弹性力学复习第一～四章

平面应力物理方程也可表示为：
E x ( x y ) 2 1
E y ( y x ) 2 1
xy
E xy 2(1 )
二、平面应变问题的基本方程
平面应变与平面应力问题的平衡微分方程和几何 方程完全相同 。 作代换
E E , 2 1 1
fx
在x＝±l 的次要边界上，列出三个主矢量和主 矩对等的积分边界条件：
圣维南原理推广
如果物体一小部分边界上的面力是一个 平衡力系，（主矢量为0，对于同一点的主 矩也为0），那么，这个面力就只会使近处 产生显著的应力，而远处的应力可以不计。
例题 写出图所示悬臂梁的应力边界条件（用直角坐标形式）
( y )
连续性,小变形,均匀性
x
u v u v ; y ; xy x y y x
运用基本假定: 物理方程
连续性,小变形,均匀性
1 x x y E


1 y y x E


xy
1 xy G
运用基本假定: 连续性,均匀性,完全弹性,各向同性,小变形
三 弹性力学的基本假定
（1）连续性假设 （2）线弹性假设 （3）均匀性假设 （4）各向同性假设 符合以上四个假定的物体称为理想弹性体。 （5）小变形假设 本课程所讨论的问题，都是理想弹性体的小变 形问题。
第二章 平面问题的基本理论
§2-1 平面应力问题与平面应变问题 平面应力问题，就是只有平面应力分量 （σx ,σy ,τxy）存在，且仅为x、y的函 数的弹性力学问题。 平面应变问题，就是只有平面应变分量 （εx ，εy ，γxy）存在，且仅为x、y的 函数的弹性力学问题。 总结：平面应力和平面应变问题是性质不 同的两类问题，但其共同特点是应力分量 和应变分量都只是x 、y的函数，与z坐标无 关，故统称为平面问题。
正负号。
§2-7 圣维南原理及其应用
圣维南原理：如果把物体一小部分边界上的面 力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢 量相同，对于同一点的主矩也相同），那么， 近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受 的影响可以不计。 利用圣维南原理，可为简化边界上的应力 条件提供极大的方便
圣维南原理的应用
fy

1


1 2
y 2 x 2
（2－20）
x y
2、应力表示的相容方程： 平面应力
f x f y 2 2 ( 2 2 )( y x ) (1 )( ) （2－21） x y x y
平面应变
2 2 1 f x f y （2－22） ( 2 2 )( y x ) ( ) 1 x y x y

( xy ) x 0 dy P
例题 写出图所示楔形体的应力边界条件（用极坐标形式）
, 0, 2
q,
, 0, 2
q,
§2-8 按位移求解平面问题 位移法：以位移分量为基本未知量进行求 解的方法。 以平面应力为例 基本未知量—位移分量 u、v 消去—应力分量和形变分量 导出—只含有位移分量的方程和相应的边 界条件 解出—位移分量，然后求出形变分量和应 力分量
1 2 x E x 1 y
物理方程：
1 2 y E
y 1 x
xy
1 xy G
在平面问题中，τyz=τzx=0,γyz=γzx=0
§2-4
边界条件
边界条件：表示在边界上位移与约束， 或应力与面力之间的关系。 位移边界条件 边界条件 应力边界条件 混合边界条件
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3-1
逆解法与半逆解法
多项式解答
一、逆解法
1、先设定满足相容方程的应力函数Φ
2 2 x 2 y 2 x 2 y 2 2 2
0
2、根据φ 求应力分量
2 x 2 f x x, y 2 y 2 f y y, x
xy
2 xy
3、根据弹性体边界形状和应力边界条件求出边界面力。
( l x m xy ) s f x ( s ), ( m y l xy ) s f y ( s )
4、所设定的应力函数Φ，即为求解这类边界形状和边界面 力的应力函数。
二、半逆解法
1、针对求解的问题,根据弹性体的边界形状和受 力情况，假定部分或全部应力分量为某种函数，从 而推导出应力函数Φ的表达式；
1
物理方程
1 ( ) E 1 ( ) E 1 2(1 ) G E


1 u u u
二、 极坐标中的应力函数和相容方程
1、应力分量与应力函数的关系
（4）参考已得平面问题的结果提出假设。
第四章 平面问题的极坐标解答
一、基本方程
平衡微分方程
1 f 0
几何方程

u u 1 u
2 f 0
§2-9
按应力求解平面问题
相容方程
应力法：按应力求解的方法称为应力法。 基本未知量——应力分量 消去——位移分量和形变分量 导出——只含有应力分量的方程和相应的 边界条件。 解出——应力分量，然后求出位移分量和 形变分量。 按应力求解时，通常只求解全部为应力边 界条件的问题。
相容方程
1、用形变分量表示的相容方程（变形协调 方程） 2 x 2 y 2 xy
二、弹性力学的基本量的符号规定 1、外力的符号规定： 体力 f （面力
f
）在x、y、
z坐标轴上的投影fx、fy、fz （ f x , f y , f z ） 称为物体在P
点的体力（面力）分量，沿坐标轴的正向为正，沿
坐标轴的负向为负。
2、应力的符号 正面和负面：截面外法线与坐标轴正 方向一致，则该面为正面，反之，如 果截面外法线与坐标轴负方向一致， 则该面为负面。 应力的符号：正面上的应力沿坐标轴 正向为正，沿坐标轴的负向为负；负 面上的应力沿坐标轴负向为正，沿坐 标轴的正向为负。 即：“＋＋”＝“＋”；“－－”＝ “＋” “＋－”＝“－”；“－＋”＝ “－”
2、由相容方程，求出应力函数Φ的具体表达式； 3、由Φ求出σx、σy、τxy； 4、并考察σx、σy、τxy是否满足全部应力边界条件 （多连体还须满足位移单值条件）。
5、如果各方面的条件都能满足，就得到了正确的解 答，否则，就要另作假设，重新进行求解。
怎样寻找应力函数φ ?
一般而言，若采用多项式作为应力函数，可由 下述途径来试选应力分量的函数形式： (1) 根据材料力学的现有解答提出假设； （2）由边界受力情况提出假设； （3）用量纲分析方法提出假设；
z x o y
τyz
τyx
σy
3、形变：指形状的改变。
（1）线应变ε ：也称正应变，指各线段每单位长
度的伸缩。线应变以伸长为正，缩短为负。
（2）切应变γ ：各线段之间的直角的改变，用弧 度表示。切应变以直角变小为正，变大为负。 4、位移：位置的移动。物体中任意点P的位移在x、 y、z轴上的投影即位移分量，用u、v、w来表示。 符号规定：沿坐标正方向为正，沿坐标负方向为负。
设 σ1与 x 轴的夹角为α1
1 x tan1 xy
（ b）
设 σ2与 x 轴的夹角为α2
tan 2 xy 2 y
σ1 的方向与σ2方向互相垂直
四、 最大与最小正应力
n max 1
n min 2
可见：两个主应力就是最大与最小的正应力 五、最大与最小的切应力
位移法以位移为基本未知量求解，归结在给定
边界条件下，求解以位移表示的平衡微分方程; 应力法以应力为基本未知量求解，归结为在 给定边界条件下，求解平衡微分方程和应力相容 方程。
§2-10 常体力情况下的简化
一、常体力下的相容方程
2 2 ( 2 )( x y ) 0 2 y x
§2-2 平面问题中一点的应力状态
一 、任一面上的正应力σn和切应力分量τn
二、P点的主应力
若某一面上的τn ＝0， 该面为应力主 面，σn＝ σ即为主应力，该斜面的法线方向 即为P点的一个应力主向。
得：
过P点任意两个相互垂直的面上的正应力 之和始终保持不变，等于两个主应力之和。
三、主应力的方向
2
xy
2 xy
2、应力函数表示的相容方程：
24 4 4 2 2 2 4 0 4 x x y y
可写为：
或：
3、应力函数必须满足的条件 （1） 相容方程
24 4 4 2 2 2 4 0 4 x x y y
（2-25）
（2） 边界条件
( l x m xy ) s f x ( s ) ( m y l xy ) s f y ( s )
（在sσ上） （2－15）
（3） 对于多连体还必须满足位移单值条件
在常体力情况下，弹性力学平面问题存在一 个应力函数Φ。按应力求解平面问题，可归结为 求解一个应力函数，它必须满足在区域内的相容 方程（2－25）和边界条件（2－15）；对于多连 体，还必须满足位移单值条件。
应力边界条件：
( p x ) s f x ( s),
x方向的 应力分 量
( p y ) s f y ( s ),
y方向的 应力分 量
在同一边界面上，应力分量的边界值等于对应 的面力分量。即：应力分量的绝对值等于面力分量 的绝对值；而面力分量的方向就是应力分量的方向，
并可按照应力分量的正负号规定来确定应力分量的