2011高等数学基本概念整理
11高数第十一章
将薄片分割成若干小块， y 取典型小块，将其近似
(i ,i )
看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量
i
o
n
x
M lim 0
(i ,i ) i .
i 1
一、二重积分的概念
定义 设 f ( x, y) 是有界闭区域D 上的有界 函
数，将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 1 ，
2 , ， n ，其中 i 表示第i 个小闭区域，
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
(i ,i ) i.
积被 积 分积 分 区函 变 域数 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把 D分成一些小区域，这些小区域中除去靠D的边界 的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，
z f (x, y)
A(x0 )
y 2(x)
x
b
x0 a
得
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy. y 1(x)
D
a
1( x)
如果积分区域为： c y d , 1( y) x 2( y).
［Y－型］
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
也 表 示 它 的 面 积 ， 在 每 个 i 上 任 取 一 点
(i ,i )，
作乘积 f (i ,i ) i ，
(i 1,2,, n)，
n
并作和 f (i ,i ) i ，
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
高等数学基本知识点大全
高等数学基本知识点大全一、导数和微分在高等数学中，导数和微分是重要的基本概念。
导数描述了函数在某一点的变化率，可以帮助我们求解函数的最值、刻画曲线形状等问题。
微分则是导数的一种运算形式，表示函数在给定点附近的局部线性逼近。
1. 导数的定义和性质：- 导数定义：函数f(x)在点x=a处的导数定义为f'(a) =lim┬(h→0)〖(f(a+h)-f(a))/h〗。
- 导数的几何意义：导数表示曲线在某一点的切线斜率。
- 导数的性质：求导法则包括常数法则、幂函数法则、指数函数和对数函数法则等。
2. 微分的定义和性质：- 微分的定义：设y=f(x)为定义在区间I上的函数，若存在常数dy 使得Δy=f'(x)Δx+dy，其中Δx是x的增量，则称dy为函数f(x)在区间I 上的微分。
- 微分的性质：微分是线性近似，具有微分的小量运算法则。
3. 一阶导数和高阶导数：- 一阶导数：如果函数f(x)在点x处的导数存在，则称f(x)在该点可导，其导数为一阶导数，记作f'(x)或dy/dx。
- 高阶导数：若函数f(x)的导数f'(x)也存在导数，则称导数f'(x)为函数f(x)的二阶导数，记作f''(x)或d²y/dx²。
二、积分和定积分积分和定积分是数学中的重要工具，可以用来求解曲线下的面积、求解定量累计、求解方程等问题。
它们是导数的逆运算。
1. 定积分的定义和性质：- 定积分的定义：设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义，则称函数f(x)在区间[a,b]上的积分为定积分，记作∫_a^b▒f(x)dx。
- 定积分的性质：定积分具有线性性、加法性、估值性等。
2. 积分基本公式和换元积分法：- 积分基本公式：包括常数乘法法则、分步积分法则和换元积分法则等。
- 换元积分法：利用换元积分法可以将一些复杂的积分问题转化为简单的积分形式。
3. 不定积分和定积分的关系：- 不定积分：函数F(x)是f(x)的一个原函数，即F'(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为常数。
高数基础知识的简明总结与归纳
高数基础知识的简明总结与归纳
高数，作为数学的一个分支，是许多学科的基础。
本文将简要概述和总结高数中的一些基本概念和定理，以帮助读者更好地理解和掌握这一学科。
一、极限论
极限论是高等数学的基础，它涉及到函数的变化趋势和无穷小量的概念。
极限的定义是：对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当x满足|x-a|<δ时，|f(x)-A|<ε成立，其中a是x的某一取值，A是f(x)在a处的极限。
二、导数与微分
导数是函数在某一点的切线的斜率，表示函数在该点的变化率。
微分则是函数值变化的近似值。
导数在几何上可以表示曲线在某一点处的切线，也可以用于求解函数的极值。
微分法则提供了计算近似值的方法，例如计算函数的增减性、极值等。
三、积分学
积分学包括不定积分和定积分。
不定积分是求函数的原函数的过程，而定积分则是计算曲线与x轴所夹的面积。
定积分的应用非常广泛，例如计算物体的重心、求解变速直线运动的位移等。
四、多元函数微积分
多元函数微积分是高数的又一重要分支，它涉及到多个变量的函数及其极限、连续、可微、可积等概念。
其中，方向导数和梯度表示
函数在多维空间中的变化率，而多元函数的积分则涉及到重积分、曲线积分和曲面积分等。
五、无穷级数与幂级数
无穷级数是无穷多个数相加的结果，它可以用来表示数学中的一些公式和定理。
幂级数是无穷级数的一种特殊形式，它可以用来近似表示一些复杂的函数。
幂级数的收敛性和函数性质是研究幂级数的重要内容。
高等数学的基本概念解析
高等数学的基本概念解析引言：高等数学作为一门重要的学科，是大学教育中不可或缺的一部分。
它是数学的一门分支，通过对数学基本概念的解析，帮助学生建立起数学思维的框架，为后续学习打下坚实的基础。
本文将对高等数学的基本概念进行解析，从数集、函数、极限、导数、积分等多个方面进行探讨。
一、数集的基本概念数集是高等数学中最基本的概念之一，它是由一些具有共同特征的数所组成的集合。
数集的分类包括自然数集、整数集、有理数集、实数集和复数集等。
我们将详细解析每个数集的特点和性质，并介绍它们在实际问题中的应用。
二、函数的基本概念函数是高等数学中另一个重要的概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。
我们将从函数的定义、性质和图像等方面进行解析，探讨函数在数学和实际问题中的应用。
此外，我们还将介绍一些常见的函数类型，如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
三、极限的基本概念极限是高等数学中的核心概念之一，它描述了函数在某一点或无穷远处的趋势。
我们将从极限的定义、性质和计算方法等方面进行解析，帮助学生理解极限的本质和意义。
此外，我们还将介绍一些常见的极限类型，如无穷大极限、无穷小极限和函数极限等。
四、导数的基本概念导数是高等数学中另一个重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
我们将从导数的定义、性质和计算方法等方面进行解析，帮助学生理解导数的几何和物理意义。
此外，我们还将介绍一些常见的导数类型，如常数函数的导数、幂函数的导数和三角函数的导数等。
五、积分的基本概念积分是高等数学中的另一个核心概念，它描述了函数在一定区间上的累积效应。
我们将从积分的定义、性质和计算方法等方面进行解析，帮助学生理解积分的几何和物理意义。
此外，我们还将介绍一些常见的积分类型，如定积分、不定积分和曲线积分等。
结论：通过对高等数学的基本概念进行深入解析，学生可以建立起数学思维的框架，提高数学分析和问题解决的能力。
数集、函数、极限、导数和积分等概念在数学和实际问题中都有广泛的应用，对于学生的学术和职业发展具有重要意义。
高数基本概念
高数基本概念
高等数学是大学数学的一门重要基础课程，主要涉及微积分、线性代数和概率统计等内容。
以下是高等数学中的一些基本概念：
1. 函数：函数是一种特殊关系，它将一个输入值映射到一个唯一的输出值。
函数通常记作f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。
2. 极限：极限是函数在某一点无穷接近于某个值的情况。
如果函数f(x)在x=a处的极限存在，就称函数在x=a处极限为L。
3. 导数：导数描述了函数在某一点的瞬时变化率。
一个函数f(x)在某一点x=a处的导数可以通过极限求得，表示为f'(a)或者dy/dx。
4. 积分：积分是导数的逆运算，用于求函数在某个区间内的累积量。
定积分表示函数f(x)在区间[a, b]上的面积，通常表示为∫f(x)dx。
5. 微分方程：微分方程是涉及未知函数及其导数的方程。
它描述了函数及其导数之间的关系，可以用于描述很多自然和物理现象。
6. 线性代数：线性代数研究向量空间、线性变换、矩阵等。
矩阵是一个二维数组，表示了一系列数的排列。
7. 概率统计：概率统计研究随机事件的概率及其分布的性质。
概率是描述事件发生可能性的数值，统计则是通过对观测数据的收集和分析，推断出总体的特征。
高等数学的基本概念是学习其他数学学科的基础，对于理解数学知识的运算规律和解决实际问题非常重要。
高等数学基本知识点大全
高等数学基础知识大全一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A 、B 、C 、……表示集合，用小写拉丁字母a 、b 、c ……表示集合中的元素。
如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作：a ∈A ，否则就说a 不属于A ，记作：a A 。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N +或N +。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z 。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q 。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R 。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说A 、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作AB （或B A ）。
⑵相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A ＝B 。
⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A ，我们称集合A 是集合B 的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作 ，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
即AA②、对于集合A 、B 、C ，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
大学数学高等数学的基本概念与定理
大学数学高等数学的基本概念与定理数学作为一门基础学科，对于大学生而言，高等数学是他们学习数学的起点。
在大学的高等数学课程中，基本概念与定理是学生们必须掌握的内容。
本文将重点介绍大学数学高等数学的基本概念与定理。
第一章数列与极限数列是数学中一系列按照一定规律排列的数的集合。
数列中的每一个数称为数列的项，用一般的小写字母an表示。
在数学中，数列是研究极限的基础。
极限概念对于分析数列的性质和行为非常重要。
1.1 数列的定义与性质数列的定义：如果对于每一个整数n，都有唯一确定的一个实数an与之对应，那么称a1, a2, a3, ...为一个数列，简记为{an}。
数列的性质：1）数列的有界性：数列有界的意义是存在两个实数M和N，使得对于每一个正整数n，都有M≤an≤N。
2）数列的单调性：数列单调有两种情况，即递增和递减。
如果对于每一个正整数n，an≤an+1，则称数列递增；如果an≥an+1，则称数列递减。
3）数列的有界单调性：数列既有界又递增或递减。
1.2 数列的极限极限是数列中最重要的概念之一，它描述了数列中的项随着自变量趋于无穷大或无穷小时的行为。
数列收敛与发散的定义：1）数列的收敛性：如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε都成立，那么称数列{an}收敛于a，记作lim（n→∞）an=a。
如果数列不收敛，则称数列发散。
2）数列的无穷大：对于任意给定的正数M，总存在正整数N，使得当n>N时，an>M都成立。
如果数列有这样的性质，则称数列为无穷大数列。
第二章函数与极限函数是数学中研究量与量之间对应关系的一种映射关系。
在数学中，函数的极限是研究函数性质、行为和趋势的重要概念。
2.1 函数的基本概念函数的定义与性质：1）函数的定义：设A、B为非空数集，若对于每一个x∈A，都有唯一确定的确定用y表示的实数与之对应，那么就称y是x的函数，记作y=f(x)，称f(x)为从A到B的一个函数。
高数知识点
高数知识点高数知识点是指高等数学的基本概念、定理和方法，它们具有重要的实践价值，为后续学习提供了重要的基础。
一、函数的概念函数是一类由定义域和值域决定的关系，它是将定义域上的元素映射到值域上的元素，从而形成一种对应关系，即y=f（x）。
其中，x为定义域，y为值域，f（x）为函数式，也就是函数的表达式。
二、方程的概念方程是一种数学表达式，表示不定数及其之间的某种关系。
一般情况下，方程的形式为ax+b=0，其中a和b为常数，x为未知数，表达的意思是“a×未知数+b=0”。
三、微积分的概念微积分是一类数学的基本概念，它可以用来研究连续、可微的函数的变化情况。
它主要包括微分学和积分学两部分，分别研究函数作图时对应点的斜率及函数在一定区间内的积分。
四、空间几何的概念空间几何是一类数学概念，它包括平面几何和立体几何，它研究的是空间中的点、直线、平面和立体的特征和性质，以及它们之间的关系，如直线的斜率、曲线的曲率等。
五、概率论的概念概率论是一类数学的概念，它研究的是随机事件的发生的概率，它的发展主要依赖于实验手段，使人们能够通过观察实验结果来估计某一事件发生的概率。
六、线性代数的概念线性代数是一类数学概念，它是研究线性方程组和线性变换的数学分支，它可以用来解决矩阵的运算、向量的运算等问题，线性代数中还提出了多种矩阵的定义，如正交矩阵、对称矩阵等。
七、复变函数的概念复变函数是一类数学概念，它是研究复数变量的函数的数学分支，它用来研究复数变量x,y,z的变化规律，比如其中的实部函数Re(z)和虚部函数Im(z)，以及复数z的模函数|z|等。
八、极限的概念极限是一类数学概念，它是指数学中的某种特殊的情况，当某个变量的值趋近于某个特定的值时，就称为这个变量的极限。
极限的概念是高等数学中的重要概念，可以用来分析函数在某一点的特性，从而得出函数的性质和特征。
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命题人或命题小组负责人签名： 系（部）主任签名： 分院领导签名：§1.1 函数一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性) 1.0 () (0)()2() ()aaaf x a f x dx f x dx f x ->⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰当为奇函数当为偶函数口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。
2. 在(a,b )内，若()0f x '>，则()f x 单调增加 若()0f x '<，则()f x 单调减少 口诀(2)：单调增加与减少；先算导数正与负 例1求151[()ln(.x x I x x e e x dx --=+-⎰解 1()xxf x e e -=-是奇函数，∵112()(),()ln(xxf x e e f x f x x --=-=-=是奇函数，∵222()ln(f x x -=-=2ln1ln(()x f x =-+=-因此()ln(xxx e e x --是奇函数。
于是116612027I x dx x dx -=+==⎰⎰。
例2 设()()F x f x '=，则下列结论正确的是(A)若()f x 为奇函数，则()F x 为偶函数。
(B)若()f x 为偶函数，则()F x 为奇函数。
(C)若()f x 为周期函数，则()F x 为周期函数。
(D)若()f x 为单调函数，则()F x 为单调函数。
解 (B)不成立，反例32(),()13xf x x F x ==+ (C)不成立，反例()cos 1,()sin f x x F x x x =+=+(D)不成立，反例2()2,()(,)f x x F x x ==-∞+∞在内(A)成立。
证明 0()(0)(),xF x F f t d t f=+⎰为奇函数， 00()(0)()(0)()()(0)()()xxxF x F f t dt F f u d u F f u du F x --=+=+--=+=⎰⎰⎰所以，()F x 为偶函数。
例3 设()f x ，()g x 是恒大于零的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<，则当a x b <<时，下列结论成立的是(A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b > (D)()()()()f x g x f a g a >解 ∵2()1[()()()()]0()()f x f x g x f x g x g x g x '⎡⎤''=-<⎢⎥⎣⎦，∴()()f x g x 单调减少 于是x <b ，则有()()()()f x f bg x g b >，故(A)成立。
二、有关复合函数1. 已知()f x ，()g x 求[()]f g x2. 已知[()]f g x 和()g x ，求()f x 例1、已知12() ()() f x x a f x f x x a ≤⎧=⎨>⎩和12() ()() g x x bg x g x x b≤⎧=⎨>⎩求[()]f g x解：111122211222[()] ()[()]()[()][()] ()[()] ()f g x x b g x a f g x x b g x a f g x f g x x b g x a f g x x b g x a≤≤⎧⎪>≤⎪=⎨≤>⎪⎪>>⎩当，当，当，当，命题人或命题小组负责人签名： 系（部）主任签名： 分院领导签名：例2、已知()x x f e xe -'=，且(1)0f =，求()f x 解：令xe t =，则ln x t =，因此ln ()()xtf e f t t''==于是，1ln ()(1)xt f x f dt t-=⎰2121ln 21ln 2xt x == §1.2 极限一、有关无穷小量1.有界变量乘无穷小(量)仍是无穷小(量)；2.等价无穷小代换；3.无穷小的阶的比较。
例1 求xx x x 30sin sin lim -→解 原式613c os 1lim sin lim 2030=-=-=→→x x x x x x x例2 设当x →0时(1-cos x )ln(1+x 2)是比x sin x n 高阶的无穷小，而x sin x n是比()12-x e高阶的无穷小，则正整 数n 等于(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解： ()4221)1ln(cos 1x x x →+- 211sin 2xe x x x x n n →-→+由题意可知，4>n+1>2， ∴n+1=3, n=2 选(B)例3 设dt t x dt ttx txx 150sin 0)1()(,sin )(⎰⎰+==βα，则当x →0时， )(x α是)(x β的 ( )(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C)同阶但不等价的无穷小 (D) 等价无穷小解 ()()()()exx x xx x x x xx x x 5cos )sin 1(555sin lim ''lim lim sin 1000=⋅+⋅==→→→βαβα 选(C)二、有关两个准则准则1 单调有界数列极限一定存在。
准则2 夹逼定理。
例1 设)3(,3011n n n x x x x -=<<+，证明n x x 0lim →存在，并求其值。
解 ∵我232)3()3(0,03,01111211=-+≤-=<∴>->x x x x x x x ， (几何平均值≤算术平均值)用数学归纳法可知n>1时，230≤<n x ，∴ }{n x 有界。
又当n>1时， )3()3(1n n n n n n n n x x x x x x x x--=--=-+，03)23(≥+--=nn n n x x x x ，命题人或命题小组负责人签名： 系（部）主任签名： 分院领导签名：n n x x ≥∴+1，则{}n x 单调增加。
根据准则1，l x n n =∞→lim 存在把)3(1n n n x x x -=+两边取极限，得0,3,)3(22=-=-=l l l l l l l (舍去) 得 23=l ，∴23lim =∞→n n x 。
口诀(3)：递推数列求极限；单调有界要先证；两边极限一起上；方程之中把值找。
例2 求212654321(lim nn n -⋅⋅⋅⋅⋅∞→。
解 令1225432),212654321(+⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅⋅⋅=n n y n n x n n ，则0<x n<y n，于是12102+=<<n y x x n n n ，由夹逼定理可知0lim 2=∞→nx x ，于是原极限为0。
三、有关两个重要公式公式1、1sin lim 0=→xxx 公式2、e nnn =+∞→)11(lim e uu u =+∞→11(lim e v vv =+→1)1(lim例1 求nn xx x 2cos 4cos 2cos lim ⋅⋅⋅∞→。
解 当x =0时，原式=1当x ≠0时，原式nnnn nnx xx x x 2sin 22cos 4cos 2cos 2sin 2lim ⋅⋅⋅=∞→=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅--+∞→nnn n n n x xx x x 2sin 22sin 2cos 4cos 2cos 2lim 111 = x x x xx x x x nn n n n n sin 2sin 2sin lim 2sin 2sin lim =⋅=∞→∞→ )12sin 2lim (=∞→nn n xx 例2设)(x f 在),(+∞-∞内可导，且ex f x =∞→)('l i m ，)]1()([lim (lim --=-+∞→∞→x f x f c x c x x xx ，求c 的值。
解:c c cx xx x x e e e xc x c c x c x 21()1(lim )(lim ==-+=-+-∞→∞→ 则拉格朗日中值定理，有)(')]1()[(')1()(ξξf x x f x f x f =--=--其中ξ介于(x -1)与x 之间，那么命题人或命题小组负责人签名： 系（部）主任签名： 分院领导签名：e f x f x f x x ==--∞→∞→∞→)('lim )]1()([lim )(ξξ于是，e 2c=e,2c=1，则21=c口诀(4)：函数之差化导数；拉氏定理显神通。
四、用洛必达法则求极限洛必达法则主要处理七种待定型极限：“”型，“∞∞”型，“0·∞”型，“∞-∞”型，“1∞”型，“00”型和“∞0”型口诀(5)：待定极限七类型，分层处理洛必达。
第一层次：直接用洛必达法则 “”型 用洛必达法则Ⅰ “∞∞”型 用洛必达法则Ⅱ 第二层次：间接用洛必达法则“0·∞”型 例100ln lim ln lim -→→++=x x x x x x 变为“∞∞”型 “∞-∞”型 例)1()1(lim )111(lim 00---=--→→x x x x x e x x e e x 变为“00”型第三层次：间接再间接用洛必达法则“1∞”型，“00”型，“∞0”型均为)()(lim *x g x x f →形式而)()]([x g x f称为冪指函数，比较复杂。
口诀(6)：冪指函数最复杂；指数、对数一起上。
)(ln )()](ln[)()()]([x f x g x f x g eex f x g ==,而上面三种类型化为)(ln )(lim *x f x g x e→,这时)(ln )(lim *x f x g x →一定是“0·∞”型 再用第二层次的方法处理即可例xx x x x xx e e x xln 0ln 0lim lim lim +++→→→== =10ln limln lim 100===-+→+→e eex x xx x x例1 求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→。
解 原式=xx xx x x 222220sin cos sin lim ⋅-→=42202sin 41lim x xx x -→=3042cos 2sin 442lim x xx x x -→ =3024sin 41lim x x x x -→=2064cos 1lim x x x -→ =xx x 124sin 4lim 0→ =34 例2 设函数)(x f 连续，且0)0(≠f ，求⎰⎰--→x x x dtt x f x dt t f t x 0)()()(lim解 原式=⎰⎰⎰-→xxx x duu f x dtt tf dt t f x 0)()()(lim(分母令u t x =-)命题人或命题小组负责人签名： 系（部）主任签名： 分院领导签名：=)()()()()(limx xf du u f x xf x xf dt t f xxx +-+⎰⎰→ (用积分中值定理)=)()()(lim )0(0x xf xf xf x +→→ξξξ(ξ在0和x 之间)=21)0()0()0(=+f f f .口诀(7)：变限积分是函数；遇到之后先求导。