咸阳高新一中2010-2011学年第一学期期末复习(选修2—1_空间向量)

2009---2010学年第一学期期末复习
数学选修2—1 《空间向量》测试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点
A 、
B 、
C 一定共面的是（ ） A ．++= B ．--=2
C ．31
21++
= D ．3
1
3131++=
2．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====B A C CC b CB a CA 11,,,则（ ）
A ．-+
B ．+-
C ．++-
D ．-+-
3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ（ ） A ．//
B ． ⊥
C ．也不垂直于不平行于,
D ．以上三种情况都可能
4．设向量},,{c b a 是空间一个基底，则一定可以与向量b a q b a p -=+=,构成空间的另
一个基底的向量是 ）
A ．a
B ．b
C ．c
D ．b a 或
5．对空间任意两个向量b a o b b a //),(,≠的重要条件是（ ）
A ．=
B ．-=
C ．λ=
D ．λ=
6．已知向量与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为（ ）
A ．0°
B ．45°
C ．90°
D ．180°
7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅ 则△BCD 是 （ ）
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．不确定
8．已知的值分别为与则若μλμλλ,//),2,12,6(),2,0,1(b a b a -=+=（ ）
A ．2
1
,
51 B ．5，2
C ．2
1,51--
D ．-5，-2
9．已知与则35,2,23+-=-+= （ ）
A ．-15
B ．-5
C ．-3
D ．-1
10．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么
直线AM 与CN 所成角的余弦值是 ）
A ．5
2-
B ．
52 C ．
5
3 D ．
10
10 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n= . 12．已知A （0，2，3），B （-2，1，6），C （1，-1，5），若a
AC a AB a a 则向量且,,,3||⊥⊥=
的坐标为 .
13．已知b a ,是空间二向量，若b a b a b a 与则,7||,2||,3||=
-==的夹角为
14．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若的值则λλ,OG OC OB OA =++为
.
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．如图，M 、N 、E 、F 、G 、H 分别是四面体ABCD 中各棱的中点，若此四面体的对棱
相等，求)()2(;)1(+⋅的夹角与（12分）
16．如图：ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD ，M 、N 分别是PC 、AB 中点， 求证：MN ⊥平面PCD.(12分)
17．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BC 1⊥AB 1，BC 1⊥A 1C 求证：AB 1=A 1C （12分）
18．一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30°，求这条线段
与这个二面角的棱所成的角。

（12分）
19．正四棱锥S —ABCD 中，所有棱长都是2，P 为SA 的中点，如图 （1）求二面角B —SC —D 的大小；
（2）如果点Q 在棱SC 上，那么直线BQ 与PD 能否垂直？ 请说明理由（14分）
20．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点，
（1）求; （2）求;,cos 11的值><CB BA
（
3
）
.:11M C B A ⊥求证（14分）
咸阳高新一中2009---2010学年第一学期期末复习
数学选修2—1 《空间向量》测试卷 参考答案
一、选择题
1．D 2．D 3．B 4．C 5．D 6．C 7．C 8．A 9．A 10．B 二、填空题
11．0 12．（1，1，1）或（-1，-1，-1） 13．3
π
14．3 三、解答题 15．解：
是菱形又是平行四边形EGFH BD AC EGFH GF
EH EG BD HF ∴=∴===,,2
1
)1( 0
)(,),1()2(90,=+⋅⊥⊥∴⊥∴⊥⊥∴MG NH EF MG EF HN EF GMHM
EF GH EF HG
EF 故平面同理可证由角成与故即两对角线垂直 16．证明：
.,,,;
0)|||(|2
1
|||(|21)()(21;0)(21
)(210
,0,0,,,,)(2
1
)(2121)(2121.},,{,,,2222PCD MN D PD DC PD MN DC MN AP AD a c a c c a PD MN a c c b b a AD AB AD PA AB PA ABCD PA a c PD b AB DC c a c b a b AC AP b AM AN MN c b a c AD b AB a AP 平面又故且矩形则为空间的一个基底则设⊥∴=⋂⊥⊥∴=--=--=-⋅+-=⋅=⋅+⋅-=⋅+-
=⋅=⋅=⋅=⋅∴⊥⊥⊥∴⊥-===+-=++-=+-=
-====
17．证明：
.
,,02.0
)(00))((0
00))((111111
1112
1111111112
111111111C A AB C B A ABC AC
AB ABC AD BC AD
AC AB D BC C A AC C A CC BC C A CC BC C C C A BC C A CC CC BB BB CC CC BB BC AB =∴-=∴∆⊥=⋅∴⋅=+=+⋅∴==⋅+⋅∴=-⋅=++=⋅=+++⋅∴⋅+⋅+⋅+⋅=++=⋅为直三棱柱又棱柱为等腰三角形从而知中点取又又
18．解：
2
222||||||)(||.
,
21
||,21||,||30,,BD CD AC DB CD AC AB AB AB DB CD AC AB a BD a AC a AB BAD ABC D
l BD C l AC l ++=++=⋅=++=====∠=∠⊥⊥--则设则于于作是直二面角
βα
.
45,,2
2
,cos 60cos 2
,cos 2260cos 2:)(22
||21||,|21|||)21(2222222
>=<>=<∴⋅+><⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=++⋅=⋅==∴++=CD AB CD AB a
a a a a a a DB AB CD AB AC AB DB CD AC AB AB AB a
a a a a 即又即 19．解：（1）取SC 的中点E ，连结BE ，
DE
.
])2,0[(03)
23
,2,222(),22,2,22()2
2,0,222(),22,0,22(
)
0,2,0(),0,2,0(),(,,,,,,0)2(3
1
arccos
3
1
arccos
31
68332cos ,,
,222不可能垂直与则如图建立空间坐标系设轴分别为以射线设的大小为故二面角中在的平面角是二面角故是正角形与PD BQ x x BQ DP x x BQ DP x x Q P D B x CQ oz oy ox OS OB OA BD AC D SC B BED DE BE BD DE BE BED BED D SC B BED SC
DE SC BE SCD SCB ∴∈≠-=⋅∴--==--==⋂----=∠∴-
=-+=⋅-+=∠∆--∠⊥⊥∴∆∆ ππ
20．解：（1）以射线oz oy ox CC ,,,,1分别为建立坐标系，则B （0，1，0）
M
C B A B A M C B A M C M C CB BA CB BA C B A BN N 11111112
2222211111111112220
)2(012
1
)1(21)
2,1,1(),0,21
,21()2,21,21(),2,0,0()3(10
30
2102)1(1221)1(01,cos ),2,1,0(),2,1,1()
0,0,0(),2,1,0()2,0,1()2(3)01()10()01(||),1,0,1(⊥∴=-⨯+⨯+-⨯=⋅--==∴=++⋅+-+⨯+⨯-+⨯=
>=<∴=-=∴=-+-+-=。