第五章-边值问题
常微分方程的边值问题
常微分方程的边值问题常微分方程的边值问题是指在一定的边界条件下，求解常微分方程的解。
对于常微分方程而言，通常有两种类型的问题：初值问题和边值问题。
初值问题是在给定初始条件下，求解方程的解；而边值问题则是在给定边界条件下，求解方程的解。
边值问题在实际问题中具有广泛的应用，例如求解杆的挠度、求解电路中的电流分布等等。
在这篇文章中，我们将重点讨论边值问题的求解方法及其应用。
首先，我们来回顾一下常微分方程的一般形式：$$%frac{d^2y}{dx^2} = f(x, y, %frac{dy}{dx})$$其中，$f(x, y, %frac{dy}{dx})$是已知函数。
对于一般的边值问题，我们需要给定方程的边界条件，即在一定的边界点上，已知方程的解或者导数值。
通常，边界条件可以分为两类：Dirichlet条件和Neumann条件。
Dirichlet条件是指在边界点上给定方程的解，即$y(a)= %alpha$和$y(b) = ¾ta$，其中$a$和$b$是区间的端点，$%alpha$和$¾ta$是已知的常数。
Neumann条件是指在边界点上给定方程的导数值，即$%frac{dy}{dx}(a) = %alpha$和$%frac{dy}{dx}(b) = ¾ta$。
接下来，我们将介绍边值问题的求解方法。
对于边值问题的求解，最常用的方法是有限差分法。
有限差分法将区间离散化，并用差分代替微分，将微分方程转化为差分方程。
然后，通过求解差分方程，得到方程的数值解。
在有限差分法中，我们首先将区间$[a, b]$离散化为$n$个小区间，即$a = x_0 < x_1 < x_2 < … < x_n = b$，其中$n$是离散点的个数。
然后，我们用$y_i$来表示$y(x_i)$，$y_i’$来表示$%frac{dy}{dx}(x_i)$，并使用差分公式来逼近微分方程中的导数。
边值问题
∂φ |Γ = f2(S) ∂n
3
第三类： 第三类：
已知一部分边界面上的位函数值， 已知一部分边界面上的位函数值， 一部分边界面上的位函数值 和另一部分边界面上位函数的法向导数。 另一部分边界面上位函数的法向导数。
知 即： 已 φ |Γ1 = f1(S)，
∂φ |Γ 2 = f2(S) ∂n
一、三类边值问题
给定的初值条件 泛定方程 初值问题。 给定的初值条件+泛定方程 初值问题。 初值条件 泛定方程=初值问题 给定的边界条件 泛定方程=边值问题 边界条件+泛定方程 边值问题。 给定的边界条件 泛定方程 边值问题。
三类边界条件 泊松方程或 三类边值问题 泊松方程或 拉普拉斯方程
定解问题
根据给定边界条件对边值问题分类： 根据给定边界条件对边值问题分类： 边界条件 分类 (三类边界条件 三类边值问题 三类边界条件 三类边值问题)
Γ = Γ +Γ 1 2
4
1
★三类边界条件
第一类： 第一类：
已知位函数在整个边界面上的分布值。 已知位函数在整个边界面上的分布值。 （即：已知整个边界面上的位函数） 已知整个边界面上的位函数）
亦即： 亦即： S为边界 上的点。 为边界Γ 已 φ |Γ = f1(S)， 为边界Γ上的点。 知
Hale Waihona Puke 2第二类： 第二类：
已知位函数在整个边界面上的法向导数。 已知位函数在整个边界面上的法向导数。 位函数在整个边界面上的法向导数 （即：已知整个边界面上的位函数的法向导数） 已知整个边界面上的位函数的法向导数）
常微分方程的边值问题
常微分方程的边值问题一、引言在数学中，微分方程是研究自然界中变化和发展的重要工具。
它描述了物体在不同变化条件下的行为规律，并被广泛应用于物理、工程、经济等领域。
边值问题是微分方程中的一个重要分支，它关注的是在一定边界条件下的解。
二、常微分方程常微分方程是指只含有关于一个自变量的一阶或高阶导数的方程。
一般形式为：[F(x, y, y’, y’’, , y^{(n)}) = 0]其中，x是自变量，y是未知函数。
常微分方程的求解可以分为两种类型：初值问题和边值问题。
三、边值问题的定义边值问题是指在一定边界条件下，求解微分方程的解。
对于二阶常微分方程，边值问题的一般形式为：[y’‘(x) = f(x, y, y’)， a < x < b， y(a) = , y(b) = ]其中，a和b是给定的边界点，()和()是给定的边界值。
四、边值问题的求解方法边值问题的求解可以分为两种方法：迭代方法和直接方法。
4.1 迭代方法迭代方法是通过不断迭代逼近的方式求解边值问题。
常用的迭代方法有有限差分法和有限元法。
4.1.1 有限差分法有限差分法是一种将微分方程转化为差分方程进行求解的方法。
它将求解域离散化，并通过差分近似来近似微分项，最终通过迭代逼近求得边界值。
有限差分法的基本思想是将求解域划分为若干个离散的网格点，然后使用近似公式将微分项替换为差分项，从而得到差分方程。
通过迭代求解差分方程，最终得到边界条件下的解。
4.1.2 有限元法有限元法是一种将微分方程转化为代数方程组进行求解的方法。
它通过将求解域划分为有限个小区域，然后在每个小区域上选择一个试验函数来代表解，在满足边界条件的情况下，通过最小化误差的方法得到近似解。
有限元法的基本思想是将求解域划分为若干个小单元，然后在每个小单元上选择一个适当的试验函数，通过建立弱形式和加权残差方法得到代数方程组，最终通过迭代求解代数方程组得到边界条件下的解。
4.2 直接方法直接方法是通过对微分方程进行直接求解的方法，其中最常用的方法是变分法。
弹塑性力学 第05章弹性力学问题的建立和一般原理
应力分量
M O
τ xz = −αGy ，τ yz = αGx σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
代入平衡微分方程
τ zy
ϕ
τ
x
τ zx
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + + Fbx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy + + + Fby = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + + Fbz = 0 ∂x ∂y ∂z
假设弹性体受已知体力作用，在物体的边界上，或者面 力已知，或者位移已知，或者一部分上面力已知，而另一部 分上位移已知，则弹性体平衡时，体内各点的应力分量与应 变分量是唯一的，对于后两种情形，位移也是唯一的。
这一定理以这样一个假设为依据：当物体不受外力作用 时，体内的应变能为零，应力分量和应变分量也全为零。当
∫∫τ
∫∫τ
zx
dxdy = 0
dxdy = 0
M O
τ zy
ϕ
τ
x
zy
M = ∫∫ (xτ zy − yτ zx )dxdy
将应力分量代入
τ zx
τ yz = αGx
y
τ xz = −αGy
σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
∫∫τ zx dxdy = 0
∫∫τ
zy
τ xz = −αGy
1 ε ij = (1 +ν )σ ij −νσ kk δ ij E
或
[
]
σ ij = λε kk δ ij + 2Gε ij
—Chap5 静态场边值问题解法A
则X (x)
c
os
(kx
x）
c
os[(2n 1)
2a
x],n 1,2,
若x是齐次边界条件时(这里认为kx的本征函数是正、余弦函数)，则y=0或y=b 处必有非齐次边界，Y(y)的本征函数采用双曲或指数函数形式，否则解为0
(a)
若
( (
y y
0) b)
0
0或
(
y
b)
0
则
本
征
函
数 为s inh(
Chap. 5 静态场边值问题的解法
§5－1 静态场问题的分类
分布型问题
已知场源分布，求各点场强或位函数 （正问题） 已知场分布，求场源的分布 （反/逆问题）
边值型问题
给定空间某一区域内的场源分布，同时给定该区域边界上的 场强或位函数（即边值条件），在这种情况下求解该区域内的 位函数或场分布；
又
12
y y
b 0， 2b 0
1
x
,
y
Asin
a
x sinh
a
b
y，
2 x,
y
B sin
a
x sinh
a
2b
y
1x, y 0 2 x, y 0
2 x,
y
y
1 x,
y
y
y0
0 0
sin x
a
A
sinh
a
b
B
sinh
a
2b
B
cosh
• 若给定的边界条件不足以确定本征值及本征函数，则应根
据迭加原理，将待求场分解成几个场的迭加，而每个场的边
常微分方程边值问题的解法
常微分方程边值问题的解法常微分方程是描述自然科学、工程技术和经济管理等领域中各种变化规律的一个基础理论。
而边值问题是求解一些微分方程的重要问题之一，涉及到数学、物理、化学等多个领域。
在本文中，我们将讨论常微分方程边值问题的解法。
1. 边值问题的定义在微分方程解的过程中，边值问题（Boundary Value Problem, BVP）是指在区间 $[a,b]$ 上求解微分方程的解，同时已知$y(a)=\alpha$，$y(b)=\beta$ 的问题。
边值问题是对初值问题（Initial Value Problem, IVP）的一种自然延伸，在一定范围内对变量的取值进行限制，使得解的可行域更为明确。
举例来说，对于经典的二阶线性微分方程$$ y''+p(x)y'+q(x)y=f(x), \quad a<x<b $$ 如果边界条件是$y(a)=\alpha$，$y(b)=\beta$，则这个微分方程就是一个边值问题。
2. 常用解法对于一般的常微分方程边值问题，没有通用的方法可以求出其解析解，必须采用一些数值计算的方法进行求解。
常用的边值问题的解法大致有以下几种：（1）求解特殊解的方法这种方法常用于求解具有周期性边界条件的问题。
如果问题中的边界条件满足：$y(a)=y(b)=0$，则可以将问题转化为一个周期问题，即 $y(a+k)=y(b+k)$，其中 $k=b-a$。
这时，边值问题就变成了求解这个方程的周期解，例如，可以使用Fourier 级数来求解。
（2）变分法变分法是一种基于求解最小值的方法，可以用来求解一类线性边值问题。
其基本思路是将原问题转化为求一个积分的最小值。
对于一般的边值问题 $y''+f(x)y=g(x)$，可以构造一个变分问题：$$ \delta\int_a^b \left(y'^2-f(x)y^2-2gy\right) \mathrm{d}x=0 $$ 这个问题的解可以通过对变分问题的欧拉方程求解而得到。
边界元法
表 量曲E面外(外r)其 n它，电且荷为产已生知的量电。位(5移.9矢)式量把在边曲界面面上上的的法未向分知
电荷之间的关系以及与其它已知电荷之间的关系联系在
一起。
(先r)用的边分界 布，元再法取解积T＝分l方的程(5式.8()5式.9计)，算求区得域面V'电内荷的密场度。
如果考查区内只有带电导体而无其它电荷分布，应去
( yi ( yi ( yi ( yi
y j ) yi y j )2
y j ) yi y j )2
, ,
x
i
a cos
i
0.5
N
,
yi
a sin
i
0.5 ,
N
(5.13)
(5.12)式的这 8 个线性代数方程是齐次的，必有一个方程是不独
立的。我们还差一个方程。把(5.10)式在 r=0 处作相似的离散处
r V ' S'
得：T (r )
1
4
V'
(r') dV '
R
1
4
S'
(r' )n'
R R3
1 R
(r' )
n'
dS'
(6)
当r V '时T 1的这个公式在电动力学教科书中都能找到。(6) 式 场就(r是)与与边泊界松上方的程场对应(r的')及格林(函r'数) 联积系分在形一式起解。。它把区域内的
T (r)
1
4
V '
电磁场与电磁波课件第5章 静态场的边值问题
1 2 ，
然后进行 证明.同样可得出结论,其解唯一.
设φ1φ2是同一有源区域的边值问题
2 的解。 | f1 ( S )
即在区域V内，φ1和φ2满泊松方程，即
1 2 2
2
在V的边界S上，φ1和φ2满足同样的边界条件， 即
5.3.1 导体平面镜像
设在无限大导体平面(z=0)附近有一点电荷与平面距离为z=h 。 若导体平面接地，则导体平面电位为零，如图所示。求上半 空间中的电场。 分析：上半空间任一点 P处的电位，应等于点 电荷q和无限大导体平 板上感应的负电荷产生 的的电位总和。因此， 上半空间的电位问题可 表示为 ：
2
C (常数)
0
1 2
C 0
5.3 镜像法
实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边
界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程 大为简化。
依据：惟一性定理。等效电荷的引入必须维持原来的边界 条件不变。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜 像电荷，而这种方法称为镜像法。
2 A ( A) A J
人为规定
A 0
这个规定被称为库仑规范
于是有
2 A J
此式即为矢量磁位的泊松方程。
在没有电流的区域有J 0
2 A0
此式即为矢量磁位的拉普拉斯方程。 (2) 磁场的标量位函数 在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为 H 0 B 0 这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性 质，因此，象静电场一样，我们可以引入一个标量函数， 即标量磁位函数
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y
例 5.5: 将问题分解为两个场的叠加，简化问题的求解。
U0
U0
0
0
U0
U0 y d
0
上下板、隔板处的边值保持不变。
U0 y d
0
U0
U0 1 y d
0
U0 y d
n n Y ( y ) sin( y ) X ( x) e k x e d x d
( x, b) (Cekx De kx ) A sin kb 0
n k b
(, y ) (Ce k De k ) A sin ky
(Ce k 0) A sin ky 0
C 0
最终，根据叠加原理
( x, y ) Cn e
则
X Cekx De kx
0 x
( x, y) (Cekx De kx )( A sin ky B cos ky )
( x, 0) (Ce kx De kx )( A sin k 0 B cos k 0 )
代入边界条件
分离变量法
为什么能够用分离变量法，理论依据是什么？ 或者说能够使用分离变量法的条件是什么？（作业）
分离变量法的应用
例5.3
1、确定解的形式：由于电位对于y方向来说出现重复零点， 因此用三角函数的形式更方便计算
y 0 b U0 a
2
Y A sin ky B cos ky
唯一性
假定所给定边界面上的电位是已知的 如果存在任一点电位有两个解
1 2
令
1 2 0
由于拉普拉斯方程或泊松方程
21 22 20 0
0 0 0 2 V (0 0 0 0 )dV S 0 n dS
再由于格林第一恒等式，以及边界面上 0 0
r a时 U
r 时 0
r a aU / r r a U r a U
直接积分
填充了两种介质的同轴线，已知内外导体的电位，求电位分布。 利用对称性，电位与
2
、z座标无关，仅与r相关
1 (r ) 0 1 1 (r ) A ln r B
2 2 2 2 2 2 2 0 ( x, y, z) X ( x) Y ( y) Z ( z) x y z
2 2 2 d2X d 2Y d 2Z 0 2 2 2 Y Z 2 X Z 2 X Y 2 x y z dx dx dx
边值问题
第1类: 已知整个边界上的电位
Dirichlet Problems 狄理赫利问题
第2类: 已知整个边界上电位的法导
Neumann Problems 纽曼问题
第3类: 已知部分边界电位+另一部分边界电位法导
Hybrid Problems 混合问题
边值问题
边值问题的理论基础： 唯一性定理和叠加定理
进行积分并应用散度定理，可得
(00 )dV (0 20 0 0 )dV V V 00 d S
V
因为
所以
0 0 0 d S en en dS dS n n 0 2 V (0 0 0 0 )dV V 0 n dS
0
U n d An sin( y ) 0 y (0 y ) d d 2 n
2 An e
n
n x d
An sin(
n
U n d y) U 0 0 y ( y d ) d d 2
n sin( y) d
作业
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kx
X A sinhkx B coshkx
X A'e B 'e
kx
shkx chkx
分离变量法
确定Y和Z的步骤类似 最后再将X、Y、Z的通解“组装”在一起
( x, y, z) X ( x) Y ( y) Z ( z)
最后代入边界条件确定待定常数
1 d 2 X 1 d 2Y 1 d 2 Z 2 2 2 0 三项中每一项必须 是常数 X dx Y dy Z dz
分离变量法
1 d 2 X 1 d 2Y 1 d 2 Z 2 2 2 0 X dx Y dy Z dz
令：
1 d2X 2 2 k x X dx
把书读薄，再读厚，再读薄-------
边值问题
q1 1 E ( R, q1 ) 2 eR 满足叠加原理 4 0 R
D
D E
s D dS q 散度特性
分布型问题
s D1n D2 n
无旋特性
E 0
E dl 0
电磁场与电磁波
苏明
复习
电流密度
基本方程
电流连续性方程、散度方程
电场保守性方程、旋度方程
本征方程、欧姆定律
边界条件
恒定电场与静电场的比拟
思考
1 恒定电场与静电场的关系？ 2 恒定电场产生的同时产生的是恒定磁场吗？这个恒定磁场是什么样的？ 3 问什么要研究恒定电场和恒定磁场？ 4 恒定电场中突出了什么概念？ 5 接下来我们要干什么？
2 2 (r ) 0 2 2 (r ) E ln r D
边界条件： r a, U
U0
2
r b, 0
1
a c
r c, 1 2
1 2 r c, r r
b
分离变量法
分离变量法
将多变量函数写成多个单变量未知函数的乘积（分离变 量），从而将原微分方程写成多个更简单的只含一个自 变量的常微分方程； 解常微分方程，根据边界条件确定待定系数。
l
2
E1t E2t
E
2 0 边值型问题
边值问题
一般情况下电位或场强满足两个方程 无源——Laplace’s Equation 2 0 有源——Poission’s Equation 2 边值问题：在给定边界条件下求解偏微分方程 Poission’s Equation+边界条件 Laplace’s Equation +边界条件
n x b p y n u0 sin( )dy Cn e b sin 0 0 b b n 1
又因为
0 b p y u0 sin( ) dy 2bu0 0 b p
p 2, 4, 6.... p 1,3,5....
和
C e
唯一性定理：位场中，满足一定边界条件的泊松方程、 拉普拉斯方程的解是唯一的。即无论用什么方法（包括试
探、猜测），只要解满足方程和边界条件，就是此问题唯
一正确的解。
静电场方程组是线性方程，因此场矢量、电位函 数满足叠加定理。
唯一性定理的推导
首先推导格林第一恒等式
格林是谁？
由
(00 ) 0 20 0 0
1 d 2Y 2 2 k y Y dy
1 d 2Z 2 k z2 Z dz
d2X 2 kx X 0 dx2
d 2Y 2 ky Y 0 dy2
d 2Z k z2 Z 0 dz2
2 2 k x k y k z2 0
分离变量法
2 X " kx X 0
E
dr d C1 r
r=a时 U 0 r=b时
0
U0 r ln a b ln b
直接积分
已知：导体球，半径a，球体电位U 求：球内外电位分布？
1 d 2 d 2 r 0 r dr dr
2
C1 C2 r
利用边界条件确定两个待定常数：
( x, y) X ( x) Y ( y)
xx yy 0 (Ce kx De kx ) B 0 ( x, 0) ( x, b) 0 (0, y ) u , (, y) 0 0
B0
分离变量法的应用
V
0 dV 0
2
0 0
0
为常数，边界面上为0，所以
直接积分
一维场的边值问题：直接积分
例1.
2
求同轴线中的电场分布，已知半径a和b，电位U和0。
1 d d (r )0 r dr dr
d r C1 dr
代入边界条件：
d d (r )0 dr dr
C1 ln r C2
的求解
1. 如果
2 k x 0 k x k (k为正实数)
X A sinkx B coskx X A ' e jkx B ' e jkx
2. 如果
2 kx 0 kx 0
X A x B
3. 如果
2 kx 0
k x jk (k为正实数)
n 1
n x b
n sin b
y
分离变量法的应用
再利用最后一个边界条件，求解系数
(0, y ) Cn e
n 1 n x b
n sin b
y u0
上式两边同时乘以
b
sin
p y b
，将y从0到b积分
p y y sin( )dy b
0 n 1 n
b
n x b
0 p y n sin y sin( )dy b b b Cn 2