2015届高考数学一轮复习质量检测：集合、常用逻辑用语与函数、导数及应用(北师大版)

2015届高考数学一轮复习质量检测：集合、常用逻辑用语与函数、导数及应用时间：90分钟分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(2013·陕西卷)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁R M为()A．[－1,1] B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：从函数定义域切入，∵1－x2≥0，∴－1≤x≤1，依据补集的运算知所求集合为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D.答案：D2．(2013·福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆BD⇒/a＝3，所以“a ＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．答案：A3．(2013·山东烟台诊断)下列说法错误的是()A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”，则綈p：“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”解析：若p∧q为假命题，则p、q中至少有一个是假命题，故选C.答案：C解析：由定积分的几何意义，结合三个函数的图象，易知a>b>c.答案：B5．若函数f(x)＝ax2＋(a2－1)x－3a为偶函数，其定义域为[4a＋2，a2＋1]，则f(x)的最小值为()A．3 B．0 C．2 D．－1解析：由f(x)为偶函数知a2－1＝0，即a＝±1，又其定义域需关于原点对称，即4a＋2＋a2＋1＝0必有a＝－1.这时f(x)＝－x2＋3，其最小值为f(－2)＝f(2)＝－1.故选D.答案：D6．已知a是函数f(x)＝2x－log1x的零点，若0<x0<a，则f(x0)2的值满足()A．f(x0)＝0 B．f(x0)>0C．f(x0)<0 D．f(x0)的符号不能确定解析：答案：C7．(2014·河北名校名师俱乐部二调)曲线y ＝12x 2＋x 在点(2,4)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A ．1B ．2C .43D .23解析：y ′＝x ＋1，所以切线在点(2,4)处的斜率为3，切线方程为y －4＝3(x －2)，令x ＝0，得y ＝－2，令y ＝0，得x ＝23，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×|－2|×23＝23.答案：D8．(2013·青岛市统一质检)已知函数f(x)对定义域R 内的任意x 都有f (x )＝f (4－x )，且当x ≠2时其导函数f ′(x )满足xf ′(x )>2f ′(x )，若2<a <4则( )A ．f (2a )<f (3)<f (log 2a )B ．f (3)<f (log 2a )<f (2a )C ．f (log 2a )<f (3)<f (2a )D ．f (log 2a )<f (2a )<f (3)解析：由f (x )＝f (4－x )知函数f (x )关于x ＝2对称，x ≠2时，有(x －2)f ′(x )>0，∴x >2时f ′(x )>0，x <2时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，2)上单调减，在(2，＋∞)上单调增，2<a <4时4<2a <16，k log 2a <2，∴log 2a <2<2a ，知f (log 2a )<f (3)<f (2a )，选C.答案：C9．(2013·南平市质检)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪e x ＋a e x ，(a ∈R ，e 是自然对数的底数)，在区间[0,1]上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[－1,0]C ．[－1,1]D ．(－∞，－e 2)∪[e 2，＋∞)解析：当a ＝1时，f (x )＝e x＋1e xf ′(x )＝e x－1e x ＝e x－1e x 在[0,1]上f ′(x )≥0，所以f (x )在区间[0,1]上单调递增．a ＝－1时f (x )＝e x －1e x 很显然在区间[0,1]上单调递增，故选C. 答案：C10．(2014·河北名校名师俱乐部二调)下图中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )A.13 B ．－13 C.73 D ．－13或53 解析：∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)， ∴导函数f ′(x )的图象开口向上． 又∵a ≠0，∴其图象必为第(3)个图．由图象特征知f ′(0)＝0，且－a >0，∴a ＝－1， ∴f (x )＝13x 3－x 2＋1， 故f (－1)＝－13－1＋1＝－13. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．(2013·重庆市九校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >02x ，x ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝－2，f (－2)＝14，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝14. 答案：14 12．f (x )＝xn 2－3n(n ∈Z )是偶函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上是减函数，则n ＝________.解析：因为f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n 2－3n <0，即0<n <3，又因为f (x )是偶函数，所以n 2－3n 是偶数，只有n ＝1或2满足条件．答案：1或213．(2013·山东菏泽模拟)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f(－x)d x 的值等于________．解析：由于f(x)＝x m ＋ax 的导函数f ′(x)＝2x ＋1，所以f(x)＝x 2＋x ，于是⎠⎛12f(－x)d x ＝⎠⎛12(x 2－x)d x ＝(13x 3－12x 2)⎪⎪⎪21＝56. 答案：5614．(2014·安徽池州一中高三月考)设二次函数g(x)的图象在点(m ，g(m))处的切线方程为y ＝h(x)，若f(x)＝g(x)－h(x)，则下面说法正确的有________(填出所有正确结论的序号)．①存在相异的实数x 1，x 2，使f(x 1)＝f(x 2)成立； ②f(x)在x ＝m 处取得极小值； ③f(x)在x ＝m 处取得极大值； ④不等式|f(x)|<12 013的解集非空；⑤直线x ＝m 一定为函数f(x)图象的对称轴． 解析：特例法：不妨设g(x)＝x 2，m ＝1.∴g(x)在点(1,1)处的切线方程为h(x)＝2x －1，∴f(x)＝x 2－2x ＋1，可以看出①②④⑤都成立．对比②③⑤再举例g(x)＝－x 2，在点(1，－1)处的切线方程为h(x)＝－2x ＋1.f(x)＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2＋1，故②不对．∴①④⑤正确． 答案：①④⑤三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(满分12分)已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求a 的取值范围．解：由2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a)(x ＋a)＝0，∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p ∨q ”为真命题时，|a|≤2. ∵命题“p ∨q ”为假命题，∴a>2或a<－2. 即a 的取值范围为{a|a>2，或a<－2}．16．(满分12分)2013年8月31日第十二届全运会在辽宁沈阳开幕，历时13天．某小商品公司以此为契机，开发了一种纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量得到提高，市场分析的结果表明：如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2，记改进工艺后，该公司销售纪念品的月平均利润是y 元．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使该公司销售该纪念品的月平均利润最大．解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x 2)件，则月平均利润为y ＝a(1－x 2)·[20(1＋x)－15]元，所以y 与x 的函数关系式为y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)． (2)由y ′＝5a(4－2x －12x 2)＝0，得x 1＝12，x 2＝－23(舍去)，所以当0<x<12时，y ′>0；当12<x<1时，y ′<0.所以函数y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)在x ＝12处取得最大值．故改进工艺后，纪念品的销售价为20×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝30元时，该公司销售该纪念品的月平均利润最大．17．(满分12分)(2013·贵州省六校联盟第一次联考)已知函数f(x)＝a ＋b ln xx ＋1在点(1，f(1))处的切线方程为x ＋y ＝2.(1)求a ，b 的值；(2)对函数f(x)定义域内的任一个实数x ，f(x)<mx 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f(x)＝a ＋b ln xx ＋1⇒f ′(x)＝bx (x ＋1)－(a ＋b ln x )(x ＋1)2而点(1，f(1))在直线x ＋y ＝2上⇒f(1)＝1，又直线x ＋y ＝2的斜率为－1⇒f ′(1)＝－1故有⎩⎨⎧a 2＝12b －a4＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－1 (2)由(1)得f(x)＝2－ln xx ＋1(x>0)由xf(x)<m ⇒2x －x ln xx ＋1<m令g(x)＝2x －x ln xx ＋1⇒g ′(x)＝(1－ln x )(x ＋1)－(2x －x ln x )(x ＋1)2＝1－x －ln x(x ＋1)2令h(x)＝1－x －ln x ⇒h ′(x)＝－1－1x <0(x>0)，故h(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，故当0<x<1时，h(x)>h(1)＝0，当x>1时，h(x)<h(1)＝0 从而当0<x<1时，g ′(x)>0，当x>1时，g ′(x)<0⇒g(x)在(0,1)是增函数，在(1，＋∞)是减函数，故g(x)max ＝g(1)＝1要使2x －x ln x x ＋1<m 成立，只需m>1故m 的取值范围是(1，＋∞)．18．(满分14分)(2014·辽宁沈阳二中月考)已知函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e ]上的最小值为－2，求a 的取值范围；(3)若对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1<x 2，且f(x 1)＋2x 1<f(x 2)＋2x 2恒成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f(x)＝x 2－3x ＋ln x ，f(x)＝2x －3＋1x . 因为f ′(1)＝0，f(1)＝－2. 所以切线方程是y ＝－2.(2)函数f(x)＝2ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)． 当a>0时，f ′(x)＝2ax －(a ＋2)＋1x ＝2ax 2－(a ＋2)x －1x(x>0)令f ′(x)＝0，即f ′(x)＝2ax 2－(a ＋2)x ＋1x ＝(2x －1)(ax －1)x ＝0， 所以x ＝12或x ＝1a .当0<1a ≤1，即a ≥1时，f(x)在[1，e ]上单调递增，所以f(x)在[1，e ]上的最小值是f(1)＝－2；当1<1a <e 时，f(x)在[1，e ]上的最小值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f(1)＝－2，不合题意；当1a ≥e 时，f(x)在(1，e )上单调递减，所以f(x)在[1，e ]上的最小值是f(e )<f(1)＝－2，不合题意． ∴综上a ≥1.(3)设g(x)＝f(x)＋2x ，则g(x)＝ax 2－ax ＋ln x ， 只要g(x)在(0，＋∞)上单调递增即可．而g ′(x)＝2ax －a ＋1x ＝2ax 2－ax ＋1x当a ＝0时，g ′(x)＝1x >0，此时g(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≠0时，只需g ′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，因为x ∈(0，＋∞)，只要2ax 2－ax ＋1≥0，则需要a>0，对于函数y ＝2ax 2－ax ＋1，过定点(0,1)，对称轴x ＝14>0，只需Δ＝a 2－8a ≤0，即0<a ≤8.综上0≤a ≤8.第11 页共11 页。