2020年河南省三门峡市实验中学高三数学(文)高考模拟测试卷一

数学试卷一、选择题1.已知集合{2,1,0,1,2},{|(1)(2)0}M N x x x =--=+-<，则M N ⋂=( ) A.{1,0}- B.{0,1} C.{1,0,1}- D.{0,1,2}2.设i 是虚数单位，若复数17(R)4ia a -∈-是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.-4 B.-1 C.4 D.13.根据如表数据，得到的回归方程为$9y bx=+$，则b =$( )B.1C.0D.-14.函数3y x =的图象在原点处的切线方程为( )A.y x =B.0x =C.0y =D.不存在5.若如图所示的程序框图输出的S 是126,则条件①可以为( )A. 5n ≤B. 6n ≤C. 7n ≤D. 8n ≤6.已知向量,a b r r 的夹角为2π3,且(3,4)a =-r ,||2b =r ,则|2|a b +=r r ( )A.B.2C.D.847.如果函数π()cos()(0)4f x x ωω=+>的相邻两个零点之间的距离为π6，则ω=( ) A.3 B.6 C.12 D.248.Rt △，则这个多面体最长一条棱长为( )C.D.9.已知数列{}n a 的通项公式262n a n =-，要使此数列的前n 项和n S 最大，则n 的值为( )A.12B.13C.12或13D.1410.如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论错误的是( )A.//BD 平面11CB DB.1AC BD ⊥C.1AC ⊥平面11CB DD.异面直线AD 与1CB 所成的角为60︒11.已知函数()f x 满足条件：当0x >时，1()'12f x xf +>，则下列不等式正确的是( ) A.(1)34(2)f f +> B.(2)34(4)f f +> C.(1)89(3)f f +< D.(2)43(4)f f +<二、填空题12.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ,且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为_______________．13.已知2,(1)()lg(1),(1)x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则((1))f f =______．14.若函数2log y x =的图象上存在点(,)x y ，满足约束条件30220x y x y y m +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为______．15.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()3a b c a b c ab +-++=，且4c =，则ABC △面积的最大值为______．16.平面内与两定点12(0,),(0,)(0)A a A a a ->连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上12,A A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线给出以下四个结论： ① 当1m =-时，曲线C 是一个圆；② 当2m =-时，曲线C的离心率为2；③ 当2m =时，曲线C的渐近线方程为2y x =±； ④ 当(,1)(0,)m ∈-∞⋃+∞时，曲线C的焦点坐标分别为(0,-和(0,其中正确的结论序号为______．三、解答题17.在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，*1310,2,2()n n a a b a n N +===∈．1.求数列{}n b 及{}n a 的通项公式；2.若n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120BCD ∠=︒，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90,2BAP AB AC PA ∠=︒===．1.求证：面PBD ⊥面PAC ；2.过AC 的平面交PD 于点M ，若平面AMC 把四面体P ACD -分成体积相等的两部分，求三棱锥M PAB -的体积．19.某单位从一所学校招收某类特殊人才对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：人由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为15． 1.求,a b 的值；2.从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线20x y +-=相切． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过椭圆右焦点且不平行于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A B 、两点，探究在x 轴上是否存在定点E ，使得EA EB ⋅u uu r u u u r为定值？若存在，试求出定值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数2()2(1)2ln (0)f x x a x a x a =-++>． 1.求()f x 的单调区间；2.若()0f x ≤在区间[1,]e 上恒成立，求实数a 的取值范围．22.极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=+． 1.求C 的直角坐标方程；2.直线12:12x t l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于E ，求||||EA EB +的值．23.已知函数()|21|,()||f x x g x x a =+=+ 1.当0a =时，解不等式()()f x g x ≥；2.若存在x R ∈，使得()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．参考答案1.答案：B解析：集合{2,1,0,1,2}M =--{|(1)(2)0}{|12}N x x x x x =+-<=-<，{0.1}M N ∴⋂=．故选：B ．化简集合N ，再求M N ⋂即可．本题考查了集合的化简与简单运算问题，是基础题目． 2.答案：C 解析：复数1717(4i)(4i)(4)i 4i (4i)(4i)a a a a +-=-=-+=----+是纯虚数， 40a ∴-=，解得4a =． 故选：C ．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：D解析：由题意可得11(45678)6,(54321)355x y =++++==++++=，Q 回归方程为$9y bx=+$且回归直线过点(6,3)， 369b ∴=+，解得1b =-， 故选：D ．由题意可得样本中心点，代入回归直线可得b 值，即可得答案．本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算和回归方程的性质，属基础题． 4.答案：C解析：函数3y x =的导数为2'3y x =， 在原点处的切线斜率为0，则在原点处的切线方程为00(0)y x -=-， 即为0y =．故选：C ．求出函数的导数，求得切线斜率，由点斜式方程即可得到切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，考查运算能力，运用点斜式方程是解题的关键． 5.答案：B解析：分析程序中各变量,各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加2222n S =++⋅⋅⋅+的值,并输出满足循环的条件． 解:分析程序中各变量,各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加2222nS =++⋅⋅⋅+的值, 并输出满足循环的条件.∵26222126S =++⋅⋅⋅+=, 故①中应填6n ≤ 故选B 点评:算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误. 6.答案：C解析：向量,a b r r 的夹角为2π3，且(3,4)a =-r ，||a ∴=r 又||2b =r，222(2)44a b a a b b ∴+=+⋅+r r r r r r222π45452cos23=⨯+⨯⨯+ 84=，|2|a b ∴+=r r．故选：C ．根据平面向量的数量积公式计算模长即可．本题考查了平面向量的数量积应用问题，是基础题目．7.答案：B 解析：函数π()cos()(0)4f x x ωω=+>的相邻两个零点之间的距离为π6， ππ263T ∴=⨯=， 又2ππ3ω=，解得6ω=．故选：B ．根据余弦函数的相邻两个零点之间的距离恰好等于半个周期，即可求得ω的值． 本题主要考查余弦函数的图象和性质的应用问题，是基础题目．8.答案：B解析：根据三视图可知几何体是三棱锥， 且PC ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，Q1AB AC PC ∴===，则PB 是最长的棱，且PB ==故选：B ．根据三视图可知几何体是三棱锥，并求出棱长、判断出线面的位置关系，判断出最长的棱，再由勾股定理求解．本题考查几何体三视图的应用，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．9.答案：C解析：Q 数列{}n a 的通项公式262n a n =-，126224a ∴=-=，1(262)[262(1)]2n n d a a n n -=-=----=-， ∴数列{}n a 是首项为24，公差为2的等差数列，22(1)2562524(2)25()224n n n S n n n n -∴=+⨯-=-+=--+． 要使此数列的前n 项和n S 最大，则n 的值为12或13． 故选：C ．数列{}n a 是首项为24，公差为2的等差数列，从而22(1)2562524(2)25()224n n n S n n n n -∴=+⨯-=-+=--+由此能求出要使此数列的前n 项和n S 最大，n 的值．本题考查等差数列的前n 项和最大时项数n 的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用． 10.答案：D 解析：A 中因为11//BDB D ，正确；B 中因为AC BD ⊥，由三垂线定理知正确； C 中由三垂线定理可知111AC B D ⊥，11AC B C ⊥，故正确； D 中显然异面直线AD 与1CB 所成的角为45︒ 故选：D ．A 中因为11//BDB D 可判，B 和C 中可由三垂线定理进行证明；而D 中因为11//CB D A ，所以1D AD ∠即为异面直线所成的角，145D AD ∠=︒．本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．11.答案：C解析：构造函数22()()g x x f x x =-．1'()2(()'()1)02g x x f x x f x =⋅+⋅->Q ，在(0,)x ∈+∞恒成立，()g x ∴在(0,)+∞上是增函数， 13<Q ，(1)(3)g g ∴<得(1)89(3)f f +<，故选：C ．构造函数，利用函数的导数，判断函数的单调性，然后判断选项即可． 本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．12.答案：3解析：13.答案：0解析：Q 已知2,(1)()lg(1),(1)x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则1(1)22f ==，故[(1)](2)lg(21)0f f f ==-=，故答案为0．根据函数的解析式先求出(1)f 的值，进而求得((1))f f 的值．本题主要考查利用分段函数求函数的值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．14.答案：1解析：作出约束条件30220x y x y y m +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域，得到如图的三角形，再作出对数函数2log y x =的图象，可得该图象与直线30x y +-=交于点(2,1)M ， 当该点在区域内时，图象上存在点(,)x y 满足不等式组，且此时m 达到最大值，即m 的最大值为1 故答案为：1．作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形，观察图形可得函数2log y x =的图象与直线30x y +-=交于点(2,1)，当该点在区域内时，图象上存在点(,)x y 满足不等式组，且此时m 达到最大值，由此即可得到m 的最大值．本题给出二元一次不等式组，求能使不等式成立的m 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和函数图象的作法等知识，属于中档题15.答案：解析：在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ， 已知()()3a b c a b c ab +-++=，则：222a b c ab +-=，整理得：2221cos 22a b c C ab +-==，由于：0πC <<，解得：π3C =． 由于：4c =，故：2222cos c a b ab C =+-， 转换为：162ab ab ab ≥-=，所以：1sin ABC S ab C =≤△故最大值为：首先利用关系式的变换，转换为余弦定理的关系式，求出C 的值，进一步利用余弦定理和基本关系式求出ab 的最大值，最后利用三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：余弦定理和三角形面积公式的应用，基本不等式的应用．16.答案：① ② ④ 解析： 17.答案：1.依题意3132,28b b ===，设数列{}n b 的公比为q ，由12>0n a n b +=，可知0q >，由223128b b q q =⋅=⋅=，得24q =，又0q >，则2q =， 故111222n n nn b b q --==⋅=，又由122n a n +=，得1n a n =-2.依题意(1)2n n c n =-⋅1231021222(2)2(1)2n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅L ,①则23412021222(2)2(1)2n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅L ,②①-②得21231122222(1)2(1)212n n n n n S n n +++--=+++--⋅=--⋅-L ，即14(2)2n n S n +-=-+-⋅，故14(2)2n n S n +=+-⋅解析：18.答案：1.证明：90BAP ∠=︒Q ，PA AB ∴⊥，又侧面PAB ⊥底面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，PA ⊂面PAB ，PA ∴⊥面ABCD ，BD ⊂Q 面ABCD ，PA BD ∴⊥，又120BCD ∠=︒Q ，ABCD 为平行四边形，60ABC ∴∠=︒， 又AB AC =，ABC ∴△为等边三角形，则ABCD 为菱形， 则BD AC ⊥．又PA AC A ⋂=，BD ∴⊥面PAC ，BD ⊂Q 面PBD ，∴面PAC ⊥面PBD ；2.由平面AMC 把四面体P ACD -分成体积相等的两部分， 则M 为PB 中点．由2AB AC ==，120BCD ∠=︒，得BD =由1知ABCD 为菱形，则122ABCD S =⨯=． 又由1知PA ⊥面ABCD ，则112333P ABCD ABCD V S PA -=⋅⋅=⋅=．11124433M PAB D PAB P ABCD V V V ---===⨯=． 解析：19.答案：1.由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有(2)a +人． 设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生， 则21()205a P A +==． 解得 2a =．4b ∴=．2.由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有6位，分别记为123456,,,,,M M M M M M 其中5M 和6M 为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生． 从中任意抽取2位，可表示为：1213141516,,,,M M M M M M M M M M2324252634,,,,M M M M M M M M M M3536454656,,,,M M M M M M M M M M ，共15种可能．设事件B ：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位， 其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生．则事件B 包括：1516252635,,,,,M M M M M M M M M M36454656,,,,M M M M M M M M 共9种可能．93()155P B ∴==． ∴至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为35． 解析：20.答案：（1）由题意知，222b c a b c a=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 则椭圆C 的方程为2212x y +=． （2）当直线的斜率存在时，设直线(1)y k x =-， 联立2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(12)4220k x k x k +-+-=，2880k ∆=+>， ∴22412A B k x x k +=+，222212A B k x x k -=+， 假设x 轴上存在定点00(,)E x ，使得EA EB ⋅u u u r u u u r 为定值，∴20000(,)(,)()A A B B A B A B A B EA EB x x y x x y x x x x x x y y ⋅=-⋅-=-+++u u u r u u u r 2200()(1)(1)A B A B A B x x x x x x k x x =-+++--222200(1)()()A B A B k x x x k x x x k =+-++++2220002(241)(2)12x x k x k -++-=+． 要使EA EB ⋅u u u r u u u r 为定值，则EA EB ⋅u u u r u u u r 的值与k 无关，∴220002412(2)x x x -+=-， 解得054x =，此时716EA EB ⋅=-u u u r u u u r 为定值，定点为5(,0)4．当直线的斜率不存在时，A，(1,B，1(4EA =u u u r，1(,4EB =u u u r ，117(4416EA EB ⋅=⨯=-u u u r u u u r 也满足条件．解析：21.答案：1.2()2(1)2ln (0)f x x a x a x a =-++>Q ．222(1)22(1)()'()(0)x a x a x x a f x x x x-++--∴==>，由'()0f x =得21,1x a x ==当01a <<时，在(0,)x a ∈或(1,)x ∈+∞时'()0f x > ， 在(,1)x a ∈时'()0f x <，()f x ∴的单调增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间是(,1)a ； 1a =时，在(0,)x ∈+∞时'()0f x ≥，()f x ∴的单调增区间是(0,)+∞；当1a >时，在(0,1)x ∈或(,)x a ∈+∞时'()0f x > ， 在(1,)x a ∈时'()0f x <．()f x ∴的单调增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调减区间是(1,)a2.由1可知()f x 在区间[1,]e 上只可能有极小值点， ()f x ∴在区间[1,]e 上的最大值在区间的端点处取到， 即有(1)12(1)0f a =-+≤且2()2(1)20f e e a e a =-++≤， 解得2222e e a e -≥-． 即实数a 的取值范围是2222e e a e -≥-． 解析：22.答案：1.Q 曲线C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=+22cos 2sin ρρθρθ∴=+2222x y x y ∴+=+即22(1)(1)2x y -+-=2.将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程， 得210t t --=，所以12||||||||EA EB t t +=+==解析：23.答案：1.当0a =时，由()()f x g x ≥得|21|||x x +≥，两边平方整理得23410x x ++≥，解得1x ≤-或13x ≥-，∴原不等式的解集为1(,1)[,)3-∞-⋃-+∞．2.由()()f x g x ≤得|21|||a x x ≥+-，令()|21|||h x x x =+-，即 11,21()31,021,0x x h x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪+≥⎪⎪⎩， 故min 11()()22h x h =-=-，故可得到所求实数a 的范围为1[,)2-+∞． 解析：。