2017-2018学年北京师大附中八年级(下)期中数学试卷含答案解析

2017-2018学年北京师大附中八年级（下）期中数学试卷一、选择题：（本题共16分，每小题2分）1．（2018春•西城区校级期中）下列各组数中，是直角三角形的三条边长的是（）A．1，3，√3B．3，4，5C．2，3，√7D．4，6，7 2．（2018春•大竹县期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B＝65°，则∠DAE等于（）A．15°B．25°C．35°D．65°3．（2017•西城区一模）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0，此方程可化为（）A．（x﹣3）2＝4B．（x﹣3）2＝14C．（x﹣9）2＝4D．（x﹣9）2＝14 4．（2014•山东模拟）如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长（）A．1B．1.5C．2D．3 5．（2008•扬州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形D．当AC＝BD时，它是正方形6．（2018春•西城区校级期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点A坐标是（﹣2，0），则点B坐标为（）A．（0，2）B．（0，√3）C．（0，1）D．（0，2√3）7．（2018春•西城区校级期中）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个实数根，则a的取值范围为（）A．a≥0B．a＜2C．a≥0且a≠1D．a≤2且a≠1 8．（2017春•青山区期末）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB＝6，BC＝8，则线段CH的长为（）A．2√5B．√21C．2√10D．√41二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2015•聊城）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是．10．（2018春•西城区校级期中）如果4a﹣2b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0必有一个根为．11．（2018春•河西区期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为．12．（2014•沈阳校级模拟）若(m−2)x m2−2+x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是．13．（2018春•西城区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝3，两条对角线AC、BD所夹的钝角为120°，则对角线BD的长为．14．（2018春•上饶县期末）小明做了一个平行四边形的纸板，但他不确定纸板形状是否标准，小聪用刻度尺量了这个四边形的四条边长，然后说这个纸板是标准的平行四边形，小聪的依据是 ．15．（2017秋•鄄城县期中）如图，长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，求AG 的长．16．（2018春•西城区校级期中）边长为a 的菱形是由边长为a 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h ，则称为aℎ为这个菱形的“形变度”．（1）一个“形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 ． （2）如图，A 、B 、C 为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为65）中的格点，则△ABC 的面积为 ．三、解答题17．（2018春•西城区校级期中）解方程： （1）（x ﹣2）2＝5； （2）x 2﹣2x ﹣2＝0； （3）（x ﹣3）（x +2）＝6．18．（2014•无锡模拟）已知，如图，在▱ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上的两点，且BF ＝DE．求证：AE＝CF．19．（2018春•西城区校级期中）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图，四边形ABCD是平行四边形；求作：菱形AECF，使点E，F分别在BC，AD上．小凯的作法如下：（1）连接AC；（2）作AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于E，F．（3）连接AE，CF所以四边形AECF是菱形．老师说：“小凯的作法正确”．回答下列问题：根据小凯的做法，小明将题目改编为一道证明题，请你帮助小明完成下列步骤：（1）已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，．（补全已知条件）求证：四边形AECF是菱形．（2）证明：（写出证明过程）20．（2018秋•岳麓区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD ＝1，CD＝3．（1）求∠DAB的度数．（2）求四边形ABCD的面积．21．（2017•巴中）巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率．22．（2016•西城区二模）已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1＝x2+1，求m的值．23．（2013•北京）如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=12BC，连接DE，CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．24．（2006•济宁）直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下：请你用上面图示的方法，解答下列问题：（1）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；（2）对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．25．（2017秋•莒县期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD⊥AC于点D；CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F．（1）求证：△BEF是等腰三角形；（2）求证：BD=12（BC+BF）．26．（2018春•西城区校级期中）已知：如图，∠MON＝90°，△ABC中，∠C＝90°，AC ＝3cm，BC＝4cm，将△ABC的两个顶点A、B放在射线OM和ON上移动，作CD⊥ON 于点D，记OA＝x（当点O与A重合时，x的值为0），CD＝y．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）通过取点、画图、计算、测量等方法，得到了x与y的几组值，如下表（补全表格）x/cm01234 4.55y/cm 2.4 3.0 3.5 3.9 4.0 3.9（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题；当x的值为时，线段OC长度取得最大值为cm．27．（2018春•西城区校级期中）已知：正方形ABCD的边长为2，点M在射线BC上，且∠BAM＝θ，射线AM交BD于点N，作CE⊥AM于点E．（1）如图1，当点M在边BC上时，则θ的取值范围是（点M与端点B不重合）；∠NCE与∠BAM的数量关系是；（2）若点M在BC的延长线时；①依题意，补全图2；②第（1）中的∠NCE与∠BAM的数量关系是否发生变化？若变化，写出数量关系，并说明理由．2017-2018学年北京师大附中八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共16分，每小题2分）1．（2018春•西城区校级期中）下列各组数中，是直角三角形的三条边长的是（）A．1，3，√3B．3，4，5C．2，3，√7D．4，6，7解：A、∵12+（√3）2≠32，∴不是直角三角形；B、∵32+42＝52，∴是直角三角形；C、∵22+（√7）2≠72，∴不是直角三角形；D、∵42+62≠72，∴不是直角三角形；故选：B．2．（2018春•大竹县期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B＝65°，则∠DAE等于（）A．15°B．25°C．35°D．65°解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝65°，∵AE⊥CD，∴∠DAE＝90°﹣∠D＝25°．故选：B．3．（2017•西城区一模）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0，此方程可化为（）A．（x﹣3）2＝4B．（x﹣3）2＝14C．（x﹣9）2＝4D．（x﹣9）2＝14解：∵x2﹣6x＝5，∴x2﹣6x+9＝5+9，即（x﹣3）2＝14，故选：B．4．（2014•山东模拟）如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长（）A．1B．1.5C．2D．3解：根据平行四边形的对边相等，得：CD＝AB＝5，AD＝BC＝3．根据平行四边形的对边平行，得：CD∥AB，∴∠AED＝∠BAE，又∠DAE＝∠BAE，∴∠DAE＝∠AED．∴ED＝AD＝3，∴EC＝CD﹣ED＝5﹣3＝2．故选：C．5．（2008•扬州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形D．当AC＝BD时，它是正方形解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB＝BC时，它是菱形，故A选项正确；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，∵AC⊥BD，∴AB2＝BO2+AO2，AD2＝DO2+AO2，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC＝BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；综上所述，符合题意是D选项；故选：D．6．（2018春•西城区校级期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点A坐标是（﹣2，0），则点B 坐标为（ ）A ．（0，2）B ．（0，√3）C ．（0，1）D ．（0，2√3） 解：∵在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，点A 坐标是（﹣2，0），∴∠OAB =12∠BAD ＝60°，∠AOB ＝90°，在直角△AOB 中，∵OA ＝2，∴OB ＝OA •tan ∠OAB ＝2×√3=2√3，∴点B 坐标为（0，2√3）．故选：D ．7．（2018春•西城区校级期中）关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+2x ﹣1＝0有两个实数根，则a 的取值范围为（ ）A ．a ≥0B ．a ＜2C ．a ≥0且a ≠1D ．a ≤2且a ≠1 解：∵关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+2x ﹣1＝0有两个实数根，∴{a −1≠0△=22−4×(−1)(a −1)≥0， 解得：a ≥0且a ≠1．故选：C ．8．（2017春•青山区期末）如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线，将ABCD 绕点B 顺时针旋转90°到GBEF 位置，H 是EG 的中点，若AB ＝6，BC ＝8，则线段CH 的长为（ ）A ．2√5B ．√21C ．2√10D ．√41解：过点H 作HM ⊥BC 于点M ，∵将ABCD 绕点B 顺时针旋转90°到GBEF 位置，AB ＝6，BC ＝8，∴BE＝BC＝8，∠CBE＝90°，BG＝AB＝6，∴HM∥BE，∵H是EG的中点，∴MH=12BE＝4，BM＝GM=12BG＝3，∴CM＝BC﹣BM＝8﹣3＝5，在Rt△CHM中，CH=√HM2+CM2=√41．故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2015•聊城）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝2．解：原方程变形为：x（x﹣2）＝0，x1＝0，x2＝2．故答案为：x1＝0，x2＝2．10．（2018春•西城区校级期中）如果4a﹣2b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0必有一个根为2．解：由题意，一元二次方程ax2﹣bx+c＝0满足4a﹣2b+c＝0且a≠0，∴当x＝2时，代入方程ax2﹣bx+c＝0，有4a﹣2b+c＝0；综上可知，方程必有一根为2．故答案为：2．11．（2018春•河西区期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为16．解：∵BD＝AD，BE＝EC，∴DE=12AC＝5，DE∥AC，∵CF＝F A，CE＝BE，∴EF=12AB＝3，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF的周长＝2（DE+EF）＝16．故答案为16．12．（2014•沈阳校级模拟）若(m−2)x m2−2+x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是﹣2．解：∵(m−2)x m2−2+x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，∴m﹣2≠0，m2﹣2＝2，解得：m＝﹣2，故答案为：﹣2．13．（2018春•西城区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝3，两条对角线AC、BD所夹的钝角为120°，则对角线BD的长为6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC=12AC，OD＝OB=12BD，∴OA＝OB，∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OB＝AB＝3，∵OB=12BD，∴BD＝6．故答案为：6．14．（2018春•上饶县期末）小明做了一个平行四边形的纸板，但他不确定纸板形状是否标准，小聪用刻度尺量了这个四边形的四条边长，然后说这个纸板是标准的平行四边形，小聪的依据是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ．解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴用刻度尺量了这个四边形的四条边长，判定两组对边是否分别相等即可；故答案为两组对边分别相等的四边形是平行四边形．15．（2017秋•鄄城县期中）如图，长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，求AG 的长．解：在Rt △ABD 中，BD =√AB 2+AD 2=√32+42=5，由折叠的性质可得，△ADG ≌△A ′DG ，∴A ′B ＝AD ＝3，A ′G ＝AG ，∴A ′B ＝BD ﹣A ′D ＝5﹣3＝2，设AG ＝x ，则A ′G ＝AG ＝x ，BG ＝4﹣x ，在Rt △A ′BG 中，x 2+22＝（4﹣x ）2，解得x ＝1.5，即AG ＝1.5．16．（2018春•西城区校级期中）边长为a 的菱形是由边长为a 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h ，则称为a ℎ为这个菱形的“形变度”． （1）一个“形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 1：2 ．（2）如图，A 、B 、C 为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为65）中的格点，则△ABC 的面积为 454 ．解：（1）∵边长为a 的正方形面积＝a 2，边长为a 的菱形面积＝ah ，∴菱形面积：正方形面积＝ah ：a 2＝h ：a ，∵菱形的变形度为2，即a ℎ=2， ∴“形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比＝1：2，故答案为：1：2；（2）∵菱形的边长为1，“形变度”为65， ∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比为65， ∴S △ABC ＝（36−12×6×3−12×3×3−12×3×6）×56=454故答案为：454．三、解答题17．（2018春•西城区校级期中）解方程：（1）（x ﹣2）2＝5；（2）x 2﹣2x ﹣2＝0；（3）（x ﹣3）（x +2）＝6．解：（1）（x ﹣2）2＝5，x ﹣2＝±√5，∴x 1＝2+√5，x 2＝2−√5；（2）x 2﹣2x ﹣2＝0，x 2﹣2x ＝2．x 2﹣2x +1＝2+1，即（x ﹣1）2＝3，x ﹣1=±√3，∴x 1＝1+√3，x 2＝1−√3；（3）（x ﹣3）（x +2）＝6，整理得，x2﹣x﹣12＝0，（x﹣4）（x+3）＝0，∴x﹣4＝0或x+3＝0，x1＝4，x2＝﹣3．18．（2014•无锡模拟）已知，如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF＝DE．求证：AE＝CF．证明：连接AC交BD于点O，连接AF、CE∵▱ABCD∴OA＝OC，OB＝OD∵OF＝BF﹣OB，OE＝DE﹣ODBF＝DE∴OE＝OF∵OA＝OC，OE＝OF∴四边形AECF是平行四边形∴AE＝CF19．（2018春•西城区校级期中）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图，四边形ABCD是平行四边形；求作：菱形AECF，使点E，F分别在BC，AD上．小凯的作法如下：（1）连接AC；（2）作AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于E，F．（3）连接AE，CF所以四边形AECF是菱形．老师说：“小凯的作法正确”．回答下列问题：根据小凯的做法，小明将题目改编为一道证明题，请你帮助小明完成下列步骤：（补（1）已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，EF垂直平分AC．全已知条件）求证：四边形AECF是菱形．（2）证明：（写出证明过程）（1）已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，EF垂直平分AC；求证：四边形AECF是菱形．（2）证明：∵EF垂直平分AC，∴EA＝EC，F A＝FC，AC⊥EF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ECA，∵EA＝EC，∴∠ECA＝∠EAC，∴∠EAC＝∠DAC，∴AC平分EF，即AC与EF互相垂直平分，∴四边形AECF是菱形．故答案为EF垂直平分AC．20．（2018秋•岳麓区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD ＝1，CD＝3．（1）求∠DAB的度数．（2）求四边形ABCD的面积．解：（1）连结AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC=2√2，∠BAC＝45°，∵AD＝1，CD＝3，∴AD2+AC2=12+(2√2)2=9，CD2＝9，∴AD2+AC2＝CD2，∴△ADC是直角三角形，∴∠DAC＝90°，∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝135°．（2）在Rt△ABC中，S△ABC=12⋅BC⋅AB=12×2×2=2，在Rt△ADC中，S△ADC=12⋅AD⋅AC=12×1×2√2=√2．∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=2+√2．21．（2017•巴中）巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率．解：设平均每次下调的百分率为x，根据题意得：5000（1﹣x）2＝4050，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：平均每次下调的百分率为10%．22．（2016•西城区二模）已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1＝x2+1，求m的值．解：（1）∵△＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9）＝36＞0，∴此方程有两个不相等的实数根；（2）∵x=4m±√362=2m±3，∴x1＝2m﹣3，x2＝2m+3，∵2x1＝x2+1，∴2（2m﹣3）＝2m+3+1，∴m＝5．23．（2013•北京）如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=12BC，连接DE，CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．证明：（1）在▱ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC．∵F是AD的中点，∴DF=12 AD．又∵CE=12BC，∴DF＝CE，且DF∥CE，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）解：如图，过点D作DH⊥BE于点H．在▱ABCD中，∵∠B＝60°，∴∠DCE＝60°．∵AB＝4，∴CD＝AB＝4，∴CH=12CD＝2，DH＝2√3．在▱CEDF中，CE＝DF=12AD＝3，则EH＝1．∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE=√(2√3)2+1=√13．24．（2006•济宁）直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下：请你用上面图示的方法，解答下列问题：（1）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；（2）对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．解：（1）如图所示：（2）如图所示：25．（2017秋•莒县期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD⊥AC于点D；CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F．（1）求证：△BEF是等腰三角形；（2）求证：BD=12（BC+BF）．证明：（1）在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D，∴∠ABD＝∠CBD，AD＝CD，∵∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∵CE平分∠ACB，∴∠ECB＝∠ACE＝22.5°，∴∠BEF＝∠CFD＝∠BFE＝67.5°，∴BE＝BF，∴△BEF是等腰三角形；（2）如图，延长AB至M，使得BM＝AB，连接CM，∵D是AC的中点，∴BD∥MC，BD=12MC，∴∠BFE＝∠MCE，由（1）得，∠BEF＝∠BFE，BE＝BF，∴∠BEF＝∠MCE，∴ME＝MC，∴BD=12MC=12ME=12（MB+BE）=12（BC+BF）．26．（2018春•西城区校级期中）已知：如图，∠MON＝90°，△ABC中，∠C＝90°，AC ＝3cm，BC＝4cm，将△ABC的两个顶点A、B放在射线OM和ON上移动，作CD⊥ON 于点D，记OA＝x（当点O与A重合时，x的值为0），CD＝y．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）通过取点、画图、计算、测量等方法，得到了x与y的几组值，如下表（补全表格）x/cm01234 4.55y/cm 2.4 3.0 3.5 3.9 4.0 3.9 3.2（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题；当x的值为4时，线段OC长度取得最大值为5cm．解：（1）当x＝5时，如图2所示．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，∴AB=√AC2+BC2=5cm，∴当x＝5时，点B和点O重合．∵∠AOC+∠COD＝90°，∠AOC+∠OAC＝90°，∴∠COD＝∠OAC，∴sin∠COD＝sin∠OAC，∴CD OC=OC OA，即y 4=45，∴y =165=3.2． 故答案为：3.2．（2）描点、连线，画出函数图象，如图3所示． （3）以AB 为直径作圆E ，连接EO ，EC ，如图4所示． ∵EC ＝EO =12AB =52cm ，∴当点O ，C ，E 三点共线时，OC 取得最大值，最大值为5cm ． ∵AE ＝BE ，OE ＝CE ，AB ＝OC ， ∴四边形AOBC 为矩形， ∴AO ＝BC ＝4cm ，∴当x 的值为4时，线段OC 长度取得最大值为5cm ． 故答案为：4；5．27．（2018春•西城区校级期中）已知：正方形ABCD 的边长为2，点M 在射线BC 上，且∠BAM ＝θ，射线AM 交BD 于点N ，作CE ⊥AM 于点E ．（1）如图1，当点M 在边BC 上时，则θ的取值范围是（点M 与端点B 不重合） 0°＜θ＜45° ；∠NCE 与∠BAM 的数量关系是 ∠NCE ＝2∠BAM ； （2）若点M 在BC 的延长线时； ①依题意，补全图2；②第（1）中的∠NCE 与∠BAM 的数量关系是否发生变化？若变化，写出数量关系，并说明理由．解：（1）如图1，当点M 在边BC 上时，则θ的取值范围是0°＜θ＜45°，∠NCE ＝2∠BAM ，理由如下：∵当M 与B 重合时，∠BAM ＝θ＝0°，当M 与C 重合时，由正方形ABCD 可得，∠BAM ＝∠BAC ＝θ＝45°，∴点M 在边BC 上时，则θ的取值范围是0°＜θ＜45°， ∵正方形ABCD ，∴AB ＝BC ，∠ABN ＝∠CBN ＝45°， 在△ABN 与△CBN 中 {AB =BC∠ABN =∠CBN BN =BN， ∴△ABN ≌△CBN （SAS ）， ∴∠BAN ＝∠NCB ， ∵CE ⊥AE ，正方形ABCD ，∴∠BAN +∠AMB ＝90°，∠CME +∠MCE ＝90°， ∵∠AMB ＝∠CME ， ∴∠BAN ＝∠CME ，∴∠NCE ＝∠NCB +∠MCE ＝2∠BAM ，故答案为：0°＜θ＜45°，∠NCE ＝2∠BAM ；（2）①如图2，②∠NCE 与∠BAM 的数量关系发生变化，∠NCE ＝180°﹣2∠BAM ，理由如下： ∵正方形ABCD ，∴AD ＝DC ，∠ADN ＝∠CDN ＝45°， 在△ADN 与△CDN 中 {AD =DC∠ADN =∠CDN DN =DN， ∴△ADN ≌△CDN （SAS ）， ∴∠DAN ＝∠DCN ＝90°﹣∠BAM ， ∵CE ⊥AM ，正方形ABCD ，∴∠OCE +∠EOC ＝90°，∠DOA +∠DAN ＝90°， ∵∠EOC ＝∠DOA ，∴∠OCE ＝∠DAN ＝90°﹣∠BAM ，∴∠NCE ＝∠OCE +∠DCN ＝90°﹣∠BAM +90°﹣∠BAM ＝180°﹣2∠BAM ．。