第1章 弹性力学基础

第1章弹性力学基础第1节材料力学和弹性力学一、弹性力学的基本假设大量的工程问题都涉及到应力、应变及位移的分析计算，弹性力学（又称弹性理论）就是研究物体在外部因素（如外力、温度变化等）作用下产生的应力、应变及其位移规律的一门科学，它是固体力学的一个分支。

弹性力学的基本任务就是针对各种具体情况，确定弹性体内应力与应变的分布规律。

也就是说，当已知弹性体的形状、物理性质、受力情况和边界条件时，确定其任一点的应力、应变状态和位移。

弹性力学所研究的对象是理想弹性体，其应力与应变之间的关系为线性关系，即符合虎克定律。

所谓理想弹性体，是指符合下述四个假定的物体，即：1. 连续性假定假定物体整个体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何空隙。

尽管物体都是由微小粒子组成的，不符合这一假定，但只要粒子的尺寸以及相邻粒子之间的距离都比物体的尺寸小得很多，则连续性假定就不会引起显著的误差。

有了这一假定，物体内的一些物理量（如应力、应变等等）才能连续，因而才能用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。

2．完全弹性假定假定物体满足虎克定律，应力与应变间的比例常数称为弹性常数。

弹性常数不随应力或应变的大小和符号而变。

由材料力学已知：脆性材料在应力未超过比例极限以前，可以认为近似的完全弹性体；而韧性材料在应力未达到屈服极限以前，也可以认为是近似的完全弹性体。

这个假定，使得物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载的历史和加载顺序无关。

3. 均匀性假定假定整个物体是由同一材料组成的。

这样，整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性常数才不会随位置坐标而变，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析，然后把分析所得的结果应用于整个物体。

如果物体是由多种材料组成的，但是只要每一种材料的颗粒远远小于物体而且在物体内是均匀分布的，那么整个物体也就可以假定为均匀的。

4. 各向同性假定假定物体的弹性在各方向都是相同的。

即物体的弹性常数不随方向而变化。

对于非晶体材料，是完全符合这一假定的。

而由木材、竹材等作成的构件，就不能当作各向同性体来研究。

至于钢材构件，虽然其内部含有各向异性的晶体，但由于晶体非常微小，并且是随机排列的，所以从统计平均意义上讲，钢材构件的弹性基本上是各向同性的。

上述假定，都是为了研究问题的方便，根据研究对象的性质、结合求解问题的范围，而作出的基本假定。

这样便可以略去一些暂不考虑的因素，使得问题的求解成为可能。

在弹性力学中，所研究的问题主要是理想弹性体的线性问题。

为了保证研究的问题限定在线性范围，还需要作小位移和小变形的假定。

这就是说，要假定物体受力以后，物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且其应变和转角都小于1。

所以，在建立变形体的平衡方程时，可以用物体变形以前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致引起显著的误差，并且，在考察物体的变形及位移时，对于转角和应变的二次幂或其乘积都可以略去不计。

对于工程实际中的问题，如果不能满足这一假定，一般需要采用其他理论进行分析求解（如大变形理论等）。

二、弹性力学材料力学的区别与联系弹性力学和材料力学既相互区别又相互联系。

1．研究的内容：基本上没有什么区别弹性力学和材料力学均是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。

2．研究的对象：有相同也有区别材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。

弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。

3．研究的方法：有较大的区别虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。

材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设（如图1-1 a）所示）。

这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。

而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确（如图1-1 b）所示）。

所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。

a) 材料力学对构件应力情况假设b) 弹性力学对构件应力问题处理方法图1-1 材料力学与弹性力学应力情况处理方法总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。

它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。

但是，弹性力学也有其固有的弱点。

由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。

但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定。

第２节 弹性力学的基本概念一、外力和内力作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有表面力和体力两种。

表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。

单位面积上的表面力通常分解为平行于坐标轴的三个成分，用记号Z Y X 、、来表示。

体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。

单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X 、Y 、Z 表示。

二、应力的概念弹性体受外力以后，其内部将产生应力。

弹性体内微小的平行六面体PABC ，如图1-2所示，称为体素。

令 PA=dx ，PB=dy ，PC=dz每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行正应力用ζ表示，剪应力用η来表示。

正应力用ζx 为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力ζx是作用在垂直于x 轴的面上同时也沿着x 轴方向作用的。

剪应力用η加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。

例如，剪应力ηxy 是作用在垂直于x 轴的面上而沿着y 轴方向作用的。

由此可见，正方体各个面上的应力可按坐标轴方向分解为一个正应力和两个剪应力，即每个面上的应力都可用三个应力分量来表示。

符号规定：若应力作用面的外法线方向与坐标作轴的正方向一致，则该面上的应力分量图1-2 直角坐标系下的应力分量沿坐标轴的正向为正，逆坐标正向为负。

相反，如果应力作用面的外法线方向与坐标作轴的负方向一致，则该面上的应力分量沿坐标轴的负向为正，正向为负。

三、剪应力互等定律作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。

(大小相等，正负号也相同)。

因此剪应力记号的两个角码可以对调，即ηxy =ηyx ，ηyz =ηzy ，ηzx =ηxz由此可见，剪切力的两个下标是可以任意对换的。

这样只要用ζx ，ζy ，ζz ，ηxy ，ηyz ，ηzx这六个应力分量就可以完全描述作用在图1-2中微小正方体各个面上的应力。

当该正方体足够小时，作用在正方体各面上的应力分量就可视为点P 的应力分量。

因此，一个点的应力可由ζx ，ζy ，ζz ，ηxy ，ηyz ，ηzx 这六个应力分量完全描述。

一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x 、y 、z 的函数。

六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵{ζ}来表示：四、位移弹性体在受外力以后，还将发生变形。

物体的变形状态，一般有两种方式来描述：一种方式是给出各点的位移,另一种方式是给出各体素的变形。

弹性体内任一点的位移，用此位移在x 、y 、z 三个坐标轴上的投影u 、v 、w 来表示。

以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。

这三个投影称为位移分量。

一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不是定值，而是坐标的函数。

五、应 变体素的变形可以分为两类：一类是长度的变化，一类是角度的变化。

任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变(或称正应变)，用符号ε来表示。

沿坐标轴的线应变，则加上相应的角码，分别用εx 、εy 、εz 来表示。

当线素伸长时，其线应变为正。

反之，线素缩短时，其线应变为负。

这与正应力的正负号规定相对应。

任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称为角应变或剪应变，用符号γ来表示。

两坐标轴之间的角应变，则加上相应的角码，分别用γxy 、γyz 、γzx 来表示。

规定当夹角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应(正的ηxy 引起正的γxy ，等等)。

{}[]1)-(1 T zx yz xy z y xzx yz xy z y x τττσσστττσσσσ=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=六、应变分量矩阵弹性体内任一点，如果已知这三个垂直方向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最小正应变。

因此，这六个量可以完全确定该点的应变分量，它们就称为该点的应变分量。

六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵{ε}来表示：第３节 平衡微分方程一般情况下，物体内不同的点将受不同的应力。

这就是说，各点的应力分量都是点的位置坐标（x ，y ，z ）的函数，而且在一般情况下，都是坐标的单值连续函数。

所谓求一个物体内部的应力分布规律，实际上就是求出各应力分量与坐标（x ，y ，z ）之间具体的函数关系。

在弹性力学中分析问题时，一般要从三个方面来考虑，即静力学方面、几何学方面和物理学方面。

在静力学方面，根据平衡条件来导出应力分量和和体力分量的关系式，即平衡微分方程，它是弹性力学中的基本关系之一。

平衡微分方程反映了外力与应力的关系：平衡微分方程有三个方程。

第4节 几何方程一、 几何方程由应变分量与位移分量之间的关系，可得到反映应变分量与位移分量之间的关系得方程——几何方程。

{}[]2)-(1 Tzx yz xyz y xzx yz xy z y x γγγεεεγγγεεεε=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧={}⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=r w r w u r v r z w z u r v r u w r z v r u r z z rz z r 1 1 1 ∂∂θ∂∂θ∂∂∂∂∂∂∂∂θ∂∂∂∂∂∂γγγεεεεθθθ几何方程有直角坐标和柱坐标两种形式。

直角坐标系： (1-4)圆柱坐标： (1-5)几何方程有六个方程。

二、刚体位移由几何方程可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。

反过来，当应变分量完全确定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状的物体，可能发生不同的刚体位移。

为了说明这一点，在几何方程中令：有：{}⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=x w z u z v y w y u x v z w y v x u zx yz xy z y x ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂γγγεεεε0======zx yz xy z y x γγγεεε000000=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=∂∂yu x w x w z v z v y u z w y v x u ，，，，，8)-(1 EExz xy σμεσμε-=-=，积分后，得：式中的u 0、v 0、w 0、ωx 、ωy 、ωz 是积分常数积分常数的几何意义：u 0代表弹性体沿x 方向的刚体移动。