、D 不同两点，经过线段CD 上点E 的直线与y 轴相交于点P ，且有0PE CD ⋅= ，||||PC PD =，试求PCD ∆面积S 的最大值．19、（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列{}n a 满足12212+++=n n n n a a a a ,且42342+=+a a a ,其中N n +∈. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为n T ,令2n n a b =,其中*∈N n ,试比较1124n n T T ++与2122log 22log 1n n b b ++-的大小,并加以证明.20、（本小题满分14分）已知()||2f x x x a =--. （1）若[1,2]x ∈时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围； （2）若a ≤，解关于x 的不等式()0f x <高二级数学（理）科期末试题答案一、选择题：BBAC CDBA 二、填空题：9、22(1)(2)1x y -+-=； 10、35； 11、160； 12、1； 13、(3,1)(1,2)-- ；14、224x y x += 三、解答题： 15、解： 解方程组2y kx y x x=⎧⎨=-⎩得直线y kx =与抛物线2y x x =-交点的横坐标为0，1k -.……………2分抛物线与x 轴围成的面积2312100111()[]23236x x S x x dx =-=-=-=⎰……6分由题意12[()]2k S x x kx dx -=--⎰=332101(1)[]236k k x k x ----=………10分所以31(1)126k -=，解得1k =-………………12分16、证明： （1）在PAD ∆中，PD=3,AP=5，AD 4=， ∴222PA =AD +PD ，∴AD PD ⊥,………3分 又因为PC AD ⊥，所以AD ⊥平面PCD ……5分∴APD ∠是直线AP 与 平面PCD 所成的角……………6分 （2）解法一：由（1）得AD ⊥平面P C D ，则C D A D ,P D ⊥⊥……………………………8分又∵平面PAD 平面CAD =AD ，∴PDC ∠是二面角P-AD-C 的平面角………9分在PDC ∆中，CD=4,PC=3,PD=3由余弦定理得222PD +CD -PC cos PDC 2PD CD ∠=⨯=2224+3-32=2433⨯⨯ 所以，求二面角P-AD-C 的余弦值为23………12分 解法二：过点P 作PO CD ⊥于点O ，由（1）知AD ⊥平面PCD ，AD ⊂平面ADC∴平面PCD ⊥平面CDA ，则PO ⊥平面ADC .……………7分 ∵PC PD =, ∴CO DO = ………………………………8分 则以O 为原点建立如图所示的直角坐标系O-XYZ.∴O （0,0,0），C （0，-2,0） ……9分设平面PAD 的法向量为(,,)n x y z =.∴,PA n AD n ⊥⊥ ，又(4,2,(4,0,0)PA DA ==00420400x PA n x y x y DA n =⎧⎧⎧=+=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⎪=⎪⎩⎪⎩⎩，所以n = ……………10分 又因为平面ACD的法向量为OP =……………11分∴2cos ,3n OP n OP n OP∙<>===∙因为二面角P-AD-C 为锐角，则二面角P-AD-C 的余弦值是23…………12分17、解: (Ⅰ)选出3种商品一共有37C 种选法, …………2分选出的3种商品中至多有一种是家电商品有251235C C C +种. …………4分 所以至多有一种是家电商品的概率为7637251235=+=C C C C P .…………6分 (Ⅱ)奖券总额是一随机变量,设为ξ,可能值为0, 40,80,120.…………7分(),81212103003=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛==C P ξ …………8分 (),832121402113=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ …………9分 (),832121801223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ…………10分 ()3033111120.P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪…………11分所以608112083808340810=⨯+⨯+⨯+⨯=EX (13)分 所以60≥x ,因此要使促销方案对商场有利，则x 最少为60元. …………14分18、解：（Ⅰ）由22222222112c a b b e a a a-===-=得a =……1分可得直线AB 的方程1x ya b-= …………2分，点O 到直线AB =，……………………3分将a =代入解得2b a == ，所以椭圆M 的方程为22142x y += ………………5分（Ⅱ）设1122(,),(,)C x y D x y ，由方程组222142y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2298240x mx m ++-=，……6分所以有1289m x x +=-，212249m x x -=，且0∆≥，即218m ≤ …………7分||CD ====……9分因为0PE CD ⋅= ，所以PE CD ⊥，又||||PC PD =，所以E 是线段CD 的中点，点E 的坐标为1212(,)22x x y y ++，即E 的坐标是4(,)99m m-， 因此，直线PE 的方程为14()299m m y x =-++，得点P 的坐标为（0，9m-）……10分所以||PE == ……11分因此11||||22S CD PE ===……12分 所以当29m =，即3m =±时，S取得最大值，最大值为max 9S = ……14分19． 解:(Ⅰ)因为12212+++=n n n n a a a a ,即11()(2)0n n n n a a a a +++-=………2分又0>n a ,所以有120n n a a +-=,所以12n n a a +=…………3分所以数列{}n a 是公比为2的等比数列，由42342+=+a a a 得4882111+=+a a a ,解得21=a ……4分故数列{}n a 的通项公式为n n a 2=(N )n +∈…………5分(Ⅱ) 因n n n n a b 4222===，………6分， 所以4,411==+nn b b b 即数列{}n b 是首项为4,公比是4的等比数列，所以2344444(41)3n nn T =++++=- …………7分 则111248423144(41)4141n n n n n n n T T +++++===+---，又147114641log 22log 2212-+=-+=-++n n n b b n n )14)(14()4713(41471431log 22log 241212121--⋅-+=---=-+-+-++n n n b b T T nn n n n n n ………9分 当1n ≥时，(41)(41)0nn -->当1n =时，13174470n n -+-=-<，当2n =时，131747740n n -+-=-⨯<猜想：13471+>⋅-n n （n N +∈）…………10分，下面用数学归纳法证明①当1=n 时，41137470=+⨯>=⋅,上面不等式显然成立；………11分 ②假设当k n =时，不等式13471+>⋅-k k 成立…………12分当1+=k n 时，1)1(343412)13(4474471++=+>+=+>⨯⨯=⨯-k k k k k k ………13分 综上①②对任意的*∈N n 均有13471+>⋅-n n又410,410n n ->->， 所以对任意的*∈N n 均有1log 22log 24122121-+<+++n n n n b b T T ………14分 证明二：(Ⅱ) 因n n n n a b 4222===，………6分， 所以4,411==+nn b b b 即数列{}n b 是首项为4,公比是4的等比数列，所以2344444(41)3n nn T =++++=- ………7分 则111248423144(41)4141n nn n n n n T T +++++===+---，又147114641log 22log 2212-+=-+=-++n n n b b n n )14)(14()4713(41471431log 22log 241212121--⋅-+=---=-+-+-++n n n b b T T nn n n n n n ………9分 当1n ≥时，(41)(41)0n n -->………10分因为1111747(13)7(13)7(32)n n n C n ---=+≥+=- ………12分∵7(32)(31)18150n n n --+=->，∴17431n n ->+………13分01log 22log 24122121<-+-+∴++n n n n b b T T ，即对任意的*∈N n 均有 1log 22log 24122121-+<+++n n n n b b T T ………………………………………14分20、解：（1）||20.|| 2.x x a x x a --<-<即12x ≤≤ ，2||x a x ∴-<，………2分，21x a x x x-<<+即恒成立……3分 ∴max min 22()()x a x x x-<<+ （※）…………4分∵2()f x x x=-在[1,2]上是增函数，则2x =时，函数max 211y =-=……5分2()g x x x =+≥=x x =，即x =min ()g x =6分由（※）可得1a <<7分（2）原不等式代为①220x a x ax ≥⎧⎨--<⎩ 或 ② 220x a x ax <⎧⎨-+>⎩ ……9分解①得2180a ∆=+≥，解得x a x ≥⎧<<⇒a x ≤<10分 解②得2280a ∆=-≤，解得a x a x R ⎧-<⎪<⎨⎪∈⎩或2a x a a x ⎧⎪=⎪<⎨⎪⎪≠⎩或2a x a a x ⎧⎪=-⎪<⎨⎪⎪≠⎩⇒a x a⎧-≤<⎪⎨<⎪⎩或22a a ax x a ⎧=⎪⎨<<<⎪⎩或………12分综合上述，当a -≤<(-∞……13分当a =(,)(22a a -∞ ……………14分。