2011届广东揭阳市高三上学期学业水平考试(数学文)

广东揭阳市2011届高三上学期学业水平考试（数学文）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时l20分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔在答题卷的选择题答题区上将对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卷的整洁,考试结束后，将试卷和答题卷一并交回． 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 表示底面积，h 表示高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}0A x x =≥，{0,1,2}B =，则（ ）A ．AB ⊂≠B ．B A ⊂≠C ．A B B =UD ．A B =∅I 2．已知复数z 满足(1)2i z -=，则z 为（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3．已知幂函数()y f x =的图象过点11(,)28--，则2log (4)f 的值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．－64．若(,3),(,2)a xb x ==-，则x =”是“a b ⊥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．如果等差数列{}n a 中，35712a a a ++=，那么129a a a +++ 的（ ）A ．18B ．27C ．36D ．546．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥C ．若l α//，m α⊂，则l m //D ．若l α//，m α//，则l m // 7．已知11tan ,tan()43ααβ=-=则tan β=．（ ）A ．711B ．117-C ．113- D ．113俯视图左视图主视图8．已知双曲线221412x y-=上一点M的横坐标是3，则点M到双曲线左焦点的距离是（）A．4 B．1)C．1)-D．89．在A B C∆中,若1c=，a=23Aπ∠=，则b为．（）A．1 B．2 C D．210．已知(){},|8,0,0,x y x y x yΩ=+≤≥≥(){},|2,0,30A x y x y x y=≤≥-≥，若向区域Ω上随机投1个点P，则点P落入区域A的概率为（）A．14B．716C．34D．316二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11－13题）11．命题P：“2,12x Rx x∃∈+<”的否定P⌝为：、P⌝的真假为12．如果执行右面的框图，输入5N=，则输出的数S= ．13P在底面ABCD中的投影恰好是A根据图中的信息，在四棱锥P A B C D-对数为．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为1cos,sin.xyθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则曲线C上的点到直线220x y-+=15．（几何证明选讲选做题）已知圆O的半径为3，从圆O引切线A D和割线A B C，圆心O到A C的距离为22则切线A D的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本题满分12分）已知函数()cosf x x xππ=+, x R∈．甲DCB AF E乙DBA（1）求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）求函数()f x 的单调增区间．17．（本题满分12分）如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,A C ∠=∠=105ADC ∠=,A B B D =,现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点． （1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）设C D a =，求三棱锥A －BFE 的体积．24131452[185,190)[180,185)[175,180)[170,175)[165,170)[160,165)频数身高（cm ）身高（cm ）频数[150,155)[165,170)[170,175)[175,180)[155,160)[160,165)1712631男生样本频率分布直方图频率/cm18．（本题满分14分）为了解高中一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，测得身高频数分布表如下表1、表2． 表1:男生身高频数分布表表2：:女生身高频数分布表（1）求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图；（2）估计该校学生身高在165180cm :的概率；（3）从样本中身高在180:190cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185:190cm 之间的概率。

19．（本题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>倍，1F ，2F 是它的左，右焦点．（1）若P C ∈，且210PF PF ⋅=uuu r uu u r，12||||4PF PF ⋅=，求1F 、2F 的坐标；（2）在（1）的条件下，过动点Q 作以2F 为圆心、以1为半径的圆的切线QM （M 是切点），且使1QF =，求动点Q 的轨迹方程．20．（本题满分14分）已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S 且131,()2n n S S n N *+=+∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1{}na 的前n 项和为n T ,求满足不等式3n n T S >的n 值．21．（本题满分14分）已知函数()lnf x ax x=-．（a为常数）（1）当1a=时，求函数()f x的最值；（2）求函数()f x在[1,)+∞上的最值；（3）试证明对任意的n N*∈都有1ln(1)1nn+<．参考答案一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：BACBC BCDAD解析：2．22(1)112i z i i+===+-，选 A ．3．由幂函数()y f x =的图象过点11(,)28--得3111()()3282nn -=-=-⇒=，则目322log (4)log 46f ==,故选C ．5．由35712a a a ++=得553124a a =⇒=，129a a a +++ =1959()9362a a a +==，选C ．7．tan tan[()]βααβ=--11tan tan()14311tan tan()13112ααβααβ---===-+-+，选C ．8．依题意可求得点M的坐标为(3,，左焦点1(4,0)F -,根据对称性只需求点到1(4,0)F -的距离,由两点的距离公式易得所求的距离为8，选D ． 9．由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-220b b ⇒+-=1b ⇒=，选A ．10．由右图易得，满足条件A 的区域面积()6S A =,满足条件Ω的区域面积()32S Ω=,故所求的概率633216P ==,故选D ．二、填空题：11．2,12x R x x ∀∈+≥、真；12．45；13．4；145；15．15．12．根据框图所体现的算法可知此算法为求和：1111012233445S =++++⨯⨯⨯⨯11111111411223344555=-+-+-+-=-=13．有PA 与BC;PA 与DB;PA 与CD;PB 与AD;PD 与AB;PC 与DB 共6对互相垂直异面直线．14．将曲线C 的参数方程为1cos ,sin .x y θθ=+⎧⎨=⎩化为直角坐标方程得22(1)1x y -+=，易得所F E乙DBA15+=15．解析：依题意，BC =，∴A C =5，2AD =.A B A C =15，∴A D =15 三、解答题： 16．解：（1）∵()cos f x x x ππ=+=1cos )22x x ππ+=2sin()6x ππ+------------------------------------------------------------------------3分∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==-----------------------------------------4分又∵x R ∈ ∴1sin()16x ππ-≤+≤，∴22sin()26x ππ-≤+≤--------------------------------------------------------------6分∴函数()f x 的值域为{|22}y y -≤≤．----------------------------------------------7分 （2）由22262k x k ππππππ-≤+≤+，k Z ∈----------------------------------------9分得212233k x k -≤≤+，k Z ∈-------------------------------------------------11分∴函数()f x 的单调增区间为21[2,2]()33k k k Z -+∈------------------------------------12分17．解：（1）证明：在图甲中∵A B B D =且45A ∠= ∴45ADB ∠= ,90ABC ∠=即A B B D ⊥----------------------------------------------------------------------------------------2分在图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ， 且平面ABD 平面BDC ＝BD ∴AB ⊥底面BDC ，∴AB ⊥C D ．------------------------------------------4分又90DCB ∠=，∴DC ⊥BC,且AB BC B =∴DC ⊥平面AB C ．-----------------------------------------------------6分 （2）解法1：∵E 、F 分别为AC 、AD 的中点∴EF//CD ，又由（1）知，DC ⊥平面ABC ， ∴EF ⊥平面ABC ，--------------------------------------------------------7分 ∴13A B F E F A E B A E B V V S F E --∆==⋅-------------------------8分在图甲中，∵105ADC ∠=, ∴60BDC ∠=,30DBC ∠=由C D a=得2,BD a BC ==,1122E F C D a ==--------------------------10分∴211222A B C S A B B C a ∆=⋅=⋅⋅=∴22AEB S ∆=男生样本频率分布直方图频率/cm65456345623456654321∴231132212A BFE V a a -=⋅⋅=-------------------------------------------12分18．解（1）样本中男生人数为40 ， 由分层抽样比例为10%可得全校男生人数为400．----2分 频率分布直方图如右图示：--------------------------------------------------6分（2）由表1、表2知，样本中身高在165180cm :的学生人数为：5+14+13+6+3+1=42，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在165180cm : 的频率423705==f ---8分故由f 估计该校学生身高在165180cm : 的概率35=p ．----------------------------9分（3）样本中身高在180:185cm 之间的男生有4人，设其编号为①②③④ 样本中身高在185:190cm 之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥从上述6人中任取2人的树状图为：--12分故从样本中身高在180:190cm 之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185:190cm 之间的可能结果数为9，因此，所求概率93155p ==．---------------14分[或从上述6人中任取2人的所有可能的情况为、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6）共15种，其中至少有1人身高在185~190cm 之间的可能结果有9种，故所求概率93155p ==]19．解：（1）依题意知a =-----------------①-------------------------------------------1分∵021=⋅PF PF ∴12PF PF ⊥，∴()22222212248PF PF c (a b )b+==-=---------3分又P C ∈，由椭圆定义可知122PF PF a+=，()22212884PFPF b a+=+=------②-----5分由①②得2262a ,b ==⇒2c =．∴()120F -，、()220F ，---------------------------------------7分（2）由已知1QF =，即2212QF QM=------9∵QM 是2F 的切线 ∴222||||1Q M Q F =-∴()221221QF QF =-------------------------------------------11设(,)Q x y ，则()()22222221x y x y ⎡⎤++=-+-⎣⎦即()22634x y -+=（或221220x y x +-+=）-------------------------------------13分综上所述，所求动点Q 的轨迹方程为：()22634x y -+=-----------------------------14分20．解：（1）解法1：由1312n n S S +=+得当2n ≥时1312n n S S -=+∴113()2n n n n S S S S +--=- 即132n n a a += ∴132n na a +=------------------4分又11a =，得2112312S a a a =+=+ ∴232a =∴2132a a =-------------6分∴数列{}n a 是首项为1，公比为32的等比数列∴13()2n n a -=--------------------------------------------------------------7分解法2：由1312n n S S +=+得132(2)2n n S S ++=+--------------------------------3分即12322n n S S ++=+ ∴数列{2}n S +是首项为123S +=,公比为32的等比数列----4分∴1323()2n n S -+=⋅ 即133()22n n S -=⋅----------------------------------5分当2n ≥时∴1n n n a S S -=-＝12333()2[3()2]22n n --⋅--⋅-＝13()2n ----------------------6分显然当1n =时上式也成立∴13()2n n a -=．----------------------------------------------------------7分（2）∵z 数列{}n a 是首项为1，公比为32的等比数列，∴数列1{}na 是首项为1，公比为23的等比数列，------------------------------8分∴21()233[1()]2313nn n T -==--，---------------------------------------------9分 又∵32()22nn S =⋅-∴不等式3n n T S > 即239[1()]2()232n n->⋅------------------------------10分令2()3n m =并整理得291120m m -+<，解得219m <<---------------------11分即22()193n <<，将1,2,3n =代入都符合，又42162()3819=< 且函数2()3x y =在R 上为减函数，故当4n ≥时都有22()39n <-----------------13分∴满足不等式3n n T S >的n 值为：1，2，3．----------------------------------14分21．解：（1）当1a =时，函数()f x =ln x x-，(0,)x ∈+∞∵1'()1f x x=-，令'()0f x =得1x =---------------------------------------2分∵当(0,1)x ∈时，'()0f x < ∴函数()f x 在(0,1)上为减函数 ∵当(1,)x ∈+∞时'()0f x > ∴函数()f x 在(1,)+∞上为增函数∴当1x =时，函数()f x 有最小值，()(1)1f x f ==最小值----------------------------------4分（2）∵1'()f x a x=-若0a ≤，则对任意的[1,)x ∈+∞都有'()0f x <，∴函数()f x 在[1,)+∞上为减函数 ∴函数()f x 在[1,)+∞上有最大值，没有最小值，()(1)f x f a ==最大值；------------6分若0a >，令'()0f x =得1x a=当01a <<时，11a>，当1(1,)x a∈时'()0f x <，函数()f x 在1(1,)a上为减函数当1(,)x a∈+∞时'()0f x > ∴函数()f x 在1(,)a+∞上为增函数 ∴当1x a=时，函数()f x 有最小值，11()()1lnf x f aa==-最小值--------8分当1a ≥时，11a≤在[1,)+∞恒有'()0f x ≥∴函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，函数()f x 在[1,)+∞有最小值，()(1)f x f a ==最小值．---------------------------------------------------------9分综上得：当0a ≤时，函数()f x 在[1,)+∞上有最大值，()f x a =最大值； 当01a <<时，函数()f x 有最小值，1()1lnf x a=-最小值；当1a ≥时，函数()f x 在[1,)+∞有最小值，()f x a =最小值．--------------------10分 （3）证法1：由（1）知函数()f x =ln x x -在(0,)+∞上有最小值1即对任意的(0,)x ∈+∞都有ln 1x x -≥，即1ln x x -≥，-------------------------12分 当且仅当1x =时“＝”成立 ∵n N *∈ ∴10n n +>且11n n+≠∴11111lnlnn n n nnnn+++->⇔>111ln(1)1ln(1)nn nn⇔>+⇔>+∴对任意的n N *∈都有1ln(1)1nn+<．---------------------------------------------------------------14分证法2：要证明对任意的n N *∈都有1l n (1)1nn+<，只须证明11ln(1)nn+<，-----------11分设函数()ln(1)g x x x =+-，(1,)x ∈-+∞ ∵1'()111x g x xx=-=-++，令'()0g x =得0x =-------------------------------12分∵当(1,0)x ∈-时'()0g x <，当(0,)x ∈+∞时'()0g x >∴函数()g x 在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增 ∴当0x =时，函数()g x 取得最小值，()(0)0g x g ==最小值即对任意的(1,)x ∈-+∞，都有ln(1)x x +≥，当且仅当0x =时“＝”成立 ∵n N *∈ ∴10n >∴1111ln(1)ln(1)1ln(1)1nn n nnn+>⇔+>⇔+>即对任意的n N *∈都有1ln(1)1nn+<．-----------------------------------14分。