2.2.4 平面与平面平行的性质
2.2.4平面与平面平行的性质2
L
α∥β
α∩β= L
(2):平面和平面平行的判定定理是什么？
一个平面内的两条相 交直线与另一个平面平 行，则这两个平面平行。 如果一个平面内有 两条相交直线分别平行 于另一个平面内的两条 直线，那么这两 b
α
d
如果两个平 行平面同时与第三 个平面相交，那么 它们的交线平行。
是α上的点 ，线段AB、AC、AD交于E、F、G
点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.
B C D
a
α
E
F
G
A
10
小结
面面平行判定定理: 线面平行
另一个平面，那么这两个平面平行。
面面平行 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
推论：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
求证：MN∥平面PBC。
N D C
E
A B
M
7
已知ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一 点G，画出过G和AP的平面。
P
M
G
D
C
H
A
O
B
8
练习： 点P在平面VAC内，画出过点P作一个截面 平行于直线VB和AC。 V
F P G B H A
9
E
C
如图：a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D
面面平行性质定理: 面面平行
线面平行 如果两个平行平面同时与第三个平面相交， 那么它们的交线平行。
11
课外作业： 1、已知α∥β，AB交α、β于A、B，CD交 α、β于C、D，AB∩CD=S，AS=8，BS=9，
2.2.4面面平行的性质
D
A B
C
问题3：若两个平面平行，则一个平面内的直 线a与另一个平面内的直线有什么位置关系?
a
b
异面、平行
已知: 平面，， ， // , a
b求证：a // b 证明: a
b
｛b
/
a
a, b没有公共点 a, b都在平面内
a // b
二、平面和平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相 交，那么它们的交线平行．
// 即： a a // b b
简记:面面平行 线线平行
例1. 求证: 夹在两个平行平面间的两条平行线段相等. 已知:平面//平面 ,AB和DC为夹在 、 D A 间的平行线段。求证：AB=DC.
证明：连接BC，取BC的中点E， 分别连接ME、NE， 则ME∥AC，∴ ME∥平面α， 又 NE∥BD， ∴ NE∥β， M 又ME∩NE=E，∴平面MEN∥ 平面α， ∵ MN平面MEN，∴MN∥α.
B A C
E
N D
例3 在正方体ABCD-A′B′C′D′中， 点M在CD′上，试判断直线B′M与平面 A′BD的位置关系，并说明理由.
C′ D′ M D C A A′ B B′
直线与直线平行
直线与平面平行
平面与平面平行
1、若两个平面互相平行，则其中一个平面 中的直线必平行于另一个平面； 2、平行于同一平面的两平面平行； 3、过平面外一点有且只有一个平面与这个
平面平行； 4、夹在两平行平面间的平行线段相等。
作业: P61练习：（做在书上） P63习题2.2B组：4（做在书上） P63习题2.2B组：3.
人教A版数学必修二2.2.4 平面与平面平行的性质 教学设计
《2.2.4 平面与平面平行的性质》教学设计一、教学内容分析：本节教材选自人教A版数学必修二第二章2.2.4，本节内容在立体几何学习中具有重要的意义与地位。
本节课是在前面已学直线与平面平行的判定及性质、平面与平面平行的判定，结合有关的实物模型，通过直观感知、推理证明出平面与平面平行的性质定理。
本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，对以后的学习作用重大。
二、学生学习情况分析：任教的学生在年级属中上程度，学习兴趣较高，但学习立体几何所具备的语言表达、逻辑推理及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。
三、设计思想：本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，借助实物模型，通过直观感知，推理证明，归纳出平面与平面平行的性质定理，让学生在观察分析、自主探究、合作交流的过程中，揭示平面与平面平行的性质定理，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探究、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。
四、教学目标：通过直观感知，推理证明，理解并掌握平面与平面平行的性质定理，掌握平面与平面平行、相交的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述性质定理。
让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的效率。
五、教学重点与难点：重点是性质定理的引入与理解，难点是性质定理的应用及立体几何空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。
六、教学过程设计：（一）知识准备，引入提问：两平面平行的判定定理解决了两平面平行的条件；反之，在两平面平行的条件下，会得到什么结论呢？本节我们利用长方体模型共同探讨这个问题.问题1如何判断平面和平面平行？如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？生答有两种方法，一是用定义法，须判断两个平面没有公共点；二是用平面和平面平行的判定定理，须判断一个平面内有两条相交直线都和另一个平面平行.如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行.问题2 如果两个平面平行，除了上述性质，两个平面内的直线还有别的性质吗？【设计意图：通过提问，学生复习面面平行的判定定理，引入本节课课题。
2.2.4平面与平面平行的性质
平面与平面平行的性质定理
展馆上下两层所在的平面与侧墙 所在的平面分别相交,它们的交线的位置关系 如何? (平行)
(1)文字语言:如果两个平行平面同时 和第三个平面相交,那么它们的交线平行. (2)符号语言:α ∥β ,α a∥b. (3)图形语言:如图所示. γ =a,β γ =b
【质疑探究】 (1)如何理解平面与平面平行的性质 定理?需要注意什么? (①该性质定理可以简述为:“面面平行,则线线平 行”,必须注意这里的“线线”是指同一平面与已 知两平行平面的交线.②关于两个平面平行的性质 还有如下的结论:两个平面平行,其中一个平面内 的直线必平行于另一个平面,即 “面面平行,则线面 平行”,此处的线是平面内的任一条直线)
跟踪训练 1 1:已知 a、b 表示直线,α 、β 、γ 表示平面,下列推理正确的是( (A)α β =a,b α )
a∥b (B)α β =a,a∥b b∥α 且 b∥β (C)a∥β ,b∥β ,a α ,b α α ∥β (D)α ∥β ,α γ =a,β γ =b a∥b
利用面面平行的性质定理证明线线 平行的技巧是什么? (利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键 是把要证明的直线看作是平面的交线,所以构造 三个面是其应用中的主要工作:即二个平行面,一 个包含讨论直线的面,有时需要添加辅助面)
跟踪训练 2 1:已知如图所示,三棱柱 ABC A1B1C1 中, 点 D、D1 分别为 AC、A1C1 上的点.
(3)你能总结一下线线平行与线面平行、面面平 行之间的转化关系吗? (三种平行关系可以任意转化,其相互转化关系 如图所示:
)
如图所示,AB α ,CD β , 且α ∥β ,若 AC∥BD,求证:AC=BD.
数学必修2——2.2.3-2.2.4《直线与平面、平面与平面平行的性质》导学导练
高中数学必修2个人原创，版权所有，翻印必究，如需借用，QQ 索取密码 第1页 解密佛山吉红勇老师扣扣：一0七669八11高中数学必修二2.2.3《直线与平面平行的性质》2.2.4《平面与平面平行的性质》导学导练【知识要点】1、直线与平面平行的性质定理（重点）1）直线与平面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.2）符号语言描述：b a b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂βαβα3）图形语言描述，如右图．2、平面与平面平行的性质（重点、难点）1）、两个平面平行的性质（1）：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. 简言之，“面面平行，则线面平行.”2）、两个平面平行的的性质（2）：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.【范例析考点】考点一．线面平行性质的应用考点1：由“线面平行”证明“线线平行”例1、如图，已知异面直线AB 、CD 都与平面α平行，CA 、CB 、DB 、DA 分别交α于点E 、F 、G 、H ．求证：四边形EFGH 是平行四边形．HGFEBADCα【针对练习】1．若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是( )A ．α内的所有直线都与直线a 异面B ．α内不存在与a 平行的直线C ．α内的直线都与a 相交D ．直线a 与平面α有公共点2．直线a ∥平面α，P ∈α，过点P 平行于α的直线( )A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在α内 3．下列判断正确的是( )A ．a ∥α，b α，则a ∥bB ．a ∩α＝P ，b α，则a 与b 不平行C ．aα，则a ∥α D ．a ∥α，b ∥α,则a ∥b4．直线和平面平行，那么这条直线和这个平面内的( )A ．一条直线不相交B ．两条相交直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线都不相交 5、判断下列说法是否正确：①一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何一条直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l 和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l 平行的直线在α内。
面面平行的性质
α E FG
A
练：A、B是不在直线l上的两点，则过点A、B 且与直线l平行的平面的个数是 （ D ）
A．0个
B．1个
C．无数个 D．以上三种情况均有可能
小结与归纳
1、若两个平面互相平行，则其中一个 平面中的直线必平行于另一个平面；
2、平行于同一平面的两平面平行；
3、夹在两平行平面间的平行线段相等。
β
答:两条交线平行.
α
a
b
下面我们来证明这个结论
如图，平面α，β，γ满足α∥β，
α∩γ＝a,β∩γ=b，
求证：a∥b
证明：∵α∩γ=a,
β∩γ=b
∴aα，bβ
a
α
∵α∥β ∴a，b没有公共点，
又∵ a，b同在平面γ内，
b
β
∴ a∥b
面面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，
那么它们的交线平行.
2.2.4 平面与平面 平行的性质
复习回顾：
平面与平面有几种位置关系？分别是什么？
（1）平行
（2）相交
α∥β
a
探究新知
探究1. 如果两个平面平行，那么一个平面 内的直线与另一个平面有什么位置关系？
a
异面直线
平行直线
探究2.如果两个平面平行，两个平面内的直 线有什么位置关系？
探究新知
探究3:当第三个平 面和两个平行平面 都相交时，两条交 线有什么关系？为 什么？
用符号语言表示性质定理：
/ /
a,
b
a//b
想一想：这个定理的作用是什么?
由平面与平面平行得出直线与直线平行
平行于同一个平面的两个平面平行.
已知：α∥γ，β∥γ 求证：α∥β
(人教A版)必修2课件：2-2-4 平面与平面平行的性质
三个平面依次交于点A、B、C，直线b与这三个平面依次交 于点E、F、G.求证：BACB＝FEGF.
第二章 2.2 2.2.4
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
[证明] 连接AG交β于H，连BH、FH、AE、CG.
∵平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，
平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，∴AB∥CD. 同理AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
第二章 2.2 2.2.4
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
规律总结：利用面面平行的性质定理证明线线平行的关 键是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个面是 其应用中的主要工作：即二个平行面，一个包含讨论直线的 面，有时需要添加辅助面.
第二章 2.2 2.2.4
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如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是菱形，M为
OA的中点，N为BC的中点．证明：直线MN∥平面OCD.
第二章 2.2 2.2.4
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[证明] 证明一：如图(1)，取OB的中点G，连接GN， GM.
第二章 2.2 2.2.4
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由①②得EB∥D1F③
∴E、B、F、D1四点共面，四边形BED1F是平面四边形．
又∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，
平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1， 平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF，
∴ED1∥BF④
∵M为OA的中点，∴MG∥AB. ∵AB∥CD，∴MG∥CD.
课件4：2.2.3 直线与平面平行的性质~2.2.4 平面与平面平行的性质
知识点一 直线与平面平行的性质 线面平行的性质定理 (1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则过 这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线 平行．
(2)图形语言：
(3)符号语言：
a∥α
a⊂β α∩β＝b
⇒a∥b
(4)作用：线面平行⇒线线平行．
题型三 线面平行和面面平行的综合问题 例3 如图所示，平面α∥平面β，△ABC、△A′B′C′ 分别在α、β内，线段AA′、BB′、CC′共点于O，O在α、 β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°,OA∶OA′ ＝3∶2.求△A′B′C面和两平行平面α、β分 别相交于AB、A′B′， 由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′. 同理相交直线 BB′、CC′确定的平面和平行平面α、β分别相交于BC、 B′C′，从而BC∥B′C′.同理易证AC∥A′C′. ∴∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反， ∴∠BAC＝∠B′A′C′.
练习
5.如图所示，P 是△ABC 所在平面外一 点，平面 α∥平面 ABC，α 分别交线段 PA、PB、PC 于 A′、B′、C′.若APA′A′＝23， 求S△A′B′C′的值．
S△ABC
解 平面α∥平面ABC，平面PAB∩平面α＝A′B′， 平面PAB∩平面ABC＝AB， ∴A′B′∥AB.同理可证B′C′∥BC，A′C′∥AC. ∴∠B′A′C′＝∠BAC，∠A′B′C′＝∠ABC， ∠A′C′B′＝∠ACB. ∴△A′B′C′∽△ABC. 又∵PA′∶A′A＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5. ∴A′B′∶AB＝2∶5.∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.
证明 如图所示，过点A作AE∥CD，且AE交平面β 于E，连接DE与BE. ∵AE∥CD， ∴由AE与CD可以确定一个平面γ， 则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE. ∵α∥β，∴AC∥DE. 取AE的中点N，连接NP与MN，如图所示． ∵M与P分别为线段AB与CD的中点，
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推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内
的两条直线，那么这两个平面平行.
面面平行性质定理 : 面面平行
线面平行
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的 交线平行。
ห้องสมุดไป่ตู้
【当堂检测】
1.如图3，已知α∥β，点P是平面α、β外的一 点(不在α与β之间)，直线PB、PD分别与α、β 相交于点A、B和C、D. （1）求证:AC∥BD； （2）已知PA=4cm， AB=5cm，PC=3cm， 求PD的长.
【预习自测】
3.平面α平行平面β，点A、C在平面α内，点B、 D在平面β内，若AB=CD，则AB，CD的位置关系是 ( ) A.平行 B.菱形 C.异面 D.以上都有可 能 4.如图1，若经过D'B的平面分 别交AA'和CC'于点E、F，则四 边形D'EBF的形状是( ) A.矩形 B.菱形 C.平行四边形 D.正方形
重庆二外
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.2.4 平面与平面平行的性质
Verakin High School of Chongqing
【学习目标】
1.能熟练地运用平面与平面平行的性质定理解
决有关问题.
2.培养和提高类比、转化等辩证思维能力及空
间想象能力.
【预习导入】
1.如果两个平面平行，那么一个平面内的任意 一条直线与另一个平面的位置关系是 平行 . 2.面面平行的性质定理 文字叙述 如果两个平行 平面同时和第 三个平面相交 , 那么它们的交 线 平行 . 符号语言
【课堂合作探究】
【例1】求证：夹在两个平行平面间的平行线段 相等. 【例2】如图2，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，点E 在AB'上，点F在BD上，且B'E=BF,求证：EF∥平 面BB'C'C.
【反思领悟】
面面平行判定定理 : 线面平行
面面平行
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面， 那么这两个平面平行。
// _________
b _________
图形语言 γ
β
b a
a _________
a // b
α
【预习自测】
1.下列命题中，错误的是( ) A.平行于同一条直线的两个平面平行 B.平行于同一平面的两条直线平行 C.一个平面与两个平行平面相交，交线平行 D.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与 另一个相交 2.下列命题中不正确的是( ) A.平面，则平面α内任一条直线平行于平面β B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平 面，那么这两个平面平行 C.一条直线l与平面α，β都平行α∥β D.分别在两个平行于平面内的两条直线只能是平行 直线或异面直线
重庆二外
Verakin High School of Chongqing