数值线性代数自测题6A_8
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
《线性代数》第一章单元自测题答案
第一章 行《线性代数》单元自测题列式专业 班级 姓名 学号一、填空题：1．设12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带有负号的项，则i =____2____；j =_____1____。
2． 在四阶行列式中，带正号且包含因子23a 和31a 的项为_____44312312a a a a __。
3． 在五阶行列式中，项2543543112a a a a a 的符号应取_______+ ___。
4． 在函数xx x x x x f 21123232101)(=中，3x 的系数是 1- ____。
5． 行列式=600300301395200199204100103____2000______。
一、 计算下列各题：1．设4321630211118751=D ，求44434241A A A A +++的值 解：根据行列式展开定理的推论，有44434241A A A A +++4424432342224121A a A a A a A a ⋅+⋅+⋅+⋅==02．计算ab b a b a ba 00000000000 解：由行列式展开定理有abb a b a b a 000000000000 1110)1(-+⋅-⨯=n a b a b a a 11000)1(-+⋅-⨯+n n b a b a b bn n n b a 1)1(+-+=3．计算n 222232222222221解：n222232222222221）加到各列上第二列乘（1-nn n ⨯--202001200200021)1(-=)1(2022020120002-⨯-n n n)!2(2-⋅-=n4．计算ab b b b a b b bb a b bb b a解：ab b b b a b b b b a b b b b a各行加到第一行上abbbb a b b b b a b bn a b n a b n a b n a)1()1()1()1(-+-+-+-+ab b b b a b b bb a b b n a 1111])1([⋅-+=一列从第二列开始各列减第ba b b a b b a b b n a ---⋅-+00000001])1([1)(])1([--⋅-+=n b a b n a5．设51234555533325422221146523D =，求3132333435,A A A A A +++。
线性代数自测题一
自测卷一 一、单项选择题1．设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则 ( )()A . B A +可逆；()B . kA 可逆（k 为常数）；()C . AB 可逆；()D . 111)(---=BA AB .2．设A 是4阶矩阵，且A 的行列式0=A ，则A 中( )． ()A . 必有一列元素全为0； ()B . 必有两列元素成比例；()C . 必有一列向量是其余列向量的线性组合； ()D . 任意列向量是其余列向量的线性组合．3．设A 是65⨯矩阵，而且A 的行向量线性无关，则( )． ()A . A 的列向量线性无关；()B . 线性方程组B AX =的增广矩阵A 的行向量线性无关；()C . 线性方程组B AX =的增广矩阵A 的任意四个列向量线性无关； ()D . 线性方程组B AX =有唯一解．4．设n 阶矩阵A 非奇异（n 2≥），A 的伴随矩阵是*A ，则 ( ) 成立.()A . A A A n 1**)(-=； ()B . A AA n 1**)(+=；()C . A AA n 2**)(-=； ()D . A AA n 2**)(+=.5．对n 元方程组( ).()A . 若AX=0只有零解，则AX=b 有唯一解； ()B . AX=0有非零解的充要条件是0=A ；()C . AX=b 有唯一解的充要条件是r (A )=n ；()D . 若AX=b 有两个不同的解，则AX=0有无穷多解.二、填空题1．已知11111321--x 是关于x 的一次多项式，该式中x 的系数为2．已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k 111111111111A ，且A 的秩()3=A r ，则=k ．3．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=+a y x y x y x 25320有解，则=a ．4．设A 是n 阶矩阵，0≠A ，*A 是A 的伴随矩阵．若A 有特征值λ，则()1*2-A必有一个特征值是 ． 5．若二次型()322123222132122,,x ax x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则a的取值范围是 ．三．设n 阶矩阵A 和B 满足条件：AB B A =+． ⑴ 证明：E A -是可逆矩阵，其中E 是n 阶单位． ⑵ 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200012031B ，求矩阵A ． 四．当a 、b 为何值时，线性方程组()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++12323122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解． 五． 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=122113221A ,求A 的特征值与特征向量. 六． 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125 七． 若二次型323121232221222x x x x x x x x x f βα+++++=经正交变换后可变为标准形23222y y +，求α，β．并求出该正交变换．八． 已知三维线性空间的一组基底为()0111，，=α，()1012，，=α，()1103，，=α求向量()002，，=β在上述基底下的坐标．九．设A 是n 阶矩阵，如果存在正整数k ，使得O A =k （O 为n 阶零矩阵），则称A 是n阶幂零矩阵．求证：⑴. 如果A 是n 阶幂零矩阵，则矩阵A 的特征值全为0． ⑵. 如果O A ≠是n 阶幂零矩阵，则矩阵A 不与对角矩阵相似．自测题一答案一、单项选择题1． C 2． C 3．B 4．C 5． D 二、填空题（每小题3分，共15分。
（完整版）数值线性代数答案
（完整版）数值线性代数答案习题1１．求下三⾓阵的逆矩阵的详细算法。
[解] 设下三⾓矩阵L的逆矩阵为T我们可以使⽤待定法，求出矩阵T的各列向量。
为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运⽤算法1·1·1，逐⼀求解⽅程便可求得[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。
这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三⾓矩阵L的逆矩阵T，前代法）３．证明：如果是⼀个Gauss变换，则也是⼀个Gauss变换。
[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。
下⾯我们只需证明它是Gauss 变换的逆矩阵。
事实上注意到，则显然有从⽽有４．确定⼀个Gauss变换L，使[解] ⽐较⽐较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第⼆⾏加上第⼀⾏的2倍；使向量的第三⾏加上第⼀⾏的2倍。
于是Gauss变换如下５．证明：如果有三⾓分解，并且是⾮奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯⼀的。
[证明]设，其中都是单位下三⾓阵，都是上三⾓阵。
因为A⾮奇异的，于是注意到，单位下三⾓阵的逆仍是单位下三⾓阵，两个单位下三⾓阵的乘积仍是单位下三⾓阵；上三⾓阵的逆仍是上三⾓阵，两个上三⾓阵的乘积仍是上三⾓阵。
因此，上述等将是⼀个单位下三⾓阵与⼀个上三⾓阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。
即，从⽽即A的LU分解是唯⼀的。
17．证明定理1·3·1中的下三⾓阵L是唯⼀的。
[证明] 因A是正定对称矩阵，故其各阶主⼦式均⾮零，因此A⾮奇异。
为证明L的唯⼀性，不妨设有和使那么注意到：和是下三⾓阵，和为上三⾓阵，故它们的逆矩阵也分别是下三⾓阵和上三⾓阵。
因此，只能是对⾓阵，即从⽽于是得知19．若是A的Cholesky分解，试证L的i阶顺序主⼦阵正好是A的i阶顺序主⼦阵的Cholesky因⼦。
[证明] 将A和L作如下分块其中：为矩阵A和L的i阶顺序主⼦阵。
线性代数测试试卷及答案
线性代数A 卷一﹑选择题每小题3分,共15分1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是 A AB BA = B 222()AB A B = C 222()2A B A AB B +=++ D A B B A +=+2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为A nB sC n s -D 以上答案都不正确3.如果三阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于 A 10, 8 B 8, 10 C 10, 8-- D 10, 8--4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为A ,那么A 2331A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭B 2241A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭C 2121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭D 1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5. 若方阵A 的行列式0A =,则 A A 的行向量组和列向量组均线性相关 BA 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 C A 的行向量组和列向量组均线性无关 DA 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题每小题3分,共30分1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ；2. 设100210341A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,*A 是A 的伴随矩阵,则*1()A -= ；3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ；4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ；5. 设A 为正交矩阵,则A = ；6. 设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式222111ab c a b c = ； 7. 要使向量组123(1,,1),(1,2,3),(1,0,1)T T T αλαα===线性相关,则λ= ； 8. 三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1,2,3---,那么1A -的特征值分别为 ；9. 若二次型222123123121323(,,)52-24f x x x x x x t x x x x x x =++++是正定的,则t 的取值范围为 ；10. 设A 为n 阶方阵,且满足2240A A I +-=,这里I 为n 阶单位矩阵,那么1A -= . 三﹑计算题每小题9分,共27分1. 已知210121012A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100100B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求矩阵X 使之满足AX X B =+.2. 求行列式1234234134124123的值.3 求向量组1234(1,0,1,0),(2,1,3,7),(3,1,0,3,),(4,3,1,3,)αααα==--=-=--的一个最大无关组和秩.四﹑10分设有齐次线性方程组123123123(1)0,(1)0,(1)0.x x x x x x x x x λλλ+-+=⎧⎪-++=⎨⎪++-=⎩ 问当λ取何值时, 上述方程组1有唯一的零解﹔2有无穷多个解,并求出这些解. 五﹑12分求一个正交变换X PY =,把下列二次型化成标准形:222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++.六﹑6分已知平面上三条不同直线的方程分别为123: 230,: 230,: 230.l ax by c l bx cy a l cx ay b ++=++=++= 试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为0a b c ++=.线性代数A 卷答案一﹑1. D 2. C 3. B 4. A 5. A二﹑1. 0 2. *1()A A -=- 3. 1 4. 3 5. 1或-16. ()()()c a c b b a ---7. 08. 111,,23---9. 405t -<< 10. 1142A I +三﹑1. 解 由AX X B =+得1()X A I B -=-. 2分下面求1()A I --. 由于110111011A I ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭4分而1()A I --=011111110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 7分所以10111001()11101111100011X A I B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 9分2. 解1234234134124123=10234103411041210123123413411014121123= 4分 123401131000440004-=-- 8分 160= 9分 .3. 解 由于3112341234011301131301053307330733r r --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭324212345011300212700424r r r r -⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪+ ⎪--⎝⎭ 43123401132002120000r r -⎛⎫⎪-- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭6分 故向量组的秩是 3 ,123,,ααα是它的一个最大无关组;9分 四﹑解 方程组的系数行列式111111111A λλλ-=--2(1)(2)λλ=-+- 2分①当2(1)(2)0A λλ=-+-≠,即1λ≠-且2λ≠时,方程组有唯一的零解; 4分 ②当1λ=-时, 2(1)(2)0A λλ=-+-=,方程组的系数矩阵为12 1 21 1 11 2 A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,它有一个二阶子式123021-=-≠-,因此秩A 2n =<这里3n =,故方程组有无穷多个解.对A 施行初等行变换,可得到方程组的一般解为132333,,,x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 其中3x 可取任意数; 7分 ③当2λ=时, 2(1)(2)0A λλ=-+-=,方程组的系数矩阵为11 1 11 1 11 1 A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,显然,秩A 1n =<这里3n =,所以方程组也有无穷多个解.对A 施行初等行变换可得方程组的一般解为1232233,,,x x x x x x x =--⎧⎪=⎨⎪=⎩ 其中23,x x 可取任意数. 10分 五﹑ 解 二次型的矩阵为12 2 21 2 22 1 A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 2分因为特征多项式为212 221 2 (1)(5)22 1I A λλλλλλ----=---=+----, 所以特征值是1-二重和5. 4分把特征值1λ=-代入齐次线性方程组()0I A X λ-=得1231231232220,2220,2220,x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪---=⎩ 解此方程组可得矩阵A 的对应于特征值1λ=-的特征向量为12(1,0,1),(0,1,1)T T αα=-=-.利用施密特正交化方法将12,αα正交化:11(1,0,1)T βα==-, 211(,1,)22T β=--,再将12,ββ单位化得1T η=,2(T η=, 8分 把特征值5λ=代入齐次线性方程组()0I A X λ-=得1231231234220,2420,2240,x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩ 解此方程组可得矩阵A 的对应于特征值5λ=的特征向量为3(1,1,1)T α=.再将3α单位化得3Tη=. 10分 令123(,,)0P ηηη⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则P 是一个正交矩阵,且满足1100010005T P AP P AP --⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭.所以,正交变换X PY =为所求,它把二次型化成标准形222123123(,,)5f x x x y y y =--+. 12分六﹑证明:必要性由123,,l l l 交于一点得方程组230230230ax by c bx cy a cx ay b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有解,可知231()()230()10231a b cb c R A R A bc a a b c c a c a ba b=⇒=⇒++= 2分由于2221211[()()()]01b cca b a c b a c a b=--+-+-≠,所以0a b c ++= 3分充分性：0()a b c b a c ++=⇒=-+2222222()2[()][()]022312366()10231a bac b ac a c a c a c b c a b c a b c b c b c a b c a a b c c a c a b c a b a b ⎫⇒=-=-+=-++-≠⎪⎪⎪⎬⎪==++=⎪⎪⎭又因为()()2R A R A ⇒==, 5分 因此方程组230230230ax by c bx cy a cx ay b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解,即123,,l l l 交于一点. 6分线性代数习题和答案第一部分选择题共28分一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内;错选或未选均无分;1.设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于A. m+nB. -m+nC. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,则A-1等于A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A是A的伴随矩阵,则A中位于1,2的元素是A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩A T等于A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+β1+λ2α2+β2+…+λsαs+βs=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1-β1+λ2α2-β2+…+λsαs-βs=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,则A中A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有A.秩A<nB.秩A=n-1=0 D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n≥3阶方阵,下列陈述中正确的是A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使λE-Aα=0,则λ是A的特征值的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是A.|A|2必为1B.|A|必为1=A T的行列向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=C T AC.则与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题共72分二、填空题本大题共10小题,每小题2分,共20分不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内;错填或不填均无分;15.11135692536=.16.设A=111111--⎛⎝⎫⎭⎪,B=112234--⎛⎝⎫⎭⎪.则A+2B= .17.设A=a ij3×3,|A|=2,A ij表示|A|中元素a ij的代数余子式i,j=1,2,3,则a 11A 21+a 12A 22+a 13A 232+a 21A 21+a 22A 22+a 23A 232+a 31A 21+a 32A 22+a 33A 232= . 18.设向量2,-3,5与向量-4,6,a 线性相关,则a= .19.设A 是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解,则它的通解为 .20.设A 是m ×n 矩阵,A 的秩为r<n,则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .21.设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积α+β,α-β= . 22.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8,已知A 有2个特征值-1和4,则另一特征值为 .23.设矩阵A =010********---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,已知α=212-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为 .24.设实二次型fx 1,x 2,x 3,x 4,x 5的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 .三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求1AB T ；2|4A |.26.试计算行列式3112513420111533------.27.设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B .28.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103,α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合；若是,则求出组合系数; 29.设矩阵A =12102242662102333334-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求：1秩A ；2A 的列向量组的一个最大线性无关组;30.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ,使T -1AT =D .31.试用配方法化下列二次型为标准形fx 1,x 2,x 3=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--,并写出所用的满秩线性变换;四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.设方阵A 满足A 3=0,试证明E -A 可逆,且E -A -1=E +A +A 2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 1η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解； 2η0,η1,η2线性无关;答案：一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分二、填空题本大题共10空,每空2分,共20分 15. 6 16. 337137--⎛⎝⎫⎭⎪17. 4 18. –1019. η1+c η2-η1或η2+c η2-η1,c 为任意常数 20. n -r 21. –5 22. –2 23. 124. z z z z 12223242++-三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.解1AB T =120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. 2|4A |=43|A |=64|A |,而|A |=1203401212-=-. 所以|4A |=64·-2=-12826.解 311251342011153351111113100105530------=-----=511 1111 550 ----=5116205506255301040 ---=---=+=.27.解AB=A+2B即A-2EB=A,而A-2E-1=2231101211431531641--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪-.所以B=A-2E-1A=143153164423110123-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=386 296 2129-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.28.解一----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪2130130102243419053213010112013112−→−--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1035011200880014141035011200110000−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1002010100110000,所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为2,1,1.解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3,即-++=-=-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪230312243491231223123x x xx xx xx x x.方程组有唯一解2,1,1T,组合系数为2,1,1.29.解对矩阵A施行初等行变换A−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102 00062 03282 09632−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102032830006200021712102032830003100000=B.1秩B=3,所以秩A=秩B=3.2由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组;A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=2,-1,0T, ξ2=2,0,1T.经正交标准化,得η1=25555//-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,η2=2515451553///⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.λ=-8的一个特征向量为ξ3=122-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,经单位化得η3=132323///.-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪所求正交矩阵为T=25521515135545152305323////////--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.对角矩阵D=100 010 008-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.也可取T=25521515130532355451523////////---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.31.解fx1,x2,x3=x1+2x2-2x32-2x22+4x2x3-7x32=x1+2x2-2x32-2x2-x32-5x32.设y x x xy x xy x11232233322=+-=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪, 即x y yx y yx y112223332=-=+=⎧⎨⎪⎩⎪,因其系数矩阵C=120011001-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪可逆,故此线性变换满秩;经此变换即得fx1,x2,x3的标准形y12-2y22-5y32 .四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.证由于E-AE+A+A2=E-A3=E,所以E-A可逆,且E-A-1= E+A+A2 .33.证由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0.1Aη1=Aη0+ξ1=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2= b,所以η1,η2是Ax=b的2个解;2考虑l0η0+l1η1+l2η2=0,即l0+l1+l2η0+l1ξ1+l2ξ2=0.则l0+l1+l2=0,否则η0将是Ax=0的解,矛盾;所以l1ξ1+l2ξ2=0.又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而l0=0 .所以η0,η1,η2线性无关;。
线性数学试题及答案
线性数学试题及答案线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 向量空间V的基是一组向量，它们满足以下条件：A. 线性无关B. 张成VC. 可数D. 所有上述条件答案：D2. 矩阵A的秩是指：A. A的行向量组的秩B. A的列向量组的秩C. A的行向量组和列向量组的秩中较小的一个D. A的行向量组和列向量组的秩中较大的一个答案：C3. 线性变换T: V → W，如果对于任意的v ∈ V，都有T(v) = 0，则T被称为：A. 零变换B. 恒等变换C. 对称变换D. 正交变换答案：A4. 对于任意的线性变换T，下列说法正确的是：A. T是可逆的当且仅当T的核为{0}B. T是可逆的当且仅当T的像是W的基C. T是可逆的当且仅当T的核和像是{0}D. T是可逆的当且仅当T的核为{0}且T的像是W的基答案：D5. 矩阵的迹是：A. 矩阵对角线上元素的和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的秩D. 矩阵的逆答案：A二、填空题（每题2分，共10分）6. 矩阵的______是矩阵所有特征值的乘积。
答案：行列式7. 一个向量空间的维数是指该空间的______的数量。
答案：基向量8. 如果线性变换T是可逆的，则T的逆变换记作______。
答案：T^{-1}9. 两个向量正交，意味着它们的______为0。
答案：点积10. 对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=0，则x称为矩阵A的______。
答案：零空间向量三、简答题（每题10分，共20分）11. 解释什么是线性相关和线性无关，并给出一个例子。
答案：线性相关指的是一组向量中，至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合。
线性无关则意味着没有一个向量可以表示为其他向量的线性组合。
例如，向量组{(1, 0), (0, 1)}是线性无关的，因为没有任何向量可以表示为另一个向量的倍数；而向量组{(1, 0), (2, 0)}是线性相关的，因为(2, 0)可以表示为(1, 0)的两倍。
线性代数习题集(带答案)
. .. . ..第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题. .. . ..1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .. .. . ..16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.. .. . ..四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略). .. . ..第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
2016-2017(2)线性代数检测题
天津科技大学线性代数检测题§1.1专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 行列式1221=______________，111123149=______________. 2. 行列式111n D ==_____________，2100032100430005=______________. 二．选择题1. 线性方程组238521x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为( ).(A) 1, 2x y ==； (B) 1, 2x y =-=； (C) 1, 2x y ==-； (D) 1, 2x y =-=-.三．计算题1. 利用对角线法则计算行列式112150205x x x ---.天津科技大学线性代数检测题§1.2~1.3专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设三阶行列式111213212223313233a a a a a a D a a a =，则行列式111213313233212223a a a a a a a a a =___________. 2. 已知11123033x x=，则实数x =____________________.3. 设三阶行列式1230450D λλ=-，则元素2的代数余子式12A 的值为________.4. 设,a b 均为实数，则当_________________时，行列式000101a b b a -=--.5. 4阶行列式的221111220000000a b a b c d c d 值为_________________________. 二．选择题1. 下列关于行列式的计算过程，正确的是（ ）.(A) 利用对角线法则，有15261234567873840000000a a a a a a a a a a a a a a a a =-； (B) 2112 2 123021032r r r r ----； (C) 12 2 11012121r r -；(D)34342323001001100 000100100000000000100000000aa a r r c c a a a a a a r r c c a a a↔↔↔↔.三．计算题计算下列行列式的值：(1)120201174724101820-；(2)1111123413610141020.(3)2321010230130101；(4)1234234134124123；(5)3521110513132413------；(6)11111111231401323201320121212121---+.专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 线性方程组0()0ax y a x ay +=⎧∈⎨-+=⎩R 的解为x =___________，y =___________. 二．选择题1. 设齐次线性方程组10 (1,2,,)nij j j a x i n ===∑的系数行列式为D ，则0D ≠是该方程组仅有零解的（ ）.(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充分必要条件； (D) 既非充分也非必要条件.三．计算题1. 问a 、b 满足何条件时，齐次线性方程组1231231230020ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？2. 利用克莱姆法则求解线性方程组230201x y z y z z ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩.专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 当x 满足条件__________________时，行列式3140010xx x≠.2. 行列式的123423413412123234341412++++++++值为__________________.3. 设行列式102141022101521xD -=--，则元素x 的代数余子式的值是____________. 4. 已知三阶行列式D 的第2行元素依次为1, 1, 1-，它们的余子式依次是2, 8, 5-，则D =_________.5. 设行列式1112131421222324313233344244a a a a a a a a D a a a a a a =，ij A 为元素ij a 的代数余子式，则42224424a A a A += __________.6. 4阶行列式5200210000120011=-____________. 7. 行列式=ab acaebd cdde bf cf ef---______________________.二．计算题1.计算三阶行列式：2213 51313xx x -+；2.计算四阶行列式：(1) 1111111111111111------；(2)1234134114211123；(3) 3112513420111533------；(4)10010101010a aaaa.天津科技大学线性代数检测题§2.1~2.2专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设112110x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则矩阵x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭________. 2. 设2142⎛⎫= ⎪--⎝⎭A ，3162-⎛⎫= ⎪-⎝⎭B ，则=AB _______，=BA ________，2=A ________. 3. 设200010003⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，n 为正整数，则n =A _____________. 4. 设()324235A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则5A =.5. 设A 、B 为n 阶方阵，则22()()-=+-A B A B A B 的充分必要条件是____________.二．选择题1. 设矩阵012121⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，则 ( ).(A) 0242121⎛⎫= ⎪⎝⎭A ； (B)012111⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ； (C) 0242(2)242--⎛⎫-= ⎪---⎝⎭A A ； (D) 1110210021-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A .2. 设A 、B 为两个矩阵，则下列说法正确的是（ ）.(A) 若=AB O ，则=A O 或=B O ； (B) 若A 、B 为同型矩阵，则=AB BA ； (C) 若=AB O ，=BA O ，则=AB BA ； (D) 若k =A O ，则0k =或=A O . 3. 设A 、B 、C 均为n 阶方阵，下列说法不正确的是( ). (A) ()()++=++A B C A B C ； (B) ()()=AB C A BC ； (C) ()+=+A B C AC BC ；(D) =AB AC ，≠A O ，则=B C .4. 设1243⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，12x y ⎛⎫=⎪⎝⎭B ，则A 、B 相乘可交换的充要条件是( ).(A) 1x y =+； (B) 1x y =-； (C) x y =； (D) 2x y =.三．计算题1. 计算矩阵的乘积：100223101414010⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭.2. 设2()37f x x x =--，1121⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ，求()f A .四．证明题若2=A A ，则称A 为幂等矩阵.证明：若A 、B 为幂等矩阵，则+A B 为幂等矩阵的充要条件是=-AB BA .天津科技大学线性代数检测题§2.3专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设矩阵101210-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，101112-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，则2T+=A B ______________.2. 设方阵100210021⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则行列式2=-A ________.二．选择题1. 设A 、B 为两个n 阶方阵，则（ ）.(A) =AB BA ；(B) T T T T +=+A B B A ； (C) T T T T =A B B A ； (D) ()T T T =A B AB . 2. 设A 、B 为两个n 阶反对称矩阵，则下列说法错误的是（ ）. (A) +A B 是反对称矩阵； (B) k A 是反对称矩阵；(C) T A 是反对称矩阵； (D) AB 是反对称矩阵的充分必要条件是=AB BA .三．计算题已知101214325-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，123130052-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭B ，求：(1) T AB ；(2) 3-A .天津科技大学线性代数检测题§2.4~2.5一．填空题1. 设三阶方阵≠A O ，13024351t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B 且=AB O ，则常数t =______________. 2. 设*A 是三阶矩阵A 的伴随矩阵，已知4=A ，则12*=A ____________. 3. 设1=A ，A 的伴随矩阵为*A ，则()1T -=A _____________.二．选择题1. 设A 为二阶方阵，且2=A ，则1(3)-=A （ ）. (A)118； (B) 92； (C) 32； (D) 16. 2. 设A 、B 为两个n 阶方阵，其中A 为可逆矩阵，则=B O 是=AB O 的（ ）. (A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 既非充分也非必要条件.三．计算题1. 求下列方阵的逆矩阵：(1) cos sin sin cos αααα⎛⎫⎪-⎝⎭；(2) 001423110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭；(3) 121342541-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.2. 求解矩阵方程=AXB C ，其中1111-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100401230⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭B ，012123⎛⎫= ⎪⎝⎭C .四．证明题设方阵A 满足223+-=A A E O ，证明4+A E 可逆，并求其逆矩阵.天津科技大学线性代数检测题§2.6专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设A 为n 阶奇异矩阵，→A B ，则行列式=B _____________.2. 设A 为n 阶方阵，det()D =A ，(,)i j E 为n 阶交换矩阵，则det((,))i j =AE _________.二．选择题1. 矩阵150102520062⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭的标准形为（ ）. (A) 100002000060⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (B)100002000002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (C) 100001000001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (D) 100001000010⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 三．计算题1. 用初等变换方法求下列矩阵的逆矩阵(先判断是否可逆，若可逆，求出其逆矩阵)：(1) 121342541-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ； (2) 2311351511⎛⎫⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭B ；(3) 102020103⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭C .2. 用初等变换方法求解矩阵方程=AX B ，其中121342541-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，012123T⎛⎫= ⎪⎝⎭B .天津科技大学线性代数检测题§2.7专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设A 为n 阶满秩矩阵，则A 的标准形矩阵为____________.2. 设矩阵131********t --⎛⎫⎪=⎪ ⎪--⎝⎭A 的秩为2，则t =____________. 二．选择题1. 设A 为m s ⨯阶矩阵，α为s 维非零列向量，0为s 维零列向量，()=B α0，则()r AB ( ).(A) 0=； (B) 1=； (C) 2=； (D) 2<. 2. 设4阶矩阵A 的秩为2，则*()r =A （ ）. (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 3. 3. 设A 是任意矩阵，则（ ）.(A) 若A 的所有1r +阶子式全为零，则()r r =A ； (B) 若()m n r n ⨯=A ，则m n ≥；(C) 若A 是n 阶满秩方阵，则22()(())r r =A A ； (D) 若()r r =A ，则没有等于0的1r -阶子式.4. 设A 、B 均为n 阶非零方阵，且=AB O ，则A 、B 的秩( ). (A) 必有一个等于零；(B) 都小于n ；(C) 有一个小于n ；(D) 都等于n .三．计算题1. 用初等变换方法求矩阵121363242-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A 的秩.2.求矩阵12321436322101450327--⎛⎫⎪-⎪=⎪-⎪⎝⎭A的秩.3.讨论λ的取值范围，确定矩阵11221511061λλ-⎛⎫⎪=-⎪⎪-⎝⎭A的秩.天津科技大学线性代数第二章自测题专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设矩阵151011-⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ，120150-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，则2T-=A B ______________.2. 设A 、B 、C 均为n 阶方阵，且=ABC E ，则2()T T -=E BC A ________.3. 设α、β为n 维列向量，则n 阶矩阵T =A αβ的秩为()r =A ____________.二．选择题1. 关于方阵A 、B ，下列说法错误的是( ).(A) 方程组=Ax 0有非零解的充分必要条件是0=A ； (B) 若=A B ，则=A B ； (C) 若=AB E ，则A 可逆； (D) 若2-=A A E ，则-A E 可逆. 2. 设A 为n 阶方阵，2=A A ，则下列结论正确的是( ).(A) =A O ； (B) =A E ； (C) 若A 不可逆，则=A O ； (D) 若A 可逆，则=A E .3. 设矩阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，010100001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，100010101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q ，则=PAQ ( ).(A) 212322231113121331333233a a a a a a a a a a a a +⎛⎫⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭； (B) 121113222123321231113313a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪+++⎝⎭； (C) 212223111213312132223323a a a a a a a aa a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪+++⎝⎭； (D) 212221231112111331323133a a a a a a a a a a a a +⎛⎫⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭. 4. 设A 是43⨯矩阵，且()2r =A 而102020103⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，则AB 的秩为( ). (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 3.三．计算题1. 求矩阵021112111-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪---⎝⎭A 的逆矩阵.2. 设矩阵301110014⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，矩阵X 满足2=+AX A X ，求X .四．证明题1. 设A 为n 阶非奇异矩阵，证明：(1) 1n -*=A A ；(2) ()2 (2)n n *-*=≥A A A .2. 证明m n ⨯矩阵A 的秩()1r ≤A 的充分必要条件是存在矩阵()12,,,Tm b b b =B 和()12,,,n c c c =C ，使得=A BC .天津科技大学线性代数检测题§3.1专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. n 元线性方程组=Ax b 无解的充分必要条件是______________________.2. n 元线性方程组=Ax b 有无穷多组解的充分必要条件是______________________.3. n 元齐次线性方程组=Ax 0仅有零解的充分必要条件是______________________.4. 若方程组12312112323120x x a x a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭无解，则a =_________.二．选择题1. 线性方程组 0420 0ax y z w x ay z w ax y z w +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩( ).(A) 无解； (B) 仅有零解； (C) 有无穷多组解； (D) 解的情况依a 的值而定. 2. 设线性方程组=Ax b 的增广矩阵为()=A A b ，若A 在初等行变换的过程中有一行变为()001，则该方程组（ ）.(A) 可能有唯一解； (B) 可能有无穷多组解； (C) 无解； (D) 解的情况不能确定.三．计算题1. 求解非齐次线性方程组1232312312330 202 2x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪-=⎪⎨--+=⎪⎪-+=⎩；2. 求解非齐次线性方程组132341234 4 82510 2x x x x x x x x x +=⎧⎪-+=-⎨⎪+-+=-⎩.3. 求解齐次线性方程组123123202470x x x x x x +-=⎧⎨++=⎩.4. 讨论λ满足什么条件时，方程组12312312300x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解.天津科技大学线性代数检测题§3.2专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设n 维列向量()1100T=ε，()2010T=ε，…，()001Tn =ε，则向量()12Tn a a a =α可由向量组12,,,n εεε线性表示为=α________________.二．选择题1. 向量b 可由矩阵A 的列向量组线性表示的充要条件是线性方程组=Ax b ( ). (A) 有解； (B) 有唯一解； (C) 有无穷多解； (D) 无解.2. 设α、β为n 维列向量，k 是常数，则下列说法不正确的是( ).(A) +=+ααββ； (B)()k k k +=+αβαβ； (C)T T =αββα； (D) T T =αββα.三．计算题下列各题中，向量β能否由向量组123,,ααα线性表示？若能表示，则写出其线性表示式. 1. ()675T=-β，()1111T=-α，()2101T=-α，()3132T=-α.2. ()0,4,2,5=β，()11,2,3,1=α，()22,3,1,2=α，()33,1,2,2=-α.天津科技大学线性代数检测题§3.3专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 若矩阵A 的列向量组线性相关，则齐次线性方程组=Ax 0解的情况是___________.2. 设12,,,m ααα线性无关，则齐次线性方程组1122m m x x x +++=ααα0的通解为=x______________. 3. 设3阶矩阵()123=A ααα，且0≠A ，则向量组123, , 110101⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα线性______.4. 若向量组(1, 1, 2), (3, 2, 0), (1, 4, )λ-线性相关，则λ=________________.5. 设向量组12,αα线性无关，11=βα，212=+βαα，且1122k k +=0ββ，则12, k k 应满足____________________.二．选择题1. 关于向量组的线性相关性，下列说法正确的是（ ）. (A) 如果12,,,m ααα线性相关，则向量组中每一个向量都可以用其余1m -个向量线性表示；(B) 如果n 个n 维向量线性相关，那么它们所构成的方阵行列式等于零； (C) 如果12,,,m ααα线性相关，则存在一组全不为零的数12,,,m k k k ，使得1122m m k k k +++=ααα0；(D) 如果n 维向量12,,,m ααα线性无关，则必存在n 维向量β，使得12,,,,m αααβ线性无关.2. 下列向量组中，线性无关的是（ ）.(A) 104203, , 302401⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (B) 121, , 135-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (C)111011, , 00111a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (D) ()()(), , 1,0,1,22,0,2,41,1,1,1.三．计算题判断向量组()11,3,1,4=-α，()22,1,2,5=-α，()34,9,8,7=-α的线性相关性.四．证明题1. 设向量组123, , ααα线性无关，证明向量组123++ααα，1232++ααα，23+αα也线性无关.2. 设n 维列向量组12,,,s ααα线性无关，A 为n 阶可逆矩阵，证明向量组12,,,s A αA αA α也线性无关.天津科技大学线性代数检测题§3.4~3.5专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设列向量组12,,,m ααα的秩为3，矩阵()121m -=A ααα，则矩阵A 的秩()r A 为 ______________. 2. 设向量m α能由121,,,m -ααα线性表示，且表示法唯一，则向量组12,,,m ααα的秩为___________.3. 向量空间2323{(0,,,,)|,,,}n n x x x x x x ==∈V R x ，则dim()=V ___________.4. 设非零向量,αβ线性相关，向量空间{},λμλμ==+∈V R x αβ，则dim()=V ___________.二．选择题1. 设V 是向量空间，,∈V x y ，则（ ）. (A) {|}k k =+∈W R x y 必构成V 的一个子空间； (B) {()|}k k =+∈W R x y 必构成V 的一个子空间； (C) 2{|}k k =+∈W R x y 必构成V 的一个子空间； (D) 2{|}k k =∈W R x 必构成V 的一个子空间.三．计算题1. 求向量组1(1,1,2,4)=-α，2(0,3,1,2)=α，3(3,0,7,14)=α， 4(1,1,2,0)=-α，5(2,1,5,6)=α的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.2. 求向量组1142⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭α，2124⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α，3251⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭α，4452⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭α，5544⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭α的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.3. 已知向量组1(1,1,1,3)T =α，2(1,3,5,1)T =--α，3(2,6,10,)T a =--α，4(4,1,6,10)T a =+α线性相关，求常数a .4. 判断向量组()11,3,5,1=-α，()22,1,3,4=--α，()35,1,1,7=-α，()43,3,1,1=--α的线性相关性，求它的秩和一个极大无关组，并把其余向量表示为该极大无关组的线性组合.天津科技大学线性代数检测题§3.6专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设n 元齐次线性方程组=Ax 0的解空间的维数是d ，则()r =A ___________.2. 设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且()1r n =-A ，则齐次线性方程组=Ax 0的通解为___________________________________.3. 若三阶方阵A 的秩为2，, ξη是非齐次线性方程组=Ax b 的两个不同的解，则该方程组的通解为_________________________________.二．选择题1. 齐次线性方程组1323545 2 0 2 0 0x x x x x x x +=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩的基础解系是( ).(A) ()(), 2,2,1,0,00,1,0,1,1TT---； (B) ()()122,2,1,0,00,1,0,1,1TTk k +---； (C) ()(), 2,2,1,0,00,1,0,1,1TT-； (D) ()(), 2,2,0,0,00,1,0,1,0TT---.2. 设齐次线性方程组=Ax 0的解空间是零空间，则对应的非齐次线性方程组（ ）. (A) 无解或有唯一解； (B) 必有解； (C) 无解或有无穷多解； (D) 必有唯一解.三．计算题1. 求齐次线性方程组12341234123432 5 403 4 503514130x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=⎩的一个基础解系及通解.2. 应用线性方程组解的结构理论，求线性方程组12341234 24522454x x x x x x x x -++=⎧⎨-+--=-⎩的通解.3. 求非齐次线性方程组132******** 43 133x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-++=-⎩的通解.四．证明题设12, αα是某个齐次线性方程组的基础解系，证明12+αα，122-αα也是该齐次线性方程组的基础解系.天津科技大学线性代数检测题§3.7专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设非零向量12,,,s ααα两两正交，则齐次线性方程组1122s s x x x +++=ααα0的解为=x __________.2. 设,αβ为两个n 维单位向量，则它们的夹角余弦cos θ=______________.3. n 维向量组12,,,n ααα为n R 的标准正交基的充分必要条件是对于,1,2,,i j n ∀=，有(),i j =αα_____________________.4. 设向量空间{(,0,)},a b a b ==∈V R x ，写出V 的一个标准正交基：____________________________.5. 设向量(2,5,4)-与向量(1,1,)t t -正交，则t =___________.二．选择题1. 设()12n =A ααα为n 阶正交矩阵，则 ( ).(A) 0 (,1,2,,)T i j i j s ==αα；(B) (,1,2,,)T j i i j s ==ααO ；(C) det()1=A ；(D) 1T -=A A .2. 设x 为n 维单位列向量，矩阵2T =-H E xx ，则下列说法错误的是（ ）. (A) 1-=H H ； (B) T =H H ； (C) 2=H H ； (D) 1T -=H H .3. 下列所给矩阵中为正交矩阵的是（ ）.(A) 111231112211132⎛⎫-⎪ ⎪⎪-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭；(B) 100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；(C) 0211⎫-⎪⎪⎪⎪-⎭；(D)111011001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.三．计算题1. 用Schmidt 正交化方法将向量组()10,1,1=α，()21,0,1=α，()31,1,0=α规范正交化.2. 设1210-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ，2201⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ，用Schmidt 正交化方法求一个与12, p p 等价的标准正交向量组.3. 已知1T⎫=⎪⎭α，2T⎫=⎪⎭α，3T⎛= ⎝α，4T⎛= ⎝α是4R 的一组标准正交基，试将向量()1,2,3,4T =β表示为这组基的线性组合.天津科技大学线性代数第三章自测题专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设向量1(1,2,1)=-α，2(2,5,3)=α，3(1,3,4)=α，312(32)=+-βααα，则=β ____________.2. 设方程组=Ax β有解，12,,,n ααα为A 的列向量组，则向量组12,,,,n αααβ线性________.(填“相关”或“无关”，3、4题同)3. 设方程组=Ax β有唯一解，则A 的列向量组线性________.4. 设由m 个方程组成的方程组=Ax 0有非零解，12,,,n ααα为A 的列向量组，β为任意m 维向量，则向量组12,,,,n αααβ线性___________.5. 已知向量组(1,2,)c =α，(2,,1)c =β，(7,4,1)=-γ线性无关，则数c 的取值范围是_______________.二．选择题1. n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤ααα线性无关的充要条件是 ( ).(A) 12,,,s ααα中任何两个向量都线性无关；(B) 存在不全为零的s 个数12,,,s k k k ，使得1122s s k k k +++≠ααα0；(C) 12,,,s ααα中任何一个向量都不能用其余向量线性表示； (D) 12,,,s ααα中存在一个向量不能用其余向量线性表示.2. 向量组12,,,s ααα线性相关的充要条件是 ( ).(A) 12,,,s ααα中有一个零向量；(B) 12,,,s ααα中任意两个向量的分量对应成比例； (C) 12,,,s ααα中至少有一个向量是其余向量的线性组合； (D) 12,,,s ααα中任意一个向量都是其余向量的线性组合.3. 若向量组,,αβγ线性无关，向量组,,αβδ线性相关，则( ).(A) α必可由向量组,,βγδ线性表示； (B) β必不可由向量组,,αγδ线性表示； (C) δ必可由向量组,,αβγ线性表示； (D) δ必不可由向量组,,αβγ线性表示.三．计算题1. 求线性方程组12341234220220x x x x x x x x +++=⎧⎨++-=⎩的基础解系，并将该基础解系标准正交化.2. 设()11,2,1T=-α，()22,2,1T=α，()31,1,3T=-α，验证123,,ααα是3R 的一个基，并求向量(1,0,1)T =β关于这个基的表达式.四．证明题设η是非齐次线性方程组=Ax b 的一个解，12,,,n r -ξξξ是对应的齐次线性方程组的一个基础解系. 证明：12,,,,n r -ηξξξ线性无关.天津科技大学线性代数检测题§4.1专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 矩阵135022003-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征值为_____________. 2. 设n 阶方阵A 满足2=A E ，则A 的所有可能的特征值是______________.3. 设3阶矩阵A 的特征值为0、1、2，则矩阵2(2)-A E 的特征值为_______________.二．选择题1. 设A 为n 阶方阵，则 ( ).(A) A 的全部特征向量构成向量空间； (B) A 有n 个线性无关的特征向量；(C) A 的全部特征值的和为tr()A ； (D) A 的全部特征值的积为tr()A .2. 矩阵11113111b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征值可能是（ ）. (A) 1，4，0； (B) 1，3，0； (C) 2，4，0； (D) 2，4，1-.三．计算题1. 求矩阵001010100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征值与特征向量.2.求矩阵211020413-⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭A的特征值和特征向量.3.设A是n阶方阵，111,,,242nλ=是A的n个特征值，求行列式13--A E的值.天津科技大学线性代数检测题§4.2专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设n 阶方阵A 有个特征值0，1，2，…，1n -，且方阵B 相似于A ，则=+E B _______. 2. 设方阵A 相似于数量矩阵k E ，则=A _______________.3. 对于n 阶矩阵A ，具有n 个不同的特征值是A 可以对角化的___________条件，具有n 个线性无关的特征向量是A 可以对角化的___________条件.4. 设矩阵11124233a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A 与20002000b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B 相似，则a =_______，b =_______.二．选择题1. 与矩阵1203⎛⎫= ⎪⎝⎭A 不相似的矩阵是（ ）. (A) 1023⎛⎫ ⎪⎝⎭； (B) 3501⎛⎫ ⎪⎝⎭； (C) 1133⎛⎫ ⎪⎝⎭； (D) 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭. 2. 设A 、B 、C 为n 阶方阵，~A B ，~B C ，则A 、C 的关系不正确的是( ).(A) ~A C ； (B) →A C ； (C) =C A ； (D) =A C .三．证明题1. 设A 为3阶方阵，如果矩阵-E A 、3-E A 、+E A 均不可逆，证明A 可以对角化.2. 设A 、B 为方阵，A 可逆，证明~AB BA .四．计算题1.设121000000-⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A，求可逆矩阵P，使得1-P AP成为对角矩阵.2.设3113-⎛⎫= ⎪-⎝⎭A，求可逆矩阵P，使得1-P AP成为对角矩阵.天津科技大学线性代数检测题§4.3专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设λ为n 阶实对称矩阵A 的k 重特征值，则()r λ-=E A __________.2. n 阶实对称矩阵的线性无关的特征向量的个数为_______________.3. 设A 为n 阶实对称矩阵，12, p p 分别是矩阵A 属于不同特征值12, λλ的特征向量，则内积12(, )=p p __________.二．选择题1. 设A 为n 阶实对称正交矩阵，且1为A 的2重特征值，则与A 相似的一个对角矩阵为（ ）.(A) 1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭； (B) 1100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (C) 1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭； (D) 条件不足，不能确定上述矩阵是否与A 相似.三．计算题1. 设矩阵1331⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，求正交矩阵P ，使得1-P AP 为对角矩阵.2.设1111-⎛⎫= ⎪-⎝⎭A，求矩阵2012()ϕ=A A.天津科技大学线性代数第四章自测题专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 若方阵A 有一个特征值是1，则=-E A ___________.2. 已知4阶矩阵~A B ，A 的特征值为2、3、4、5，E 为4阶单位矩阵，则=-B E ________.二．选择题1. 设2λ=是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵1213-⎛⎫ ⎪⎝⎭A 有一个特征值等于 ( ). (A) 43； (B) 34； (C) 12； (D) 14. 2. 设001010100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，~A B ，则()r -=A E ( ).(A) 3； (B) 2； (C) 1； (D) 0.三．证明题1. 设x 、y 是矩阵A 属于不同特征值1λ、2λ的特征向量，证明a b +x y (a 、b 为常数，且0ab ≠)必不是A 的特征向量.2. 设A 是n 阶方阵，证明：(1) 若k =A O (k 是正整数)，则A 的特征值全为0；(2) 若k =A O (k 是正整数)，但≠A O ，则A 不能相似于对角矩阵.四．计算题1. 设矩阵2125312a b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 有一个特征向量111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭η，求a 、b 和η对应的特征值λ.2. 设204060402⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求正交矩阵P ，使得1-P AP 成为对角矩阵.。
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数值线性代数自测题6A
一、填空题（每空3分，共15分）
1.
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=1221a A ,当a 满足条件_____时,A 可作LU 分解, 当a 满足条件_____时,必有分解式T LL A =,其中L 是对角元素为正的下三角阵.
2. 超定线性方程组b Ax =的最小二乘解存在唯一当且仅当______________．
3. 方程组中，
141a A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则求解方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代均收敛的a 的范围是___________。
4. 在求解对称正定线性方程组的共轭梯度算法的第k+1(k >1)步迭代中，下降方向
11k k k k p r p β++=+，这里k β=_____________.
二、判断对错（每小题3分，共15分）
6. 线性方程组b Ax =的条件数1()A A A κ-=.
7. 求解线性方程组b Ax =的单步线性定常迭代算法1k k x Mx g +=+收敛的充分必要条件是()1A ρ≥.
8. 反幂法是求解矩阵A 的按模最小的特征值及对应特征向量的有效算法。
9. 计算矩阵特征值的Jacobi 迭代算法可以求出任意n 阶矩阵A 的全部特征值和特征向量。
三、计算题（每小题10分，共40分）
10.
确定一个Gauss 变换L ，使得[][1,2,3,4,5]1,0,1,0,1T
T L =. 11. 确定一个Householder 阵H 和正数α，使(1,0,1,1,1,1)T H =(1,,0,0,0,0)T α.
12. 用Gauss 消去法解方程组
1231231232314252183520x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
13. 给出一个求解线性方程组 123123123327148233
4613x x x x x x x x x +-=-⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩ 对任意初值都收敛的迭代公式。
并说明理由。
四、综合题（每小题10分，共30分）
14. 设n n A R ⨯∈是非奇异的.试给出用Gauss 消去法求解1B A -=的算法(要求仿照教材中的算法描述)
15. 应用幂法给出求多项式111()n n n n p t t a t a t a --=++++ 的模最大根的算法.
16. 假定n n A R
⨯∈对称正定，011,,,n p p p - 是两两A_共轭的。
给定求解正定线性方程组Ax b =的算法如下：
0x =初值，00r b Ax =-，:0k =
while(
and 0k k n r <⋅⋅≠)
/T T k k k k k r p p Ap α= 1k k k k
x x p α+=+ 1k k =+ end 试用C 语言编制该算法的通用程序(不必考虑A 和b 的数据组织)。