吉林大学离散数学精品试卷
离散数学期末考试卷
离散数学期末考试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，下列哪个选项不是集合的基本运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 幂集2. 命题逻辑中，下列哪个命题不是合取命题？A. (p ∧ q)B. (p ∨ q)C. (p → q)D. (p ↔ q)3. 关系R在集合A上是自反的，这意味着：A. 对于所有a∈A，(a, a)∈RB. R是对称的C. R是传递的D. R是反对称的4. 在图论中，下列哪个不是图的基本概念？A. 顶点B. 边C. 路径D. 矩阵5. 布尔代数中，下列哪个操作不是基本操作？A. 与（AND）B. 或（OR）C. 非（NOT）D. 模（MOD）6. 函数f: A → B，下列哪个条件不是函数的一一对应的必要条件？A. 对于A中不同的元素，它们的函数值不同B. 对于B中的每个元素，A中至少有一个元素映射到它C. 对于A中的每个元素，B中只有一个元素映射到它D. A和B的元素数量相同7. 在组合数学中，下列哪个是排列的定义？A. 从n个不同元素中取出r个元素的所有可能组合B. 从n个不同元素中取出r个元素的所有可能排列C. 从n个元素中取出r个元素的所有可能组合，不考虑顺序D. 从n个元素中取出r个元素的所有可能排列，考虑顺序8. 逻辑等价是指两个命题：A. 总是同时为真或同时为假B. 在所有可能的真值分配下都具有相同的真值C. 只有在某些真值分配下具有相同的真值D. 至少在一个真值分配下具有相同的真值9. 递归函数的特点是：A. 只能通过迭代来实现B. 必须有一个或多个基本情况C. 只能通过递归调用自身来实现D. 不能包含任何循环结构10. 在证明中，归纳法的基本步骤是：A. 基础步骤和归纳步骤B. 假设步骤和证明步骤C. 假设步骤和归纳步骤D. 基础步骤和假设步骤二、填空题（每空2分，共20分）11. 集合{1, 2, 3}的幂集包含元素个数为______。
离散数学考试试卷
离散数学考试试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列语句中不是命题的只有（）A．或重于泰山，或轻于鸿毛。
B．鸡毛也能飞上天？C．不经一事，不长一智。
D．牙好，胃口就好。
2．从真值角度看，命题公式的全部类型是（）A．永真式 B．永假式C．永真式，永假式 D．永真式，永假式，可满足式3．设M（x）：x是人；F（x）：x要吃饭。
用谓词公式表达下述命题：所有的人都要吃饭，其中错误的表达式是（）A．B．C．D．4．下列公式是前束范式的是（）A．B．C．D．5．下列命题公式为重言式的是（）A．P→(P∨Q) B．(P ∨┐P) →QC．Q∧┐Q D．P→┐Q6.设P：我很累，Q：我去学习，命题：除非我很累，否则我就去学习的符号化正确的是：（）A．┐P∧Q B．┐P→QC．┐P→┐Q D．P→┐Q7.下列等价式正确的是：A．┐（x）A(x)〈＝〉（x）┐A(x)B．(x) (y) A(x) 〈＝〉（x）(y) A(x)C．┐(x) A(x) 〈＝〉（x）┐A(x)D．(x)( A(x) ∧B(x)) 〈＝〉(x) A(x) ∨(x) B(x)8.在公式（x）(y)P(x,y) ∧Q(z)) →（y）P(y,z)中变元y是（）姓名：＿＿＿＿＿＿得分：＿＿＿＿＿＿A.自由变元B.约束变元C.既是自由变元，又是约束变元D. 既不是自由变元，又不是约束变元9．下列各图是无向完全图的是（）10．下列各有向图是强连通图的是（）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）（1）能判断真假而不是可真可假的陈述句被称为________，真值只取两个值：________或________。
（2）所谓________是指不能再分解的命题，而复合命题是由一些________经过联结词复合而成的命题。
吉林大学2019-2020学年第一学期期末考试《离散数学》大作业参考答案
吉林大学网络教育学院2019-2020学年第一学期期末考试《离散数学》大作业学生姓名专业层次年级学号学习中心成绩年月日作业完成要求：大作业要求学生手写，提供手写文档的清晰扫描图片，并将图片添加到word 文档内，最终wod文档上传平台，不允许学生提交其他格式文件（如JPG，RAR等非word 文档格式），如有雷同、抄袭成绩按不及格处理。
一、简答题（每小题7分，共56分）1、什么是命题公式的演绎？答：首先定义了消解复杂性的两种范式:最简范式和文字范式,在此基础上采用演绎方法证明了L中的可判定性定理,并设计了命题公式的演绎判定算法P(F).P(F)的时间复杂度为O(n3),远远小于基于真值表法的O(2n)和基于策略方案HAL的O(n5)。
2、什么是子句？请给出一例。
答：子句是一组包含一个主词和一个动词的关连字。
子句与片语有明显的不同，后者为一组不含主词与动词关系的关连字，如"in the morning" 或"running down the street" 或"having grown used to this harassment."3、什么是短语？请给出一例。
答：短语是由句法、语义和语用三个层面上能够搭配的语言单位组合起来的没有句调的语言单位，又叫词组。
它是大于词而又不成句的语法单位。
简单的短语可以充当复杂短语的句法成分，短语加上句调可以成为句子。
由语法上能够搭配的词组合起来的没有句调的语言单位例如：粮食//丰收（名//动）（什么//怎么样）4、什么是命题逻辑中的文字？答：检测和消除命题逻辑公式中的冗余文字,是人工智能领域广泛研究的基本问题。
针对命题逻辑的子句集中子句的划分,结合冗余子句和冗余文字的概念,将命题逻辑的子句集中的文字分为必需文字、有用文字和无用文字3类。
5、什么是析取范式？请给出一例。
答：在离散数学中，仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式，而由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。
【奥鹏】吉大19秋学期《离散数学》在线作业二[4]答案
![【奥鹏】吉大19秋学期《离散数学》在线作业二[4]答案](https://img.taocdn.com/s3/m/e26024a1aa00b52acec7ca13.png)
二、判断题（共10题，40分）
1、
如题
A错误
B正确
[仔细分析以上题目，运用所学知识完成作答]
参考选择：A
2、
如题
A错误
B正确
[仔细分析以上题目，运用所学知识完成作答]
参考选择：B
3、
如题
A错误
B正确
[仔细分析以上题目，运用所学知识完成作答]
参考选择：A
4、
如题
A错误
B正确
[仔细分析以上题目，运用所学知识完成作答]
9、
如题
A错误
B正确
[仔细分析以上题目，运用所学知识完成作答]
参考选择：A
10、
如题
A错误
B正确
[仔细分析以上题目，运用所学知识完成作答]
参考选择：A
参考选择：B
5、
如题
A错误
B正确
[仔细分析以上题目，运用所学知识完成作答]
参考选择：B
6、
如题
A错误
B正确
[仔细分析以上题目，运用所学知识完成作答]
参考选择：B
7、
如题
A错误
B正确
[仔细分析以上题目，运用所学知识完成作答]
参考选择：B
8、
如题
A错误
B正确
[仔细分析以上题目，运用所学知识完成作答]
参考选择：B
【奥鹏】吉大19秋学期《离散数学》在线作业二
试卷总分:100得分:100
一、单选题（共15题，60分）
1、
如题
AA
BB
CC
DD
[仔细分析以上题目，运用所学知识完成作答]
参考选择：C
2、
如题
《离散数学》考试试卷（试卷库20卷）及答案
《离散数学》考试试卷（试卷库20卷）及答案第 1 页/共 4 页《离散数学》考试试卷（试卷库20卷）试题总分： 100 分考试时限：120 分钟、选择题（每题2分，共20分）1. 设论域为全总个体域，M(x)：x 是人，Mortal(x)：x 是要死的，则“人总是要死的”谓词公式表示为( )（A ）)()(x Mortal x M → （B ）)()(x Mortal x M ∧（C ）))()((x Mortal x M x →?（D ）))()((x Mortal x M x ∧?2. 判断下列命题哪个正确？( )（A ）若A∪B＝A∪C，则B ＝C （B ）{a,b}={b,a}（C ）P(A∩B)≠P(A)∩P (B)（P(S)表示S 的幂集）（D ）若A 为非空集，则A ≠A∪A 成立3. 集合},2{N n x x A n∈==对( )运算封闭（A ）乘法（B ）减法（C ）加法（D ）y x -4. 设≤><,N 是偏序格，其中N 是自然数集合，“≤”是普通的数间“小于等于”关系，则N b a ∈?,有=∨b a ( )（A ）a（B ）b（C ）min(a ，b)（D ） max(a ，b)5. 有向图D=，则41v v 到长度为2的通路有( )条（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）36. 设无向图G 有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G 有( )个顶点（A ）10 （B ）4 （C ）8 （D ）127. 下面哪一种图不一定是树？（）（A ）无回路的连通图（B ）有n 个结点n-1条边的连通图（C ）每对结点间都有通路的图（D ）连通但删去一条边则不连通的图 8. 设P ：我将去镇上,Q ：我有时间。
命题“我将去镇上,仅当我有时间”符号化为（）（A ）P →Q （B ）Q →P （C ）P Q （D ）Q P ?∨? 9. 下列代数系统中,其中*是加法运算,（）不是群。
离散数学试卷及答案
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1.一个连通的无向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条( )A.汉密尔顿回路B.欧拉回路C.汉密尔顿通路D.初级回路2.设G是连通简单平面图，G中有11个顶点5个面，则G中的边是( )A.10B.12C.16D.143.在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是( )A.b∧(a∨c)B.(a∧b)∨(a’∧b)C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c)D.(b∨c)∧(a∨c)4.设i是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G的子群是( )A.<{1},·>B.〈{-1},·〉C.〈{i},·〉D.〈{-i},·〉5.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有( )A.〈Z，+，/〉B.〈Z，/〉C.〈Z，-，/〉D.〈P(A)，∩〉6.下列各代数系统中不含有零元素的是( )A.〈Q，*〉Q是全体有理数集，*是数的乘法运算B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算C.〈Z， 〉，Z是整数集， 定义为x xy=xy,∀x,y∈ZD.〈Z，+〉，Z是整数集，+是数的加法运算7.设A={1,2,3}，A上二元关系R的关系图如下：R具有的性质是A.自反性B.对称性C.传递性D.反自反性8.设A={a,b,c}，A上二元关系R={〈a,a〉，〈b,b〉,〈a,c〉}，则关系R的对称闭包S(R)是( )A.R∪I AB.RC.R∪{〈c,a〉}D.R∩I A9.设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R为X上的等价关系，R应取( )A.｛〈c,a〉，〈a,c〉｝B.{〈c,b〉，〈b,a〉}C.{〈c,a〉，〈b,a〉}D.{〈a,c〉，〈c,b〉}10.下列式子正确的是( )A. ∅∈∅B.∅⊆∅C.{∅}⊆∅D.{∅}∈∅11.设解释R如下：论域D为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x<y.下列公式在R下为真的是( )A.( ∀x)( ∀y)( ∀z)(A(x,y))→A(f(x,z),f(y,z))B.( ∀x)A(f(a,x),a)C.(∀x)(∀y)（A(f(x,y),x))D.(∀x)(∀y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))12.设B是不含变元x的公式，谓词公式(∀x)(A(x)→B)等价于( )A.(∃x)A(x)→BB.(∀x)A(x)→BC.A(x)→BD.(∀x)A(x)→(∀x)B13.谓词公式(∀x)(P(x,y))→(∃z)Q(x,z)∧(∀y)R(x,y)中变元x( )A.是自由变元但不是约束变元B.既不是自由变元又不是约束变元C.既是自由变元又是约束变元D.是约束变元但不是自由变元14.若P：他聪明；Q：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为( )A.P∨QB.P∧┐QC.P→┐QD.P∨┐Q15.以下命题公式中，为永假式的是( )A.p→(p∨q∨r)B.(p→┐p)→┐pC.┐(q→q)∧pD.┐(q∨┐p)→(p∧┐p)二、填空题(每空1分，共20分)16.在一棵根树中，仅有一个结点的入度为______，称为树根，其余结点的入度均为______。
(完整版)离散数学试题及答案,推荐文档
11 设 A,B,R 是三个集合，其中 R 是实数集，A = {x | -1≤x≤1, xR}, B = {x | 0≤x < 2, xR},则
A-B = __________________________ , B-A = __________________________ ,
A∩B = __________________________ , . 13. 设集合 A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R 是 A 上的整除，则 R 以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式 G = xP(x)xQ(x)，则 G 的前束范式是__________________________
二、选择题
1. C. 2. D. 3. B. 4. B.
5. D. 6. C. 7. C.
8. A. 9. D. 10. B. 11. B.
第 5 页 共 18 页
13. {(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}.
14. x(P(x)∨Q(x)). 15. 21.
16. (R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)). 17. {(1, 3),(2, 2)}; {(1, 1),(1, 2),(1, 3)}.
8. 设命题公式 G＝(P(QR))，则使公式 G 为真的解释有
__________________________，_____________________________,
__________________________.
吉大离散数学试题及答案
吉大离散数学试题及答案一、选择题1. 以下哪个选项不是离散数学中的基本概念？A. 集合B. 函数C. 微积分D. 关系答案：C2. 在集合论中，以下哪个操作不是基本的集合运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 微分答案：D3. 逻辑运算中的“与”操作，其结果为真当且仅当两个操作数都为真。
这个操作的符号是：A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：A二、填空题1. 一个集合的幂集包含该集合的所有_________。
答案：子集2. 如果函数f: A → B 是单射的，那么对于 A 中的任意两个不同的元素 a1 和 a2，f(a1) 和 f(a2) 在 B 中是_________的。
答案：不同的三、简答题1. 简述什么是图论中的“图”？答案：图是由顶点（或称为节点）和连接这些顶点的边组成的数学结构。
图可以是有向的或无向的，边可以是有权重的或无权重的。
2. 什么是逻辑中的“真值表”？答案：真值表是一种列出逻辑表达式中所有可能的真值组合及其结果的表格。
它用于展示逻辑表达式在不同输入值下的结果。
四、计算题1. 给定集合 A = {1, 2, 3} 和 B = {2, 3, 4}，请找出 A 和 B 的交集。
答案：A ∩ B = {2, 3}2. 假设有一个函数 f(x) = x^2，计算 f(-3) 和 f(3) 的值。
答案：f(-3) = 9，f(3) = 9五、论述题1. 论述离散数学在计算机科学中的应用。
答案：离散数学是计算机科学的基础，它提供了处理计算机科学问题所需的数学工具和理论。
例如，集合论是数据库理论的基础；图论在网络和算法设计中有着广泛应用；逻辑和布尔代数是计算机硬件设计和编程语言的基础。
2. 讨论命题逻辑和谓词逻辑的区别。
答案：命题逻辑关注简单命题及其逻辑关系，而谓词逻辑则引入了量词和变量，允许表达更复杂的逻辑关系。
命题逻辑使用逻辑连接词（如与、或、非等）来构建表达式，而谓词逻辑则使用量词（如全称量词∀和存在量词∃）来描述涉及个体的命题。
吉林大学2004级离散数学II试题A
一、（30分）判断题（正确的在括号内打√号，错误的打⨯号）1、设（G，∙）是群，对任意的a,b,c∈G，若a∙b=a∙c，则b=c。
（）2、非循环群的每一子群也必是非循环群。
（）3、设群G和群G’同态，若G 是Abel群，则G’也是Abel群。
（）4、设H 是G的子群，则在H的所有陪集中，只有一个陪集是G的子群。
（）5、设（R ,+,∙）是一个环，则∙运算一定满足交换律和结合律。
（）6、设（R ,+,⨯）是整区,0为其加法单位元,则对任意a,b∈ R，若a⨯b=0，则a=0或b=0。
（）7、设F是q元有限域，则F的q-1个非零元素在乘法下一定做成一个循环群。
（）8、设（L,⨯,⊕,0,1）是有界格，则对任意的a∈L, a的余元素一定存在且唯一。
（）9、任意一个链都是有余格。
（）10、设S = {a，b，c}，则（ρ（S）,∩,∪,ˉ,φ,S）一共有5个子代数。
（）二、（20分）设M={1,2,3},（1）写出三次交代群H中的所有元素；（2）写出三次对称群G的所有子群；（3）写出三次对称群G对于三次交代群H的商群G/H中的所有元素；（4）设σ=（1 2 3），τ=（1 3），计算σ-1τσ。
三、（10分）设G=R⨯R，其中R为实数集，G上的一个二元运算⊕定义为：<x1,y1> ⊕ <x2,y2>=<x1+x2,y1+y2>，+是R上的加运算。
又设H={<x,y>|y=2x, x，y∈R}。
证明：（H，⊕）为（G，⊕）的子群。
四、（10分）设Z为整数集，定义a*b=a+b-2,其中+，-是Z上的加，减运算，a,b是任意整数，证明：(Z,*)是一个群。
五、（10分）环R中，若乘法满足等幂律，证明：（1）R中任意元素a在加法下的周期为2；（2）R是交换环。
六、（10分）判断下列两个多项式在有理域上是否可约，如果可约，给出其质因式分解，如果不可约，证明你的结论。
吉林大学2005级《离散数学II》期末考试试题(A)参考答案
一、1.（1 3 2）（4 5）;2.不一定。
因为无限循环群恰有两个生成元;3.一定;4.B;5.C;6.D;7.一共两个子群，一个是{0}，一个是A;8.偶置换,奇置换;9.A={1，2，4，5，20}，关系是整除;10.B;二、1.x8-x4+1;2.4Z;3.商式：2x4+ x3 + 2x2+ 4x+2;余式：2；4.{I,(1 3)},{(1 2)，（1 3 2）},{(2 3),(1 2 3)}5.0的周期是1；1的周期是6；2的周期是3；3的周期是2；4的周期是3；5的周期是6。
三、证明：如果它可约必为一次式与四次及以下因式乘积或二次式与三次及以下因式乘积的形式。
（1）在R2上3x5+5x2+1是x5+x2+1，而f(0)=f(1)=10，所以它在R2上无一次质因式；（2）在R2上的二次质因式只有x2+x+1，而x5+x2+1=x2（x+1）(x2+x+1)+1，所以它在R2上也无二次质因式，因此它在R2上不可约，从而在R0上不可约。
四、1)由C的定义知C?G2)设(G,*)的单位元为e，则有e A和e B，所以e=e*e C；3)任取x, y C，令x=a1*b1, y=a2*b2，则x*y= (a1*b1)*(a2*b2)，因为*满足结合律和交换律，所以有x*y= (a1* a2)*( b1*b2) C，故*在C上是封闭的。
4)任取c C，令x=a*b，则x-1=(a*b)-1= b-1*a-1= a-1*b-1C，故C中每个元素都有逆元素。
因此结论成立。
五、显然X 非空，如（0，0）属于X根据运算的定义，在X上封闭，且满足交换律与结合律，(X, )的单位元是(0,0)，任取(a,b) X，(a,b)的负元是(-a,-b)。
所以(X, )是交换群。
运算在X上封闭，且满足结合律，所以(X, )是半群。
任取(a1,b1)，(a2,b2) ，(a3,b3) X，有(a1,b1) ((a2,b2) (a3,b3))=(a1a2+a1a3,b1b2+b1b3)((a1,b1) (a2,b2)) ((a1,b1) (a3,b3))= (a1a2+a1a3,b1b2+b1b3)，再根据和满足交换律，可得对满足分配律。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2006-2007学年第2学期
2005级《离散数学2》期末考试试题(A卷)
考试时间：2007年6月班级_______________________ 学号_____________________ 姓名_____________________
请将答案写在答题纸上，写明题号，不必抄题，字迹工整、清晰；
请在答题纸和试题纸上都写上你的班级，学号和姓名，交卷时请将试题纸、答题纸和草纸一并交上来。
一.综合体(30分，每题3分)
1. 求( 1 3 5 ) (2 5 4 ) (3 4 )
2. 只有两个生成元的循环群一定是有限循环群吗？并说明理由。
3. 有限循环群中是否一定存在周期与群的元数相等的元素？
4. 下面哪个是域GF( 16)的真子域
(A)GF (6) ;(B)GF ⑷;(C)GF(8);(D)GF(16)
5. 有限布尔代数的元素个数必定是如下哪个形式？
(A)2n;(B)n 2 ;(C)2 n;(D)4n.
6. 下列代数系统(S, *)中，哪个是群？
(A) S={0,1,3,5},* 是模7的乘法；(B) S是有理数集合，*运算是普通乘法；
(C) S是整数集合，*是普通乘法；(D) S={1,3,4,9},* 是模11的乘法。
7. 设A={0,1,2,3,4},运算为模5加法，请给出A的所有子群。
8. n元恒等置换是奇置换还是偶置换？对换呢？
9•请给出一个有余，但不是分配格的例子。
10.设R是模12的整数环，R={0,1,2,…,11},下面哪一个是极大理想：
(A) 6R; (B)2R; (C)4R; (D)8R
二.计算题(25分，每题5分)
1. 计算分圆多项式①24(X).
2. 设(Z,+)为整数加法群，(C*,??)为非零复数的乘法群，令
f: n -i n ,是Z到C*中的同态映射，请求出f的同态核。
3. 在R上求出x+2除2X5+4X3+3X2+1所得的商式和余式。
4. 设G是3次对称群，H是由I和(13)作成的子群，求H得所有右陪集。
5. 设A={0,1,2,3,4,5}, 运算为模6加法，请给出A中所有元素的周期。
三.(10分)证明或者反驳：f(x)=3x 5+5X2+1
四.(10分)设(G, *)是群，(A, *)和(B，*)是它的两个子群，C={a*b|a € A, b€ B}.证明：若*满足交换律，则(C, *)也是(G，*)的子群。
五.(10分)设Z是整数集合，X={(a,b)|a,b € Z},定义X上的二元运算①和。
如下：对任意(ab) ,(a 2,b2)€ X,有：
(a1b"e (a2,b2)= (a+a?,b1+b2), (a1bJ O (a2,b2)= (ax a2,b 1X b)，其中，+，x分别是整数加法与乘法。
证明：(X，®，O)是环，如果此环有零因子请给出它们
六.（10分）设（L,X, +）是一个格，其等价的半序格（L,三），S是L的非空子集，如果（1）任意a, b € S,有a+b€ S;（2）任意a € S,任意x € L,若x三a,则x € S;则称（S,X, +）是（L,x，+ ）的理想。
求格（{1,2,3,6},D ）的所有子格和所有理想，其中D为整除关系。
七.（5分）设（G, *）是n元有限群，e为单位元，a i,a 2,…,a n是G的任意n个元素，不一定两两不同。
试证：存在正整数p和q, 1 = p = q= n,使得a p*a p+1*…*a q=e.。