高一习题2-9. 数学 数学doc
(完整word版)高一数学数列部分经典习题及答案
.数 列一．数列的概念：（1）已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）； （2）数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为__（答：n a <1+n a ）； （3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；二．等差数列的有关概念：1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。
设{}n a 是等差数列，求证：以b n =na a a n +++Λ21 *n N ∈为通项公式的数列{}nb 为等差数列。
2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。
(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833d <≤） 3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。
（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，求1a ，n （答：13a =-，10n =）； （2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答：2*2*12(6,)1272(6,)n n n n n N T n n n n N ⎧-≤∈⎪=⎨-+>∈⎪⎩）. 三．等差数列的性质：1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
人教A版高中数学必修第一册课后习题 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 (2)
2.2 基本不等式A 级 必备知识基础练1.[探究点一]不等式(x-2y)+1x -2y≥2成立的前提条件为( )A.x ≥2yB.x>2yC.x ≤2yD.x<2y2.[探究点三]已知0<x<1,则当x(5-5x)取最大值时,x 的值为( ) A.54B.12C.13D.343.[探究点三]已知a>0,b>0,a+4b=2,则ab 的最大值为( ) A.14B.12C.1D.24.[探究点三]设x>0,y>0,且xy=4,则1x+1y的最小值是( ) A.1B.2C.-1D.-25.[探究点三]已知x<0,则x+1x的最大值为( ) A.2B.-12C.-2D.126.[探究点三·江西宜春高一期中]已知a>0,b>0,a+b=1,且α=a+1a,β=b+1b,则α+β的最小值是( )A.2B.3C.4D.57.[探究点一·湖北十堰高一检测](多选题)下列推导过程正确的是( )A.因为a,b 为正实数,所以ba+ab≥2√ba·ab=2B.因为a>3,所以4a +a>2√4a·a =4C.因为a<0,所以4a+a ≥2√4a·a =4D.因为x,y ∈R,xy<0,所以x y+y x=-[(-x y)+(-y x)]≤-2√(-x y)·(-yx)=-2,当且仅当x=-y≠0时,等号成立8.[探究点二](多选题)若a,b ∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )A.a 2+b 2≥2abB.a+b ≥2√abC.1a+1b >√abD.b a+ab≥29.[探究点三]已知t>0,则t 2-3t+1t的最小值为 .10.[探究点二]已知a,b,c 为正数,求证:b+c -a a+c+a -b b+a+b -c c≥3.11.[探究点一]下列是一道利用基本不等式求最值的习题: 已知a>0,b>0,且a+b=1,求y=1a+2b 的最小值.小明和小华两名同学都巧妙地用了“a+b=1”,但结果并不相同.小明的解法:因为a+b=1,所以y=1a+2b+1-1=1a+2b+a+b-1=a+1a+b+2b-1,而a+1a≥2√a ·1a =2,b+2b ≥2√b ·2b =2√2.那么y ≥2+2√2-1=1+2√2,则最小值为1+2√2.小华的解法:因为a+b=1,所以y=1a+2b=(1a+2b)(a+b)=3+ba+2a b,而3+b a+2a b≥3+2√b a ·2ab=3+2√2,则最小值为3+2√2. (1)你认为哪名同学的解法正确,哪名同学的解法有错误? (2)请说明你判断的理由.B 级 关键能力提升练12.已知当x=a 时,代数式x-4+9x+1(x>-1)取得最小值b,则a+b=( )A.-3B.2C.3D.8A.∀x ∈R,且x≠0,x+1x≥2 B.∃x ∈R,使得x 2+1≤2x C.若x>0,y>0,则√x 2+y 22≥2xy x+yD.若x>0,y>0,且x+y=18,则√xy 的最大值为9 14.若a>0,b>0,则在①1a+1b ≤4a+b,②b 2a+a 2b≥a+b,③√a 2+b 22≥a+b 2,这三个不等式中,不正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个15.[安徽高一校联考期中](多选题)已知正实数a,b 满足a+b=2,则下列结论正确的是( ) A.ab ≤1 B.√a +√b ≥2 C.a 3+b 3≤2D.a 2+b 2≥216.(多选题)对于a>0,b>0,下列不等式中正确的是( ) A.√ab 2<1a+1b B.ab ≤a 2+b 22C.ab ≤(a+b 2)2 D.(a+b 2)2≤a 2+b 2217.已知a>b>c,则√(a -b )(b -c )与a -c 2的大小关系是 .18.已知不等式(x+y)(1x +ay )≥9对任意正实数x,y 恒成立,求正实数a 的最小值.C 级 学科素养创新练19.若a>0,b>0,且点(a,b)在反比例函数y=1x 的图象上,则1a 2b+1ab2+16ab a+b的最小值是 . 答案：1.B 基本不等式成立的前提条件是各项均为正数,所以不等式(x-2y)+1x -2y≥2成立的前提条件为x-2y>0,即x>2y.故选B.2.B 由0<x<1,可得1-x>0,则x(5-5x)=5x(1-x)≤5·(x+1-x 2)2=54,当且仅当x=1-x,即x=12时,等号成立,所以x=12时,x(5-5x)取得最大值54.故选B. 3.A 因为a>0,b>0,a+4b=2,由基本不等式可得2=a+4b ≥2√4ab =4√ab ,可得ab ≤14,当且仅当a=4b,即a=1,b=14时,等号成立,所以ab 的最大值为14.故选A.4.A 因为x>0,y>0,且xy=4,所以1x >0,1y >0,1x +1y ≥2√1x ·1y =2√1xy =2×12=1,当且仅当1x=1y ,即x=y=2时,等号成立.故选A.5.C 因为x<0,可得-x>0,则x+1x=-[(-x)+1-x]≤-2√(-x )·1-x=-2,当且仅当-x=1-x,即x=-1时,等号成立,所以x+1x的最大值为-2.故选C.6.D 由题意知a>0,b>0,a+b=1,且α=a+1a,β=b+1b,则α+β=a+1a+b+1b=1+1ab≥1+1(a+b 2)2=5,当且仅当a=b=12时,等号成立,所以α+β的最小值为5.故选D.7.ABD 对于A,a,b 为正实数,有ba>0,ab>0,且ba·ab=1,又当且仅当a=b 时,ba=a b成立,满足基本不等式的条件,A 正确;对于B,当a>3时,4a>0,4a+a ≥2√4a·a =4,当且仅当4a=a,a=2时,等号成立,与a>3矛盾,所以不存在大于3的正数a 使a=4a成立,所以4a+a>4,B 正确;对于C,因为a<0,则4a<0,不符合基本不等式成立的条件,C 错误;对于D,x,y ∈R,xy<0,则-x y>0,-yx>0,且(-x y)·(-y x)=1,又当且仅当-x=y≠0时,-x y=-yx成立,满足基本不等式的条件,D 正确.故选ABD.8.AD 对于A 选项,a 2+b 2-2ab=(a-b)2≥0,故a 2+b 2≥2ab,A 正确;对于B,取a=b=-1,此时a+b=-2<2√ab =2,B 错误;对于C,取a=b=-1,此时1a+1b=-2<√ab=2,C 错误;对于D,因为ab>0,所以a b>0,b a>0,所以b a+a b≥2√b a·ab=2,当且仅当a=b≠0时,等号成立,D 正确.故选AD. 9.-1 ∵t>0,∴t 2-3t+1t =t+1t-3≥2√t ·1t-3=-1,当且仅当t=1时,等号成立.10.证明左边=ba +ca -1+cb +ab -1+ac +bc -1=(ba +ab )+(ca +ac )+(cb +bc )-3.∵a,b,c 为正数,∴ba+ab≥2(当且仅当a=b 时,等号成立);ca+ac≥2(当且仅当a=c 时,等号成立);c b +b c ≥2(当且仅当b=c 时,等号成立).从而(b a +ab )+(ca +ac )+(cb +bc )≥6(当且仅当a=b=c 时,等号成立).∴(ba +ab )+(ca +ac )+(cb +bc )-3≥3,即b+c -a a+c+a -b b+a+b -c c≥3.11.解(1)小华的解法正确,小明的解法错误.(2)在小明的解法中,a+1a≥2√a ·1a=2,当等号成立时a=1;b+2b≥2√b ·2b =2√2,当等号成立时b=√2,那么y 取得最小值1+2√2时,a+b=1+√2,这与条件a+b=1是相矛盾的,所以小明的解法错误.小华的解法中,b a+2a b≥2√2,等号成立的条件为b 2=2a 2,即b=√2a,再由已知条件a+b=1,即可解得满足条件的a,b 的值,所以小华的解法正确. 12.C x-4+9x+1=x+1+9x+1-5,由x>-1,得x+1>0,9x+1>0,所以由基本不等式得x+1+9x+1-5≥2√(x +1)·9x+1-5=1,当且仅当x+1=9x+1,即x=2时,等号成立.所以a=2,b=1,a+b=3.13.BCD 对于A,当x<0时不成立;对于B,当x=1时成立,B 正确;对于C,若x>0,y>0,则(x 2+y 2)(x+y)2≥2xy·4xy=8x 2y 2,可化为√x 2+y 22≥2xyx+y,当且仅当x=y>0时,等号成立,C 正确;对于D,∵x>0,y>0,∴x+y=18≥2√xy ,当且仅当x=y=9时,等号成立,∴√xy ≤9,D 正确.故选BCD.14.B 因为a,b>0,对于①,由(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab≥2+2√ba·ab=4,当且仅当a=b 时,等号成立,所以1a+1b≥4a+b,所以①错误;对于②,由不等式a 3+b 3-a 2b-ab 2=(a+b)(a-b)2≥0,可得a 3+b 3≥a 2b+ab 2,两边同除ab,可得b 2a+a 2b≥a+b 成立,所以②正确;对于③,由2a 2+2b 2=a 2+b 2+a 2+b 2≥a 2+b 2+2ab=(a+b)2,可得a 2+b 2≥(a+b )22,即a 2+b 22≥(a+b )24,所以√a 2+b 22≥a+b 2成立,所以③正确.故选B.15.AD 因为正实数a,b 满足a+b=2,对于A 选项,ab ≤(a+b 2)2=1,当且仅当a=b=1时,等号成立,A 正确;对于B 选项,因为(√a +√b )2=a+b+2√ab ≤2(a+b)=4,则√a +√b ≤2,当且仅当a=b=1时,等号成立,B 错误;对于C 选项,当a=32,b=12时,a 3+b 3=(32)3+(12)3=72>2,C 错误;对于D 选项,a 2+b 2=a 2+b 2+a 2+b 22≥a 2+b 2+2ab2=(a+b )22=2,当且仅当a=b=1时,等号成立,D 正确.故选AD. 16.BCD 当a>0,b>0时,因为21a +1b≤√ab ,所以√ab≤1a+1b,当且仅当a=b 时,等号成立,故A 不正确;显然B,C,D 均正确. 17.√(a -b )(b -c )≤a -c 2∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴a -c 2=(a -b )+(b -c )2≥√(a -b )(b -c ). 当且仅当b=a+c 2时,等号成立.18.解(x+y)(1x +ay )=1+a+yx +ax y,∵x>0,y>0,a>0,∴y x+ax y≥2√y x·ax y=2√a ,∴1+a+yx +ax y≥1+a+2√a ,当且仅当y=√a x 时,等号成立.∴要使(x+y)(1x +ay )≥9对任意正实数x,y 恒成立,只需1+a+2√a ≥9恒成立即可.∴(√a +1)2≥9,即√a +1≥3,∴a ≥4,故a 的最小值为4.19.8 ∵点(a,b)在反比例函数y=1x的图象上,∴b=1a,即ab=1.∵a>0,b>0,∴a+b>0,∴1a 2b+1ab2+16ab a+b=1a+1b+16a+b=a+b ab+16a+b=a+b+16a+b≥8,当且仅当a+b=16a+b,即a+b=4时,等号成立,所以1a 2b+1ab2+16ab a+b的最小值是8.。
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x 3x 2 +10x + 3 = 02017—2018 （上）金堂中学高2020届9月月考试题数学参考答案、选择题（每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 789101112答案C D D C A CBCDBCA二填空题、题5分，共20分） 13. 2'1 3】 「 1 3一 14.- (或) 24jL 2 4_15. -3 16. x 2 -4x +3 三、解答题(共70分) 17. 解：(1)A B =2<x<10} ................................... 3 分(2) C R A = {X |X <3,45CV >7} ........................................ 6 分 (3) C R B {x\x < 2, ^x> 10} ....................................... 8 分/.A (C R B) = 0 ................................................... 11 分 18.解：AcB = {---e A,e B ..................................................... 1 分p = -14q = 3A3（标出顶点、与X轴和y轴的交点为宜）“孔所以，/⑴的最大值为7,最小值为-9。
11分若 2x = 3, 10分V2若— = 3, 2 则x = R（x = —£不满足条件，舍去）;12分（2）当xe［0,6］时，根据图像可知: /（X）在［0,2］上单调递减，在［2, 6］上单调递增。
且六0）=-5,六2）=—9,六6）=77 7 1 20.................................................................. 解：（1）7（—；） = 一二+ 2 = 丁...............................4 4 4C 1 1=2x —...........................4 2= 1 即巾["=1 ...............⑵若x + 2 = 3,贝!jx = l,不满足条件，舍去;3 则% =-，满足条件；...2综上所述:21.解:（1）在数轴上标出集合/、B,如图:fa+8^5,要使JU5=R,则、永一1,解得一3WaV — 1.+ (入2 _-2 < m-1 < 2< -2<l-2m< W m-l<l-2m -1< m<31 3——<m< —2 2211分m< —3综上可知，a的取值范围为{a|—3WaV — l} . ................. 5分(2)由题意，得A={1,2}. •:ACB=B,............................... 6 分.,.当B= 0 时，(―2)1 2 1—4(a—1) <0,解得 a>2； . (8)............................................................... 分当1 时，1 —2 + a—1 = 0,解得a=2,且此时方={1},符合题意；•••10分当2仁刀时，4 —4 + a—1 = 0,解得a=l,此时B= {0, 2),不合题意.综上所述， a 的取值范围是{a|a>2)o.......................................... 12分22,解：(1) f(x)在(一2, 2)上是单调递减的。
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..数列一．数列的概念：〔1〕a n n2n(n*)，那么在数列{a n}的最大项为__〔答：1〕；156N25〔2〕数列{a n}的通项为a n an ，其中a,b均为正数，那么a n与a n1的大小关系为__〔答：an a n1〕；bn1〔3〕数列{a n}中，a n n2n，且{a n}是递增数列，求实数的取值范围〔答：3〕；二．等差数列的有关概念：1．等差数列的判断方法：定义法a n1a n d(d为常数〕或a n1a n a n a n1(n2)。
设{a n}是等差数列，求证：以b n=a1a2n a n nN*为通项公式的数列{b n}为等差数列。
2．等差数列的通项：a n a1(n1)d或a n a m(n m)d。
(1)等差数列{a n}中，a1030，a2050，那么通项a n〔答：2n10〕；〔2〕首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，那么公差的取值范围是______〔答：8d3〕33．等差数列的前n和：S n n(a1a n)，Sn na1n(n1)d。
22〔1〕数列{a n}中，a n a n11(n2,n N*)，a n3，前n项和S n15，求a1，n〔答：a13，n10〕；222〔2〕数列{a n}的前n项和S n12n2{|a n|}的前n项和T n〔答：T n12n n2(n6,n N*)〕. n，求数列n212n72(n6,n N*)三．等差数列的性质：1．当公差d0时，等差数列的通项公式a n a1(n1)d dna1d是关于n的一次函数，且率为公差d；前n和S n na1n(n1)d d n2(a1d)n是关于n的二次函数且常数项为0 .2222．假设公差d0，那么为递增等差数列，假设公差d0，那么为递减等差数列，假设公差d0，那么为常数列。
3．当mn p q时,那么有a m a n a pa q，特别地，当m n2p时，那么有a m a n2a p.〔1〕等差数列{a n}中，S n18,a n a n1a n23,S31，那么n＝____〔答：27〕〔2〕在等差数列a n中，a100,a110，且a11|a10|，Sn是其前n项和，那么..A、S1,S2L S10都小于0，S11,S12L都大于0B、S1,S2L S19都小于0，S20,S21L都大于0C、S1,S2L S5都小于0，S6,S7L都大于0D、S1,S2L S20都小于0，S21,S22L都大于0〔答：B〕4．假设{a n}、{b n}是等差数列，{ka n}、{ka n pb n}(k、p是非零常数)、{a pnq}(p,q N*)、S n,S2n S n,S3n S2n，⋯也成等差数列，而{a a n}成等比数列；假设{a n}是等比数列，且a n0，{lg a n}是等差数列.等差数列的前n和25，前2n和100，它的前3n和。
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高一数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分 150 分. 考试时间120 分钟 .第Ⅰ卷（选择题，满分50 分）一、选择题（本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ,把正确的答案填在指定位置上.）1. 若角、 满足 90o90o ，则是（ ）2A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2. 若点 P(3 , y) 是角终边上的一点，且满足y3 ，则 tan（）0, cos334 54C ．A ．B ．3D ．4433. 设 f ( x)cos30og (x) 1 ，且 f (30o)1，则 g( x) 可以是（）112C ． 2cos xD ． 2sin xA ． cos xB ． sin x224. 满足 tan cot的一个取值区间为（）A ． (0,] B ． [0,] C ． [, ) D ． [, ]41 44 24 25. 已知 sin x[ ,] 中的角 x 为（），则用反正弦表示出区间32A ． arcsin1B ．arcsin 1C ． arcsin1D ．arcsin133336. 设 0 || ，则下列不等式中一定成立的是：(）4A ． sin2sinB ． cos2 cosC ． tan2 tanD ． cot 2 cot 7. ABC 中，若 cot A cot B 1，则 ABC 一定是（ ） A ．钝角三角形 B ． 直角三角形C ．锐角三角形D ．以上均有可能8. 发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流分别是关于时间t 的函数：I AI sin tI B2)I CI sin( t) 且 I A I B I C 0 , 02 ，I sin( t3则 （）A ．2C ．4D ．B ．33329. 当 x(0,1 cos2 x 3sin 2 x）) 时，函数 f ( x)sin x的最小值为（A ．2 2B ． 3C ．2 3D ． 410. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点. 若函数 y f ( x) 的图象恰好经过 k 个格点，则称函数 f (x) 为 k 阶格点函数 . 下列函数中为一阶格点函数的是（）A ． ysin xB ． ycos(x) C ． y lg xD ． y x 26 100 分）第Ⅱ卷（非选择题，共计二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把正确的答案填在指定位置上.）11．已知 cos23 ，则 sin 4cos 4 的值为512．若 x是方程 2cos( x ) 1的解，其中(0,2 ) ，则 =313．函数 f ( x)log 1 tan(2 x) 的单调递减区间为3314．函数 y3 sin x 的值域是2 cos x15．设集合 M 平面内的点 (a,b) , Nf (x) | f (x) a cos3x bsin3 x .给出M 到N 的映射 f : (a, b)f ( x) a cos3 x b sin3 x . 关于点 (2,2) 的象 f ( x) 有下列命题： ① f ( x)2sin(3 x 3 ) ；4②其图象可由 y 2sin3 x 向左平移个单位得到；③点 (34,0) 是其图象的一个对称中心4 2④其最小正周期是3⑤在 x [ 5 , 3] 上为减函数12 4其中正确的有三．解答题（本大题共 5 个小题，共计 75 分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． ）16. （本题满分 12 分）已知,3 ,) ， tan() 2 ， sin()3 (.（1）求 sin 2445的值；（2）求 tan(4 )的值.17.（本题满分12 分）已知函数 f ( x) 2 3 sin x cos x 2cos 2 x m . （1）求函数 f (x) 在 [0, ] 上的单调递增区间；（2）当x [0, ] 时，| f (x) | 4 恒成立，求实数m 的取值范围.618. （本题满分12 分）已知函数6cos 4 x 5sin 2 x 4 f ( x) cos 2x（1）求f ( x)的定义域并判断它的奇偶性；（2）求f ( x)的值域 .19. （本题满分 12 分）已知某海滨浴场的海浪高度y( m) 是时间 t （时） (0 t 24) 的函数，记作 y f (t) .下表是某日各时的浪高数据：t （时）0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(m) 1.5 1,0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观察，y f (t) 的曲线可近似的看成函数y A cos t b ( 0) .（1）根据表中数据，求出函数y Acos t b 的最小正周期T、振幅A及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1m 时才对冲浪者开放，请根据（1）中的结论，判断一天中的上午 8： 00 到晚上 20： 00 之间，有多少时间可供冲浪者运动？20．（本题满分13 分）关于函数 f (x) 的性质叙述如下：① f ( x 2 ) f (x) ；② f (x) 没有最大值；③ f ( x) 在区间(0, ) 上单调递增；④ f ( x) 的图象关于原点对称. 问：2（1）函数 f (x) x sin x 符合上述那几条性质？请对照以上四条性质逐一说明理由. （2）是否存在同时符合上述四个性质的函数？若存在，请写出一个这样的函数；若不存在，请说明理由 .21. （本题满分 14 分）（甲题）已知定义在( , 0) U (0,) 上的奇函数 f ( x) 满足 f (1)0 ，且在 (0, ) 上是增函数.又函数g ( ) sin2 mcos 2m (其中0 )2（1）证明：f (x)在( , 0) 上也是增函数；（2）若m0 ，分别求出函数g( ) 的最大值和最小值；（3）若记集合M m | 恒有 g( ) 0 ， N m | 恒有 f [ g ( )] 0 ，求 M I N .（乙题）已知, 是方程 4x2 4tx 1 0 (t R) 的两个不等实根，函数 f ( x) 2x t 的x2 1定义域为 [ , ] .（1）证明： f (x) 在其定义域上是增函数；（2）求函数g(t) max f (x) min f (x) ；（3）对于 (2) ，若已知u i (0, )( i 1,2, 3) 且 sin u1 sin u2 sin u3 1，21 1 1 3 6 证明：g(tanu2 ) g(tan u3) .g (tanu1 ) 4。
高一数学练习题加答案
高一数学练习题加答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B的值。
A. {1,2,3,4}B. {1,2,3}C. {2,3,4}D. {1,2,3,4,5}2. 函数f(x)=2x^2-3x+1在x=1处的导数是：A. 1B. 2C. 3D. 43. 若a>0，b>0，且a+b=1，求ab的最大值。
A. 0B. 1/4C. 1/2D. 14. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第5项a5的值。
A. 11B. 13C. 15D. 175. 圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=9，求圆心坐标。
A. (2,3)C. (-2,3)D. (-3,2)6. 已知直线l的方程为y=2x+1，求直线l的斜率。
A. 1B. 2C. 3D. 47. 函数y=x^3-3x^2+2在x=1处的值是：A. -1B. 0C. 1D. 28. 已知三角形ABC，a=3，b=4，c=5，求角A的余弦值。
A. 1/4B. 1/3C. 1/2D. 3/49. 已知向量a=(2,3)，b=(-1,2)，求a·b的值。
A. -1B. 0C. 1D. 210. 已知二次函数f(x)=x^2-4x+3，求其顶点坐标。
A. (2,-1)B. (2,1)D. (-2,-1)二、填空题（每题2分，共20分）11. 已知集合M={x|x<5}，N={x|x>3}，则M∩N=______。
12. 函数f(x)=x^2+2x+1的最小值出现在x=______。
13. 若a=2，b=-1，则ab+2a+b的值为______。
14. 已知数列{an}的通项公式为an=2n-1，第10项a10的值为______。
15. 已知椭圆的长轴为2a，短轴为2b，求椭圆的面积公式为______。
16. 已知函数y=1/x的图像在第一象限的斜率是______。
17. 已知向量c=(1,0)，d=(0,1)，求向量c×d的值。
高一课本数学练习题带答案
高一课本数学练习题带答案1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求\( f(x) \)的最小值。
2. 计算\( \int_{0}^{1} (2x + 1)^2 dx \)。
3. 解不等式\( |x - 2| < 1 \)。
4. 已知\( \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2} \)，求\( \theta \)的值。
5. 证明：\( 1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/n^2 \)的和小于2。
答案1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)可以通过完成平方来找到它的最小值。
\( f(x) = (x - 2)^2 - 1 \)，因此当\( x = 2 \)时，\( f(x) \)达到最小值\( -1 \)。
2. 计算定积分\( \int_{0}^{1} (2x + 1)^2 dx \)，首先展开\( (2x + 1)^2 \)得到\( 4x^2 + 4x + 1 \)，然后计算积分：\[\int_{0}^{1} 4x^2 + 4x + 1 dx = \left[ \frac{4}{3}x^3 +2x^2 + x \right]_{0}^{1} = \frac{4}{3} + 2 + 1 = \frac{17}{3}. \]3. 解不等式\( |x - 2| < 1 \)，我们得到\( -1 < x - 2 < 1 \)，从而\( 1 < x < 3 \)。
4. 已知\( \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2} \)，我们可以使用三角恒等式\( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)来解决这个问题。
将给定的等式平方并代入恒等式，我们得到：\[(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 2 \Rightarrow \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 2 \Rightarrow 1 +2\sin\theta\cos\theta = 2.\]从而\( \sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2} \)，这意味着\( \theta = \frac{\pi}{4} \)或\( \theta = \frac{5\pi}{4} \)。
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高一数学答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分）11．163 12．86π13．①②④ 14． 24π15．无穷多个 三、解答题（本大题共6小题，共计75分）16．解：1(3V h S S =++上下2231(4833112()cm =++⨯=答：正四棱台的体积为1123cm17．解：（Ⅰ）17.①证明：PA ⊥底面ABCD∵PA ⊥AD 又＜DAB=90°∵AB ⊥ADPA AB=A∵AD ⊥面PAB PB ⊂≠面PAB∴AD ⊥PB在Rt △PAB 中，N 为斜边PB 中点，且PA=AB∵AN ⊥PBAN AD=A∴PB ⊥面ADMN又DM ⊂≠面ADMN∴PB ⊥DM18.①证明：PA ⊥面ABCD∵PA ⊥AC又AC ⊥AB PA AB=A∴AC ⊥面PABPB ⊂≠面PAB∴AC ⊥PB②连接BD 交AC 于F ，连结EF在△PBD 中易知EF ∥PB又EF ⊂≠面AECPB ⊂≠面AEC∴PB ∥面AEC（Ⅱ）23cm 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵点D A 、分别是RB 、RC 的中点，∴ BC AD BC AD 21//=且． ∴ ∠090=∠=∠=RBC RAD PAD ．∴ AD PA ⊥又PA ⊥AB ，DAAB A =∴ ABCD PA 面⊥ ∴BC PA ⊥∵ A AB PA AB BC =⊥ ,,∴ BC ⊥平面PAB ．∵ ⊂PB 平面PAB ,∴ PB BC ⊥． （Ⅱ）1220．（Ⅰ）证法一：∵点D 是正△ABC 中BC 边的中点，∴AD ⊥BC ， 又A 1A ⊥底面ABC ，∴A 1D ⊥BC ，∵BC ∥B 1C 1，∴A 1D ⊥B 1C 1． 证法二：连结A 1C 1，则A 1C=A 1B ． ∵点D 是正△A 1CB 的底边中BC 的中点，∴A 1D ⊥BC ，∵BC ∥B 1C 1，∴A 1D ⊥B 1C 1． （Ⅱ）答：直线A 1B//平面ADC 1，证明如下：证法一：如图1，连结A 1C 交AC 1于F ，则F 为A 1C 的中点，∵D 是BC 的中点，∴DF ∥A 1B ，又DF ⊂ 平面ADC 1，A 1B ⊄平面ADC 1，∴A 1B ∥平面ADC 1．证法二：如图2,取C 1B 1的中点D 1，则AD ∥A 1D 1，C 1D ∥D 1B ， ∴AD ∥平面A 1D 1B ，且C 1D ∥平面A 1D 1B ，∴平面ADC 1∥平面A 1D 1B ，∵A 1B ⊂平面A 1D 1B ，∴A 1B ∥平面ADC 1．21．①解：沿侧棱A ，A1，将三棱柱的侧面展开。
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第2模块 第9节[知能演练]一、选择题1．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利( )A ．25元B ．20.5元C ．15元D ．12.5元解析：每件获利100(1＋25%)×0.9－100＝100(1.25×0.9－1)＝12.5元． 答案：D2．某债券市场常年发行三种债券，A 种面值为1000元，一年到期本息和为1040元；B 种债券面值为1000元，买入价为960元，一年到期本息之和为1000元；C 种面值为1000元，半年到期本息和为1020元．设三种债券的年收益分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝c <bB ．a <b <cC ．a <c <bD ．c <a <b解析：设年初为1000元，则A 种债券收益40元，B 种债券收益1000960×40≈41.67元．C 种债券收益为20＋10201000×20＝40.4元．∴b >c >a . 答案：C3．在一次数学试验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：则x ，y ( )A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋bx解析：由表格数据逐个验证，知模拟函数为y ＝a ＋b x . 答案：B4．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为( )A ．2800元B ．3000元C ．3800元D ．3818元解析：设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x ≤800)(x －800)×14% (800<x ≤4000)11%·x (x >4000). 如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3800.答案：C 二、填空题5．计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．解析：设计算机价格平均每年下降p %，由题意可得13＝(1－p %)3，∴p %＝1－(13)13，∴9年后的价格y ＝8100[1＋(13)13－1]9＝8100×(13)3＝300(元)．答案：3006．如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的是________．①这几年人民生活水平逐年得到提高；②人民生活费收入增长最快的一年是2000年； ③生活价格指数上涨速度最快的一年是2001年；④虽然2002年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．解析：由题意，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；“生活费收入指数”在2000年～2001年最陡，故②正确；“生活价格指数”在2001年～2002年上涨速度不是最快的，故③不正确；由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故④正确．答案：①②④ 三、解答题7．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如下图)．(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？解：(1)设投资债券收益与投资额的函数关系为f (x )＝k 1x ，投资股票的收益与投资额的函数关系为g (x )＝k 2x ，由图象得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝k 2＝12，f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)．(2)设投资债券类产品x 万元， 则股票类投资为20－x 万元．y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)．令t ＝20－x ，则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t 2－4t －20)＝－18(t －2)2＋3.所以当t ＝2，即x ＝16时，投资债券16万元，股票4万元时，收益最大，y max ＝3万元． 8．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解：(1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115>0， 解得x >2.3.∵x ∈N *，∴x ≥3，∴3≤x ≤6，x ∈N *， 当x >6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115.令[50－3(x －6)]x －115>0，有3x 2－68x ＋115<0， 上述不等式的整数解为2≤x ≤20(x ∈N *)， ∴6<x ≤20(x ∈N *)． 故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115 (3≤x ≤6，x ∈N *)－3x 2＋68x －115 (6<x ≤20，x ∈N *)， 定义域为{x |3≤x ≤20，x ∈N *}．(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈N *)． 显然当x ＝6时，y max ＝185(元)， 对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3(x －343)2＋8113(6<x ≤20，x ∈N *)．当x ＝11时，y max ＝270(元)．∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多．[高考·模拟·预测]1．某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t (单位：分)与细胞数n (单位：个)的部分数据如下：( )A ．200B ．220C ．240D ．260解析：由表格中所给数据可以得出n 与t 的函数关系为n ＝2t 20，令n ＝1000，得2t20＝1000，又210＝1024，所以时刻t 最接近200分，故选A.答案：A2．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保证环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年解析：由题知第一年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年产量分别为a n ＝f (n )－f (n －1)＝12n (n ＋1)(2n ＋1)－12n (n －1)(2n －1)＝3n 2(n ∈N *)，令3n 2≤150，得1≤n ≤52⇒1≤n ≤7，故生产期限最长为7年．答案：C3．某市出租车收费标准如下： 起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.解析：设乘客每次乘坐出租车需付费用为f (x )元，由题意可得： f (x )＝4．一位设计师在边长为3的正方形ABCD 中设计图案，他分别以A ，B ，C ，D 为圆心，以b (0<b ≤32)为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧端点在正方形边上的连线)构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最小值为________．解析：由题意实线部分的总长度为l ＝4(3－2b )＋2πb ＝(2π－8)b ＋12，l 关于b 的一次函数的一次项系数2π－8<0，故l 关于b 为单调减函数，因此，当b 取最大值时，l 取得最小值，结合图形知，b 的最大值为32，代入上式得l 最小＝(2π－8)×32＋12＝3π.答案：3π5．如右图，一个铝合金窗分为上、下两栏，圆周框架和中间隔档的材料为铝合金，宽均为6 cm ，上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积为28800 cm 2，设该铝合金窗的宽和高分别为a (cm)，b (cm)，铝合金窗的透光部分的面积为S (cm 2)．(1)试用a ，b 表示S ；(2)若要使S 最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？ 解：(1)∵铝合金窗宽为a (cm)，高为b (cm)，a >0，b >0， ∴ab ＝28800. ①又设上栏框内高度为h (cm)，下栏框内高度为2h (cm)，则3h ＋18＝b ，∴h ＝b －183，∴透光部分的面积S ＝(a －18)×2(b －18)3＋(a －12)×b －183＝(a －16)(b －18)＝ab －2(9a ＋8b )＋288 ＝28800－2(9a ＋8b )＋288 ＝29088－2(9a ＋8b )． (2)∵9a ＋8b ≥29a ·8b＝29×8×28800＝2880，当且仅当9a ＝8b 时等号成立，此时b ＝98a ，代入①得a ＝160，从而b ＝180，即当a ＝160，b ＝180时，S 取得最大值．答：铝合金窗的宽为160 cm ，高为180 cm 时，可使透光部分的面积最大．[备选精题] 6．两县城A 和B 相距20 km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与对城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y .统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.(Ⅰ)将y 表示成x 的函数；(Ⅱ)讨论(Ⅰ)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，说明理由．解：(Ⅰ)根据题意∠ACB ＝90°，AC ＝x km ，BC ＝400－x 2 km ，且建在C 处的垃圾处理厂对城A 的影响度为4x 2，对城B 的影响度为k400－x 2，因此，总影响度y ＝4x 2＋k400－x 2(0<x <20)．又因为垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065，所以4(102＋102)2＋k400－(102＋102)2＝0.065， 解得k ＝9，所以y ＝4x 2＋9400－x 2(0<x <20)．(Ⅱ)因为y ′＝－8x 3＋18x(400－x 2)2＝18x 4－8×(400－x 2)2x 3(400－x 2)2＝(x 2＋800)(10x 2－1600)x 3(400－x 2)2.由y ′＝0解得x ＝410或x ＝－410(舍去)， 易知410∈(0,20)．y ，y ′随xy最小值＝y|x＝410＝116，此时x＝410，故在弧AB上存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小，该点与城A的距离x＝410 km.。