2014届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第20讲 简单的三角恒等变换
高考数学一轮复习 第20讲 简单的三角恒等变换课件 理 (浙江专)
素材3
求证：sins2iαnα＋β－2cos(α＋β)＝ssiinnβα.
11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/182022/1/18
第20讲 简单的三角恒等变换
一 恒等变换下的化简求值
【例 1】已知 sin2x－2cos2x＝0，求 2cosco4πs＋2xx·sinx的值s2αcos2β－12cos2αcos2β 的值为
1 2
.
二 恒等变换下的拆角求值
【例 2】(1)已知 tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，求 tan(π4＋α) 的值；
(2)scions77°°＋－csoisn1155°°·ssiinn88°°＝__________.
素材2
若 cos(π4＋x)＝35，1172π<x<74π，求sin21x－＋ta2nsxin2x的值．
三 恒等变换下的三角证明
【例 3】证明：2－2sicnoαs4＋α－34πsicno4αsα＋π4＝11＋ －ttaannαα.
(浙江专版)高考数学一轮复习 专题4.3 简单的三角恒等变换(讲)
第03节简单的三角恒等变换【考纲解读】【知识清单】1.两角和与差的三角函数公式的应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β； S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β； T (α＋β)：tan(α＋β)＝1－tan αtan βtan α＋tan β； T (α－β)：tan(α－β)＝1＋tan αtan βtan α－tan β. 变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；.函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 2. 二倍角公式的运用公式的应用 二倍角的正弦、余弦、正切公式： S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝1－tan2α2tan α. 变形公式：cos 2α＝21＋cos 2α，sin 2α＝21－cos 2α1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2【重点难点突破】考点1两角和与差的三角函数公式的应用【1-1】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆：，点，，记射线与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的坐标为__________．【答案】【解析】设射线OB与轴正半轴的夹角为，有已知有，所以，且，C点坐标为.【1-2】已知：，，且，则=_______.【答案】【1-3】【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ）, （Ⅱ）或【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.【领悟技法】1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．提醒：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋2π(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋2π(k∈Z)，可利用诱导公式化简．【触类旁通】【变式一】【2018江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】故选D.【变式二】已知均为锐角，且，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．∴．【变式三】已知函数的部分图像如图所示. （Ⅰ）求函数)的解析式，并写出的单调减区间；（Ⅱ）的内角分别是A,B,C.若,,求的值.【答案】（Ⅰ）的单调减区间为. （Ⅱ）. 【解析】（Ⅰ）由图象最高点得A=1，由周期.当时，，可得，因为，所以．.由图象可得的单调减区间为.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，,，，....考点2 二倍角公式的运用公式的应用【2-1】【2018年新课标I卷文】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.详解：根据题的条件，可知三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选B.【2-2】【2017浙江ZDB联盟一模】已知，，则__________，__________．【答案】【解析】因为，，所以因为，所以，因此 .【2-3】【江苏省淮安市五模】已知，且，则的值为．【答案】【解析】由得，而，则，所以，又，则，所以；【领悟技法】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．【触类旁通】【变式一】已知，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【变式二】已知，且，则的值为__________.【答案】【解析】因为，所以，，，又因为，所以.【变式三】已知，（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得（2）原式考点3 三角恒等式的证明 【3-1】求证：2α＝41sin 2α. 【解析】∵左边＝2α＝2α＝2α＝2＝cos αsin 2αcos 2α＝21sin αcos α ＝41sin 2α＝右边． ∴原式成立．【3-2】求证：sin αsin β＝sin α2α＋β－2cos(α＋β). 【解析】证法一：右边＝sin αα＋βsin α＝sin αα＋βsin α ＝sin αα＋β－α]＝sin αsin β＝左边.证法二：sin α2α＋β－sin αsin β＝sin α2α＋β－sin β＝sin αα＋βsin α＝2cos(α＋β)， 所以sin α2α＋β－2cos(α＋β)＝sin αsin β.【3-3】已知，，且，.证明：.【解析】，即，，，，又，，，，，.【领悟技法】1.三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法．（3）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等． 2.变换技巧：(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；β＝2α＋β－2α－β；2α－β＝.（3）化简技巧：切化弦、“1”的代换等 【触类旁通】【变式一】求证：.【解析】左边＝cos αsin α＋＝右边．故原式得证．【变式二】已知，证明：.考点4 三角函数公式的综合应用【4-1】【2018湖北省部分重点中学起点】设函数，其中θ∈，则导数f ′(1)的取值范围是________．【答案】[，2]【解析】由题【4-2】【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】已知，则__________；__________．【答案】或. .【解析】分析：先把两边平方得到，利用弦切互化所得方程可以化成关于的方程，解出后可求．详解：由可以得到，故，也就是，整理得到，故或．当时，；当时，．故填或，．【4-3】【2018届江苏省南京市三模】在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点,始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为．已知点的横坐标为，点的纵坐标为．（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.（2）因为点Q的纵坐标为，所以sinβ＝．又因为β为锐角，所以cosβ＝．因为cosα＝，且α为锐角，所以sinα＝，因此sin2α＝2sinαcosα＝，所以sin(2α－β) ＝．因为α为锐角，所以0＜2α＜π．又cos2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝．点睛：（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，考查同角的三角关系，考查三角恒等变换,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力.(2)第2问易错，再求得sin(2α－β) 后，容易错误地得到2α－β＝或研究三角问题，一定要注意角的问题，所以先要求出－＜2α－β＜，再得出2α－β＝．【领悟技法】高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．【触类旁通】【变式一】【2018届山东省桓台第二中学4月月考】已知函数为奇函数，且，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的值．【答案】（1）（2）或【解析】试题分析：（1）由为奇函数得，解得的值；再根据，得（2）根据解析式化简得，再根据两角和正弦余弦公式以及二倍角公式化简得的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知因为所以又，所以或①由所以②由，得所以综上，或【变式二】【2017浙江温州二模】已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题解析：（1）∴函数的最小正周期是（2）∴，，∴，又.∴∴，∴.【易错试题常警惕】易错典例：若sin θ，cos θ是关于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．易错分析：不注意挖隐含条件，角的取值范围，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误．正确解析：由题意知：sin θ＋cos θ＝51，∴(sin θ＋cos θ)2＝251.∴sin 2θ＝－2524，即2sin θcos θ＝－2524＜0.则sin θ与cos θ异号．又sin θ＋cos θ＝51＞0，∴2π＜θ＜43π.∴π＜2θ＜23π.故cos 2θ＝－＝－257.温馨提醒：求解三角函数问题，应灵活运用公式，特别注意已知等式中角的取值范围，涉及开方求值问题，注意正负号的选取.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。
(浙江专用)高考数学一轮复习讲练测专题4.3简单的三角恒等变换(讲)(含解析)
知识点 1．两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；
，则
故 tan2 故选：A
考点 1 两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用
【典例 3】（2019·北京高考模拟（文））如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，
终边分别是射线
OA
和射线
OB．射线
OA，OC
与单位圆的交点分别为
A
3 5
,
4 5
，
C(1, 0)
.若
BOC
【典例 4】（2018 年全国卷 II 文）已知
【答案】 . 【解析】
，则
__________．
，
解方程得
.
【规律方法】
1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如 tan α＋tan
β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
【典例 5】（2016·全国高考真题（理））若
A． 7 25
【答案】D
【解析】
B． 1 5
C． 1 5
，则 sin 2 （ ） D． 7 25
，
且
，故选 D.
【总结提升】 转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构 的差异，寻求联系，实现转化．注意三角函数公式逆用和变形用的 2 个问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)
思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��
高考一轮数学文科：第20讲-简单的三角恒等变换ppt课件
α＝ α
1(_3＋_)_降c_2o_s幂_α_公_，式t：ans2α2in＝2 2_11_＝－ ＋___cc_oo__ss___2αα__．___，cos2 2 ＝
(4)tanα2 ＝_1_＋s_i_cno_s_α_α_＝_1－__sci_no_sα_α__．
2．常见的几种角的变换
(1)α＝(α＋β)－_____β___，α＝__(_α_－__β_) _＋β.
课堂考点探究
探究点二 三角函数式的求值
考向1 给值求值
例 2 (1)[2016·辽宁丹东二模] 若 sin 2α＝23，则 tan
α＋ 1
tan
α＝(
)
A. 3 B. 2 C．3 D．2
(2)[2016·甘肃天水一中四模] 已知 cosα－π6 ＋sin α＝453，则 sinα＋76π的值是________．
都表示为 10°的三角函数，约 分即得结果．
课堂考点探究
[答案] (1)12
(2)
3 2
[解析] (1)1＋sins2in501°0°＝2（1－1＋cossin11000°°）＝1－2c（os1（＋9s0i°n 1＋0°10）°）＝2（11＋＋ssiinn1100°°）＝12.
(2)原式＝4sin21c0o°s21c0o°s 10°－sin 10°csoins 55°°－csoins 55°°＝
(2)2α＝(α＋β)＋__(_α_－__β)__，2β＝__(α_＋__β_)__－
(α－β)．
(3)
α＋β
α2
＝
__α__－__β2_ _
－
α2 －β
，
α
＝
2
×
____2____．
3．常数的变换
高考数学一轮单元复习：简单的三角恒等变换PPT共36页
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
谢谢！
高考数学一轮复习 4.2三角恒等变换课件
5
5
∵α∈
,
2
,
0
∴sin α=- 3 ,∴tan α=3- ,
5
4
∴tan 2α= 2 =ta n α
2
=-
3
.4
24
1 tan 2α
1
3 4
2
7
精品
10
5.已知α∈
2
,,sin α=
,则3 tan
5
α=
4
.
答案
1 7
解析 由已知得cos α=-4 ,∴tan α=3- ,
5
4.函数f(α)=acos α+bsin α(a,b∈R),可以化为f(α)=⑥ sain2 (αb+2φ1)
或f(α)=⑦ ac2osb(α2 -φ2) ,其中φ1、φ2可由a、b的值唯一确定. 5.在两角和的三角函数公式Sα+β,Cα+β,Tα+β中,当α=β时就得到二倍角的三角 函数公式:sin 2α=⑧ 2sin αcos α ,cos 2α=⑨ cos2α-sin2α ,tan 2α=⑩
A.- 3
2
答案
B.- 1
C1 .
D3.
2
2
2
C 原式=sin 45°·cos 15°-cos 45°·sin 15°=sin 1230°=
,故选C.
精品
7
2.sin 15°+cos 15°的值为 ( )
A. 1
2
答案
B. 6
C. 6
D3. 2
4
2
2
C sin 15°+cos 15°=2 sin(15°+45°)2= sin 60°2 6=
高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 3三角恒等变换第1课时简单的三角恒等变换课件
4
1
4
即cos cos + sin sin = .故cos − = .
故选C.
D.−
)
7
8
【点拨】和、差、倍角公式的综合应用，关键在于把握式子的结构特点，灵活应用
整体思想求解，尤其是对于含两个不相关联角的问题.
变式3（1） （2023年新课标Ⅰ卷）已知sin − =
5
π
(0， )，tan
2
2 =
C.
5
3
cos
，则tan
2−sin
=(
D.
)
15
3
cos
sin 2
2sin cos
cos
π
解：因为tan 2 =
,所以tan 2 =
=
=
.因为 ∈ (0， )，
2−sin
cos 2
1−2sin2
2−sin
2
2sin
1
cos 45∘ =
2
，D不符合.故选AC.
2
【点拨】和、差、倍角公式对使公式有意义的任意角都成立，使用中要注意观察角之
间的和、差、倍、互补、互余等关系.
变式1 【多选题】下列化简正确的是(
√
tan 48 +tan 72
C.
√1−tan 48 tan 72
A.cos 82∘ sin 52∘ − sin 82∘ cos 52∘ = −
tan 48∘ +tan 72∘
对于C，
1−tan 48∘ tan 72∘
1
sin
2
∘
15 cos 15 =
1
sin
4
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【点评】本题从“幂”入手，借助倍角公式的变形公式，即降 幂公式先降幂再进行其他化简，这种化高次为低次是三角变换 的常用方法．
二
恒等变换下的拆角求值
2 π 1 π 【例 2】(1)已知 tan(α＋β)＝ ，tan(β－ )＝ ，求 tan( ＋α) 5 4 4 4 的值； sin7° ＋cos15°sin8° · (2) ＝__________. cos7° －sin15° sin8°
2 求值．常见的有给角求值，给值求值，给值求角．
①给角求值的关键是正确地分析角(已知角与未知角) 之间的关系，准确地选用公式，注意转化为特殊值． ②给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、 名称、结构的差异，有目的地将已知式、待求式的 一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后 求待求式的值． ③给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值， 讨论角的范围，求出该角．
3 证明．它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式
的证明．常用方法：从左推到右；从右推到左； 左右互推．
θ 4 θ 3 1.若 sin ＝ ，cos ＝ ，则 θ 是( 2 5 2 5 A．第一象限角 C．第三象限角
)
B．第二象限角 D．第四象限角
θ θ 24 【解析】因为 sinθ＝2sin cos ＝ >0， 2 2 25 7 cosθ＝cos －sin ＝－ <0， 2 2 25 所以 θ 在第二象限．
三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结 构的转化，而转化的依据就是一系列的三角公式， 因此对三角公式在实现这种转化中的应用应有足 够的了解：
1同角三角函数关系——可实现函数名称的转化． 2 诱导公式及和、差、倍角的三角函数——可以
实现角的形式的转化．
3 倍角公式及其变形公式——可实现三角函数的
π π 【解析】(1)因为 ＋α＝(α＋β)－(β－ )， 4 4 π π 所以 tan( ＋α)＝tan[(α＋β)－(β－ )] 4 4 π tanα＋β－tanβ－ 4 ＝ π 1＋tanα＋β· tanβ－ 4 2 1 － 5 4 ＝ 2 1 1＋ × 5 4 3 ＝ . 22
4 4 (2)由 tan(π－α)＝ ，得 tanα＝－ ， 3 3 π 4 3 又 ＜α＜π，所以 sinα＝ ，cosα＝－ ， 2 5 5 1 1 n －1 所以 q＝sinα＋cosα＝ ，所以 an＝( ) ， 5 5 1n 1－ 5 5 1 1 n－1 故 Sn ＝ ＝ － ×( ) . 1 4 4 5 1－ 5
5 所以 tanC＝－tan(A＋B)＝－ ，所以 C 为钝角， 2 所以△ABC 为钝角三角形．
3.在△ABC 中，3sinA＋4cosB＝6,3cosA＋4sinB＝1，则∠C 的大小为( π A. 6 π 5π C. 或 6 6 ) 5π B. 6 π 2π D. 或 3 3
【解析】由已知， 9sin2A＋16cos2B＋24sinAcosB＝36，① 9cos2A＋16sin2B＋24sinBcosA＝1，② 1 ①＋②，得 25＋24sin(A＋B)＝37，所以 sin(A＋B)＝ ， 2 1 π 5π 所以 sinC＝ ，C＝ 或 . 2 6 6
1 3 (1)2sin2α － cos4α＋ 2 2 1 ＝ ×(4sin2α－cos4α＋3) 2 1 ＝ [4sin2α－(1－2sin22α)＋3] 2 1 ＝ (2sin22α＋4sin2α＋2) 2 ＝(1＋sin2α)2 ＝(sinα＋cosα)4 ＝a5， 1 3 所以 2sin2α－ cos4α＋ 是数列{an}中的第 5 项． 2 2
sin2α＋cos2α＋2sinαcosα ＝ cos2α－sin2α cosα＋sinα2 ＝ cosα－sinαcosα＋sinα cosα＋sinα ＝ cosα－sinα 1＋tanα ＝ ＝右边． 1－tanα 故等式成立．
【点评】观察左右两边式子间的差异，选择“从左证到右”， 利用凑角、降幂“1”的巧妙代换，将异角化为同角，高次化为 低次，最后弦化切＋tan20° ＋tan40° ＝
3
.
【解析】原式＝ 3tan20° tan40° ＋tan60° (1－tan20° tan40° ) ＝ 3.
1＋tanα 1 5.若 ＝2013，则 ＋tan2α＝ cos2α 1－tanα
2013
.
1＋sin2α 1 【解析】 ＋tan2α＝ cos2α cos2α sinα＋cosα2 ＝ cosα＋sinαcosα－sinα cosα＋sinα 1＋tanα ＝ ＝ ＝2013. cosα－sinα 1－tanα
2
7 ＝ . 25
17π 7π 5π π 因为 <x< ，则 <x＋ <2π， 12 4 3 4 π 4 故 sin( ＋x)＝－ ， 4 5 π sin ＋x π 4 4 tan( ＋x)＝ ＝－ ， 4 π 3 cos ＋x 4 7 4 28 故原式＝ ×(－ )＝－ . 25 3 75
【点评】对于附加条件求值问题，要先看条件可不可以变形或 化简，然后看所求式子能否化简，再看它们之间的相互联系， 通过分析找到已知与所求的纽带．
素材1
1 化简：sin αsin β＋cos αcos β－ cos2αcos2β 的值为 2
2 2 2 2
1 2
.
1－cos2α 1－cos2β 1＋cos2α 1＋cos2β 1 【解析】原式＝ · ＋ · － 2 2 2 2 2 cos2α· cos2β 1 1 ＝ (1＋cos2α· cos2β－cos2α－cos2β)＋ (1＋cos2α· cos2β 4 4 1 ＋cos2α＋cos2β)－ cos2αcos2β 2 1 ＝ . 2
一
恒等变换下的化简求值
cos2x 的值． π 2cos ＋x· sinx 4
x x 【例 1】已知 sin －2cos ＝0，求 2 2
x x x 【解析】由 sin －2cos ＝0，得 tan ＝2， 2 2 2 4 所以 tanx＝ ＝－ ， 3 x 2 1－tan 2 cos2x－sin2x cosx＋sinx cos2x 所以 ＝ ＝ ＝ π sinx cosx－sinxsinx 2cos ＋x· sinx 4 4 1－ 1＋tanx 3 1 ＝ ＝ . 4 4 tanx － 3 x 2tan 2
素材2
sin2x＋2sin2x π 3 17π 7π 若 cos( ＋x)＝ ， <x< ，求 的值． 4 5 12 4 1－tanx
2sinxcosx1＋tanx 【解析】原式＝ 1－tanx π ＝sin2x· tan( ＋x)． 4 π π 而 sin2x＝sin[2( ＋x)－ ] 4 2 π ＝－cos2( ＋x) 4 π ＝－[2cos ( ＋x)－1] 4
备选例题
等比数列 {an}中，a2＝sinα＋cosα，a3＝1＋sin2α，其 π 中 ＜α＜π.求： 2 1 3 (1)2sin2α－ cos4α＋ 是数列{an}的第几项？ 2 2 4 (2)若 tan(π－α)＝ ，求数列{an}的前 n 项和 Sn. 3
【解析】设数列{an}的公比为 q， a3 1＋sin2α sinα＋cosα2 则 q＝ ＝ ＝ ＝sinα＋cosα， a2 sinα＋cosα sinα＋cosα a2 所以 a1＝ ＝1. q 所以 an＝(sinα＋cosα)n－1(n∈N*)．
能运用同角三角函数的基本关系、 诱导公式、两角和与差的三角公式 进行简单的三角恒等变换．
三角变换的基本题型 — —化简、求值和证明
1 化简．
三角函数式化简的一般要求：三角函数种数尽量 少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分母不含 三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式； 能求出的值应尽量求出值． 依据三角函数式的结构特点，常采用的变换方法： 异角化同角；异名化同名；异次化同次；高次降次．
升幂或降幂的转化，同时也可完成角的转化．
素材3
sin2α＋β sinβ 求证： －2cos(α＋β)＝ . sinα sinα
sin[α＋β＋α] 2cosα＋βsinα 【证明】 左边＝ － sinα sinα sinα＋βcosα＋cosα＋βsinα－2cosα＋βsinα ＝ sinα sinα＋βcosα－cosα＋βsinα ＝ sinα sinα＋β－α sinβ ＝ ＝sinα＝右边． sinα 故等式成立．
2θ 2θ
2. A，B，C 是△ABC 的三个内角，且 tanA，tanB 是方 程 3x2－5x＋1＝0 的两个实数根，则△ABC 是( A．钝角三角形 C．等腰三角形 B．锐角三角形 D．等边三角形 )
5 【解析】tanA＋tanB＝ ，① 3 1 tanAtanB＝ ，② 3 tanA＋tanB 所以 tan(A＋B)＝ ＝ 1－tanAtanB 5 ＝ ， 1 2 1－ 3 5 3
sin15° ＋cos15° －8° sin8° (2)原式＝ cos15° －sin15° －8° sin8° 1－cos30° sin15°cos8° · ＝ ＝tan15° ＝ cos8° cos15° sin30° ＝2－ 3.
【点评】进行三角变换的技巧是变角，即注意角的和、差、 倍、半、互余、互补关系根据实际情况对角进行“拆”或 “添”变形，这样可大大减少运算量．基本的解题规律为： 观察差异(或角、或函数、或运算)，寻找联系(借助熟知的公 式、方法或技巧)，综合分析，实现转化．
三
恒等变换下的三角证明
3π π 2－2sinα＋ cosα＋ 4 4 1＋tanα 【例 3】证明： ＝ . 4 4 cos α－sin α 1－tanα
π 2－2cos α＋4 【证明】左边＝ cos2α－sin2α
2
π 2sin α＋4 ＝ 2 cos α－sin2α
2
π 1－cos2α＋2 ＝ cos2α－sin2α 1＋sin2α ＝ 2 cos α－sin2α