吉林省松原高中2019届高三第一次模拟考试卷 理科数学(三) 含答案
吉林省松原高中高三数学第一次模拟考试题三理
2019届高三第一次模拟考试卷理 科 数 学（三） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．[2018·攀枝花统考]已知集合{}12A x x =-<<，(){}30B x x x =->，则集合A B =（ ） A ．{}13x x -<< B ．{}23x x x <>或 C ．{}02x x << D ．{}03x x x <>或 2．[2018·铜仁一中]若复数1i 34i z +=-，则z =（ ） A ．25 B．5 CD ．225 3．[2018·青岛调研]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过点A ，E ，1C 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ． 4．[2018·鄂尔多斯期中]若3sin 5α=-，α是第三象限角，则sin 4απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） ABC． D．5．[2018·曲靖统测]7a x ⎛ ⎝的展开式中，3x 项的系数为14，则a =（ ） A ．2- B ．14 C ．2 D ．14- 6．[2018·赣州期中]已知点()5,0A -，()1,3B --，若圆()222:0C x y r r +=>上恰有两点M ，N ， 使得M AB △和NAB △的面积均为5，则r 的取值范围是（ ） A．( B ．()1,5 C ．()2,5 D．( 7．[2018·东北育才]已知函数()11ln f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 8．[2018·广安二中]已知随机变量ζ服从正态分布()23,N σ，且()20.3P ζ<=，则()24P ζ<<的值等于（ ） A ．0.5 B ．0.2 C ．0.3 D ．0.4 9．[2018·三湘名校]中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙 子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排 列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2263用算筹表示就是=||丄|||．执行如图所示程序框 图，若输人的1x =，2y =，则输出的S 用算筹表示为（ ）A ．B ．C ．D ． 10．[2018·开封月考]已知空间四边形ABCD ，23BAC π∠=，AB AC ==，6BD CD ==， 且平面ABC ⊥平面BCD ，则空间四边形ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．60π B ．36π C ．24π D ．12π 11．[2018·湖南湖北联考]过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A．( B．( C． D． 12．[2018·湛江一中]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()'xf x f x ＞，若()20f =，则不等式()0f x x ＞的解集为（ ） A ．{}2002x x x -<<<<或B ．{}22x x x <->或C ．{}202x x x -<<>或D ．{}22x x x <-<<或0 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·廊坊联考]已知向量()7,16=a ，()5,16k -=-a b ，且⊥a b ，则k =__________．14．[2018·湖北七校联盟]若函数()()3212f x a x ax x =++-为奇函数，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为______________． 15．[2018·贵州质检]设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 22a b -=()2cos cos a B b A +，且ABC △的面积为25，则ABC △周长的最小值为__________．16．[2018·赤峰二中]抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足60AFB ∠=︒．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB 的最大值 为__________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2018·长春实验中学]已知数列{}n a 是公差为2-的等差数列，若12a +，3a ，4a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12n n n b a -=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足0n S ≥成立的n 的最小值．18．（12分）[2018·开封月考]甲、乙两家外卖公司，其“骑手”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元．假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：（1）求乙公司的“骑手”一日工资y （单位：元）与送餐单数()n n *∈N 的函数关系；（2）若将频率视为概率，回答以下问题：（i ）记乙公司的“骑手”日工资为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；（ii ）小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日工资的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由．19．（12分）[2018·成都月考]如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形，在图①中，设平面BEF 与平面ABCD 相关交于直线l ．（1）求证：l ⊥面CDE ； （2）在图①中，线段DE 上是否存在点M ，使得直线MC 与平面BEF？ 若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）[2018·雅礼中学]已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为12，F 为左焦点，过点F 作x 轴的垂线，交椭圆E 于A ，B 两点，3AB =．（1）求椭圆E 的方程；（2）过圆22127x y +=上任意一点作圆的切线交椭圆E 于M ，N 两点，O 为坐标原点，问：OM ON ⋅是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．21．（12分）[2018·太原期中]已知函数()()21122ln 2f x ax a x x =+--，a ∈R ； （1）讨论()f x 的单调性； （2）若不等式()32f x ≥在()0,1上恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2018·江师附中]在直角坐标系xoy ，曲线1C的参数方程为cos sin x a t y a t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >）． 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线22:2sin 6C ρρθ=+．（1）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）已知1C 与2C 的交于A ，B 两点，且AB 过极点，求线段AB 的长．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2018·肇庆统测]已知()31f x x x =++-，()22g x x mx =-+．（1）求不等式()4f x >的解集；（2）若对任意的1x ，2x ，()()12f x g x >恒成立，求m 的取值范围．2019届高三第一次模拟考试卷理科数学（三）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】由一元二次方程的解法化简集合，(){}{}3030B x x x x x =->=><或x ， ∵{}12A x x =-<<，∴{}23A B x x x =<>或，故选B ． 2．【答案】B 【解析】∵()()1i 34i 1i 17i 17i 34i 25252525z +++-+====-+-，∴z z =，故选B ． 3．【答案】C 【解析】取1DD 中点F ，连接AF ，1CF ．平面1AFC E 为截面．如下图：∴选C ． 4．【答案】D【解析】∵3sin 5α=-，α是第三象限角，∴4cos 5α==-，则34sin 455αααπ⎛⎫⎫+==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ． 5．【答案】C【解析】由展开式的公式得到3x项的系数为()57737C 1k k k k a x --⋅⋅-⋅，57363k k -=⇒=． 系数为()66767C 17142a a a -⋅⋅-==⇒=．故选C ． 6．【答案】B【解析】由题意可得5AB ==，根据M AB △和NAB △的面积均为5，可得两点M ，N 到直线的距离为2， 由于AB 的方程为34150x y ++=， 若圆上只有一个点到圆AB 的距离为2，则有圆心()0,0到直线AB21r r =+⇒=， 若圆上只有三个点到圆AB 的距离为2，则有圆心()0,0到直线AB25r r =-⇒=， ∴实数r 的取值范围是()1,5，故选B ． 7．【答案】A 【解析】∵()11ln f x x x =--，令()1ln g x x x =--，()11g x x '=-， 当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，则()f x 单调递减， 当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，则()f x 单调递增，且1x ≠，故选A ．8．【答案】D【解析】∵随机变量ζ服从正态分布()23,N σ，∴其正态曲线关于直线3x =对称，如图： 又∵()20.3P ζ<=，由对称性得()40.3P ζ>=，从而有：()()24122120.30.4P P ζζ<<=-<=-⨯=，故选D ．9．【答案】C 【解析】第一次循环，i 1=，1x =，3y =；第二次循环，i 2=，2x =，8y =； 第三次循环，i 3=，14x =，126y =； 第四次循环，i 4=，1764S =，满足S xy =，推出循环，输出1764S =， ∵1764对应，故选C ． 10．【答案】A 【解析】由余弦定理得2112122362BC ⎛⎫=+-⋅-= ⎪⎝⎭，∴6BC =． 由正弦定理得62sin120r =︒，∴r =ABC 的外接圆半径为设外接球的球心为O ，半径为R ，球心到底面的距离为h ，设三角形ABC 的外接圆圆心为E ，BC 的中点为F ，过点O 作OG DF ⊥，连接DO ，BE ，OE ． 在直角OBE △中，(222R h =+（1）， 在直角DOG △中，()22R h =+（2）， 解（1）（2）得h =R =．∴外接球的表面积为460ππ=．故选A ．11．【答案】C【解析】双曲线右焦点为)，过右焦点的直线为y kx =- 与双曲线方程联立消去y 可得到()()2222222222220b a k x a k a a k b k b -+-++=，由题意可知，当1k =时，此方程有两个不相等的异号实根，∴()2222220a a b b a +>-，得0a b <<，即1b a>； 当3k =时，此方程有两个不相等的同号实根，∴()2222291009a a b b a +<-，得03b a <<，3b a <；又e =．故选C ． 12．【答案】C【解析】令()()f xg x x =，∵0x >时，()()()2'0xf x f x g x x -'=>， ∴()g x 在()0.+∞递增， ∵()()f x f x -=，∴()()g x g x -=-，∴()g x 是奇函数，()g x 在(),0-∞递增，∵()()2202f g ==，∴2x <<0时，()0g x <，2x >时，()0g x >，根据函数的奇偶性，()()220g g -=-=，20x -<<时，()0g x >，2x <-时，()0g x <， 综上所述，不等式()0f x x ＞的解集为20x -<<或2x >．故选C ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】78- 【解析】由向量()7,16=a ，()5,16k -=-a b ，可得()2,k =b ，∵⊥a b ，则72160k ⋅=⨯+=a b ，即的78k =-． 14．【答案】20x y --=【解析】()()3212f x a x ax x =++-为奇函数，则0a =， ∴()32f x x x =-，()2'32f x x =-，∴()2'13121f =⨯-=， 又()11f =-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为11y x +=-，即20x y --=．15．【答案】10+【解析】在ABC △中，由余弦定理可得：()2222222222cos cos 22a c b b c a a b a B b A a b ac bc ⎛⎫+-+--=+=⋅+⋅ ⎪⎝⎭， 即222222222222a c b b c a a b a b c ac bc ⎛⎫+-+--=⋅+⋅= ⎪⎝⎭，即222a b c =+，即2A π∠=， ∴三角形的面积为125502S bc bc ==⇒=， 则ABC △的周长为10l b c =++，当5b c ==时取得等号， ∴ABC △的周长最小值为10． 16．【答案】1【解析】设AF a =，BF b =，由抛物线定义，得AF AQ =，BF BP =，在梯形ABPQ 中，∴2MN AQ BP a b =+=+． 由余弦定理得，222222cos60AB a b ab a b ab =+︒+-=-，配方得()223AB a b ab +-=， 又∵22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()222231344a b a a a b b b ab --+=+++≥得到()12AB a b ≥+． ∴1MN AB ≤，即MN AB 的最大值为1．故答案为1．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）92n a n =-；（2）5．【解析】（1）∵12a +，3a ，4a 成等比数列，∴()()()2111426a a a -=+-，解得17a =，∴92n a n =-．（2）由题可知()()0121222275392n n S n -=++++-++++-()2212828112nn n n n n -=--=+---， 显然当4n ≤时，0n S <，5160S =>，又∵5n ≥时，n S 单调递增，故满足0n S ≥成立的n 的最小值为5． 18．【答案】（1）10045,617045,n n y n n n **⎧≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N；（2）（i ）112元；（ii ）推荐小明去甲公司应聘． 【解析】（1）根据题意可知，乙公司每天的底薪100元，前45单无抽成，超出45单部分每单抽成6元，故日工资10045,617045,n n y n n n **⎧≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N ． （2）（i ）根据条形图，当送单数为42，44时，100X =，频率为200.2100=． 当送单数为46时，106X =，频率为300.3100=．当送单数为48时，118X =，频率为400.4100=． 当送单数为50时，130X =，频率为100.1100=． 故乙公司的“骑手”一日工资X 的分布列如表所示：数学期望()1000.21060.31180.41300.1112E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． （ii ）根据条形图，甲公司的“骑手”日平均送餐单数为：420.2440.4460.2480.1500.145⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（单）， ∴甲公司的“骑手”日平均工资为：70451115+⨯=（元）由（i ）可知，乙公司的“骑手”日平均工资为112元，故推荐小明去甲公司应聘．19．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，M 的位置在线段DE 的23处． 【解析】（1）证明：由题意AD EF ∥，∵EF⊂面BEF ，AD ⊄面BEF ，∴AD ∥面BEF ． 又AD ⊂面ABCD ，面ABCD 面BEF l =，∴AD l ∥，由主视图可知AD CD ⊥，由侧视图可知DE AD ⊥， ∵CD AD D =，∴AD ⊥面CDE ．∴l ⊥面CDE ．（2）如图，建立空间直角坐标系D xyz -， 则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,2,0C ，()0,0,1E ，()1,0,1F ，∴()1,0,0EF =，()0,1,1BF =-，设面BEF 的一个法向量(),,x y z =n ，则由0EF ⋅=n ，0BF ⋅=n，可得00x y z =⎧⎨-+=⎩，令1y =，则1z =，∴()0,1,1=n ， 设()0,0,M m ，则()0,2,MC m =-， ∴cos ,MC ==n 23m =或6m =（舍）， 即存在点M ，此时M 的位置在线段DE 的23处（靠近E 点）． 20．【答案】（1）22143x y +=；（2）0． 【解析】（1）∵离心率为12，则12c a =．∴2234b a=． ∵3AB =，∴223b a =．∴24a =，23b =．则椭圆E的标准方程为22143x y +=． （2）当切线斜率不存在时，取切线为x =代入椭圆方程是M，N，或M ，N ．∴120OM ON ⋅=⨯，同理，取切线为x =0OM ON ⋅=． 当切线斜率存在时，设切线y kx b =+，则d == ∴()227121b k =+． ①联立()222223484120143y kx b k x kbx b x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩．设()11,M x y ，()22,N x y ，则122212283441234kb x x k b x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩②③， ()()()()221212*********x x y y x x kx b kx b k x x x x kb b +=+++=++++， ④ 把①②③代入④得12120x x y y +=，∴0OM ON ⋅=．综合以上，OM ON ⋅为定值0．21．【答案】（1）见解析；（2）1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 【解析】（1）∵()()21122ln 2f x ax a x x =+--，0x >， ∴()()()()212212ax a x ax x f x x x +--+-'==， ①当0a ≥时，令()0f x '<，得02x <<；令()0f x '>，得2x >；②当0a <时，令()0f x '=，得1x a=-或2x =； （i ）当12a ->，即102a -<<时，令()0f x '<，得02x <<或1x a >-； 令()0f x '>，得12x a <<-； （ii ）当12a -=时，即12a =-时，则()0f x '<恒成立； （iii ）当12a -<时，即12a <-时，令()0f x '<，得10x a <<-或2x >； 令()0f x '>，得12x a -<<； 综上所述：当0a ≥时，()f x 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增； 当102a -<<时，()f x 在()0,2和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减，在12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增； 当12a =-时，()f x 在()0,+∞上递减； 当12a <-时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2,+∞上递减，在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增． （2）由（1）得①当12a ≥-时，()f x 在()0,1上递减，∴()331122f a =-≥，∴1123a -≤≤-； ②当12a <-时， （i ）当11a -≤，即1a ≤-时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，在1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增， ∴()111322ln 2222f a a a a ⎛⎫-=-+-≥-≥ ⎪⎝⎭，∴1a ≤-符合题意； （ii ）当11a->，即112a -<<-时，()f x 在()0,1上递增， ∴()37311242f a =->>，∴112a -<<-符合题意； 综上，实数a 的取值范围为1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）1C为以)1C 为圆心，以a为半径的圆，221:cos 30C a ρθ-+-=； （2）AB =． 【解析】（1）∵曲线1C的参数方程为cos sin x a t y a t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >）． ∴1C的普通方程为(222x y a +=， ∴1C为以)1C 为圆心，以a 为半径的圆， 由222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，得1C的极坐标方程为22cos 30a ρθ-+-=． （2）解法一：∵曲线22:2sin 6C ρρθ=+．∴(2221:C x y a -+=，222:260C x y y +--=，二者相减得公共弦方程为2290y a -+-=，∵AB过极点，∴公共弦方程2290y a -+-=过原点， ∵0a >，∴3a =0y -=，则()20,1C到公共弦的距离为12d ==．∴AB == 解法二：∵0:AB θθ=，∴22cos 30a ρθ-+-=与22sin 6ρρθ=+为ρ的同解方程，∴3a =，3θπ=或43θπ=．∴12AB ρρ=-== 23．【答案】（1）{}31x x x <->或；（2）22m -<<． 【解析】（1）法一：不等式()4f x >，即314x x ++->． 可得1314x x x ≥⎧⎨++->⎩，或31314x x x -<<⎧⎨++->⎩或3314x x x ≤-⎧⎨--+-<⎩， 解得31x x <->或，∴不等式的解集{}31x x x <->或． 法二：()31314x x x x ++-≥+--=，当且仅当()()310x x +-≤即31x -≤≤时等号成立． ∴不等式的解集为{}31x x x <->或．（2）依题意可知()()min max f x g x ≥， 由（1）知()min 4f x =，()()2222g x x mx x m m =-+=--+， ∴()2max g x m =，由24m <的m 的取值范围是22m -<<．。
2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(三)(解析版)
5 6
A．1 个
（2）190 是数列 an 中的项
（4）当 n 7 时， an 21 取最小值 n
B．2 个
C．3 个
D．4 个
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
2x y 0
13．[2019·深圳期末]已知不等式组
x
2
y
0
所表示的平面区域为
该多面体的表面积为（ ）
A． 28 4 5
B． 28 8 2
C．16 4 2 8 5
D．16 8 2 4 5
10．[2019·汕尾质检]已知 A ，B ，C ，D 是球 O 的球面上四个不同的点，若 AB AC DB DC BC 2 ，
且平面 DBC 平面 ABC ，则球 O 的表面积为（ ）
图1
图2
（1）证明： AF 平面 MEF ；
（2）求二面角 M AE F 的大小．
20．（12 分）[2019·临沂质检]已知抛物线 C : y2 2 px p 0 的焦点为 F ， P 为抛物线上一点，
O 为坐标原点， △OFP 的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为 3π ． （1）求抛物线 C 的方程； （2）设直线 l 交 C 于 A ， B 两点， M 是 AB 的中点，若 AB 12 ，求点 M 到 y 轴的距离的最小值，并求 此时 l 的方程．
B． 2 3
C． 9 4
D． 4 9
12．[2019·江西九校联考]设 x 为不超过 x 的最大整数， an 为 xx x 0,n 可能取到所有值的
个数，
Sn
是数列
吉林省高中2019届高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
高三数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】由题意，根据复数的乘法运算，化简、运算，即可求解。
【详解】由题意，根据复数的运算，故选A 。
【点睛】本题考查复数的四则运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查运算求解能力. 2.已知集合，，则（ ） A. B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合，利用一次不等式的解法化简集合，由并集的定义可得结果.【详解】因为集合，， 所以，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合. 3. （ ）A. B. C.D.【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二倍角的余弦公式结合诱导公式与特殊角的三角函数求解即可.【详解】,故选C.【点睛】本题主要考查诱导公式、特殊角的三角函数以及二倍角的余弦公式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.4.双曲线的左焦点为，且的离心率为，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的几何性质，以及，求得的值，即可得到答案。
【详解】由题意，可得，又由，∴，又，故的方程为，故选C。
【点睛】本题考查双曲线的方程及其几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用是解答的关键，着重考查运算求解能力.5.曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】求出导函数，令可得切线斜率，由点斜式可得切线方程，求得切线在坐标轴上的截距，利用三角形面积公式可得结果.【详解】因为，所以，所以在点处的切线斜率，切线的方程为，即，在，轴上的截距分别为和-5，所以与坐标轴围成的三角形面积,故选A.【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.6.设满足约束条件，则的最小值为（）A. 3B. -3C. -6D. 6【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最小，取得最小值，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊的函数值，利用排除法，即可求解，得到答案。
吉林省吉林市2019届高三第一次摸底考试数学(理)试题Word版含解析
吉林省吉林市2019届高三第一次摸底考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求. 1. 计算：21ii -=( ) A . 1i + B .1i - C . 1i -+ D . 1i -- 【答案】C考点：复数的计算.2. 已知{1,2,3,5}{0,2,4,8}A B A C B C ⊆⊆==，，，，则 A 可以是( )A ．{1,2}B ．{2,4}C ．{4}D ．{2}【答案】D考点：集合的交集、子集运算.3. 已知条件 p : 22210x ax a -+->，条件 q : 2x >,且 q 是p 的充分而不必要条件，则 a 的取值范围是（ ）A ．1a ≥ B ．1a ≤ C ．3a ≥- D ． 3a ≤- 【答案】B 【解析】试题分析：∵条件p ：22210x ax a -+->，条件q ：x ＞2，且q 是p 的充分而不必要条件，∴q ⇒p ，p ⇒q ，即a ≤2且24410a a -+-≥解不等式组可得：a ≤1故选：B . 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．4. 某程序图如右图所示，该程序运行后输出的结果是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C考点：程序框图.5. 已知某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为12，视图可以是，则该几何体的俯视图可以是( )A .B .C .D .【答案】A考点：简单空间图形的三视图． 6. 将函数() 2sin +36x f x π⎛⎫=⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到函数 g ( x ) 的图象，则 g ( x ) 的解析式为( )A . () 2sin +134x g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．() 2sin 134x g x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C ．() 2sin 1312x g x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭ D ．() 2sin 1312x g x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】A考点：函数y =Asin （ωx +φ）的图象变换．7. 已知等差数列{}n a 的公差为 2，若前 17 项和为 17S =34，则12a 的值为( )A .-10B .8C .4D .12【答案】B考点：1.等差数列的前n 项和；2.等差数列的通项公式．8. 在ABC ∆中，内角 A 、B 、C 的对边分别是 a 、b 、c ，若22, b c sin A C -=，则B =( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】A 【解析】试题分析：∵ sin A C =，∴a =，∵22b c -=，∴cosB =2222a c b ac +-==B =30°，故选A . 考点：余弦定理的应用．9. 在8x ⎛⎝的二项展开式中，常数项为( ) A .1024 B .1324 C .1792 D .-1080【答案】C考点：二项式定理. 10. 已知双曲线()22221 0, 0x y a b ab-=>>的左顶点与抛物线()22 0y px p =>的焦点的距离为 4,的焦距是且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 (-2,- 1) ,则双曲线的焦距为( )A .BC .2D 【答案】A考点：1.双曲线的简单性质；2.直线与圆锥曲线的关系．11. ABC ∆中，120 , 2, 1BAC AB AC ∠=︒==,D 是边BC 上的一点（包括端点），则•AD BC 的取值范围是( )A. B . C .D.【答案】D 【解析】试题分析：∵D 是边BC 上的一点（包括端点），∴可设()101A D A B A C λλλ=+-≤≤,（）．∵∠BAC =120°，AB =2，AC =1，∴•21c o s 1201A B A C =⨯⨯︒=-．∴()[1]()ADBC AB AC AC AB λλ⋅=+-⋅- ()()22211AB AC AB AC λλλ=-⋅-+-214172λλλλ=----=-+（）．∵0≤λ≤1，∴（-7λ+2）∈．∴•AD BC 的取值范围是[52]-，．故选：D ． 考点：平面向量数量积的运算．12.对函数 f ( x ) ，若,, a b c R ∀∈， f ( a ), f (b ), f ( c ) 为一三角形的三边长，则称 f ( x ) 为“三角型函数”，已知函数()()2 >0 22xxm f x m +=+是“三角型函数”，则实数 m 的取值范围是( )A .B .C .D .【答案】A考点：函数的值．第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知x ，y 满足不等式组22y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为________.【答案】6 【解析】考点：简单线性规划．14. 已知直线l ⊥平面α，直线 m ⊂平面β，有下列四个命题：①若α∥β，则 l ⊥ m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ,则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β.其中正确命题序号是 .【答案】①③考点：平面的基本性质及推论．15. 若动直线 x =a 与函数() f x sin x cos x =和()2cos g x x =的图像分别交于 M ，N 两点, 则 M N 的最大值为 .【答案】12+ 【解析】试题分析：211122222fx sinxcosx sin x g x cos x cos x ====+（），（），所以||AB f x g x =-（）（）111|22|222sin x cos x =-+（）|2|242sin x π=--（）则214sin x π-=-（）时，AB 的最大值为：12．故答案为：12. 考点：1.二倍角的余弦；2.二倍角的正弦；3.三角函数的最值． 16. 若数列{}n a 满足()*1112, 1n n na a a n N a ++===∈-，则该数列的前 2014 项的乘积123201...a a a a = .【答案】-6考点：数列递推式．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分）已知ABC ∆中， a,b, c 为角 A,B,C 所对的边，3cos cos +cos b A c A a C = ． （Ⅰ）求 cos A 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为3a =，求 b ， c 的长． 【答案】（Ⅰ）13;（Ⅱ）2,3b c ==或3,2b c ==.考点：正弦定理． 18．（本小题满分 12 分）已知数列 {}n a 是公差大于零的等差数列，数列{}n b 为等比数列，且112233 1,2,1,13a b b a a b ==-=+= （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式（Ⅱ）设n n n c a b =，求数列 {}n c 前 n 项和 n T .【答案】（Ⅰ）21(*),2(*)n n n a n n N b n N =-∈=∈;（Ⅱ）16(23)2n n ++-⨯.341131112222(21)22(12)2(21)2126(23)2n n n n n n n n ++-++=-----+-⨯-=--+-⨯-=+-⨯---------------------------------12分.考点：1.数列的求和；2.等差数列的性质．19．（本小题满分 12 分）一企业某次招聘新员工分笔试和面试两部分，人力资源部经理把参加笔试的 40 名学生的成绩分组：第 1 组[75,80) ，第 2 组 [80,85) ，第 3 组[85, 90) ，第 4 组 [90, 95) ，第 5 组[95,100) ，得到频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）分别求成绩在第 4，5 组的人数；（Ⅱ）若该经理决定在笔试成绩较高的第 3，4，5 组中用分层抽样抽取 6 名进入面试，①已知甲和乙的成绩均在第 3 组，求甲和乙同时进入面试的概率；②若经理决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官D 的面试，设第 4 组中有X 名学生被考官D 面试，求X 的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）8人，4人;（Ⅱ）①122，②23.考点：1.频率分布直方图；2.离散型随机变量及其分布列；3.离散型随机变量的期望与方差．20．（本小题满分 12 分）一个多面体的直观图及三视图如图所示,其中 M , N分别是AF、BC 的中点，（Ⅰ）求证：MN // 平面CDEF；（Ⅱ）求二面角A-CF-B的余弦值；【答案】（Ⅰ）详见解析;二面角A-CF-B的余弦值．试题解析：解（1）证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF,且AB =BC =BF =4,DE =CF=90CBF ∠=︒,连结BE , M 在BE 上，连结CEEM =BM ,CN =BN , 所以MN ∥,CE CE CDEF ⊂面,所以//MN 平面CDEF ------5分（II ）方法一：作BQ ⊥CF 于Q ，连结AQ ，面BFC ⊥面ABFE ，面ABFE ∩面BFC =BF ，AB ⊂面ABFE ，AB ⊥BF ，∴AB ⊥面BCF ，CF ⊂面BCF ，∴AB ⊥CF ，BQ ⊥CF ，AB ∩BQ =B ，∴CF ⊥面ABQ ，AQ ⊂面ABQ ，AQ ⊥CF ，∴∠AQB 为所求的二面角的平面角，（8分）在Rt △ABQ 中，tan ∠AQB=AB BQ ==--------------------------------------9分 ∴cos ∠AQB∴二面角A -CF -B的余弦值为．-------------------------------------------------------12分 （II ）方法二：以EA ,AB ,AD 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系，x yz A B CD E F所以(0,0,0),(0,4,0),(0,4,4),(4,4,0)A B C F -面CBF 法向量为(0,1,0)n =(0,4,4),(4,0,4)CA CF =--=-- -----------------8分设面ACF 法向量为(,,)m x y z =，(,,)(0,4,4)0440(,,)(4,0,4)0440m CA x y z y z x y z x z m CF⎧⊥⋅--=--=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅--=--=⊥⎩⎩⎪⎩ 取1z =-，所以1,1,(1,1,1)x y m ===-设二面角A CF B --为θ，cos ||||m n m n θ⋅===分. 考点：1.用空间向量求平面间的夹角；2.直线与平面平行的判定．21．（本小题满分 12 分）已知椭圆E ：()22221 0, 0xy ab a b +=>>的离心率 e =1)2P （Ⅰ）求椭圆 E 的方程；（Ⅱ）问是否存在直线y =-x +m ，使直线与椭圆交于 A , B 两点，满足OA OB ⊥,若存在求m 值，若不存在说明理由.【答案】（Ⅰ）2214x y +=;（Ⅱ）m =考点：直线与圆锥曲线的综合问题．22．（本小题满分 12 分）已知函数()() = f x ax ln x a R +∈.（Ⅰ）若a =2，求曲线y =f ( x )在x =1处的切线方程；（Ⅱ）求 f (x ) 的单调区间；（III ）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20, 1x ∈，使得12()()f x g x <，求 a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）310x y --=;（Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a -+∞；（III ）31a e <-.考点：1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.利用导数研究函数的单调性；3.利用导数求闭区间上函数的最值．。
吉林省吉林市2019届高三上学期第一次调研测试数学理科(含答案)
吉林市普通中学2018—2019学年度高中毕业班第一次调研测试理科数学本试卷共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟。
考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。
4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1. 已知全集U R =，集合{|11}A x x x =<->或，则U A =ðA ． (,1)(1,)-∞-+∞B ． (,1][1,)-∞-+∞C ． (1,1)-D ． [1,1]-2. 若3sin(),25παα-=-为第二象限角，则tan α=A. 43-B. 43C. 34-D. 343. 在下列给出的四个结论中，正确的结论是A. 已知函数()f x 在区间(,)a b 内有零点，则()()0f a f b <B. 若1a b +=，则3是3a 与3b 的等比中项C. 若12,e e 是不共线的向量，且122,m e e =-1236n e e =-，则m ∥nD. 已知角α终边经过点(3,4)-，则4cos 5α=-4. 已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =A. 12AB AD -+ B. 12AB AD -C. 12AB AD +D. 12AB AD -5. 已知21tan(),tan()544παββ+=-=, 则tan()4πα+的值为A ． 16B ． 2213C ． 322D ．13186. 在小正方形边长为1的正方形网格中, 向量,a b 的大小与方向如图所示，则向量,a b 所成角的余弦值是A.2B.C. 15D.6137. 若公比为2的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且52,9,a a 成等差数列，则20S =A. 2121-B.2021-C. 1921-D. 2221-8. 函数ln ||()x f x=的图象大致是 A.B. C.D.9. 已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，满足1494S a S +=，给出下列四个结论：①70a =；②140S =；③58S S =；④7S 最小. 其中一定正确的结论是A. ①③B. ①③④C. ②③④D. ①② 10. 若直线y ax =是曲线2ln 1y x =+的一条切线，则实数a =A. 12e- B. 122e-C.12eD.122e11. 将函数2()2cos ()16f x x ππ=+-的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，最后得到图象对应的函数为奇函数，则ϕ的最小值为A.13B.23C.76D.5612. 已知等边ABC ∆的边长为2，则|23|AB BC CA ++=A.B.C. D. 12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
吉林吉林2019高三上开学摸底考试-数学(理)
吉林吉林2019高三上开学摸底考试-数学（理）数 学〔理科〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
第一卷〔选择题 共60分〕【一】选择题：本大题共12题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1、设全集{1,2,3,4,5}U =,集合{1,2}A =,{2,3}B =,那么()UA B ð=A 、{4,5}B 、{2,3}C 、{1}D 、{1,2}2、抛物线24y x =的准线方程为 A. 2x =B. 2x =-C. 1x =D. 1x =-3. 复数i 212i-=+A. iB. i -C.43i 55--D.43i 55-+ 4. 在等差数列{}n a 中，351028a a a ++=，那么此数列的前13项的和等于A. 8B. 13C. 16D. 265. 假设m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，那么以下结论正确的选项是A. 假设m 、n 都平行于平面α，那么m 、n 一定不是相交直线；B. 假设m 、n 都垂直于平面α，那么m 、n 一定是平行直线；C. α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，假设m ⊥α，那么n ⊥β；D. m 、n 在平面α内的射影互相垂直，那么m 、n 互相垂直. 6. 如图，该程序运行后输出的结果为 A 、15 B 、21 C 、28 D 、36 7. 曲线3y x =在点(1,1)处的切线方程为 A. 320x y --= B. 2C. 320x y --=D. 230x y --=,"1"x R x ∈>则是“2x >”的必要不充分条件;(3)假设,[0,2]a b ∈，那么不等式2214a b +<成立的概率是16π.其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.39.(12)n x +的展开式中3x 的系数等于2x 的系数的4倍，那么n 等于 A 、7 B 、8 C 、9D 、1010.如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的动点，那么以下判断错误的选项是．．．．．． A 、DB 1⊥平面ACD 1 B 、BC 1∥平面ACD 1 C 、BC 1⊥DB 1D 、三棱锥P-ACD 1的体积与P 点位置有关11.函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为奇函数，该函数的部分图象如下图，EFG ∆是边长为2的等边三角形，那么(1)f 的 值为 A、2-B、2-CD、12.设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得12()()2f x f x C+=成立〔其中C 为常数〕，那么称函数()y f x =在D 上的“算术均值”为C ，那么以下函数在其定义域上的“算术均值”可以为2的函数是A 、2y x =B 、4sin y x =C 、ln y x =D 、2x y =第二卷〔非选择题共90分〕【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分、把答案填在答题卡的相应位置、 13、假设一个几何体的三视图如右，那么这个几何体的表面积为14.f(x)是R 上的偶函数，且在(－∞,0]上是减函数，那么 不等式f(x)≤f(3)的解集是 15.向量(1,2),(4,),a x b y =-=且,a b ⊥那么93x y+的最小值为16.当对数函数log (01)ay x a a =>≠且的图象至少经过区域(,)80(,)30x y M x y x y x y R y ⎧⎫-≥⎧⎪⎪⎪=+-≤∈⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎩⎭内的一个点时，实数a 的取值范围是【三】解答题：本大题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、17、〔本小题总分值10分〕设锐角△ABC 的三内角A B C 、、的对边长分别为a 、b 、c ，b 是a 、c 的等比中项，且3sin sin 4A C =. (1)求角B 的大小；(2)假设[0,)x π∈，求函数()sin()sin f x x B x =-+的值域. 18、〔本小题总分值12分〕设{}n a 是一个公差为2的等差数列，124,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)数列{}nb 满足2n n a b n =，设{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .19、〔本小题总分值12分〕一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片。
吉林省松原高中高三数学第一次模拟考试题(一)理
12019届高三第一次模拟考试卷理 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·陕西四校联考]已知复数312iz =-（i 是虚数单位），则z 的实部为（ ） A ．35-B ．35C ．15-D ．152．[2018·广西摸底]已知集合{}24A x x x =≤，{}340B x x =->，则A B =（ ）A ．(],0-∞B ．40,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．4,43⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(),0-∞3．[2018·资阳一诊]空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表：下图是某市10月1日—20日AQI 指数变化趋势下列叙述错误的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好4．[2018·长春质监]已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，45S =，920S =，则7a =（ ） A ．3-B ．5-C ．3D ．55．[2018·曲靖一中]曲线()ln 20y a x a =->在1x =处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a 的值为（ ）A B ．2 C ．4 D ．86．[2018·衡水中学]如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =（ ）A ．1233AD AB -B ．2133AD AB +C ．2133AD AB -D ．1233AD AB +7．[2018·遵义航天中学]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．13B ．23C ．1D ．438．[2018·黑龙江模拟]已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则QF =（ ） A ．83B ．52C ．3D ．29．[2018·玉林预测]已知函数()y f x =的周期为2，当[]0,2x ∈时，()()21f x x =-，如果()()5log 1g x f x x =--，则函数()g x 的所有零点之和为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．10此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号210．[2018·南宁质检]在平面区域4000y x y x ⎧⎪⎨⎪>-≤>⎩+内随机取一点(),a b ，则函数()241f x ax bx =-+在区间[)1,∞+上是增函数的概率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．2311．[2018·娄底月考]已知双曲线22221x y a b-=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ） A ．43B ．53C ．2D ．7312．[2018·四川一诊]如图，在ABC Rt △中，90ACB ∠=︒，1AC =，()0BC x x =>，D 是斜边AB 的中点，将BCD △沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．C ．()0,2D．(二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·三湘名校]已知：x ，y 满足约束条件1030210x y x y y --≥+-≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =-的最小值为________．14．[2018·拉萨中学]若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+，则{}n a 的通项公式____________．15．[2018·淄博期末]有4个不同的小球，全部放入4个不同的盒子内，恰好有两个盒子不放球的不同放法的总数为_______．16．[2018·三湘名校]函数()sin22cos f x x x =+在区间[]0,π上的值域为________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2018·衡水中学]如图，在ABC △中，P 是BC 边上的一点，60APC ∠=︒，AB =4AP PB +=．（1）求BP 的长； （2）若AC =，求cos ACP ∠的值．18．（12分）[2018·天水一中]第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：（1）若讲每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全22⨯列联表：并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座．记其中女职工的人数为ξ，求的ξ分布列与数学期望． 附表及公式：3()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19．（12分）[2018·陕西四校联考]如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点．（1）求证：AE ⊥平面1A BD ； （2）求二面角1D BE B --的余弦值．20．（12分）[2018·南昌期末]已知椭圆C 中心在坐标原点，焦点在x轴上，且过⎛ ⎝⎭，直线l 与椭圆交于A ，B 两点（A ，B 两点不是左右顶点），若直线l 的斜率为12时，弦AB 的中点D 在直线12y x =-上．（1）求椭圆C 的方程；（2）若以A ，B 两点为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线l 是否经过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．421．（12分）[2018·长春实验中学]已知函数()()22ln f x ax a x x =+--，()a ∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若对任意0x >，都有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2018·齐鲁名校]在直角坐标系xoy 中，已知曲线1C 、2C的参数方程分别为()12cos n :i x C y θθθ⎧⎪⎨⎪⎩=为参数，()21cos : sin x t C t y t θθ=+=⎧⎨⎩为参数．（1）求曲线1C 、2C 的普通方程；（2）已知点()1,0P ，若曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，求PA PB +的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2018·陕西四校联考]已知函数()2f x x a x =-++． （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）0x ∃∈R ，()03f x ≤，求a 的取值范围．2019届高三第一次模拟考试卷理科数学（一）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B 【解析】∵()()()312i 336i 12i 12i 12i 55z +===+--+，∴z 的实部为35，故应选B ． 2．【答案】C【解析】∵集合{}{}2404A x x x x x =≤=≤≤，{}43403B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，∴444,433AB x x ⎧⎫⎛⎤=<≤=⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭，故选C ．3．【答案】C【解析】对A ，因为第10天与第11天AQI 指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确； 对B ，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占14，正确； 对C ，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误； 对D ，由图知，10月上旬大部分AQI 指数在100以下，10月中旬大部分AQI 指数在100以上，所以正确，故选C ． 4．【答案】C【解析】等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，()42352S a a ==+，95209S a ==，5209a =，2355252a a a d +==-，联立两式得到718d =，75+23a a d ==，故答案为C ． 5．【答案】B【解析】由()ln 2y f x a x ==-，得()af x x'=，∴()1f a '=， 又()12f =-，∴曲线()ln 20y a x a =->在1x =处的切线方程为()21y a x +=-， 令0x =，得2y a =--；令0y =，得21x a=+． ∴切线与坐标轴围成的三角形面积为()()12122121422S a a a a ⎛⎫⎛⎫=--+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2a =，故选B ． 6．【答案】C【解析】()11213333ED EA AD AC AD ADAB AD AD AB =+=-+=-++=-．故选C ．7．【答案】B【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，其直观图如下图所示：故其体积112122323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，故选B ．8．【答案】A【解析】设l 与x 轴的交点为M ，过Q 向准线l 作垂线，垂足为N ，3FP FQ =，23NQ MF∴=，又4MF p ==，83NQ ∴=，NQ QF =，83QF ∴=．故选A ．9．【答案】A【解析】函数的零点满足()5log 1f x x =-，在同一个平面直角坐标系中绘制函数()f x 和函数5log 1y x=-的图象， 观察可得4对交点的横坐标关于直线1x =对称，据此可得函数()g x 的所有零点之和为248⨯=．本题选择A 选项．10．【答案】B【解析】不等式组表示的平面区域为如图所示的AOB △的内部及边界AB (不包括边界OA ，OB )，则14482AOB S =⨯⨯=△，函数()241f x ax bx =-+在区间[)1,+∞上是增函数，则应满足0a >且412bx a =≤，即02a a b >≥⎧⎨⎩， 可得对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界OC ，BC ，不包括边界OB )，由240a b a b =+-=⎧⎨⎩，解得83a =，43b =，所以1484233COB S =⨯⨯=△，根据几何概型的概率计算公式，可知所求的概率81383P ==，故选B ．11．【答案】B【解析】由双曲线的定义知122PF PF a -= ①，又124PF PF = ②， 联立①②解得183PF a =，223PF a =，在12PF F △中，由余弦定理，得222212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅，要求e 的最大值，即求12cos F PF ∠的最小值，当12cos 1F PF ∠=-时，解得53e =，即e 的最大值为53，故选B ．解法二：由双曲线的定义知122PF PF a -=①，又124PF PF =②，联立①②解得183PF a =，223PF a =，因为点P 在右支所以2PF c a ≥-，即23a c a ≥-故53a c ≥，即e 的最大值为53，故选B ．12．【答案】D【解析】由题意得，AD CD BD ===BC x =，取BC 中点E ，翻折前，在图1中，连接DE ，CD ，则1122DE AC ==，翻折后，在图2中，此时CB AD ⊥．∵BC DE ⊥，BC AD ⊥，∴BC ⊥平面ADE ，∴BC AE ⊥，DE BC ⊥， 又BC AE ⊥，E 为BC 中点，∴1AB AC ==，∴AE =AD =在ADE △12+>12<+0x >；由①②③可得0x <<．如图3，翻折后，当1B CD △与ACD △在一个平面上，AD 与1B C 交于M ，且1AD B C ⊥，1AD B D CD BD ===，1CBD BCD B CD ∠=∠=∠，又190CBD BCD B CD ∠+∠+∠=︒，∴130CBD BCD B CD ∠=∠=∠=︒， ∴60A ∠=︒，tan 60BC AC =︒，此时1x =， 综上，x的取值范围为(．故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】32【解析】画出约束条件1030210x y x y y --≥+-≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩表示的可行域，如图，由10210x y y --=+≥⎧⎨⎩，可得1212x y ⎧⎪⎪⎨==-⎪⎪⎩， 将2z x y =-变形为2y x z =-，平移直线2y x z =-，由图可知当直2y x z =-经过点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭时，直线在y 轴上的截距最大，则2z x y =-有最小值，最小值为1132222z =⨯+=，故答案为32．14．【答案】()12n n a -=-【解析】由题意，当1n =时，1112133a S a ==+，解得11a =，当2n ≥时，111212122333333n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--=-，即12n n a a -=-，所以12n n aa -=-，所以数列{}n a 表示首项为11a =，公比为2q =-的等比数列， 所以数列{}n a 的通项公式为()12n n a -=-．15．【答案】84【解析】四个球分为两组有两种分法，()2,2，()3,1，若两组每组有两个球，不同的分法有2422C 3A =种，恰有两个盒子不放球的不同放法是243A 36⨯=种，若两组一组为3，一组为1个球，不同分法有34C 4=种恰有两个盒子不放球的不同放法是244A 48⨯=种，综上恰有两个盒子不放球的不同放法是364884+=种，即答案为84．16．【答案】⎡⎢⎣⎦【解析】()()()()2'2cos22sin 22sin sin 122sin 1sin 1f x x x x x x x =-=-+-=--+，当5π0,,π66πx ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()'0f x >；可得()sin 22cos f x x x =+的增区间为0,π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，5π,π6⎛⎫⎪⎝⎭；当5π,66πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，可得()sin 22cos f x x x =+的减区间为π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭，π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭5π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()02f =，()2πf =-， ()f x ⎡∴∈⎢⎣⎦，故答案为⎡⎢⎣⎦．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）2BP =；（2）3cos 5ACP ∠=．【解析】（1）由已知，得120APB ∠=︒，又AB =4AP BP +=， 在ABP △中，由余弦定理，得(()()222424cos120BP BP BP BP =+--⨯⨯-︒，整理得2440BP BP -+=．解得2BP =． （2）由（1）知，2AP =，所以在ACP △中，由正弦定理．得sin60sin AC APACP =︒∠，解得4sin 25ACP ∠==． 因为2<，所以AP AC <，从而ACP APC ∠<∠，即ACP ∠是锐角， 所以3cos 5ACP ∠．18．【答案】（1）见解析；（2）分布列见解析，()23E ξ=． 【解析】（1）由题意得下表：2k 的观测值为()21201200600242706705060607-=>⨯⨯⨯．． 所以有90%的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关．（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，所以ξ的可能取值为0，1，2．且()2426C 620C 155P ξ====，()114226C C 81C 15P ξ===，()2226C 12C 15P ξ===， 所以ξ的分布列为()28110201251515153E ξ=⨯+⨯+⨯==．19．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）∵AB BC CA ==，D 是AC 的中点，∴BD AC ⊥，∵1AA ⊥平面ABC ，∴平面11AA C C ⊥平面ABC ，∴BD ⊥平面11AA C C ，∴BD AE ⊥． 又∵在正方形11AA C C 中，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，易证得∴1A AD ACE △≌△， ∴1A DA AEC ∠=∠，∵90AEC CAE ∠+∠=︒，∴190A DA CAE ∠+∠=︒，即1A D AE ⊥． 又1A DBD D =，∴AE ⊥平面1A BD ．（2）取11AC 中点F ，以DF ，DA ，DB 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，()0,0,0D ，()1,1,0E -，(B，(1B，(DB =，()1,1,0DE =-，()12,0,0BB =，(1EB =，设平面DBE 的一个法向量为(),,x y z =m，则0000DB x y DE ⎧⋅==⇒-=⎪⋅⎪⎨⎪=⎩⎩m m ， 令1x =，则()1,1,0=m ，设平面1BB E 的一个法向量为(),,a b c =n，则1120000a BB a b EB ⎧=⎧⋅=⎪⇒⎨+=⎪⋅=⎩⎪⎨⎪⎩n n ，令c =，则(0,=-n ，设二面角1D BE B --的平面角为θ，观察可知θ为钝角，cos ,⋅〈〉==m n m n m n∴cos θ=，故二面角1D BE B --的余弦值为． 20．【答案】（1）椭圆C 的方程：2214x y +=；（2）见解析．【解析】（1）设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，()11,A x y ，()22,B x y ，由题意直线l 的斜率为12，弦AB 的中点D 在直线12y x =-上，得121212y y x x -=-，121212y y x x +=-+， 再根据22112222222211x y a b x y ab ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩，作差变形得2221222212y y b x x a -=--，所以224a b =，又因为椭圆过⎛ ⎝⎭得到2a =，1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）由题意可得椭圆右顶点()22,0A ，220AA BA ⊥=，①当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为0x x =，此时要使以A ，B 两点为直径的圆过椭圆的02x =-解得065x =或02x =（舍）此时直线l 为65x =． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，则有()121212420x x x x y y +-++=， 化简得()()()2212121240k x x kb x x b ++-+++= ①联立直线和椭圆方程2214y kx b x y =++=⎧⎪⎨⎪⎩，得()222418440k x kbx b +++-=， 22140Δk b =+->，()122841kbx x k -+=+，21224441b x x k -=+ ②把②代入①得()()2222244812404141b kbk kb b k k --++-++=++，即()222222222244448164164k b k b k b kb k b k b -+--+=-+++22121650k kb b ++=，得12k b =-或56k b =-此时直线l 过6,05⎛⎫⎪⎝⎭或()2,0（舍）综上所述直线l 过定点6,05⎛⎫⎪⎝⎭．21．【答案】（1）当0a ≤时，在()0,+∞上，()f x 是减函数；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，是减函数；在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，是增函数；（2）[)1,+∞．【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，又()()()()()2221211122ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--='=，当0a ≤时，在()0,+∞上，()0f x '<，()f x 是减函数； 当0a >时，由()0f x '=得：1x a=或12x =-（舍）．所以在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 是减函数；在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 是增函数． （2）对任意0x >，都有()0f x ≥成立，即在()0,+∞上，()min 0f x ≥． 由（1）知：当0a ≤时，在()0,+∞上()f x 是减函数， 又()1220f a =-<，不合题意， 当0a >时，当1x a=时，()f x 取得极小值也是最小值， 所以()min111ln f x f a a a ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，令()()111ln 0u a f a a a a ⎛⎫==-+> ⎪⎝⎭，所以()211u a a a '=+，在()0,+∞上，()0u a '>，()u a 是增函数，又()10u =， 所以要使得()min 0f x ≥，即()0u a ≥，即1a ≥， 故a 的取值范围为[)1,+∞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）见解析；（2）[]3,4．【解析】（1）曲线1C 的普通方程为22143x y +=，当π,π2k k θ≠+∈Z 时，曲线2C 的普通方程为tan tan y x θθ=-，当π,π2k k θ=+∈Z 时，曲线2C 的普通方程为1x =（或sin cos sin 0x y θθθ--=）． （2）将()21cos : sin x t C t y t θθ=+=⎧⎨⎩为参数代入221:143x y C +=，化简整理得：()22sin 36cos 90t t θθ++-=， 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，1226cos sin 3t t θθ-+=+，1229sin 3t t θ-=+， 则()2236cos 36sin 31440Δθθ=++=>恒成立，1212212sin 3PA PB t t t t θ∴+=+=-==+，[]2sin 0,1θ∈，[]3,4PA PB ∴+∈．23．【答案】（1）{}|2 1 x x -≤≤；（2）[]5,1-． 【解析】（1）当1a =时，()12f x x x =-++， ①当2x ≤-时，()21f x x =--，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x =-，②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，所以21x -<<， ③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x =， 综上所述，不等式的解集为{}|2 1 x x -≤≤．（2）因为()()()222f x x a x x a x a =-++≥--+=+， 因为0x ∃∈R ，有()3f x ≤成立，所以只需23a +≤， 解得51a -≤≤，所以a 的取值范围为[]5,1-．。
吉林省名校2019届高三第一次联合模拟考试数学(理)试题Word版含答案
吉林省名校2019届高三下学期第一次联合模拟考试高三数学考试（理科）第Ⅰ卷一、选择题：1．已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x∈N ｜lnx ＜x ＜1），则A∩B＝ A ．{0，1} B ．{1，2} C ．{0，1，2} D ．{0，1，2，3} 2．设复数z 满足2z ii i-=-，则|z|＝ A ．1 B 5．3 D 103．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线经过点2,6)，则该双曲线的离心率为A ．2B 2C ．3D 34．某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如下表所示：不喜欢 喜欢 男性青年观众 30 10 女性青年观众3050现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n ＝ A ．12 B ．16 C ．24 D ．325．在△ABC 中，若点D 满足3BD DC =u u u r u u u r ，点E 为AC 的中点，则ED =u u u rA ．5163AC AB +u u u r u u u r B ．1144AB AC +u u u r u u u r C ．3144AC AB -u u u r u u u rD ．5163AC AB -u u ur u u u r6．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B ＝A ．4B ．13C ．40D ．41 7．将函数f （x ）＝sinx 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数y ＝g （x ）的图象，则函数y ＝f （x ）g （x ）的最大值为 A ．22+ B ．22- C ．1 D ．128．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A 3333 D 43 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝1，(2sin 3)3cos a B C c A =，点D 是边BC 的中点，且13AD =，则△ABC 的面积为 A 3 B 33或2333310．函数f （x ）＝xsin2x ＋cosx 的大致图象有可能是A．B．C．D．11．已知四棱锥S—ABCD，SA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCD＋∠DAB＝π，SA＝2，26 BC二面角S—BC—A的大小为π3．若四面体SACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A ．42πB ．4π C ．8π D ．16π12．已知函数f （x ）＝ex －e －x，若对任意的x∈（0，＋∞），f （x ）＞mx 恒成立，则m 的取值范围为A ．（－∞，1）B ．（－∞，1]C ．（－∞，2）D ．（－∞，2]第Ⅱ卷二、填空题：13．二项式51()x x-的展开式中x －2的系数是________．14．设x ，y 满足约束条件240,10,210,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪++⎩≤≤≥，则23y z x +=+的最大值是________．15．已知sin10°－mcos10°＝2cos140°，则m ＝________．16．已知A ，B 是抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意不同的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P （x 0，0），则x 0的取值范围是________．（用p 表示） 三、解答题： （一）必考题：17．已知数列{a n }为等差数列，a 7－a 2＝10，a 1，a 6，a 21依次成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{b n }的前n 项和为S n ，若225n S =，求n 的值． 18．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 是底面ABCD 的中心，E 是线段D 1O 的上一点．（1）若E 为D 1O 的中点，求直线OD 1与平面CDE 所成角的正弦值；（2）能否存在点E 使得平面CDE 上平面CD 1O ，若能，请指出点E 的位置关系，并加以证明；若不能，请说明理由．19．随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数y i （单位：人）与时间t i （单位：年）的数据，列表如下：（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式()()nniii it t y y t y nt yr ---==∑∑75.47≈．（2）某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．方案一：每满600元可减100元；方案二：金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率都为12，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．①两位顾客都购买了1050元的产品，求至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠的概率；②如果你打算购买1000元的产品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．20．顺次连接椭圆2222:1x y C a b+=（a ＞b ＞0为 （1）求椭圆C 的方程；（2）A ，B 是椭圆C 上的两个不同点，若直线OA ，OB 的斜率之积为12-（O 为坐标原点），线段OA 上有一点M 满足||2||3OM OA =，连接BM 并延长椭圆C 于点N ，求||||BM BN 的值．21．已知函数f （x ）＝x 2－2x ＋2alnx ，若函数f （x ）在定义域上有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2．（1）求实数a 的取值范围； （2）证明：123()()ln 202f x f x +++>． （二）选考题：22．在直角坐标系xOy 中，曲线1(1sin ),:cos x a t C y a t=+⎧⎨=⎩（a ＞0，t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2π:6C θ=（ρ∈R ）． （1）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（2）若直线C 3的方程为y =，设C 2与C 1的交点为O ，M ，C 3与C 1的交点为O ，N ，若△OMN的面积为a 的值．23．已知函数f （x ）＝|4x －1|－|x ＋2|． （1）解不等式f （x ）＜8；（2）若关于x 的不等式f （x ）＋5|x ＋2|＜a 2－8a 的解集不是空集，求a 的取值范围．高三数学考试参考答案（理科）1．B 2．D 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．B 9．D 10．A 11．C 12．D 13．－10 14．5 15． 16．（p ，＋∞） 17．解：（1）设数列{a n }的公差为d ，因为a 7－a 2＝10， 所以5d ＝10，解得d ＝2．因为a 1，a 6，a 21依次成等比数列，所以26121a a a =，即（a 1＋5×2）2＝a 1（a 1＋20×2），解得a 1＝5． 所以a n ＝2n ＋3． （2）由（1）知111(23)(25)n n n b a a n n +==++， 所以111()22325n b n n =-++，所以1111111 [()()()]2577923255(25)nnSn n n=-+-++-=+++L，由25(25)25nn=+，得n＝10．18．解：不妨设正方体的棱长为2，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则D（0，0，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），O（1，1，0）．（1）因为点E是D1O的中点，所以点E的坐标为11(,,1)22．所以1(1,1,2)OD=--u u u u r，11(,,1)22DE=u u u r，(0,2,0)DC=u u u r．设(,,)p x y z=u r是平面CDE的法向量，则0,0,p DEp DC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r即110,2220.x y zy⎧++=⎪⎨⎪=⎩，取x＝2，则z＝－1，所以平面CDE的一个法向量为(2,0,1)p=-u r．所以11222221230 cos,||||(1)(1)22(1)OD pOD pOD p⋅===-+-+⋅+-u u u u r u ru u u u r u ru u u u r u r所以直线OD1与平面CDE所成角的正弦值为3015．（2）假设存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，设1D E EOλ=u u u u r u u u r．显然(1,1,0)OC=-u u u r，1(1,1,2)OD=--u u u u r．设(,,)m x y z =u r 是平面CD 1O 的方向量，则10,0,m OC m OD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u u r ，即0,20,x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩． 取x ＝1，则y ＝1，z ＝1，所以平面CD 1O 的一个法向量为(1,1,1)m =u r．因为1D E EO λ=u u u u r u u u r ，所以点E 的坐标为2(,,)111λλλλλ+++．所以2(,,)111DE λλλλλ=+++u u u r ，(0,2,0)DC =u u u r ．设(,,)n x y z =r 是平面CDE 的法向量，则0,0,n DE n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即20,11120.x y z y λλλλλ⎧++=⎪+++⎨⎪=⎩． 取x ＝1，则2z λ=-，所以平面CDE 的一个法向量为(1,0,)2n λ=-r ．因为平面CDE⊥平面CD 1O ，所以m n ⊥u r r ，即0m n ⋅=u r r ，102λ-=，解得λ＝2．所以λ的值为2．即当1||2||D E EO =u u u u r u u u r 时，平面CDE⊥平面CD 1O ． 19．解：（1）由题知3t =，47y =，51852i ii t y==∑，=，=则()()nniii it t y y t y nt yr ---==∑∑1470.970.75150.94==≈≈>．故y 与t 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．（2）①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件A ，则03311()()28P A C ==，故所求概率为631()()64P P A P A =-=． ②若选择方案一，则需付款1000－100＝900（元），若选择方案二，设付款X 元，则X 可能取值为700，800，900，1000．33311(700)()28P X C ===；223113(800)()228P X C ==⨯=；123113(900)()228P X C ==⨯⨯=；03311(1000)()28P X C ===．所以1331()70080090010008508888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元），因为850＜900，所以选择方案二更划算． 20．解：（1）由题可知2ab =a 2＋b 2＝3，解得a =b ＝1．所以椭圆C 的方程为2212x y +=． （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），||||BM BN λ=．N （x 3，y 3）， ∵23OM OA =u u u u r u u u r ，∴1122(,)33M x y ，∴121222(,)33BM x x y y =--u u u u r ，3232(,)BN x x y y =--u u u r ．又∵BM BN λ=u u u u r u u u r ，∴1212323222(,)(,)33x x y y x x y y λ--=--，即312213x x x λλλ-=+，312213y y y λλλ-=+．∵点N （x 3，y 3）在椭圆C 上，∴21221221()213()123x x y y λλλλλλ-+-++=，即22222121212122224(1)4(1)()()()192232x x x x y y y y λλλλλ--+++++=．（*） ∵A（x 1，y 1），B （x 2，y 2）在椭圆C 上，∴221112x y +=，①222212x y +=，② 又直线OA ，OB 斜率之积为12-，∴121212y y x x =-，即121202x x y y +=，③将①②③代入（*）得2224(1)19λλλ-+=，解得1318λ=．21．（1）解：因为函数f （x ）在定义域（0，＋∞）上有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2， 所以2'()220af x x x=-+=在（0，＋∞）上有两个根x 1，x 2，且x 1＜x 2， 即x 2－x ＋a ＝0在（0，＋∞）上有两个不相等的根x 1，x 2．所以140,0,a a ∆=->⎧⎨>⎩解得104a <<． （2）证明：由题可知x 1，x 2（0＜x 1＜x 2）是方程x 2－x ＋a ＝0的两个不等的实根，所以12121,,x x x x a +=⎧⎨=⎩其中104a <<．故2212111222()()22ln 22ln f x f x x x a x x x a x +=-++-+＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2－2（x 1＋x 2）＋2aln （x 1x 2） ＝2alna －2a －1，令g （a ）＝2alna －2a －1，其中104a <<．故g'（a ）＝21na ＜0， 所以g （a ）在1(0,)4上单调递减，则13()()ln 242g a g >=--，即123()()ln 202f x f x +++>．22．解：（1）消去参数t 得到C 1的普通方程：（x －a ）2＋y 2＝a 2． C 1是以（a ，0）为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ带入C 1的普通方程，得到C 1的极坐标方程ρ＝2acosθ． （2）C 3的极坐标方程5π3θ=（ρ∈R ）， 将π6θ=，5π3θ=代入ρ＝2cosθ，解得1ρ=，ρ2＝a ， 则△OMN的面积为21ππsin()263a ⨯⨯+==a ＝2． 23．解：（1）由题意可得33,21()51,2,4133,4x x f x x x x x ⎧⎪-+-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-⎪⎩≤≥，当x≤－2时，－3x＋3＜8，得53x>-，无解；当124x-<<时，－5x－1＜8，得95x>-，即9154x-<<；当14x≥时，3x－3＜8，得113x<，即11143x<≤．所以不等式的解集为911 {|}53x x-<<．（2）f（x）＋5|x＋2|＝|4x－1|＋|4x＋8|≥9，则由题可得a2－8a＞9，解得a＜－1或a＞9．。
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2019届高三第一次模拟考试卷理 科 数 学（三） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·攀枝花统考]已知集合{}12A x x =-<<，(){}30B x x x =->，则集合A B =（ ）A ．{}13x x -<<B ．{}23x x x <>或C ．{}02x x <<D ．{}03x x x <>或2．[2018·铜仁一中]若复数1i34i z +=-，则z =（ ）A ．25 BCD ．2253．[2018·青岛调研]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过点A ，E ，1C的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ． 4．[2018·鄂尔多斯期中]若3sin 5α=-，α是第三象限角，则sin 4απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A 2 B 72 C． D． 5．[2018·曲靖统测]732a x x ⎛ ⎝的展开式中，3x 项的系数为14，则a =（ ） A ．2- B ．14 C ．2 D ．14- 6．[2018·赣州期中]已知点()5,0A -，()1,3B --，若圆()222:0C x y r r +=>上恰有两点M ，N ， 使得M AB △和NAB △的面积均为5，则r 的取值范围是（ ） A ．(5 B ．()1,5 C ．()2,5 D．( 7．[2018·东北育才]已知函数()11ln f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 8．[2018·广安二中]已知随机变量ζ服从正态分布()23,N σ，且()20.3P ζ<=，则()24P ζ<<的值等于（ ） A ．0.5 B ．0.2 C ．0.3 D ．0.4 9．[2018·三湘名校]中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙 子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排 列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2263用算筹表示就是=||丄|||．执行如图所示程序框 图，若输人的1x =，2y =，则输出的S 用算筹表示为（ ）A ．B ．C ．D ．10．[2018·开封月考]已知空间四边形ABCD ，23BAC π∠=，23AB AC ==，6BD CD ==，且平面ABC ⊥平面BCD ，则空间四边形ABCD 的外接球的表面积为（ ）A ．60πB ．36πC ．24πD ．12π11．[2018·湖南湖北联考]过双曲线()222210,0xya b a b -=>>的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A．( B．( C． D ．(5,1012．[2018·湛江一中]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()'xf x f x ＞，若()20f =，则不等式()0f x x ＞的解集为（ ）A ．{}2002x x x -<<<<或B ．{}22x x x <->或C ．{}202x x x -<<>或D ．{}22x x x <-<<或0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．[2018·廊坊联考]已知向量()7,16=a ，()5,16k -=-a b ，且⊥a b ，则k =__________． 14．[2018·湖北七校联盟]若函数()()3212f x a x ax x =++-为奇函数，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为______________． 15．[2018·贵州质检]设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 22a b -=()2cos cos a B b A +，且ABC △的面积为25，则ABC △周长的最小值为__________． 16．[2018·赤峰二中]抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点， 且满足60AFB ∠=︒．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB 的最大值 为__________． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2018·长春实验中学]已知数列{}n a 是公差为2-的等差数列，若12a +，3a ，4a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令12n n n b a -=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足0n S ≥成立的n 的最小值． 18．（12分）[2018·开封月考]甲、乙两家外卖公司，其“骑手”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元．假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：（1）求乙公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数()n n*∈N的函数关系；（2）若将频率视为概率，回答以下问题：（i）记乙公司的“骑手”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ii）小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日工资的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由．19．（12分）[2018·成都月考]如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形，在图①中，设平面BEF与平面ABCD相关交于直线l．（1）求证：l⊥面CDE；（2）在图①中，线段DE上是否存在点M，使得直线MC与平面BEF？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）[2018·雅礼中学]已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为12，F 为左焦点，过点F 作x 轴的垂线，交椭圆E 于A ，B 两点，3AB =．（1）求椭圆E 的方程；（2）过圆22127x y +=上任意一点作圆的切线交椭圆E 于M ，N 两点，O 为坐标原点，问：OM ON ⋅是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．21．（12分）[2018·太原期中]已知函数()()21122ln 2f x ax a x x =+--，a ∈R ； （1）讨论()f x 的单调性； （2）若不等式()32f x ≥在()0,1上恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2018·江师附中]在直角坐标系xoy ，曲线1C 的参数方程为cos 3sin x a t y a t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >）． 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线22:2sin 6C ρρθ=+．（1）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）已知1C 与2C 的交于A ，B 两点，且AB 过极点，求线段AB 的长．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2018·肇庆统测]已知()31f x x x =++-，()22g x x mx =-+．（1）求不等式()4f x >的解集；（2）若对任意的1x ，2x ，()()12f x g x >恒成立，求m 的取值范围．2019届高三第一次模拟考试卷理科数学（三）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】由一元二次方程的解法化简集合，(){}{}3030B x x x x x =->=><或x ， ∵{}12A x x =-<<，∴{}23A B x x x =<>或，故选B ．2．【答案】B【解析】∵()()1i 34i 1i17i 17i 34i 25252525z +++-+====-+-，∴25z z ==，故选B ．3．【答案】C【解析】取1DD 中点F ，连接AF ，1CF ．平面1AFC E 为截面．如下图：∴选C ．4．【答案】D【解析】∵3sin 5α=-，α是第三象限角，∴4cos 5α=-，则34sin 42225510αααπ⎛⎫⎫+=+=--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．5．【答案】C【解析】由展开式的公式得到3x 项的系数为()57737C 1k k k k a x --⋅⋅-⋅，57363k k -=⇒=．系数为()66767C 17142a a a -⋅⋅-==⇒=．故选C ．6．【答案】B【解析】由题意可得5AB =，根据M AB △和NAB △的面积均为5，可得两点M ，N 到直线的距离为2， 由于AB 的方程为34150x y ++=， 若圆上只有一个点到圆AB 的距离为2，则有圆心()0,0到直线AB21r r =+⇒=， 若圆上只有三个点到圆AB 的距离为2，则有圆心()0,0到直线AB 25r r =-⇒=， ∴实数r 的取值范围是()1,5，故选B ． 7．【答案】A 【解析】∵()11ln f x x x =--，令()1ln g x x x =--，()11g x x '=-， 当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，则()f x 单调递减， 当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，则()f x 单调递增，且1x ≠，故选A ． 8．【答案】D 【解析】∵随机变量ζ服从正态分布()23,N σ，∴其正态曲线关于直线3x =对称，如图： 又∵()20.3P ζ<=，由对称性得()40.3P ζ>=， 从而有：()()24122120.30.4P P ζζ<<=-<=-⨯=，故选D ． 9．【答案】C 【解析】第一次循环，i 1=，1x =，3y =；第二次循环，i 2=，2x =，8y =； 第三次循环，i 3=，14x =，126y =； 第四次循环，i 4=，1764S =，满足S xy =，推出循环，输出1764S =， ∵1764对应，故选C ． 10．【答案】A【解析】由余弦定理得2112122362BC ⎛⎫=+-⋅-= ⎪⎝⎭，∴6BC =． 由正弦定理得62sin120r =︒，∴r =ABC 的外接圆半径为．设外接球的球心为O，半径为R，球心到底面的距离为h，设三角形ABC的外接圆圆心为E，BC的中点为F，过点O作OG DF⊥，连接DO，BE，OE．在直角OBE△中，(222R h=+（1），在直角DOG△中，()22R h=+（2），解（1）（2）得hR=．∴外接球的表面积为460ππ=．故选A．11．【答案】C【解析】双曲线右焦点为)，过右焦点的直线为y kx=-与双曲线方程联立消去y可得到()() 2222222222220b a k x a k a a k b k b-+-++=，由题意可知，当1k=时，此方程有两个不相等的异号实根，∴()222222a a bb a+>-，得0a b<<，即1ba>；当3k=时，此方程有两个不相等的同号实根，∴()222229109a a bb a+<-，得03b a<<，3ba<；又e=．故选C．12．【答案】C【解析】令()()f xg xx=，∵0x>时，()()()2'xf x f xg xx-'=>，∴()g x在()0.+∞递增，∵()()f x f x-=，∴()()g x g x-=-，∴()g x是奇函数，()g x在(),0-∞递增，∵()()2202fg==，∴2x<<0时，()0g x<，2x>时，()0g x>，根据函数的奇偶性，()()220g g-=-=，20x-<<时，()0g x>，2x<-时，()0g x<，综上所述，不等式()f xx＞的解集为20x-<<或2x>．故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】78-【解析】由向量()7,16=a，()5,16k-=-a b，可得()2,k=b，∵⊥a b，则72160k⋅=⨯+=a b，即的78k=-．14．【答案】20x y--=【解析】()()3212f x a x ax x=++-为奇函数，则0a=，∴()32f x x x=-，()2'32f x x=-，∴()2'13121f=⨯-=，又()11f=-，曲线()y f x=在点()()1,1f处的切线方程为11y x+=-，即20x y--=．15．【答案】102+【解析】在ABC△中，由余弦定理可得：()2222222222cos cos22a cb bc aa b a B b A a bac bc⎛⎫+-+--=+=⋅+⋅⎪⎝⎭，即222222222222a cb bc aa b a b cac bc⎛⎫+-+--=⋅+⋅=⎪⎝⎭，即222a b c=+，即2Aπ∠=，∴三角形的面积为125502S bc bc==⇒=，则ABC△的周长为10l b c=++，当5b c==时取得等号，∴ABC△的周长最小值为10210．16．【答案】1【解析】设AF a=，BF b=，由抛物线定义，得AF AQ=，BF BP=，在梯形ABPQ中，∴2MN AQ BP a b=+=+．由余弦定理得，222222cos60AB a b ab a b ab=+︒+-=-，配方得()223AB a b ab+-=，又∵22a bab+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()222231344a b aa ab bb ab--+=+++≥得到()12AB a b≥+．∴1MNAB≤，即MNAB的最大值为1．故答案为1．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）92na n=-；（2）5．【解析】（1）∵12a +，3a ，4a 成等比数列，∴()()()2111426a a a -=+-，解得17a =，∴92n a n =-．（2）由题可知()()0121222275392n n S n -=++++-++++-()2212828112nn n n n n -=--=+---，显然当4n ≤时，0n S <，5160S =>，又∵5n ≥时，n S 单调递增，故满足0n S ≥成立的n 的最小值为5．18．【答案】（1）10045,617045,n n y n n n **⎧≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N ；（2）（i ）112元；（ii ）推荐小明去甲公司应聘．【解析】（1）根据题意可知，乙公司每天的底薪100元，前45单无抽成，超出45单部分每单抽成6元，故日工资10045,617045,n n y n n n **⎧≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N ．（2）（i ）根据条形图，当送单数为42，44时，100X =，频率为200.2100=．当送单数为46时，106X =，频率为300.3100=．当送单数为48时，118X =，频率为400.4100=．当送单数为50时，130X =，频率为100.1100=．故乙公司的“骑手”一日工资X 的分布列如表所示：数学期望()1000.21060.31180.41300.1112E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）．（ii ）根据条形图，甲公司的“骑手”日平均送餐单数为：420.2440.4460.2480.1500.145⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（单），∴甲公司的“骑手”日平均工资为：70451115+⨯=（元）由（i ）可知，乙公司的“骑手”日平均工资为112元，故推荐小明去甲公司应聘．19．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，M 的位置在线段DE 的23处．【解析】（1）证明：由题意AD EF ∥，∵EF ⊂面BEF ，AD ⊄面BEF ，∴AD ∥面BEF ．又AD ⊂面ABCD ，面ABCD 面BEF l =，∴AD l ∥，由主视图可知AD CD ⊥，由侧视图可知DE AD ⊥， ∵CD AD D =，∴AD ⊥面CDE ．∴l ⊥面CDE ．（2）如图，建立空间直角坐标系D xyz -， 则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,2,0C ，()0,0,1E ，()1,0,1F ，∴()1,0,0EF =，()0,1,1BF =-， 设面BEF 的一个法向量(),,x y z =n ，则由0EF ⋅=n ，0BF ⋅=n ， 可得00x y z =⎧⎨-+=⎩，令1y =，则1z =，∴()0,1,1=n ， 设()0,0,M m ，则()0,2,MC m =-， ∴25cos ,24MC m ==⋅+n 23m =或6m =（舍）， 即存在点M ，此时M 的位置在线段DE 的23处（靠近E 点）． 20．【答案】（1）22143x y +=；（2）0． 【解析】（1）∵离心率为12，则12c a =．∴2234b a =． ∵3AB =，∴223b a =．∴24a =，23b =．则椭圆E的标准方程为22143x y +=． （2）当切线斜率不存在时，取切线为x =代入椭圆方程是1212,77M，N ，或M ，N ．∴1212120777OM ON ⋅=⨯，同理，取切线为x =0OM ON ⋅=． 当切线斜率存在时，设切线y kx b =+，则d == ∴()227121b k =+． ① 联立()222223484120143y kx b k x kbx b x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩．设()11,M x y ，()22,N x y ，则122212283441234kbx x k b x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩②③，()()()()221212*********x x y y x x kx b kx b k x x x x kb b +=+++=++++， ④ 把①②③代入④得12120x x y y +=，∴0OM ON ⋅=．综合以上，OM ON ⋅为定值0．21．【答案】（1）见解析；（2）1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．【解析】（1）∵()()21122ln 2f x ax a x x =+--，0x >，∴()()()()212212ax a x ax x f x x x +--+-'==，①当0a ≥时，令()0f x '<，得02x <<；令()0f x '>，得2x >； ②当0a <时，令()0f x '=，得1x a =-或2x =；（i ）当12a ->，即102a -<<时，令()0f x '<，得02x <<或1x a >-； 令()0f x '>，得12x a <<-；（ii ）当12a -=时，即12a =-时，则()0f x '<恒成立；（iii ）当12a -<时，即12a <-时，令()0f x '<，得10x a <<-或2x >；令()0f x '>，得12x a -<<；综上所述：当0a ≥时，()f x 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增； 当102a -<<时，()f x 在()0,2和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减，在12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增； 当12a =-时，()f x 在()0,+∞上递减； 当12a <-时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2,+∞上递减，在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增．（2）由（1）得①当12a ≥-时，()f x 在()0,1上递减，∴()331122f a =-≥，∴1123a -≤≤-；②当12a <-时，（i ）当11a -≤，即1a ≤-时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，在1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增， ∴()111322ln 2222f a a a a ⎛⎫-=-+-≥-≥ ⎪⎝⎭，∴1a ≤-符合题意； （ii ）当11a ->，即112a -<<-时，()f x 在()0,1上递增， ∴()37311242f a =->>，∴112a -<<-符合题意； 综上，实数a 的取值范围为1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）1C 为以)13,0C 为圆心，以a为半径的圆，221:cos 30C a ρθ-+-=； （2）33AB =． 【解析】（1）∵曲线1C的参数方程为cos sin x a t y a t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >）． ∴1C 的普通方程为(2223x y a +=， ∴1C 为以)13,0C 为圆心，以a 为半径的圆， 由222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，得1C的极坐标方程为22cos 30a ρθ-+-=． （2）解法一：∵曲线22:2sin 6C ρρθ=+．∴(2221:C x y a +=，222:260C x y y +--=， 二者相减得公共弦方程为223290x y a -+-=， ∵AB 过极点，∴公共弦方程223290x y a -+-=过原点， ∵0a >，∴3a =0y -=， 则()20,1C到公共弦的距离为12d ==．∴AB = 解法二：∵0:AB θθ=，∴2223cos 30a ρρθ-+-=与22sin 6ρρθ=+为ρ的同解方程， ∴3a =，3θπ=或43θπ=．∴12AB ρρ=-= 23．【答案】（1）{}31x x x <->或；（2）22m -<<． 【解析】（1）法一：不等式()4f x >，即314x x ++->． 可得1314x x x ≥⎧⎨++->⎩，或31314x x x -<<⎧⎨++->⎩或3314x x x ≤-⎧⎨--+-<⎩， 解得31x x <->或，∴不等式的解集{}31x x x <->或． 法二：()31314x x x x ++-≥+--=，当且仅当()()310x x +-≤即31x -≤≤时等号成立．∴不等式的解集为{}31x x x <->或．（2）依题意可知()()min max f x g x ≥， 由（1）知()min 4f x =，()()2222g x x mx x m m =-+=--+， ∴()2max g x m =，由24m <的m 的取值范围是22m -<<．。