三角恒等变换课件

活页规范训练
1．半角公式
自学导引
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
想一想：你能用其他方法以 sin α、cos α 表示 tan α2吗？反之以
tan α2能否表示 sin α、cos α？
提示
α
αα
tan
α2＝ sin cos
2α＝ sin 2 cos
2·2cos α 2·2cos
2α＝1＋sincoαs
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
[规范解答] 如图所示，∵AB 为直径， ∴∠APB＝90°，AB＝1， PA＝cos α，PB＝sin α. 又 PT 切圆于点 P，∠TPB＝∠PAB＝α， ∴S 四边形 ABTP＝S△PAB＋S△TPB ＝12PA·PB＋12PT·PB·sin α ＝12sin αcos α＋12sin2α＝14sin 2α＋14(1－cos 2α) ＝14(sin 2α－cos 2α)＋14＝ 42sin(2α－4π)＋14.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(4)角的变换 角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用、 解题过程被简化．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β －α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(α＋β)－(β－α)]，α＋β＝(2α ＋β)－α 等．
课前探究学习
即 tan(α＋β)＝cossinβ－β 4.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型四 三角函数的实际应用 【例 4】(2012·宁波高一检测)点 P 在直径 AB＝1 的半圆上移动， 过 P 作圆的切线 PT 且 PT＝1，∠PAB＝α，问 α 为何值时，四 边形 ABTP 面积最大？ 审题指导 先画图 ――用―α―→ 表示出四边形ABTP的面积 ― 三―利 角――用 公―式→ 求最值 ――得――出―→ α值
的热点内容．
(2)辅助角公式 asin x＋bcos x＝
a2＋b2sin(x＋θ)其中tan
θ＝ba
的推导：
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
y＝asin x＋bcos x
＝
a2＋b2
a a2＋b2sin
x＋
b a2＋b2cos
x，
∵－1≤ a2a＋b2≤1，－1≤ a2b＋b2≤1，
且
a2a＋b2＋
α2＋sin
α 2sin α
α2－cos
α 2
2cos
2
cos ＝
α2－cos α
α .
cos
2
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
又∵180°<α<360°，∴90°<α2<180°，
∴cos
α2<0，∴原式＝cos
α2·－cos
－cos
α 2
α ＝cos
α.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型三 三角函数式的证明问题
【例 3】
求证：sins2inα＋α β－2cos
(α＋β)＝ssiinn
β α.
[思路探索] 式中涉及角 α、β、α＋β，2α＋β，因此可以把 2α＋
β 化为(α＋β)＋α，再进行证明．
证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
∴sin α2＝
1－cos 2
α＝
1＋21157＝4 1717，
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
cos α2＝－
1＋cos 2
α＝－
1－21157＝－ 1177，
α tan α2＝sin α2＝－4.
cos2
规律方法 (1)对于给值求值问题，其关键是找出已知式与所求式之
间的角、运算及函数的差异，一般需适当变换已知式或变换所求
(2 分) (4 分)
(8 分)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
∵0<α<2π，－π4<2α－4π<34π，
∴当 2α－4π＝π2，
即 α＝38π 时，S 四边形 ABTP 最大．
(12 分)
【题后反思】 解答此类问题，关键是合理引入辅助角 θ，将实
际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解，
规律方法 证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征， 通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方 法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为 整式来证．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式 3】 已知 sin α＝4sin(α＋β)，α＋β≠kπ＋2π，k∈Z，求证：
(2)由 2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，得 kπ－π3≤x≤kπ＋6π(k∈
Z)，故函数的单调递增区间是kπ－3π，kπ＋6π(k∈Z)．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
方法技巧 辅助角公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)＝
a2＋b2·cos(x－φ)的应用
(1)利用辅助角公式将含两项的三角函数式化成一个三角函数
的形式：asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)＝ a2＋b2cos(α－φ)， 这是研究三角函数性质的非常重要的思想方法，也是历年高考
tan(α＋β)＝cossinβ－β 4.
证明 因为 sin α＝4sin(α＋β)，
所以 sin[(α＋β)－β]＝4sin(α＋β)，
所以 sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝4sin(α＋β)．
所以(cos β－4)sin(α＋β)＝sin βcos(α＋β)，
且因 α＋β≠kπ＋π2，k∈Z，所以csoinsαα＋＋ββ＝cossinβ－β 4，
α 2
sin ＝－
α2＋cos
α 2＋sin
α2－cos
α 2＝－
2
2
α 2cos 2.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
规律方法 (1)二倍角余弦公式的变形，可起到升、降幂的作用，
在解题时有非常重要的应用，应熟练掌握．
(2)熟记公式 1±sin α＝sin
α 2±cos
α22,1＋cos α＝2cos2α2，1－cos α
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型二 三角函数式的化简问题
【例 2】 已知 π<α<32π，化简：
1＋sin 1＋cos α－
α 1－cos
＋ α
1－sin α 1＋cos α＋ 1－cos α.
[思路探索] 先用二倍角公式“升幂”，再根据α2的范围开方化
简．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
， α
2
α
αα
tan
α2＝ sin
2α＝ sin
2·2sin α
2α＝1－sincoαs α，
cos 2 cos 2·2sin 2
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
αα
α
sin α＝2sin
α 2cos
α2＝s2isni2nα2＋2ccooss22α2＝12＋tatnan22α2.
cos α＝cos2α2－sin2α2，
3．2 简单的三角恒等变换
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【课标要求】 1．巩固三角恒等变换的基本技能． 2．掌握三角恒等变换在三角函数图象与性质中的应用． 【核心扫描】 1．灵活运用三角公式，特别是倍角公式进行三角恒等变换．(重点) 2．利用三角恒等变换解决实际问题．(难点)
课前探究学习
课堂讲练互动
式．(2)给值求值的重要途径是建立已知式与所求式之间的联系，应
注意“配角”方法的应用．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式 1】 已知：cos α＝45，且32π<α<2π，求 tan α2的值．
解 ∵32π<α<2π，∴34π<α2<π，
∴tan α2＝－
1－cos 1＋cos
α＝－ α
11－＋4545＝－13.
解
原式＝
sin
2cos
α2＋cos α22
α2－
2sin
α＋ 2
sin
2cos
α2－cos α22
α2＋
2sin
α， 2
∵π<α<32π，∴2π<α2<34π，∴cos
α2<0，sin
α 2>0.
∴原式＝－si2nsiα2n＋α2c＋oscoα2s2
α＋ 2
sin
α2－cos
α22
2sin
α2－cos
在求解过程中要注意角的范围．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式 4】 在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这
个矩形的面积最大？
解 如图，设∠AOB＝θ，且 θ 为锐角，半圆的半径为 R，则面积
最大的矩形 ABCD 必内接于半圆 O，且两边长分别为|AB|＝Rsin θ，
|DA|＝2|OA|＝2Rcos θ.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(2)切化弦 当待化简式中既含有正弦、余弦又含有正切时，利用同角的基本 三角函数关系式 tan α＝csoins αα将正切化为正弦、余弦，这就是“切 化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名称． (3)降幂与升幂 由 C2α 变形后得到公式：sin2α＝12(1－cos 2α)，cos2α＝12(1＋cos 2α)．运用它就是降幂． 反过来，直接运用倍角公式或变形公式 1＋cos2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α，运用它就是升幂．