2013届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第20讲 简单的三角恒等变换
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高三数学一轮复习 第三章 第六节 简单的三角恒等变换课件
π π π (2)∵cos 2α＝sin( ＋2α)＝2sin(α＋ )cos(α＋ )， 2 4 4 cos 2α π π ∴ ＝2cos(α＋ )＝2sin( －α)， 4 4 π sin（ ＋α） 4 π π 12 又0＜α＜ 且cos( －α)＝ ， 4 4 13 π ∴sin( －α)＝ 4 5 ＝ ， 13 π 1－cos （ －α）＝ 4
α cos sin 2 【尝试解答】 原式＝( － α sin cos 2 2α 2α cos －sin 2 2 sin α ＝ · α α cos α sin ·cos 2 2 2cos α sin α ＝ · ＝2. sin α cos α
α 2sin2α 2 )· α 2sin αcos α 2
π π π 当2x＋ ＝－ ，即x＝－ 时，f(x)有最小值－1. 4 4 4 π π ∴f(x)在区间[－ ， ]上的最大值、最小值分别是 2 4 4 和－1.
易错提示：(1)化简解析式时出错，导致错误答案． π (2)求最值时，误把x的范围当成2x＋ 的范围，导致错 4 误答案． 防范措施：(1)化简解析式，把函数式转化为Asin(ωx＋ φ)的形式是解答本题的关键，因此求解时应力求准确，必 要时应进行检验，看化简结果是否正确． (2)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值或值域时，可令t＝ωx ＋φ，然后根据x的范围确定t的范围，最后可根据y＝sin t的 图象，确定函数的最值或值域．
x x 已知sin －2cos ＝0. 2 2 (1)求tan x的值； cos 2x (2)求 的值． π 2cos（ ＋x）· x sin 4 x x x 【解】 (1)由sin －2cos ＝0，得tan ＝2， 2 2 2
2×2 4 ∴tan x＝ ＝ ＝－ . x 1－22 3 2 1－tan 2 x 2tan 2
高考数学一轮复习 第20讲 简单的三角恒等变换课件 理 (浙江专)
素材3
求证：sins2iαnα＋β－2cos(α＋β)＝ssiinnβα.
11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/182022/1/18
第20讲 简单的三角恒等变换
一 恒等变换下的化简求值
【例 1】已知 sin2x－2cos2x＝0，求 2cosco4πs＋2xx·sinx的值s2αcos2β－12cos2αcos2β 的值为
1 2
.
二 恒等变换下的拆角求值
【例 2】(1)已知 tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，求 tan(π4＋α) 的值；
(2)scions77°°＋－csoisn1155°°·ssiinn88°°＝__________.
素材2
若 cos(π4＋x)＝35，1172π<x<74π，求sin21x－＋ta2nsxin2x的值．
三 恒等变换下的三角证明
【例 3】证明：2－2sicnoαs4＋α－34πsicno4αsα＋π4＝11＋ －ttaannαα.
2013年高考数学成功方案系列课件第三章第四节简单的三角恒等变换
∴－π2<α－β<0.
∴sin(α－β)＝－ 1－cos2α－β＝－ 47，
∴tan(α－β)＝csionsαα－－ββ＝－ 37.
[答案]
－
7 3
1．定义运算 a
b＝a2－ab－b2，则 sin
π 6
π6＝ ( )
A．－12－
3 4
B．－12＋
3 4
C．－12
解析：sin
π 6
D.
(2)∵tan α＝－13，∴5sin2α2＋8sin2sα2incoαs－α2＋π411cos2α2－8
＝5sin2α2＋cos2α2si＋n α4－sincoαs＋α6·1＋c2os α－8
＝5＋4sinsinα＋α－3＋co3scαos
α－8＝4sin sin
α＋3cos α α－cos α
所以π6≤2x－π3≤23π，则有12≤sin(2x－π3)≤1. 因为函数f(x)＝4sin2(π4＋x)－2 3cos 2x＋t(x∈P)的最小值为3， 所以4×12＋2＋t＝3，解得t＝－1. (2)因为2＋m<f(x)在x∈P上恒成立，则由已知可得2＋m<3，得 m<1，故m的取值范围是(－∞，1)．
α·(1＋csoins
α sin α·
α 2 α)
sin 2cos2
cos2
α
α
＝2scionsαα＋2scionsαα·csoins αα·scionsα22＝2scionsαα＋2csionsα22
＝2scionsαα＋4ssiinn2αα2＝2cos
α＋4sin2α2 sin α
＝21－2sisni2nα2α＋4sin2α2
.
解析：sin 2A＝2sin Acos A＝－34<0. 又 A 为△ABC 的内角，∴sin A>0，cos A<0.
(浙江专用)高考数学一轮复习讲练测专题4.3简单的三角恒等变换(讲)(含解析)
4.备考重点： (1) 掌握和差倍半的三角函数公式； (2) 掌握三角函数恒等变换的常用技巧.
知识点 1．两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；
，则
故 tan2 故选：A
考点 1 两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用
【典例 3】（2019·北京高考模拟（文））如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，
终边分别是射线
OA
和射线
OB．射线
OA，OC
与单位圆的交点分别为
A
3 5
,
4 5
，
C(1, 0)
.若
BOC
【典例 4】（2018 年全国卷 II 文）已知
【答案】 . 【解析】
，则
__________．
，
解方程得
.
【规律方法】
1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如 tan α＋tan
β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
【典例 5】（2016·全国高考真题（理））若
A． 7 25
【答案】D
【解析】
B． 1 5
C． 1 5
，则 sin 2 （ ） D． 7 25
，
且
，故选 D.
【总结提升】 转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构 的差异，寻求联系，实现转化．注意三角函数公式逆用和变形用的 2 个问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
知识点 1．两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；
，则
故 tan2 故选：A
考点 1 两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用
【典例 3】（2019·北京高考模拟（文））如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，
终边分别是射线
OA
和射线
OB．射线
OA，OC
与单位圆的交点分别为
A
3 5
,
4 5
，
C(1, 0)
.若
BOC
【典例 4】（2018 年全国卷 II 文）已知
【答案】 . 【解析】
，则
__________．
，
解方程得
.
【规律方法】
1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如 tan α＋tan
β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
【典例 5】（2016·全国高考真题（理））若
A． 7 25
【答案】D
【解析】
B． 1 5
C． 1 5
，则 sin 2 （ ） D． 7 25
，
且
，故选 D.
【总结提升】 转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构 的差异，寻求联系，实现转化．注意三角函数公式逆用和变形用的 2 个问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)
思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��
高考一轮数学文科：第20讲-简单的三角恒等变换ppt课件
α＝ α
1(_3＋_)_降c_2o_s幂_α_公_，式t：ans2α2in＝2 2_11_＝－ ＋___cc_oo__ss___2αα__．___，cos2 2 ＝
(4)tanα2 ＝_1_＋s_i_cno_s_α_α_＝_1－__sci_no_sα_α__．
2．常见的几种角的变换
(1)α＝(α＋β)－_____β___，α＝__(_α_－__β_) _＋β.
课堂考点探究
探究点二 三角函数式的求值
考向1 给值求值
例 2 (1)[2016·辽宁丹东二模] 若 sin 2α＝23，则 tan
α＋ 1
tan
α＝(
)
A. 3 B. 2 C．3 D．2
(2)[2016·甘肃天水一中四模] 已知 cosα－π6 ＋sin α＝453，则 sinα＋76π的值是________．
都表示为 10°的三角函数，约 分即得结果．
课堂考点探究
[答案] (1)12
(2)
3 2
[解析] (1)1＋sins2in501°0°＝2（1－1＋cossin11000°°）＝1－2c（os1（＋9s0i°n 1＋0°10）°）＝2（11＋＋ssiinn1100°°）＝12.
(2)原式＝4sin21c0o°s21c0o°s 10°－sin 10°csoins 55°°－csoins 55°°＝
(2)2α＝(α＋β)＋__(_α_－__β)__，2β＝__(α_＋__β_)__－
(α－β)．
(3)
α＋β
α2
＝
__α__－__β2_ _
－
α2 －β
，
α
＝
2
×
____2____．
3．常数的变换
三角恒等变换复习公开课精华ppt课件
例3 :已知 A、B、C是△ABC三内角，向量
m (1 , 3) , n (cos A , sin A) , m n 1 .
（1）求角
A；（2）若
1 sin2B cos2 B sin2
B
3
,
求
tanC
.
解：(1) m n 1 ,
(1 , 3 ) (cos A , sin A) 1 ,
tan2 sin Asin B tan (sin Acos B cos Asin B) cos Acos B 2
5
典型例题
tan2 sin Asin B tan sin( A B) cos Acos B 2 ①
5
因为 C 3π ，A＋B＝ π ， 所以 sin(A＋B)＝ 2 ，
θ
为第二象限角，若
tan
π 4
1 2
，则
sin θ＋cos θ＝__________.
分析：由 tan
π 4
1 1
tan tan
1 ，得 2
tan
θ＝ 1 ， 3
即 sin θ＝ 1 cos θ. 3
将其代入 sin2θ＋cos2θ＝1，得 10 cos2 1 .
9
因为 θ 为第二象限角，所以 cos θ＝ 3 10 ，sin θ＝ 10 ，
4
4
2
因为 cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即 3 2 －sin Asin B＝ 2 ，解得 sin Asin B＝ 3 2 2 2 .
5
2
5 2 10
由①得 tan2 5 tan 4 0
解得 tan 1或tan 4.
变式3：
（2013·辽宁理）设向量 a
2013届高考一轮复习(理数,浙江)-第20讲 简单的三角恒等变换
2
7 ＝ . 25
17π 7π 5π π 因为 <x< ，则 <x＋ <2π， 12 4 3 4 π 4 故 sin( ＋x)＝－ ， 4 5 π sin ＋x π 4 4 tan( ＋x)＝ ＝－ ， 4 π 3 cos ＋x 4 7 4 28 故原式＝ ×(－ )＝－ . 25 3 75
三
恒等变换下的三角证明
3π π 2－2sinα＋ cosα＋ 4 4 1＋tanα 【例 3】证明： ＝ . 4 4 cos α－sin α 1－tanα
π 2－2cos α＋4 【证明】左边＝ cos2α－sin2α
2
π 2sin α＋4 ＝ 2 cos α－sin2α
2
π 1－cos2α＋2 ＝ cos2α－sin2α 1＋sin2α ＝ 2 cos α－sin2α
sin15° ＋cos15° －8° sin8° (2)原式＝ cos15° －sin15° －8° sin8° 1－cos30° sin15°cos8° · ＝ ＝tan15° ＝ cos8° cos15° sin30° ＝2－ 3.
【点评】进行三角变换的技巧是变角，即注意角的和、差、 倍、半、互余、互补关系根据实际情况对角进行“拆”或 “添”变形，这样可大大减少运算量．基本的解题规律为： 观察差异(或角、或函数、或运算)，寻找联系(借助熟知的公 式、方法或技巧)，综合分析，实现转化．
三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结 构的转化，而转化的依据就是一系列的三角公式， 因此对三角公式在实现这种转化中的应用应有足 够的了解：
1同角三角函数关系——可实现函数名称的转化． 2 诱导公式及和、差、倍角的三角函数——可以
实现角的形式的转化．
7 ＝ . 25
17π 7π 5π π 因为 <x< ，则 <x＋ <2π， 12 4 3 4 π 4 故 sin( ＋x)＝－ ， 4 5 π sin ＋x π 4 4 tan( ＋x)＝ ＝－ ， 4 π 3 cos ＋x 4 7 4 28 故原式＝ ×(－ )＝－ . 25 3 75
三
恒等变换下的三角证明
3π π 2－2sinα＋ cosα＋ 4 4 1＋tanα 【例 3】证明： ＝ . 4 4 cos α－sin α 1－tanα
π 2－2cos α＋4 【证明】左边＝ cos2α－sin2α
2
π 2sin α＋4 ＝ 2 cos α－sin2α
2
π 1－cos2α＋2 ＝ cos2α－sin2α 1＋sin2α ＝ 2 cos α－sin2α
sin15° ＋cos15° －8° sin8° (2)原式＝ cos15° －sin15° －8° sin8° 1－cos30° sin15°cos8° · ＝ ＝tan15° ＝ cos8° cos15° sin30° ＝2－ 3.
【点评】进行三角变换的技巧是变角，即注意角的和、差、 倍、半、互余、互补关系根据实际情况对角进行“拆”或 “添”变形，这样可大大减少运算量．基本的解题规律为： 观察差异(或角、或函数、或运算)，寻找联系(借助熟知的公 式、方法或技巧)，综合分析，实现转化．
三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结 构的转化，而转化的依据就是一系列的三角公式， 因此对三角公式在实现这种转化中的应用应有足 够的了解：
1同角三角函数关系——可实现函数名称的转化． 2 诱导公式及和、差、倍角的三角函数——可以
实现角的形式的转化．
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升幂或降幂的转化，同时也可完成角的转化．
2 求值．常见的有给角求值，给值求值，给值求角．
①给角求值的关键是正确地分析角(已知角与未知角) 之间的关系，准确地选用公式，注意转化为特殊值． ②给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、 名称、结构的差异，有目的地将已知式、待求式的 一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后 求待求式的值． ③给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值， 讨论角的范围，求出该角．
【点评】本题从“幂”入手，借助倍角公式的变形公式，即降 幂公式先降幂再进行其他化简，这种化高次为低次是三角变换 的常用方法．
二
恒等变换下的拆角求值
2 π 1 π 【例 2】(1)已知 tan(α＋β)＝ ，tan(β－ )＝ ，求 tan( ＋α) 5 4 4 4 的值； sin7° ＋cos15°sin8° · (2) ＝__________. cos7° －sin15° sin8°
三
恒等变换下的三角证明
3π π 2－2sinα＋ cosα＋ 4 4 1＋tanα 【例 3】证明： ＝ . 4 4 cos α－sin α 1－tanα
π 2－2cos α＋4 【证明】左边＝ cos2α－sin2α
2
π 2sin α＋4 ＝ 2 cos α－sin2α
2
π 1－cos2α＋2 ＝ cos2α－sin2α 1＋sin2α ＝ 2 cos α－sin2α
【点评】对于附加条件求值问题，要先看条件可不可以变形或 化简，然后看所求式子能否化简，再看它们之间的相互联系， 通过分析找到已知与所求的纽带．
素材1
1 化简：sin αsin β＋cos αcos β－ cos2αcos2β 的值为 2
2 2 2 2
1 2
.பைடு நூலகம்
1－cos2α 1－cos2β 1＋cos2α 1＋cos2β 1 【解析】原式＝ · ＋ · － 2 2 2 2 2 cos2α· cos2β 1 1 ＝ (1＋cos2α· cos2β－cos2α－cos2β)＋ (1＋cos2α· cos2β 4 4 1 ＋cos2α＋cos2β)－ cos2αcos2β 2 1 ＝ . 2
π π 【解析】(1)因为 ＋α＝(α＋β)－(β－ )， 4 4 π π 所以 tan( ＋α)＝tan[(α＋β)－(β－ )] 4 4 π tanα＋β－tanβ－ 4 ＝ π 1＋tanα＋β· tanβ－ 4 2 1 － 5 4 ＝ 2 1 1＋ × 5 4 3 ＝ . 22
5 所以 tanC＝－tan(A＋B)＝－ ，所以 C 为钝角， 2 所以△ABC 为钝角三角形．
3.在△ABC 中，3sinA＋4cosB＝6,3cosA＋4sinB＝1，则∠C 的大小为( π A. 6 π 5π C. 或 6 6 ) 5π B. 6 π 2π D. 或 3 3
【解析】由已知， 9sin2A＋16cos2B＋24sinAcosB＝36，① 9cos2A＋16sin2B＋24sinBcosA＝1，② 1 ①＋②，得 25＋24sin(A＋B)＝37，所以 sin(A＋B)＝ ， 2 1 π 5π 所以 sinC＝ ，C＝ 或 . 2 6 6
2θ 2θ
2. A，B，C 是△ABC 的三个内角，且 tanA，tanB 是方 程 3x2－5x＋1＝0 的两个实数根，则△ABC 是( A．钝角三角形 C．等腰三角形 B．锐角三角形 D．等边三角形 )
5 【解析】tanA＋tanB＝ ，① 3 1 tanAtanB＝ ，② 3 tanA＋tanB 所以 tan(A＋B)＝ ＝ 1－tanAtanB 5 ＝ ， 1 2 1－ 3 5 3
2
7 ＝ . 25
17π 7π 5π π 因为 <x< ，则 <x＋ <2π， 12 4 3 4 π 4 故 sin( ＋x)＝－ ， 4 5 π sin ＋x π 4 4 tan( ＋x)＝ ＝－ ， 4 π 3 cos ＋x 4 7 4 28 故原式＝ ×(－ )＝－ . 25 3 75
sin15° ＋cos15° －8° sin8° (2)原式＝ cos15° －sin15° －8° sin8° 1－cos30° sin15°cos8° · ＝ ＝tan15° ＝ cos8° cos15° sin30° ＝2－ 3.
【点评】进行三角变换的技巧是变角，即注意角的和、差、 倍、半、互余、互补关系根据实际情况对角进行“拆”或 “添”变形，这样可大大减少运算量．基本的解题规律为： 观察差异(或角、或函数、或运算)，寻找联系(借助熟知的公 式、方法或技巧)，综合分析，实现转化．
备选例题
等比数列 {an}中，a2＝sinα＋cosα，a3＝1＋sin2α，其 π 中 ＜α＜π.求： 2 1 3 (1)2sin2α－ cos4α＋ 是数列{an}的第几项？ 2 2 4 (2)若 tan(π－α)＝ ，求数列{an}的前 n 项和 Sn. 3
【解析】设数列{an}的公比为 q， a3 1＋sin2α sinα＋cosα2 则 q＝ ＝ ＝ ＝sinα＋cosα， a2 sinα＋cosα sinα＋cosα a2 所以 a1＝ ＝1. q 所以 an＝(sinα＋cosα)n－1(n∈N*)．
3 证明．它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式
的证明．常用方法：从左推到右；从右推到左； 左右互推．
θ 4 θ 3 1.若 sin ＝ ，cos ＝ ，则 θ 是( 2 5 2 5 A．第一象限角 C．第三象限角
)
B．第二象限角 D．第四象限角
θ θ 24 【解析】因为 sinθ＝2sin cos ＝ >0， 2 2 25 7 cosθ＝cos －sin ＝－ <0， 2 2 25 所以 θ 在第二象限．
4 4 (2)由 tan(π－α)＝ ，得 tanα＝－ ， 3 3 π 4 3 又 ＜α＜π，所以 sinα＝ ，cosα＝－ ， 2 5 5 1 1 n －1 所以 q＝sinα＋cosα＝ ，所以 an＝( ) ， 5 5 1n 1－ 5 5 1 1 n－1 故 Sn ＝ ＝ － ×( ) . 1 4 4 5 1－ 5
一
恒等变换下的化简求值
cos2x 的值． π 2cos ＋x· sinx 4
x x 【例 1】已知 sin －2cos ＝0，求 2 2
x x x 【解析】由 sin －2cos ＝0，得 tan ＝2， 2 2 2 4 所以 tanx＝ ＝－ ， 3 x 2 1－tan 2 cos2x－sin2x cosx＋sinx cos2x 所以 ＝ ＝ ＝ π sinx cosx－sinxsinx 2cos ＋x· sinx 4 4 1－ 1＋tanx 3 1 ＝ ＝ . 4 4 tanx － 3 x 2tan 2
素材2
sin2x＋2sin2x π 3 17π 7π 若 cos( ＋x)＝ ， <x< ，求 的值． 4 5 12 4 1－tanx
2sinxcosx1＋tanx 【解析】原式＝ 1－tanx π ＝sin2x· tan( ＋x)． 4 π π 而 sin2x＝sin[2( ＋x)－ ] 4 2 π ＝－cos2( ＋x) 4 π ＝－[2cos ( ＋x)－1] 4
素材3
sin2α＋β sinβ 求证： －2cos(α＋β)＝ . sinα sinα
sin[α＋β＋α] 2cosα＋βsinα 【证明】 左边＝ － sinα sinα sinα＋βcosα＋cosα＋βsinα－2cosα＋βsinα ＝ sinα sinα＋βcosα－cosα＋βsinα ＝ sinα sinα＋β－α sinβ ＝ ＝sinα＝右边． sinα 故等式成立．
4.求值： 3tan20° tan40° ＋tan20° ＋tan40° ＝
3
.
【解析】原式＝ 3tan20° tan40° ＋tan60° (1－tan20° tan40° ) ＝ 3.
1＋tanα 1 5.若 ＝2013，则 ＋tan2α＝ cos2α 1－tanα
2013
.
1＋sin2α 1 【解析】 ＋tan2α＝ cos2α cos2α sinα＋cosα2 ＝ cosα＋sinαcosα－sinα cosα＋sinα 1＋tanα ＝ ＝ ＝2013. cosα－sinα 1－tanα
sin2α＋cos2α＋2sinαcosα ＝ cos2α－sin2α cosα＋sinα2 ＝ cosα－sinαcosα＋sinα cosα＋sinα ＝ cosα－sinα 1＋tanα ＝ ＝右边． 1－tanα 故等式成立．
【点评】观察左右两边式子间的差异，选择“从左证到右”， 利用凑角、降幂“1”的巧妙代换，将异角化为同角，高次化为 低次，最后弦化切，统一三角名称．
三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结 构的转化，而转化的依据就是一系列的三角公式， 因此对三角公式在实现这种转化中的应用应有足 够的了解：
1同角三角函数关系——可实现函数名称的转化． 2 诱导公式及和、差、倍角的三角函数——可以
实现角的形式的转化．
3 倍角公式及其变形公式——可实现三角函数的
能运用同角三角函数的基本关系、 诱导公式、两角和与差的三角公式 进行简单的三角恒等变换．
三角变换的基本题型 — —化简、求值和证明
1 化简．
三角函数式化简的一般要求：三角函数种数尽量 少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分母不含 三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式； 能求出的值应尽量求出值． 依据三角函数式的结构特点，常采用的变换方法： 异角化同角；异名化同名；异次化同次；高次降次．
1 3 (1)2sin2α － cos4α＋ 2 2 1 ＝ ×(4sin2α－cos4α＋3) 2 1 ＝ [4sin2α－(1－2sin22α)＋3] 2 1 ＝ (2sin22α＋4sin2α＋2) 2 ＝(1＋sin2α)2 ＝(sinα＋cosα)4 ＝a5， 1 3 所以 2sin2α－ cos4α＋ 是数列{an}中的第 5 项． 2 2
2 求值．常见的有给角求值，给值求值，给值求角．
①给角求值的关键是正确地分析角(已知角与未知角) 之间的关系，准确地选用公式，注意转化为特殊值． ②给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、 名称、结构的差异，有目的地将已知式、待求式的 一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后 求待求式的值． ③给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值， 讨论角的范围，求出该角．
【点评】本题从“幂”入手，借助倍角公式的变形公式，即降 幂公式先降幂再进行其他化简，这种化高次为低次是三角变换 的常用方法．
二
恒等变换下的拆角求值
2 π 1 π 【例 2】(1)已知 tan(α＋β)＝ ，tan(β－ )＝ ，求 tan( ＋α) 5 4 4 4 的值； sin7° ＋cos15°sin8° · (2) ＝__________. cos7° －sin15° sin8°
三
恒等变换下的三角证明
3π π 2－2sinα＋ cosα＋ 4 4 1＋tanα 【例 3】证明： ＝ . 4 4 cos α－sin α 1－tanα
π 2－2cos α＋4 【证明】左边＝ cos2α－sin2α
2
π 2sin α＋4 ＝ 2 cos α－sin2α
2
π 1－cos2α＋2 ＝ cos2α－sin2α 1＋sin2α ＝ 2 cos α－sin2α
【点评】对于附加条件求值问题，要先看条件可不可以变形或 化简，然后看所求式子能否化简，再看它们之间的相互联系， 通过分析找到已知与所求的纽带．
素材1
1 化简：sin αsin β＋cos αcos β－ cos2αcos2β 的值为 2
2 2 2 2
1 2
.பைடு நூலகம்
1－cos2α 1－cos2β 1＋cos2α 1＋cos2β 1 【解析】原式＝ · ＋ · － 2 2 2 2 2 cos2α· cos2β 1 1 ＝ (1＋cos2α· cos2β－cos2α－cos2β)＋ (1＋cos2α· cos2β 4 4 1 ＋cos2α＋cos2β)－ cos2αcos2β 2 1 ＝ . 2
π π 【解析】(1)因为 ＋α＝(α＋β)－(β－ )， 4 4 π π 所以 tan( ＋α)＝tan[(α＋β)－(β－ )] 4 4 π tanα＋β－tanβ－ 4 ＝ π 1＋tanα＋β· tanβ－ 4 2 1 － 5 4 ＝ 2 1 1＋ × 5 4 3 ＝ . 22
5 所以 tanC＝－tan(A＋B)＝－ ，所以 C 为钝角， 2 所以△ABC 为钝角三角形．
3.在△ABC 中，3sinA＋4cosB＝6,3cosA＋4sinB＝1，则∠C 的大小为( π A. 6 π 5π C. 或 6 6 ) 5π B. 6 π 2π D. 或 3 3
【解析】由已知， 9sin2A＋16cos2B＋24sinAcosB＝36，① 9cos2A＋16sin2B＋24sinBcosA＝1，② 1 ①＋②，得 25＋24sin(A＋B)＝37，所以 sin(A＋B)＝ ， 2 1 π 5π 所以 sinC＝ ，C＝ 或 . 2 6 6
2θ 2θ
2. A，B，C 是△ABC 的三个内角，且 tanA，tanB 是方 程 3x2－5x＋1＝0 的两个实数根，则△ABC 是( A．钝角三角形 C．等腰三角形 B．锐角三角形 D．等边三角形 )
5 【解析】tanA＋tanB＝ ，① 3 1 tanAtanB＝ ，② 3 tanA＋tanB 所以 tan(A＋B)＝ ＝ 1－tanAtanB 5 ＝ ， 1 2 1－ 3 5 3
2
7 ＝ . 25
17π 7π 5π π 因为 <x< ，则 <x＋ <2π， 12 4 3 4 π 4 故 sin( ＋x)＝－ ， 4 5 π sin ＋x π 4 4 tan( ＋x)＝ ＝－ ， 4 π 3 cos ＋x 4 7 4 28 故原式＝ ×(－ )＝－ . 25 3 75
sin15° ＋cos15° －8° sin8° (2)原式＝ cos15° －sin15° －8° sin8° 1－cos30° sin15°cos8° · ＝ ＝tan15° ＝ cos8° cos15° sin30° ＝2－ 3.
【点评】进行三角变换的技巧是变角，即注意角的和、差、 倍、半、互余、互补关系根据实际情况对角进行“拆”或 “添”变形，这样可大大减少运算量．基本的解题规律为： 观察差异(或角、或函数、或运算)，寻找联系(借助熟知的公 式、方法或技巧)，综合分析，实现转化．
备选例题
等比数列 {an}中，a2＝sinα＋cosα，a3＝1＋sin2α，其 π 中 ＜α＜π.求： 2 1 3 (1)2sin2α－ cos4α＋ 是数列{an}的第几项？ 2 2 4 (2)若 tan(π－α)＝ ，求数列{an}的前 n 项和 Sn. 3
【解析】设数列{an}的公比为 q， a3 1＋sin2α sinα＋cosα2 则 q＝ ＝ ＝ ＝sinα＋cosα， a2 sinα＋cosα sinα＋cosα a2 所以 a1＝ ＝1. q 所以 an＝(sinα＋cosα)n－1(n∈N*)．
3 证明．它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式
的证明．常用方法：从左推到右；从右推到左； 左右互推．
θ 4 θ 3 1.若 sin ＝ ，cos ＝ ，则 θ 是( 2 5 2 5 A．第一象限角 C．第三象限角
)
B．第二象限角 D．第四象限角
θ θ 24 【解析】因为 sinθ＝2sin cos ＝ >0， 2 2 25 7 cosθ＝cos －sin ＝－ <0， 2 2 25 所以 θ 在第二象限．
4 4 (2)由 tan(π－α)＝ ，得 tanα＝－ ， 3 3 π 4 3 又 ＜α＜π，所以 sinα＝ ，cosα＝－ ， 2 5 5 1 1 n －1 所以 q＝sinα＋cosα＝ ，所以 an＝( ) ， 5 5 1n 1－ 5 5 1 1 n－1 故 Sn ＝ ＝ － ×( ) . 1 4 4 5 1－ 5
一
恒等变换下的化简求值
cos2x 的值． π 2cos ＋x· sinx 4
x x 【例 1】已知 sin －2cos ＝0，求 2 2
x x x 【解析】由 sin －2cos ＝0，得 tan ＝2， 2 2 2 4 所以 tanx＝ ＝－ ， 3 x 2 1－tan 2 cos2x－sin2x cosx＋sinx cos2x 所以 ＝ ＝ ＝ π sinx cosx－sinxsinx 2cos ＋x· sinx 4 4 1－ 1＋tanx 3 1 ＝ ＝ . 4 4 tanx － 3 x 2tan 2
素材2
sin2x＋2sin2x π 3 17π 7π 若 cos( ＋x)＝ ， <x< ，求 的值． 4 5 12 4 1－tanx
2sinxcosx1＋tanx 【解析】原式＝ 1－tanx π ＝sin2x· tan( ＋x)． 4 π π 而 sin2x＝sin[2( ＋x)－ ] 4 2 π ＝－cos2( ＋x) 4 π ＝－[2cos ( ＋x)－1] 4
素材3
sin2α＋β sinβ 求证： －2cos(α＋β)＝ . sinα sinα
sin[α＋β＋α] 2cosα＋βsinα 【证明】 左边＝ － sinα sinα sinα＋βcosα＋cosα＋βsinα－2cosα＋βsinα ＝ sinα sinα＋βcosα－cosα＋βsinα ＝ sinα sinα＋β－α sinβ ＝ ＝sinα＝右边． sinα 故等式成立．
4.求值： 3tan20° tan40° ＋tan20° ＋tan40° ＝
3
.
【解析】原式＝ 3tan20° tan40° ＋tan60° (1－tan20° tan40° ) ＝ 3.
1＋tanα 1 5.若 ＝2013，则 ＋tan2α＝ cos2α 1－tanα
2013
.
1＋sin2α 1 【解析】 ＋tan2α＝ cos2α cos2α sinα＋cosα2 ＝ cosα＋sinαcosα－sinα cosα＋sinα 1＋tanα ＝ ＝ ＝2013. cosα－sinα 1－tanα
sin2α＋cos2α＋2sinαcosα ＝ cos2α－sin2α cosα＋sinα2 ＝ cosα－sinαcosα＋sinα cosα＋sinα ＝ cosα－sinα 1＋tanα ＝ ＝右边． 1－tanα 故等式成立．
【点评】观察左右两边式子间的差异，选择“从左证到右”， 利用凑角、降幂“1”的巧妙代换，将异角化为同角，高次化为 低次，最后弦化切，统一三角名称．
三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结 构的转化，而转化的依据就是一系列的三角公式， 因此对三角公式在实现这种转化中的应用应有足 够的了解：
1同角三角函数关系——可实现函数名称的转化． 2 诱导公式及和、差、倍角的三角函数——可以
实现角的形式的转化．
3 倍角公式及其变形公式——可实现三角函数的
能运用同角三角函数的基本关系、 诱导公式、两角和与差的三角公式 进行简单的三角恒等变换．
三角变换的基本题型 — —化简、求值和证明
1 化简．
三角函数式化简的一般要求：三角函数种数尽量 少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分母不含 三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式； 能求出的值应尽量求出值． 依据三角函数式的结构特点，常采用的变换方法： 异角化同角；异名化同名；异次化同次；高次降次．
1 3 (1)2sin2α － cos4α＋ 2 2 1 ＝ ×(4sin2α－cos4α＋3) 2 1 ＝ [4sin2α－(1－2sin22α)＋3] 2 1 ＝ (2sin22α＋4sin2α＋2) 2 ＝(1＋sin2α)2 ＝(sinα＋cosα)4 ＝a5， 1 3 所以 2sin2α－ cos4α＋ 是数列{an}中的第 5 项． 2 2