河海大学 弹性力学 第一章
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弹性力学第一章序论10xs(土木).
杆
板壳
块体
2)研究方法：
材料力学：较多的假设，得出近似的结果.
弹性力学：较少的假设，得出较精确的结果。
例如，对于高度较大的梁（深梁），材 料力学基于平面假设的公式不再成立。弹性 力学不引用平面假设，得到较为精确的答。 对于带孔的拉伸构件平面假设也不再成立， 应力的分布是不均匀的，弹性力学的计算表 明，在孔边发生应力集中。
机械构件，大的如水轮机
小的如各种齿轮，工作中都将受到载荷作用，需 要进行应力和变形的分析，而这些分析是过去用 理论力学或材料力学的方法办不到的。
第一章 绪论
(土力学，沙漠力学) (水力学)
(风力学)
理论分析方法
－探索新设计、新结构。
实验方法 －具体设计的实验验证
战斗机的静力实验－直接实验
弹性力学
上海大学
2019年9月5日
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第一章 緖 论
第一节 第二节 第三节
弹性力学的基本任务 弹性力学的基本假设 弹性力学的基本概念
第一节 弹性力学的基本任务
与材料力学等的关系：
相同：基本任务：分析、校核、优化 区别： 1)研究对象： 材料力学：研究杆状结构； 结构力学：研究杆系结构； 弹性力学： 板、壳和实体，较精确分析杆。
(Impeller of Power Machine)
动力设备的安全壳盖
(Cover of Safety Shell)
钢结构接头
运动中的乒乓球尾流
人造骨骼
橡胶轮胎
轮胎与轮毂
天文望远镜桁架
齿轮啮合
第二节 弹性力学的基本假设
（1）连续性假设：应力、应变 和位移等物 理量可用连续函数表示。
(桥梁结构)
(土木与建筑结构)
弹性力学 第一章 绪论
是十分严格的：常常引用近似的计算假设 （如平面截面假设）来简化问题，并在许
多方面进行了近似的处理。
因此材料力学建立的是近似理论，得 出的是近似的解答。从其精度来看，材料 力学解法只能适用于杆件形状的结构。
第一章
绪论
外力
§1－2 弹塑性力学中的几个基本概念
外力 --其他物体对研究对象（弹塑性体） 的作用力。
§1－4 发展简史
弹性力学的发展史 段。
发展史
--大致分为四个阶
第一阶段：发展初期。主要是通过实验→受 力与变形之间的关系 1678年 Hooke → Hooke定律 。 1687年 Newton → 牛顿三大定律 。 同时数学的迅速发展，为弹性力学的理论发 展奠定了数学基础。
第一章
绪 论
发展史
弹塑性力学--研究各种形状的弹性体，如 杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁 结构等问题。
弹塑性力学研究方法 ：在区域V内严格考虑
静力学、几何学和物理学三方面条件，建立
三套方程; 在边界s上考虑受力或约束条 件，建立边界条件; 并在边界条件下求解上 述方程，得出较精确的解答。
材力 也考虑这几方面的条件，但不
px u, y v .
第一章
绪 论
§1－3 弹塑性力学中基本假定
弹塑性力学的研究方法，在体积V 内：
由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程； 由微分线段上形变与位移的几何关系，
建立几何方程；
由应力与形变之间的物理关系, 建立物理方程；
在边界S面上:
在给定面力的边界 s 上，
建立应力边界条件; 在给定约束的边界 su 上， 建立位移边界条件。
( , ) ( , ) ( , ) , 可略去 ( , )
多方面进行了近似的处理。
因此材料力学建立的是近似理论，得 出的是近似的解答。从其精度来看，材料 力学解法只能适用于杆件形状的结构。
第一章
绪论
外力
§1－2 弹塑性力学中的几个基本概念
外力 --其他物体对研究对象（弹塑性体） 的作用力。
§1－4 发展简史
弹性力学的发展史 段。
发展史
--大致分为四个阶
第一阶段：发展初期。主要是通过实验→受 力与变形之间的关系 1678年 Hooke → Hooke定律 。 1687年 Newton → 牛顿三大定律 。 同时数学的迅速发展，为弹性力学的理论发 展奠定了数学基础。
第一章
绪 论
发展史
弹塑性力学--研究各种形状的弹性体，如 杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁 结构等问题。
弹塑性力学研究方法 ：在区域V内严格考虑
静力学、几何学和物理学三方面条件，建立
三套方程; 在边界s上考虑受力或约束条 件，建立边界条件; 并在边界条件下求解上 述方程，得出较精确的解答。
材力 也考虑这几方面的条件，但不
px u, y v .
第一章
绪 论
§1－3 弹塑性力学中基本假定
弹塑性力学的研究方法，在体积V 内：
由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程； 由微分线段上形变与位移的几何关系，
建立几何方程；
由应力与形变之间的物理关系, 建立物理方程；
在边界S面上:
在给定面力的边界 s 上，
建立应力边界条件; 在给定约束的边界 su 上， 建立位移边界条件。
( , ) ( , ) ( , ) , 可略去 ( , )
弹性力学-第1章 绪论
后面将证明在一个点处6个 应力分量可以完全地表达 任意方向上的应力。这6个 应力分量构成一点的应力 状态。
p lim F A0 A
二、内力和应力（内力的集度）
1.内力：（采用截面法求解）
2、应力
y
x
z
x
y
yz
yx
z
xy
zy
zx
x
xz z
外法线方向与坐
标轴同向的面称为 正面, 反之为负面。
三.自然状态假设 物体在外力作用前，没有初应力。 应力和位移与外力(体力和面力)是1－1对应的。
卸载的弹性规律相同
二. 小变形假设
应变、位移是微小-这个假设导致问题的简化： 1．物体内各点的位移远小于物体原来的尺寸；转角、应变均远小于１。
2．研究平衡高阶微量。 4．得到线性方程，可以应用叠加原理。
修改这个假设得到几何非线性问题
y
z
x
a）定义：
f
lim
V 0
F V
[
fx
fy
f z ]T
(N / m3)
正负号规定：指向坐标轴正 向为正，反之为负。
2、面力：分布在物体表面上的外力。
(1)、面力分布集度
作用在表面一点处的面力:
y
Q
f
lim F S0 S
[ fx,
fy,
f z ]T
(N / m2)
F
S o
x
z
正负号规定：指向坐标轴正向为正，反之为负。
过该点取三个正交微分线段研究,如图所示：
y dy
1.线应变:
dy
dx dz
z
dz
(1)应变分量
沿x方向
dx dx
p lim F A0 A
二、内力和应力（内力的集度）
1.内力：（采用截面法求解）
2、应力
y
x
z
x
y
yz
yx
z
xy
zy
zx
x
xz z
外法线方向与坐
标轴同向的面称为 正面, 反之为负面。
三.自然状态假设 物体在外力作用前，没有初应力。 应力和位移与外力(体力和面力)是1－1对应的。
卸载的弹性规律相同
二. 小变形假设
应变、位移是微小-这个假设导致问题的简化： 1．物体内各点的位移远小于物体原来的尺寸；转角、应变均远小于１。
2．研究平衡高阶微量。 4．得到线性方程，可以应用叠加原理。
修改这个假设得到几何非线性问题
y
z
x
a）定义：
f
lim
V 0
F V
[
fx
fy
f z ]T
(N / m3)
正负号规定：指向坐标轴正 向为正，反之为负。
2、面力：分布在物体表面上的外力。
(1)、面力分布集度
作用在表面一点处的面力:
y
Q
f
lim F S0 S
[ fx,
fy,
f z ]T
(N / m2)
F
S o
x
z
正负号规定：指向坐标轴正向为正，反之为负。
过该点取三个正交微分线段研究,如图所示：
y dy
1.线应变:
dy
dx dz
z
dz
(1)应变分量
沿x方向
dx dx
弹性力学第一章绪论
（习题1—4）例：应力和面力的符号规定有
什么区别？试分别画出正面和负面上的正应 力和正的面力的方向。
Oz
x
y
形变 形变：形状的改变。
——长度的改变：物体内线段每单位长度的伸
缩称为线应变（正应变），用 表示，以伸
长为正， x 表示 x 方向线段的线应变。
——角度的改变：物体内各线段之间直角的改
1. 连续性假设
•假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体 的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。
•——变形后仍然保持连续性。
•根据这一假设，物体所有物理量，例如应力、 形变和位移等均为物体空间的连续函数。
•——宏观假设，微观上这个假设不可能成立。 只要组成物体的微粒尺寸以及微粒间的距离比 物体的尺寸小得多，连续性假设不会引起显著 的误差。
•与物体的形变或材料强度直接相关的则是截
面法线方向和切线方向的分量，即正应力和 切应力，分别记为 σ，τ
六面体上的应力分量(重点)
x 表示作用在垂直于x轴的面上沿x轴方向的正应力。 xy 表示作用在垂直于x轴的面上沿y轴方向的切应力。
应力分量的符号(重点)
如果某一个截面的外法线是沿着坐标 轴 的正方向，这个截面就称为一个正面， 这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正， 沿坐标轴负方向为负。
2. 均匀性假设
•假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成 的。因此物体各个部分的物理性质都是相同 的，不随坐标位置的变化而改变。
•——物体的弹性性质处处都是相同的。
•——工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物 体的的几何形状，并且在物体内部均匀分布， 从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。
相反，如果某一个截面的外法线是沿着 坐标轴 的负方向，这个截面就称为一个 负面，这个面上的应力就以沿坐标轴负方 向为正，沿坐标轴正方向为负。
弹性力学 第1章绪论
如果除上述基本假设以外，还引用某 些补充的假设，例如对于薄板（或薄壳）， 引用补充的几何假设，即直线素假设，这 样的弹性理论也可称为应用弹性理论。
弹性力学的主要对象和基本内容 弹性力学是研究非杆状弹性体(例如板、壳、 挡土墙、堤坝和地基等实体结构)在外力作用下或 由于温度改变等原因所产生的应力、应变和位移。
钱伟长(1912.10.9-2010.7.30)
钱伟长，著名力学家、应用数学家、教育家和 社会活动家。是我国近代力学的奠基人之一。 兼长应用数学、物理学、中文信息学，著述甚 丰。特别在弹性力学、变分原理、摄动方法等领域 有重要成就。早年提出的薄板薄壳非线性内禀统一 理论对欧美的固体力学和理性力学有过重大的影响。 创办了我国第一个力学研究室，筹建了中国科学院 力学研究所和自动化研究所。长期从事高等教育领 导工作，为培养我国科学技术人才作出重要贡献。 社会活动十分活跃，积极推动了祖国的统一大业。
弹性力学的任务 分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移
校核它们是否具有所需的强度和刚度
寻求或改进它们的计算方法
材料力学与弹性力学的区别 在材料力学中研究杆状构件，除了从静力学、 几何学、物理学三方面进行分折以外，大多还需 要引用一些关于构件的应变状态或应力分布的假 定，这就大大简化了数学推演。但是，得出的解 答有时是近似的。在弹性力学中研究杆状构件一 般都不引进那些假定。因此，得出的结果就比较 精确，其解可以用来校核材料力学所得出的近似 解答。
弹性力学的基本假设与材料力学完全相 同，但是在研究方法上有较大的差别，主要 体现在
研究对象：材料力学研究的主要是杆件；而弹性 力学研究的是块、板、壳等复杂结构。 研究方法：材料力学主要是借助一些平面假设， 在构件分析中简化了数学推导，或者说舍弃了数学 严格性，但在保证精度的前提下为工程计算提供了 简便算法；而弹性力学则是数学严格的。故有时本 学科亦称为弹性结构的数学理论。
弹性力学讲义绪论p
§1-2 弹性力学的发展
第1章 绪论1-2
线性问题发展期（约于1854 一1907 ）
A.Castigliano( 意)(卡斯蒂利亚诺 )—1873-1879 ， 建立了最小余能原理 D.C.L.Rayleigh;W.Ritz (瑞利一里茨)—1877-1908, 提出了Rayleigh-Ritz 法 B.G.Galerkin （俄）(伽辽金法)—1915, 迦辽金近似 计算法
合的构架等。
§1-1 弹性力学的内容
弹性力学与材料力学等学科的比较
第1章 绪论1-1
构件承载能力分析是固体力学的基本任务
不同的学科分支，研究对象和方法是不同的
从研究对象看 从研究的方法上看
§1-1 弹性力学的内容
弹性力学与材料力学等学科的比较
第1章 绪论1-1
? 研究对象——弹性体—近似 ?研究内容和基本任务—基本相同 ?研究方法—却有比较大的差别
《弹性力学》教学大纲
教材要求
建议教材: 陈国荣．弹性力学．
南京：河海大学出版社，2002
参考书：S.P.Timoshenko. Theory of Elasticity (Third Edition)
内容与初步安排: (共48学时)
第1章 绪论（3学时） 第2章 平面应力与平面应变(5学时） 第3章 平面问题的直角坐标解答（4学时） 第4章 平面问题的极坐标解答 （6学时） 第5章 三维问题的基本理论 （8学时） 第6章 三维问题的基本解法与弹性力学的一般原理（4学时
§1-2 弹性力学的发展
第1章 绪论1-2
非线性问题发展期（1907一）
1907年，卡门首先提出了薄板大挠度问题（大位移）
1937-1939 ，F.D.Murnaghan;M.A.Biot 提出大应 变问题
弹性力学第一章
3 均匀性假设
整个物体是同一材料组成的，这样， 整个物体是同一材料组成的，这样，整个物体的所有各 部分才具有相同的弹性 。
25
1.2
基本假设
4 假定物体是各向同性的
物体的弹性在所有各个方向都相同。这样， 物体的弹性在所有各个方向都相同。这样，物体的弹性 常数才不随方向而变。 常数才不随方向而变。
5 假定位移和形变是微小的
假定物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远远小 假定物体受力以后， 于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。 于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于 。在考 察物体的形变及位移时， 察物体的形变及位移时，转角和应变的二次幂或乘积都 可以略去不计 。
sin α ≈ α
tan α ≈ α
1 ≈ 1− ε x 1+ ε x
16
1.1
弹性力学
二 弹性力学与材料力学及结构力学之间的不同点： 弹性力学与材料力学及结构力学之间的不同点： 1 研究内容不同 材料力学：杆件构件， 材料力学：杆件构件，即长度远大于高度和宽度 的构件，拉压、剪切、 的构件，拉压、剪切、弯曲和扭转作用下的应力 和位移。 和位移。 结构力学：在材料力学的基础上，杆状构件所组 结构力学：在材料力学的基础上， 成的结构，也即杆件系统，例如，桁架、 成的结构，也即杆件系统，例如，桁架、刚架等
15
1.1
一 概念
弹性力学
弹性力学，又称为弹性理论。 弹性力学，又称为弹性理论。 研究对象： 研究对象：弹性体 研究内容： 研究内容：受外力作用或由于温度改变等原因 而发生的应力、 而发生的应力、形变和位移 研究任务： 研究任务：分析各种结构物或构件在弹性阶段 的应力和位移， 的应力和位移，校核它们是否具有所需要的强 度和刚度， 度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法
弹性力学简明教材(电子版)
弹性力学简明教材(电子版)
本教材旨在对读者简明地阐述弹性力学的基本概念和公式，涉
及弹性体的基本特性，力学基本定律，应力应变状态的描述和计算，以及弹性体固有振动和波的传播等内容。
第一章弹性体的基本特性
本章介绍了弹性体的基本特性，包括弹性体的定义、分类、形
变和应力等概念，以及材料的弹性模量和泊松比等基本参数。
通过
本章的研究，读者将会了解弹性体的基本特性，为后续章节的研究
打下基础。
第二章力学基本定律
本章介绍了力学基本定律，即牛顿定律和能量守恒定律，以及
它们在弹性力学中的应用。
通过本章的研究，读者将会了解力学基
本定律的含义和应用。
第三章应力应变状态的描述和计算
本章介绍了应力应变状态的描述和计算方法，涉及应力应变张量和应力应变关系等内容。
通过本章的研究，读者将会了解弹性体中应力应变关系的基本概念和计算方法。
第四章弹性体固有振动和波的传播
本章介绍了弹性体固有振动和波的传播，包括弹性体的本征频率和本征振型，以及弹性波的类型和传播速度等内容。
通过本章的研究，读者将会了解弹性体固有振动和波的传播，为实际问题的解决提供理论基础。
第五章应用实例分析
本章通过实际问题的分析和计算，综合运用前面章节所学的知识，掌握弹性力学在实际工程中的应用。
通过本章的研究，读者将会了解如何分析和解决实际弹性力学问题。
附录：本教材的符号表和计算公式等内容，供读者参考。
总结
弹性力学是工程力学的重要分支之一，具有广泛的应用。
本教材对弹性力学的基本概念、公式和应用进行了简要的阐述，适合初学者学习和工程技术人员参考使用。
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xy 与 yx 数值相同，符号也相同。 在弹力中，
xy与 yx 数值相同，符号相反。 在材力中，
第二节
弹性力学中的几个基本概念
形变
形变 (Deformation) -- 形状的改变。以通过一点的沿坐标正向 微分线段的正应变 (Normal strain)和切应 变 (Shearing strain)来表示。 正应变 x , y ，以伸长为正。
出应力、形变和位移。
第三节
弹性力学中的基本假定
基本假定
为什么要提出基本假定？ 任何学科的研究，都要略去影响很
小的次要因素，抓住主要因素,从而建立
计算模型,并归纳为学科的基本假定。
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
弹性力学中的五个基本假定。
关于材料性质的假定及其在建立弹 性力学理论中的作用： （1）连续性(Continuity)--假定物体是连 续的。
小变形假定的应用： a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡 条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后
的尺寸。 b.简化几何方程：在几何方程中，由于
适用性：材料具有明显的弹性区，应力在一定限 度内(弹性力学采用） 反例：橡皮、人体组织（非线性弹性）、土（无 明显的弹性区）
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（3）均匀性(homogeneity)--假定物体由同种 材料组成。 因此， E、μ等与位臵 ( x, y, z )无关。 含义：从试样测定的材料特性可以代表了这 种材料 适用性：与问题宏观尺度有关、与研究问题的 目的有关（简单问题基本都采用）
出生于巴黎。在纯数学和应用数学的功力 是相当深厚的，很多数学的定理和公式也 都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯
西积分公式...在数学写作上，他是被认为在数量上
仅次于欧拉的人。 柯西在1822年的一篇论文中，建立了弹性理论的 基础。
1857年5月23日，他突然去世，享年68岁，临终前，
他还与巴黎大主教在说话，他说的最後一句话是：
因此，各物理量可用连续函数表示。
这是连续介质力学（包括固体力学和流 体力学）中的基本假定。
反例：
带裂纹材料 – 断裂力学
多孔介质
散粒体材料 – DEM、DDA
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（2）完全弹性(perfect elasticity)-假定物体是, a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无 残余变形。 b.线性弹性—应力与应变成正比。 因此，即应力与应变关系可用胡克定律 (Hooke’s law)表示（物理线性）。
徐芝纶编《弹性力学》(第四版，上册)，高等教育出
版社，2006 S.Timoshenko & Goodier J.《Theory of Elasticity》 清华大学出版社, 2004 徐芝纶编《Applied Elasticity》，高等教育出版社，
1991
Give me a fish and I will eat today,
人总是要死的，但是，他们的功绩永存。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
例：正的应力
O( z )
yx
xy
y
x
x
x
xy
y
y
yx
第二节
弹性力学中的几个基本概念
应力与面力
在正面上，两者正方向一致， 在负面上，两者正方向相反。
O( z )
x
x
f yxy
xy
x
fy fx
fx
y
第二节
弹性力学中的几个基本概念
v 表示,
量纲为 L。以坐标正向为正。 变形前p x, y ,变形后
px u, y v .
基本物理量 外力 （已 知量） 体力 面力 正应力 切应力 未 知 量 正应变 切应变
平面问题
空间问题
量纲
正负方向的规定
fx
fx
x
fy
fy
y
fx
fx
x
fy
fy
y
fz
fz
L-2MT-2 L-1MT-2 L-1MT-2 L-1MT-2 量纲一 量纲一
切应变 xy , 以直角减小为正,用弧度表示。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
正的正应力对应于正的线应变, 正的切应力对应于正的切应变。
o z x P A
yx α
B y C
xy
α
第二节
弹性力学中的几个基本概念
位移
位移(Displacement)
-- 一点位臵的移动，用 u ,
研究弹性体的力学，有材料力学、结构力学、 弹性力学。它们的研究对象分别如下：
第一节
弹性力学的内容
研究对象
材料力学(Mechanics of materials)--研究简单
构件（主要是杆件如梁、柱和轴的拉压、弯曲、剪切、扭 转和组合变形等）的强度、刚度和稳定性计算。
结构力学(Structural mechanics)--在材料力
变形状态假定
变形状态假定： （5）小变形假定(micro-deformation assumption)--假定位移和形变为很小。
a.位移＜＜物体尺寸,
例：梁的挠度v＜＜梁高h.
b. ε, 1.
例：梁的 ≤10－3 ＜＜1, ＜＜1弧度（57.3°）.
第三节
弹性力学中的基本假定
变形状态假定
反例： 混凝土当作非均质材料、纤维增强复
合材料
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（4）各向同性(isotropy)--假定物体各向同 性。 因此， E、μ等与方向无关。
含义：试样制作不需要考虑方向。 作用：数学描述简单 适用性：当材料的各向异性性不明显或是可忽 略的次要因素。 反例：如木材、沉积岩等材料。
O( z )
fx
fx
fy
x
O( z )
fy fx
fy
x
fy
fx
y
y
第二节
弹性力学中的几个基本概念
内力
内力 (Internal force)
--假想切开物体，截面两边互相作用 的力（合力和合力矩)，称为内力。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
应力
应力 (Stress) --截面上某一点处，单 位截面面积上的内力值。
--（定义）作用于物体体积内的力。 （表示）以单位体积内所受的力来量 度， fx , fy , f z . （量纲） ML T .
基本量纲是指具有独立性的量纲。国际单位制有7个基本量 的量纲符号,与力学有关的为：长度L、质量M、时间T。
-2 -2
（符号）坐标正向为正。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
弹力与材力 相比，正应力符号，相同 切应力符号，不同
O( z )
x
O( z )
x
x
y
x
y
材力：顺时针向为正
材力：以拉为正
第二节
弹性力学中的几个基本概念
切应力互等定理 (Theorem of conjugate shearing stress)： 由微分体的平衡条件 Μ 0 得：
xy yx ,
F p lim A 0 A
-1 -2
（量纲）ML T . （表示）σ x -- x 面上沿 x 向正应力(Normal stress)， xy -- x 面上沿 y 向切应力(Shearing stress)。 （符号）坐标面上的应力以正面正向，负面负 向为正。
柯西（1789-1857）
第一节
弹性力学的内容
地位
弹性力学在力学学科和工程学科中,
具有重要的地位： 弹性力学是其他固体力学分支学科的
基础。
弹性力学是工程结构分析的重要手段。 尤其对于安全性和经济性要求很高的近代大 型工程结构，须用弹力方法进行分析，或以
弹性应力分析和变形分析为基础。
二滩拱坝
施工中的龙滩大坝
H=240m
H=192m
沿坐标轴正向为 正，反之为负
正面正向，负面 负向为正，反之 为负 线段伸长为正， 反之为负 线段间直夹角变 小为正，反之为 负 沿坐标轴正向为 正，反之为负
z
xy
xy
yz zx
x
y
xy
x
y z
xy yz zx
位移
u v
u v
w
L
直角坐标表示的各种基本物理量
Teach me to fish and I will eat for a life time.
授人以鱼，不如授人以渔。
第一节 第二节 第三节 第四节
弹性力学的内容 弹性力学中的几个基本概念 弹性力学中的基本假定 弹性力学发展简史
第一章
绪 论
定义
§1-1 弹性力学的内容
弹性力学(Elasticity) --研究弹性体由于受外力、边界约束或温度 改变等原因而发生的应力、形变和位移。 弹性体：理想化的固体材料、材料受荷载 后只发生弹性变形（卸载后可恢复的变形）
Elasticity 河海大学力学与材料学院
弹性力学也称弹性理论，主要研究
弹性体在外力作用或温度变化等外界因
素下所产生的应力、应变和位移，从而 解决结构或机械设计中所提出的强度和 刚度问题。
教 材
徐芝纶编《弹性力学简明教程》(第四版)，高
等教育出版社，2013
主要参考书
陈国荣编《弹性力学》，河海大学出版社，2002
第三节
弹性力学中的基本假定
研究方法
在边界S面上:
在给定面力的边界 s 上，建立应力边 界条件(Stress boundary conditions); 在给定约束的边界 su 上，建立位移边界 条件(Displacement boundary conditions)。
xy与 yx 数值相同，符号相反。 在材力中，
第二节
弹性力学中的几个基本概念
形变
形变 (Deformation) -- 形状的改变。以通过一点的沿坐标正向 微分线段的正应变 (Normal strain)和切应 变 (Shearing strain)来表示。 正应变 x , y ，以伸长为正。
出应力、形变和位移。
第三节
弹性力学中的基本假定
基本假定
为什么要提出基本假定？ 任何学科的研究，都要略去影响很
小的次要因素，抓住主要因素,从而建立
计算模型,并归纳为学科的基本假定。
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
弹性力学中的五个基本假定。
关于材料性质的假定及其在建立弹 性力学理论中的作用： （1）连续性(Continuity)--假定物体是连 续的。
小变形假定的应用： a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡 条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后
的尺寸。 b.简化几何方程：在几何方程中，由于
适用性：材料具有明显的弹性区，应力在一定限 度内(弹性力学采用） 反例：橡皮、人体组织（非线性弹性）、土（无 明显的弹性区）
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（3）均匀性(homogeneity)--假定物体由同种 材料组成。 因此， E、μ等与位臵 ( x, y, z )无关。 含义：从试样测定的材料特性可以代表了这 种材料 适用性：与问题宏观尺度有关、与研究问题的 目的有关（简单问题基本都采用）
出生于巴黎。在纯数学和应用数学的功力 是相当深厚的，很多数学的定理和公式也 都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯
西积分公式...在数学写作上，他是被认为在数量上
仅次于欧拉的人。 柯西在1822年的一篇论文中，建立了弹性理论的 基础。
1857年5月23日，他突然去世，享年68岁，临终前，
他还与巴黎大主教在说话，他说的最後一句话是：
因此，各物理量可用连续函数表示。
这是连续介质力学（包括固体力学和流 体力学）中的基本假定。
反例：
带裂纹材料 – 断裂力学
多孔介质
散粒体材料 – DEM、DDA
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（2）完全弹性(perfect elasticity)-假定物体是, a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无 残余变形。 b.线性弹性—应力与应变成正比。 因此，即应力与应变关系可用胡克定律 (Hooke’s law)表示（物理线性）。
徐芝纶编《弹性力学》(第四版，上册)，高等教育出
版社，2006 S.Timoshenko & Goodier J.《Theory of Elasticity》 清华大学出版社, 2004 徐芝纶编《Applied Elasticity》，高等教育出版社，
1991
Give me a fish and I will eat today,
人总是要死的，但是，他们的功绩永存。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
例：正的应力
O( z )
yx
xy
y
x
x
x
xy
y
y
yx
第二节
弹性力学中的几个基本概念
应力与面力
在正面上，两者正方向一致， 在负面上，两者正方向相反。
O( z )
x
x
f yxy
xy
x
fy fx
fx
y
第二节
弹性力学中的几个基本概念
v 表示,
量纲为 L。以坐标正向为正。 变形前p x, y ,变形后
px u, y v .
基本物理量 外力 （已 知量） 体力 面力 正应力 切应力 未 知 量 正应变 切应变
平面问题
空间问题
量纲
正负方向的规定
fx
fx
x
fy
fy
y
fx
fx
x
fy
fy
y
fz
fz
L-2MT-2 L-1MT-2 L-1MT-2 L-1MT-2 量纲一 量纲一
切应变 xy , 以直角减小为正,用弧度表示。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
正的正应力对应于正的线应变, 正的切应力对应于正的切应变。
o z x P A
yx α
B y C
xy
α
第二节
弹性力学中的几个基本概念
位移
位移(Displacement)
-- 一点位臵的移动，用 u ,
研究弹性体的力学，有材料力学、结构力学、 弹性力学。它们的研究对象分别如下：
第一节
弹性力学的内容
研究对象
材料力学(Mechanics of materials)--研究简单
构件（主要是杆件如梁、柱和轴的拉压、弯曲、剪切、扭 转和组合变形等）的强度、刚度和稳定性计算。
结构力学(Structural mechanics)--在材料力
变形状态假定
变形状态假定： （5）小变形假定(micro-deformation assumption)--假定位移和形变为很小。
a.位移＜＜物体尺寸,
例：梁的挠度v＜＜梁高h.
b. ε, 1.
例：梁的 ≤10－3 ＜＜1, ＜＜1弧度（57.3°）.
第三节
弹性力学中的基本假定
变形状态假定
反例： 混凝土当作非均质材料、纤维增强复
合材料
第三节
弹性力学中的基本假定
材料性质假定
（4）各向同性(isotropy)--假定物体各向同 性。 因此， E、μ等与方向无关。
含义：试样制作不需要考虑方向。 作用：数学描述简单 适用性：当材料的各向异性性不明显或是可忽 略的次要因素。 反例：如木材、沉积岩等材料。
O( z )
fx
fx
fy
x
O( z )
fy fx
fy
x
fy
fx
y
y
第二节
弹性力学中的几个基本概念
内力
内力 (Internal force)
--假想切开物体，截面两边互相作用 的力（合力和合力矩)，称为内力。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
应力
应力 (Stress) --截面上某一点处，单 位截面面积上的内力值。
--（定义）作用于物体体积内的力。 （表示）以单位体积内所受的力来量 度， fx , fy , f z . （量纲） ML T .
基本量纲是指具有独立性的量纲。国际单位制有7个基本量 的量纲符号,与力学有关的为：长度L、质量M、时间T。
-2 -2
（符号）坐标正向为正。
第二节
弹性力学中的几个基本概念
弹力与材力 相比，正应力符号，相同 切应力符号，不同
O( z )
x
O( z )
x
x
y
x
y
材力：顺时针向为正
材力：以拉为正
第二节
弹性力学中的几个基本概念
切应力互等定理 (Theorem of conjugate shearing stress)： 由微分体的平衡条件 Μ 0 得：
xy yx ,
F p lim A 0 A
-1 -2
（量纲）ML T . （表示）σ x -- x 面上沿 x 向正应力(Normal stress)， xy -- x 面上沿 y 向切应力(Shearing stress)。 （符号）坐标面上的应力以正面正向，负面负 向为正。
柯西（1789-1857）
第一节
弹性力学的内容
地位
弹性力学在力学学科和工程学科中,
具有重要的地位： 弹性力学是其他固体力学分支学科的
基础。
弹性力学是工程结构分析的重要手段。 尤其对于安全性和经济性要求很高的近代大 型工程结构，须用弹力方法进行分析，或以
弹性应力分析和变形分析为基础。
二滩拱坝
施工中的龙滩大坝
H=240m
H=192m
沿坐标轴正向为 正，反之为负
正面正向，负面 负向为正，反之 为负 线段伸长为正， 反之为负 线段间直夹角变 小为正，反之为 负 沿坐标轴正向为 正，反之为负
z
xy
xy
yz zx
x
y
xy
x
y z
xy yz zx
位移
u v
u v
w
L
直角坐标表示的各种基本物理量
Teach me to fish and I will eat for a life time.
授人以鱼，不如授人以渔。
第一节 第二节 第三节 第四节
弹性力学的内容 弹性力学中的几个基本概念 弹性力学中的基本假定 弹性力学发展简史
第一章
绪 论
定义
§1-1 弹性力学的内容
弹性力学(Elasticity) --研究弹性体由于受外力、边界约束或温度 改变等原因而发生的应力、形变和位移。 弹性体：理想化的固体材料、材料受荷载 后只发生弹性变形（卸载后可恢复的变形）
Elasticity 河海大学力学与材料学院
弹性力学也称弹性理论，主要研究
弹性体在外力作用或温度变化等外界因
素下所产生的应力、应变和位移，从而 解决结构或机械设计中所提出的强度和 刚度问题。
教 材
徐芝纶编《弹性力学简明教程》(第四版)，高
等教育出版社，2013
主要参考书
陈国荣编《弹性力学》，河海大学出版社，2002
第三节
弹性力学中的基本假定
研究方法
在边界S面上:
在给定面力的边界 s 上，建立应力边 界条件(Stress boundary conditions); 在给定约束的边界 su 上，建立位移边界 条件(Displacement boundary conditions)。