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立体几何证明大题
1．如图，四面体ABCD 中，BCD AD 平面⊥， E 、F 分别为AD 、AC 的中点，CD BC ⊥．
求证：（1）BCD EF 平面// （2）ACD BC 平面⊥．
2、如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中， （1）求证：AC ⊥平面B 1D 1DB; （2）求证：BD 1⊥平面ACB 1 （3）求三棱锥B-ACB 1体积．
3、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.
求证：（１） C 1O ∥面11AB D （2 ）1AC ⊥面11AB D ．
D 1
C 1
B 1
A 1
C
D
B
A
D 1O
D
B A
C 1
B 1
A 1
C
4. 如图，P 为ABC ∆所在平面外一点，⊥PA 平面ABC ，
︒=∠90ABC ，PB AE ⊥于E ，PC AF ⊥于F
求证：（1）⊥BC 平面PAB ；
（2）⊥AE 平面PBC ； （3）⊥PC 平面AEF ．
5、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。

求证：（1）PA ∥平面BDE （2）平面PAC ⊥平面BDE （3）若棱锥的棱长都为2，求棱锥的体积。

6.如图，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC 求证：AB ⊥BC
7.如图，在三棱锥S-ABC 中，,90︒=∠=∠=∠ACB SAC SAB , （Ⅰ）证明SC ⊥BC ；
（Ⅱ）,29,13,2===SB BC AC 若已知 求侧面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小。

F
E
P
C
B A
P
A B C B
S
C
A
A C
高三文科数学立体几何综合题训练
1.如图，四边形ABCD 与''ABB A 都是边长为a 的正方形，点E 是A A '的中点，
'A A ⊥平面ABCD .
（I ）求证：C
A '//平面BDE ；
（II ）求证：平面AC A '⊥平面BDE ．
2.如图，在四棱锥ABCD -P 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ， DC PD =，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F . （1）证明：PA ∥平面EDB ；
（2）证明：PB ⊥平面EFD .
3.在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点。

（1）求证：EF//平面11D ABC ；（2）求证：EF C B 1⊥； （3）求三棱锥EFC B -1的体积V 。

A
B
C E
F
P
1
A 1
C 1
B
B
A
4.在直三棱柱111C B A ABC -中， AC=4,CB=2,AA 1=2
60=∠ACB ，E 、F 分别是BC C A ,11的中点。

（1）证明：平面⊥AEB 平面C C BB 11；
（2）证明：//1F C 平面ABE ；
(3)设P 是BE 的中点，求三棱锥F C B P 11-的体积。

5.如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE
2,AE EB BC === F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ， .BD AC G =
（1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求证：//AE 平面BFD ； （3）求三棱锥E ADC -的体积.
6.如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，AB=5，AA 1=BC=4，点D 是AB 的中点。

（Ⅰ）求证：1AC BC ⊥； （Ⅱ）求证：1//AC 平面CDB 1； （Ⅲ）求三棱锥A 1—B 1CD 的体积。

A1
B1
C1
D1
A
B C
D
E
7.正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂
直, ,//,22
AD CD AB CD CD AB AD
⊥==.
(Ⅰ)求证：BC BE
⊥；
(Ⅱ)在EC上找一点M,使得//
BM平面ADEF,
请确定M点的位置,并给出证明．
8.三棱柱
111
ABC A B C
-中，侧棱与底面垂直，90
ABC
∠= ，
1
2
AB BC BB
===，,
M N分别是AB，
1
A C的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面
11
BCC B；
（Ⅱ）求证：MN⊥平面
11
A B C；
（Ⅲ）求三棱锥M-
11
A B C的体积．
9.如图,长方体
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD-中，1
1
=
=AA
AB,2
=
AD,E是BC的中点.
(Ⅰ)求证：直线//
1
BB平面DE
D
1
；
(Ⅱ)求证：平面AE
A
1
⊥平面DE
D
1
；
(Ⅲ)求三棱锥DE
A
A
1
-的体积.
10.如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平
面，AD PA2
==，CD=E、F
分别
是AB、PD的中点。

（I）求证：AF//平面PCE；
（Ⅱ）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求四面体PEFC的体积
11.如图（1），ABC
∆是等腰直角三角形，4
AC BC
==，E、F分别为AC、AB的中点，将AEF
∆沿EF折起，使A'在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点，得到图（2）．
E
B
A
C
D
F
N
M
C1
B1
A1
C
B
A
（1）求证：EF A C '⊥； （2）求三棱锥BC A F '-的体积．
12.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥
平面ABCD ，点M 、N 分别为BC 、PA 的中点，且PA ＝AD ＝2，
AB ＝1，AC
（Ⅰ）证明：CD ⊥平面P AC ；
（Ⅱ）在线段PD 上是否存在一点E ，使得NM ∥平面ACE ；若存在，求出PE 的长；若不存在，说明理由.
13.一个四棱锥P-ABCD 的三视图如图所示. （1）求四棱锥P-ABCD 的体积；
（2）若E 为CD 中点，求证:平面PBD ⊥平面PAE 。

15.已知四棱锥P —A BCD 中，点M 是PC 的中点，点E 是AB 上的一个动点，且该四棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是直角三角形。

F E
A
（I ）求证：PA//平面BDM ；
（II ）若点E 是AB 的中点，求证：CE ⊥平面P DE ；
（III ）无论点E 在何位置，是否均有三棱锥C —PDE 的体积为
定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由。

16.一个简单多面体的直观图和三视图如图所示，它的主视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，俯视图的轮廓为正方形，E 是PD 的中点. （1）求证:ACE PB 平面//; （2）求证:PC ⊥BD ；
（3）求三棱锥C-PAB 的体积。

17.已知矩形ABCD 中，AB=6，
BC=E 为AD 的中点（图一）。

沿BE 将△ABE 折起，使平面ABE ⊥平面BECD （图二），且F 为AC 的中点。

（1）求证：FD//平面ABE ； （2）求证：AC ⊥BE 。

18.如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,A C ∠=∠=
105ADC ∠=
,AB BD =,
主视图
侧视图
俯视图
甲D C
B A 现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BD
C （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、A
D 的中点．
（1）求证：DC ⊥平面ABC ； （2）设CD a =，求三棱锥A －BFE 的体积．
19.如图，在体积为1的三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，AB AC ⊥，
11==AA AC ，P 为线段AB 上的动点. （Ⅰ）求证：P C CA 11⊥；
（Ⅱ）线段AB 上是否存在一点P ，使四面体11C AB P -的体积为6
1
？若存在， 请确定点P 的位置；若不存在，请说明理由.
20.如图，已知四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝2，AB ＝BC ＝1．沿AC 将△ABC 折起，使点B 到点P 的位置， 且平面PAC ⊥平面ACD ． （Ⅰ）证明：DC ⊥平面APC ； （Ⅱ）求棱锥A －PBC 的体积．。