一元二次方程的解法——公式法doc (117248B)
第3讲 一元二次方程的解法-公式法
第3讲 一元二次方程的解法(三)----公式法知识要点梳理1.一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的求根公式：利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.2.根的判别式：ac b 42-=∆① 当b 2－4ac ＞0时，方程有2个不相等的实数根；② 当b 2－4ac ＝0时，方程有2个相等的实数根x 1＝x 2＝ab 2- ③ 当b 2－4ac ＜0时，方程无实数根.经典例题例1.用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0).因为a ≠0，方程两边都除以a ，得_____________________＝0. 移项，得 x 2＋ab x ＝________， 配方，得 x 2＋a b x ＋______＝______－ac , 即 (____________) 2＝___________因为a ≠0，所以4 a 2＞0，当b 2－4 ac ≥0时，直接开平方，得_____________________________.所以x ＝_______________________例2.不解方程，判断方程根的情况。
（1）x 2＋2x －8＝0； （2）3x 2＝4x －1；x ＝aac b b 242-±-( b 2－4 ac ≥0)（3）x（3x－2）－6x2-2＝0；（4）x2＋(3＋1)x＝0；（5）x（x＋8）＝-16；（6）（x＋2）（x－5）＝1；例2. m取什么值时，关于x的方程x2-2x＋m－2＝0（1）有两个相等的实数根？（2）没有实数根?例3. 说明不论ｋ取何值，关于x的方程x2＋(2ｋ＋１)x＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根.例4. 应用公式法解方程：(1)x2－6x＋1＝0； (2)2x2－x＝6； (3)4x2－3x－1＝x－2；(4)3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1). （5）x2+16x-13=0（6）（x＋1）2＝2（x＋1）.经典练习:1、方程x 2-4x ＋4＝0的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；C.有一个实数根；D.没有实数根. 2、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．x 2＋1＝0 B. x 2+x-1＝0 C. x 2+2x ＋3＝0 D. 4x 2-4x ＋1＝03、若关于x 的方程x 2-x ＋k ＝0没有实数根，则（ ）A. k ＜41B. k ＞41C. k ≤41D. k ≥41 4、关于x 的一元二次方程x 2-2x ＋2k ＝0有实数根，则k 的范围是（ ）A. k ＜21B. k ＞21C. k ≤21D. k ≥21 5．一元二次方程x 2-2x-m=0有两个相等的实数根，则m=（ ）． A ．0 B ．1 C ．-1 D ．±16．用公式法解方程4y 2=12y+3，得到（ ）A ．36-±B ．36±C ．323±D ．323-± 7．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且方程a （1+x 2）+2bx-c （1-x 2）=0的两根相等，则△ABC 为（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．任意三角形8．不解方程，判断所给方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．关于x 的一元二次方程x 2+2x+c=0的两根为__________________．（c ≤1）10．用公式法解方程x 2= -8x-15，其中b 2-4ac=___________，x 1=_________，x 2=___________．11．已知一个矩形的长比宽多2cm ，其面积为8cm 2，则此长方形的周长为________．12．当x=_______时，代数式13x +与2214x x +-的值互为相反数． 13．若方程042=+-a x x 的两根之差为0，则a 的值为______________．14．应用公式法解下列方程:(1) 2 x 2＋x －6＝0； (2) x 2＋4x ＝2；(3) 5x 2－4x －12＝0； (4) 4x 2＋4x ＋10＝1－8x.15.小明在一块长18m 宽14m 的空地上为班级建造一个花园，所建花园占空地面积的2116，图中阴影部分表示道路，请你求出图中的x ．16．要建一个面积为150m 2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一堵墙，墙长为am ，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m ．（1）求鸡场的长与宽各是多少？ （2）题中墙的长度a 对解题有什么作用．课后巩固:1．解下列方程；（1）2x2-3x-5=0 （2）2t2+3=7t(3) (x+5)(x-2)＝8；（4）x22x+1=0（5）0.4x2-0.8x=1 （6）23y2+13y-2=02.ｋ取什么值时，关于x的方程4x2-(ｋ＋2)x＋ｋ－１＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.3、某农场要建一个矩形的养鸭场，养鸭场的一边靠墙，墙长25m，另三边用篱笆围成，篱笆长为40m. （1）养鸭场的面积能达到150m2吗？（2）能达到200 m2吗？（3）能达到250m2吗？如果能，要怎么围？。
元二次方程公式法
一元二次方程公式法
一元二次方程的公式法解法是指通过公式来求解一元二次方程的解。
一元二次方程一般形式为ax2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
解一元二次方程的公式如下：
x = [-b ±sqrt(b2- 4ac)] / 2a
其中，±表示取两个解，一个为正数，一个为负数。
sqrt 表示求平方根。
具体步骤如下：
1. 将常数项移到等号右侧，得到ax2 + bx = -c。
2. 将系数化为正数，并将右侧的-c移到左侧，得到ax2 + bx + c = 0。
3. 将系数除以2a，得到x = [-b ±sqrt(b2 - 4ac)] / 2a。
4. 化简公式，得到两个解x1、x2，即x1 = [-b + sqrt(b2 - 4ac)] / 2a，x2 = [-b - sqrt(b2- 4ac)] / 2a。
需要注意的是，在求解一元二次方程时，需要先判断方程的判别式b2 -4ac 的值，如果判别式大于等于0，则方程有两个实数根；如果判别式小于0，则方程有两个共轭复数根。
一元二次方程公式法的解法
一元二次方程公式法的解法一元二次方程公式法的解法，那可是初中数学里相当重要的一部分呢！咱们先来说说啥是一元二次方程。
就像我之前教过的一个学生小明，他去买文具，一支笔 5 块钱，一个本子 3 块钱。
他买了 x 支笔和 y 个本子，一共花了 25 块钱。
这就可以列出一个方程 5x + 3y = 25 。
但这不是一元二次方程哦，一元二次方程得是像 ax² + bx + c = 0 这样的形式，其中 a、b、c 是常数，而且 a 不能等于 0 。
那为啥要学一元二次方程公式法的解法呢？比如说，有个花园，面积是 50 平方米，长比宽多 5 米，要是设宽是 x 米，那长就是 x + 5 米，就能列出方程 x(x + 5) = 50 ，整理一下就是 x² + 5x - 50 = 0 。
这时候，咱们就得用公式法来求出花园的宽 x 到底是多少。
一元二次方程公式法的核心就是那个求根公式：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。
这里面的“±”可有意思啦，它意味着有两个根。
咱们来实际操作一下，比如方程 x² + 2x - 3 = 0 ，这里 a = 1 ，b = 2 ，c = -3 。
先算一下判别式Δ = b² - 4ac ，也就是 2² - 4×1×(-3) = 16 。
因为Δ 大于 0 ，所以方程有两个不同的实数根。
把数值代入求根公式，x = [-2 ± √16] / （2×1），算出来就是 x₁ = 1 ，x₂ = -3 。
再举个例子，方程 2x² - 4x + 2 = 0 ，这里 a = 2 ，b = -4 ，c = 2 ，Δ= (-4)² - 4×2×2 = 0 ，所以方程有两个相同的实数根，x = [-(-4) ± √0] /（2×2），算出来 x₁ = x₂ = 1 。
一元二次方程的解法公式法
一元二次方程的解法公式法
一元二次方程解法公式法：
（一）定义：
一元二次方程是由一个方程组成的形式，其中包含一个独立的变量以
及平方项和恒等于零的常数。
（二）解法：
1. 首先，我们要用一元二次方程解法公式法来求解一元二次方程问题。
公式为：
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
2. 其次，我们把方程中的变量代入到公式中。
一般来说，方程的形式为：$$ax^2+bx+c=0$$
3. 最后，根据公式，可以得出$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
（三）特殊情况：
1. 一元二次方程的实数根有可能为两个相等的数，此时，解的形式会
变成$$x=\frac{-b}{2a}$$
2. 当$b^2-4ac=0$时，表示方程只有一个实数根，这时，解的形式可以
写作$$x=\frac{-b}{2a}$$
（四）应用：
1. 一元二次方程解法公式法可以用来求解各类一元或多元函数的极值。
例如，可以应用这一方法求解二次曲线的极值点、凸函数的极值点等。
2. 同时，一元二次方程解法公式法也可用于求解数学建模问题，包括
求解市场博弈问题、求解应用各类运筹学问题等等。
（五）益处：
1. 一元二次方程解法公式法比较简单明晰，容易理解，易于使用。
2. 可以让人们轻松地解决一元或多元函数求极值问题，以及市场博弈
问题和应用各类运筹学技术来解决复杂的数学问题。
3. 这种方法可以将复杂的数学问题转换为简单的方程，从而节省时间，提高工作效率。
解一元二次方程的方法
解一元二次方程的方法
一元二次方程是高中数学中的重要内容，解一元二次方程是我
们学习数学时需要掌握的基本技能。
本文将介绍两种解一元二次方
程的方法，因式分解法和求根公式法。
首先，我们来看因式分解法。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以先利用因式分解的方法将其分解为两个一次因式相乘的形式，即(ax+m)(x+n)=0，然后令ax+m=0和x+n=0，分别求出x的值，即可得到方程的解。
举个例子，对于方程x^2+5x+6=0，我们可以将其分解为
(x+2)(x+3)=0，然后令x+2=0和x+3=0，解得x=-2和x=-3，即方程
的解为x=-2和x=-3。
其次，我们来看求根公式法。
一元二次方程ax^2+bx+c=0的根
可以通过求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求解。
其中，b^2-
4ac被称为判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，
方程没有实根，但有两个共轭复根。
举个例子，对于方程x^2-4x+4=0，我们可以利用求根公式x=(-(-4)±√((-4)^2-414))/(21)，化简后得到x=2，即方程的解为x=2。
综上所述，解一元二次方程的方法包括因式分解法和求根公式法。
通过掌握这两种方法，我们可以轻松解决一元二次方程的问题，提高数学解题的效率和准确性。
希望本文对大家有所帮助，谢谢阅读！。
一元二次方程的解法-公式法
抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
顶点坐标 对称轴
b 2a
,4ac 4a
b2
直线x b 2a
开口方向 增减性ห้องสมุดไป่ตู้
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
最值
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b 2a
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
b b2 4ac x
2a
例 2 解方程： x2 3 2 3 x
解： 化简为一般式：x2 2 3 x 3 0 这里 a 1、 b= - 2 3、 c= 3
49 96 - 47 0
方程没有实数解。
随堂 练习 用公式法解下列方程：
2x2-4x+1=0;
二次函数y= 2x2-4x+1的图像是怎样的？
提示：a=2 b=-4 c=1
基础知识补充
质素：一个只能分解成1与它本身相乘的数 如17只能是1*17，但18可以1*18；2*9；3*6，所以18不是质数
b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0
（- 2 3） x
02
3
3
21
2
即 ： x1 x2 3
b b2 4ac x
2a
例 3 解方程： x 21 3x 6
解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0
一元二次方程的公式法求解
一元二次方程的公式法求解在我们学习数学的旅程中，一元二次方程是一个非常重要的知识点。
而求解一元二次方程的方法有很多，其中公式法是一种通用且有效的方法。
首先，咱们得先弄清楚啥是一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是：ax²＋ bx ＋ c ＝ 0 （a ≠ 0）。
这里的 a、b、c 都是常数，其中 a 被称为二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
那公式法到底是啥呢？其实，公式法就是通过一个固定的公式来求解一元二次方程的根。
这个神奇的公式就是：x ＝b ± √（b² 4ac) ／（2a）。
接下来咱们详细讲讲这个公式怎么用。
第一步，先确认方程是不是一元二次方程的一般形式，如果不是，得先整理成一般形式。
比如说，方程是 2x² 3x ＋ 1 ＝ 0 ，那这里 a ＝2 ，b ＝－3 ，c ＝ 1 。
第二步，把 a、b、c 的值代入公式里。
先算 b² 4ac ，这个被称为判别式，用符号“Δ”表示，即Δ ＝ b² 4ac 。
如果Δ ＞ 0 ，方程有两个不相等的实数根；如果Δ ＝ 0 ，方程有两个相等的实数根；如果Δ ＜ 0 ，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
对于方程 2x² 3x ＋ 1 ＝ 0 ，Δ ＝（－3)² 4×2×1 ＝ 9 8 ＝ 1 ＞ 0 ，所以方程有两个不相等的实数根。
然后把 a、b、Δ 的值代入求根公式，x ＝（－3) ± √1 ／（2×2) ，也就是 x ＝ 3 ± 1 ／ 4 。
所以 x₁＝（3 ＋ 1) ／ 4 ＝ 1 ，x₂＝（3 1) ／ 4 ＝ 1/2 。
咱们再来看个例子，比如方程 x²＋ 2x 3 ＝ 0 ，这里 a ＝ 1 ，b ＝2 ，c ＝－3 。
先算Δ ＝ 2² 4×1×（－3) ＝ 4 ＋ 12 ＝ 16 ＞ 0 ，方程有两个不相等的实数根。
一元二次方程公式法公式
一元二次方程公式法公式
一元二次方程的公式是：x=−b±b2−4ac2a(b2−4ac≥0)。
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax+bx+c=0（a ≠0）。
其中ax叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
一元二次方程的求解方法
1、公式法
在一元二次方程y=ax²+bx+c（a、b、c是常数）中，当△＝b²-4ac＞0时，方程有两个解，根据求根公式x=（－b±√（b²-4ac））／2a即刻求出结果；△＝b²-4ac=0时，方程只有一个解x=-b/2a；△＝b²-4ac＜0时，方程无解。
2、配方法
将一元二次方程化成顶点式的表达式y=a（x-h）²+k（a≠0），再移项化简为（x-h）²=-k/a，开方后可得方程的解。
3、因式分解法
通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，即交点式的表达式y=a（x-x1）（x-x2），再分别令这两个因式等于0，它们的解就是原方程的解。
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一元二次方程的解法——公式法
教学目标：
知识与技能目标
1.使学生理解一元二次方程求根公式的推导过程。
让学生熟练应用一元二次方程求根公式解一元二次方程
2.通过对配方法的应用引入公式，培养学生抽象思维能力
过程与方法目标
1.让学生经历一元二次方程求根公式的推导过程，进一步培养学生观察、分析、概括的能力以及准确而迅速的运算能力
2.让学生在实践中运用公式法解一元二次方程，体会求根公式的结构特点
情感态度与价值观目标
1. 通过由具体实例的抽象概括的对立思考与合作学习的过程，获得从特殊到一般的探索规律的体验，培养学生实事求是的态度以及善于质疑和对立思考的良好的学习习惯。
2. 培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识
重点和难点
重点：求根公式的推导和公式法的应用
难点：一元二次方程求根公式法的推导
教学过程
一、创设情境，导入新课
问题思考如何用配方法解下列方程？
2
x x
(2)21060
-+=
x x
+=2
(1)911
第（1）问让学生根据已学习的知识进行自主解决，第（2）问可以小组讨论，利用已经学过的配方法去解决这个问题。
同时每个小组派一名代表上台演讲。
二、探究新课
让学生独立解决问题，并思考：用配方法解一元二次方程的步骤怎样？关键是什么？
用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）化为一元二次方程的一般形式
（2）化二次项系数为1
（3）移项；
（4）配方：方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（5）开方：如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
让学生仿问题（1）讨论尝试求解问题（2）当二次项系数不为1时，如何应用配方法？
指出当二次项系数不为1时，只要在方程两边同除以二次项的系数，将方程转化为二次项系数为1的方程．
探索
我们来讨论一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．
用配方法来解一般形式的一元二次方程
ax2＋bx＋c ＝0(a≠0)．
因为a ≠0，所以可以把方程的两边都除以二次项的系数a ，得
2(2)21060x x -+=，
移项，得
a
c x a b x -=+2， 配方，得 222
22⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++a b a c a b x a b x ， 即
222
442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+． 因为a ≠0，所以4a 2＞0，当b 2-4ac ≥0时，得 22442a
ac b a b x -±=+， 即
a
ac b a b x 2422-±=+． 所以
a
ac b a b x 2422-±-=， 即
a
ac b b x 242-±-=． 上面的式子叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式
a
ac b b x 242-±-=(b 2-4ac ≥0) 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
从上面的结论可以发现：
(1)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是由一元二次方程的系数a 、b 、c 确定的．
(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b 2-4ac ≥0的前提
下，把a 、b 、c 的值代入a
ac b b x 242-±-=(b 2-4ac ≥0)中，可求得方程的两个根．
思考当 b 2-4ac ＜0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根怎样？
三、实践应用
例1 解方程：242=+x x
解:将方程化为一般式，得2x -4x －2＝0
(1)这里a=1 b=4 c=-2
2x ∴== 原方程的解是x 1＝-2＋6,x 2＝2-6.
在教师的引导下，学生回答，教师板书，提醒学生一定要先“代”后“算”．不要边代边算，易出错．并引导学生总结步骤 ：
（1）化为一般形式
（2）确定a 、b 、c 的值
（3）算出b 2-4ac 的值，判断根的情况
（4）代入求根公式求出方程的根
例2 运用公式法解下列方程
（1）03
2322=--x x （2）x x 3232=+ 解：
（1）方程两边同乘以 3
得 22x -3x-2=0
a=2，b= -3，c= -2.
∴b 2-4ac =2(3)--4×2×(-2)=25.
a
ac b b x 242-±-=()45322253±=⨯±--= ()24
2144422=-⨯⨯-=-ac b
∴x 1＝2,x 2＝2
1-
. (22
2(2)x 20
1,2
44124a b c b ac -+===-=-=--⨯⨯=化为一般形式，移项得
(21212
x --±===⨯
12x x ==，
四、课堂小结
1.一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式
a
ac b b x 242-±-=(b 2-4ac ≥0)． 利用公式法求一元二次方程的解的步骤
(1)化方程为一般式
(2)确定a 、b 、c 的值
(3)算出b 2-4ac 的值，判断根的情况
(4)代入求根公式求根．
2.通过上面的例1和例2，可以发现，在应用求根公式时，一定要先算b 2-4ac 的值．当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数解；当b 2-4ac ＝0时，方程有两个相等的实数解；当 b 2-4ac ＜0时，方程没有实数解．
3.解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法和公式法，对于各种类型的一元二次方程，可以用不同的方法求解，在具体求解时，应当根据方程的特点，灵活运用各种方法．
五、布置作业
1第37页第1题、第2题
2预习下节课内容。