必修4第三章 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第3课时)
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式疱工巧解牛知识•巧学 一、倍角公式1.公式的推导：倍角公式是和角公式的特例，只要在和角公式中令α=β，就可得出相应的倍角公式.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ−−→−=βα令sin2α=2sinαcosα；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ−−→−=βα令cos2α=cos 2α-sin 2α.由于sin 2α+cos 2α=1，显然，把sin 2α=1-cos 2α代入cos2α=cos 2α -sin 2α，得cos2α=cos 2α-sin 2α=cos 2α-(1-cos 2α)=2cos 2α-1. 同理，消去cos 2α，得cos2α=1-2sin 2α. tan(α+β)=αααβαβαβα2tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan -=−−→−•-+=令. 综上，我们把公式叫做二倍角公式.2.二倍角公式中角α的范围由任意角的三角函数的定义可知S 2α、C 2α中的角α是任意的，但公式T 2α即tan2α=αα2tan 1tan 2-中的角是有条件限制的. 要使tan2α有意义，需满足1-tan 2α≠0且tanα有意义.当tanα有意义时，α≠2π+kπ(k∈Z )；当1-tan 2α≠0，即tanα≠±1时，α≠±4π+kπ(k∈Z ).综上,可知要使T 2α有意义，需α≠±4π+kπ且α≠2π+kπ(k∈Z ).特别地，当α=2π+kπ(k∈Z )时，虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值，可用诱导公式进行，即tan2(2π+kπ)=tan(π+2kπ)=tanπ=0. 学法一得 二倍角的切函数是用单角的切函数表示出来的，它的角α除了使解析式有意义外，还应使函数自身也有意义. 3.倍角公式中的倍角是相对的二倍角公式不仅仅可用于将2α作为α的2倍的情况，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，4α是2α的二倍角，3α是23α的二倍角，2α是4α的二倍角，3α是6α的二倍角等. 在运用倍角公式对半角的三角函数进行变换时，无论正用还是逆用，都可直接使用这一公式.例6cos6sin23sinααα=，6cos 26sin 6cos 3cos222αααα=-=-1=1-2sin26α；sin3α·cos3α=21 (2sin3αcos3α)=21sin6α；cos 22α-sin 22α=cos4α；ααα3sin 4123cos 23sin 21=；︒-︒35tan 135tan 22=tan70°等. 4.倍角公式的几种变形形式(sinα±cosα)2=1±sin2α；1+cos2α=2cos 2α；1-cos2α=2sin 2α；cos 2α=22cos 1α+；sin 2α=22cos 1α-. 学法一得 我们常把1+co sα=2cos 22α，1-cosα=2sin 22α称为升幂换半角公式，利用该公式消去常数项，便于提取公因式化简三角函数式；把cos 2α=22cos 1α+，sin 2α=22cos 1α-称为降幂换倍角公式，利用该公式能使之降次，便于合并同类项化简三角函数式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.对于该公式不仅要会正用，还应会逆用和变用.5.倍角公式与和角公式的内在联系只有理清公式的来龙去脉及公式的变形形式，才能及时捕捉到有价值的信息，完成问题的解答. 典题•热题知识点一 直接应用倍角公式求值 例1 求下列各式的值：(1)2sin15°sin105°；(2)︒-15sin 731432；(3)︒-︒5.22tan 15.22tan 2；(4)12cos24cos 24sin πππ. 解：(1)原式=2sin15°·sin(90°+15°)=2sin15°cos15°=sin30°=21.(2)原式=143(1-2sin 215°)=143cos30°=283323143=⨯. (3)原式=.2112145tan 215.22tan 15.22tan 2212=⨯=︒=︒-︒•. (4)原式=8121416sin 4112cos 12sin 21=⨯==πππ.方法归纳 倍角公式中的角是相对的，对它应该有广义上的理解，即112cos 2sin22++=n n nααα(n∈N *)，12sin 2cos 2cos212+-=+n n nααα(n∈N *)，1212tan 12tan 22tan++-=n n nααα (n∈N *).知识点二 利用倍角公式给值求值例2 已知x∈(2π-，0)，cosx=54，则tan2x 等于( ) A.247 B.247- C.724 D.724- 思路分析：运用三角函数值在各个象限的符号及倍角公式求解. 解法一：∵x∈(2π-，0)，cosx=54， ∴sinx=53)54(1cos 122-=--=--x . 由倍角公式sin2x=2sinxcosx=2524-，cos2x=2cos 2x-1=2×(54)2-1=257. 得tan2x=7242cos 2sin -=x x .解法二：∵x∈(2π-，0)，cosx=54，∴sinx=53)54(1cos 122-=--=--x .∴tanx=43cos sin -=x x . ∴tan2x=724)43(1)43(2tan 1tan 222-=---⨯=-xx . 答案：D方法归纳 ①解好选择题的关键在于能否针对题目的特点，选择合理而适当的解法，最忌对任何题目都按部就班地演算求解，小题大做，应力求做到“小题小做”“小题巧做”. ②像这种从题目的条件出发，通过正确地运算推理，得出结论，再与选择肢对照确定选项的方法叫做定量计算法；像这样通过对题干和选择肢的关系进行观察、分析，再运用所学知识，通过逻辑推理作出正确选择的方法叫做定性分析法. 例3 已知sin(4π+α)sin(4π-α)=161，α∈(2π，π)，求sin4α的值.思路分析：要求sin4α的值，根据倍角公式可知只需求出sin2α、cos2α的值或sinα、cosα的值即可.由于(4π+α)+(4π-α)=2π，可运用二倍角公式求出cos2α的值. 解：由题设条件得sin(4π+α)sin(4π-α)=sin(4π+α)cos［2π-(4π-α)］ =sin(4π+α)cos(4π+α)=21sin(2π+2α)=21cos2α=61，∴cos2α=31.∵α∈(2π，π)，∴2α∈(π，2π).又∵cos2α=31>0，∴2α∈(23π，2π).∴sin2α=322)31(12cos 122-=--=--α. ∴sin4α=2sin2α·cos2α=2×92431)322(-=⨯-. 例4 已知cos(4π+x)=53，47127ππ<<x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.思路分析：由于结论中同时含有切、弦函数，所以可先对结论切化弦，化简后不难发现，只需求出sin2x 和tan(4π+x)的值即可，注意到2(4π+x)=2π+2x ，这样通过诱导公式就容易找到sin2x 同cos(4π+x)的关系了. 解：∵47127ππ<<x ，∴πππ2465<+<x .又∵cos(4π+x)=53>0，∴23π＜4π+x ＜2π.∴sin(4π+x)=54)53(1)4(cos 122-=--=+--x π，345354)4cos()4sin()4tan(-=-=++=+x x x πππ.∵sin2x=-cos2(4π+x)=1-2cos 2(4π+x)=25725181=-， ∴原式=x x x x x x x x x x x xx x x sin cos )sin (cos 2sin sin cos cos sin 2cos 2sin cos sin 1sin 22sin 22-+=-•+•=-+7528)34(257)4tan(2sin tan 1tan 12sin -=-⨯=+•=-+•=x x x x x π.例5 在△ABC 中，已知AB=AC=2BC(如图3-1-10)，求角A 的正弦值.图3-1-10思路分析：由于所给三角形是等腰三角形，所以可通过底角的三角函数值或顶角一半的三角函数值来求解.解：作AD⊥BC 于点D ，设∠BAD=θ，那么A=2θ.∵BD=21BC=41AB ，∴sinθ=41=AB BD . ∵0＜2θ＜π，∴0＜θ＜2π.于是cosθ=415)41(1sin 122=-=-θ. 故sinA=sin2θ=2sinθcosθ=815415412=⨯⨯. 巧解提示:作AD⊥BC 于点D ，∵BD=21BC=41AB,又∵AB=AC， ∴∠B=∠C.∴cosB=cosC=41=AB BD . ∵0＜B ＜2π，∴sinB=415.又∵A+B+C=π，∴A=π-(B+C)=π-2B. ∴sinA=sin(π-2B)=sin2B=2sinBcosB=815414152=⨯⨯. 方法归纳 在△ABC 中，由于A+B+C=π，所以A=π-(B+C)，222CB A +-=π.由诱导公式可知：sinA=sin(B+C)；cosA=-cos(B+C)；tanA=-tan(B+C)；2cot2tan ;2sin 2cos ;2cos 2sinC B A C B A C B A +=+=+=. 任意变换A 、B 、C 的位置，以上关系式仍然成立. 例6 已知sin 22α+sin2αcosα-cos2α=1，α∈(0，2π)，求sinα、tanα的值. 思路分析：已知是二倍角，所求的结论是单角；已知复杂，结论简单，因此可从化简已知入手，推出求证的结论.解：把倍角公式sin2α=2sinαcosα，cos2α=2cos 2α-1代入已知得 4sin 2αcos 2α+2sinαcos 2α-2cos 2α=0， 即2cos 2α(2sin 2α+sinα-1)=0， 即2cos 2α(2sinα-1)(sinα+1)=0.∵α∈(0，2π)，∴sinα+1≠0，cos 2α≠0. ∴2sinα-1=0，即sinα=21.又∵α∈(0,2π),∴α=6π.∴tanα=33.知识点三 利用倍角公式化简三角函数式例7 利用三角公式化简sin50°(1+3tan10°).思路分析：本题给我们的感觉是无从下手，很难看出有什么公式可直接利用.从角的角度去分析，10°、50°除了它们的和60°是特殊角外，别无特点；从函数名称的角度去分析，由于该式子有弦，有切，我们可从化切为弦入手去尝试解决，转化成弦函数.通分后出现asinθ+bcosθ的形式，由于3是一特殊角的三角函数值，可把它拼凑成两角和(差)的正、余弦展开式的形式逆用公式求值.若把50°转化成(60°-10°)从同一角入手，也可以求值. 解：原式=sin(60°-10°)(1+3tan10°)=(23cos10°-21sin10°)(1+3tan10°) =23cos10°+23cos10°tan10°-21sin10°-23sin10°tan10° =23cos10°+sin10°-23sin10°·tan10°=23(cos10°-︒︒10cos 10sin 2)+sin10° =︒︒︒+︒•=︒+︒︒•10cos 10cos 10sin 33220cos 2310sin 10cos 20cos 23 ︒︒+︒••=︒︒+︒•=10cos 20sin 2120cos 233322310cos 20sin 3320cos 23180sin 80sin 10cos 80sin 10cos 20sin 60cos 20cos 60sin =︒︒=︒︒=︒︒︒+︒︒=.巧解提示:原式=︒︒+︒•︒=︒︒+︒10cos )10sin 2310cos 21(250sin )10cos 10sin 31(50sin ︒︒︒+︒︒︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2110cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin 40cos 2=︒︒=︒︒=︒︒︒=.方法归纳 对于三角整式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对二次根式，要设法使被开方数升次，通过开方进行化简.另外，还可用切割化弦、变量代换、角度归一等方法.对于形如1±sinα、1±cosα的形式，我们可采取升幂换半角的形式，消去常数项1，通过提取公因式化简有理式或通过开方化简无理式. 例8 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值. 解：由于cos60°=21，所以原式=21cos20°cos40°cos80° ︒︒︒︒︒•=20sin 80cos 40cos 20cos 20sin 21 ︒︒︒•=︒︒︒︒•=20sin 80cos 80sin 8120sin 80cos 40cos 40sin 41 16120sin 160sin 161=︒︒•=. 方法归纳 对于可化为cosαcos2αcos4α…cos2n-1α(n∈N 且n>1)的三角函数式，由于它们的角是以2为公比的等比数列，可将分子、分母同乘以最小角的正弦，运用二倍角公式进行化简.巧解提示:此外，本题也可构造一对偶式求解. 设M=cos20°·cos40°·cos60°·cos80°， N=sin20°·sin40°·sin60°·sin80°， 则MN=161sin40°·sin80°·sin120°·sin160° =161sin20°·sin40°·sin60°·sin80° =161N ，∴M=161,即cos20°·cos40°·cos60°·cos80°=161. 知识点四 利用倍角公式证明三角恒等式例9 求证：θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+. 证明：原式等价于1+sin4θ-cos4θ=αθ2tan 1tan 2-(1+sin4θ+cos4θ)， 即1+sin4θ-cos4θ=tan2θ(1+sin4θ+cos4θ). ① 而①式右边=tan 2θ(1+cos4θ+sin4θ)=θθ2cos 2sin(2cos 22θ+2sin2θcos2θ)=2sin2θcos2θ+2sin 22θ =sin4θ+1-cos4θ=左边.所以①式成立，原式得证. 例10 求证：︒=︒-︒10sin 3240cos 140sin 322. 思路分析：由于分母是三角函数值平方的形式，通分后转化成3cos 240°-sin 240°，按平方差公式展开得(3cos40°+sin40°)(3cos40°-sin40°)，恰好是两个辅助角公式的形式，可运用三角函数的和差公式求值；此外，也可对它的分母降幂换倍角进行化简. 证明：左边=︒•︒︒-︒︒+︒=︒︒︒-︒40cos 40sin )40sin 40cos 3)(40sin 40cos 3(40cos 40sin 40sin 40cos 32222222)40cos 40sin 2()40sin 2140cos 23(2)40sin 2140cos 23(24︒︒︒-︒⨯︒+︒⨯=︒︒︒-︒︒︒︒+︒︒=80sin )40sin 60cos 40cos 60)(sin 40sin 60cos 40cos 60(sin 162︒︒-︒︒+︒=80sin )4060sin()4060sin(162 ︒=︒︒︒⨯=︒︒=︒︒︒=10sin 3210cos 10cos 10sin 21680sin 20sin 1680sin 20sin 100sin 162=右边， 所以原式成立.方法归纳 对于三角函数式的化简、求值和证明，可从角的角度、运算的角度或函数名称的角度去考虑，其中通过通分，提取公因式、约分、合并同类项等运算的手法去化简是非常必要的.例11 已知3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：cos(α+2β)=0.思路分析：从求证的结论看，cos(α+2β)的展开式中含有cosα、cos2β、sinα、sin2β这样的函数值.由已知条件结合倍角公式的特点，恰好能转化出cos2β、sin2β这样的函数值.证明：由3sin 2α+2sin 2β=1，得1-2sin 2β=3sin 2α，∴cos2β=3sin 2α. 又∵sin2β=23sin2α， ∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=cosα·3sin 2α-sinα·23sin2α=23sinαsin 2α-23sinαsin2α=0.方法归纳 首先观察条件与结论的差异，从解决某一差异入手.确定从结论开始，通过变换将已知条件代入得出结论；或通过变换已知条件得出结论；或同时将条件与结论变形，直到找到它们间的联系.如果上述方法都难奏效的话，可采用分析法；如果已知条件含有参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法，等等. 问题•探究 材料信息探究问题 倍角和半角公式：sinα=2tan12tan22αα+，cosα=2tan12tan 122αα+-，tanα=2tan12tan 22αα-，这组公式称为“万能公式”，那么“万能公式”是怎样来的？它真的是“万能”的吗？探究过程:万能公式是一组用tan2α来表示sinα、cosα和tanα的关系式. 这组公式可以利用二倍角公式推导，其中正切tanα=2tan 12tan22αα-，可以由倍角公式直接获得；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母，再分子、分母同除以cos 22α可得： 2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2sin 222ααααααααα+=+==， 2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 2sin 2cos cos 22222222ααααααααα+-=+-=-=. 这组“万能公式”为一类三角函数的求值提供了一座方便可行的桥梁，如要计算cosα或sin(α+β)的值，可以先设法求得tan2α或2tan βα+的值.由于公式中涉及角的正切，所以使用时要注意限制条件，即要保证式子有意义.探究结论:所谓的“万能”，是说不论角α的哪一种三角函数，都可以表示成tan 2α的有理式，这样就可以把问题转化为以tan 2α为变量的“一元有理函数”，即如果令tan 2α=t ，则sinα、cosα和tanα均可表达为关于t 的分式函数，这就实现了三角问题向代数问题的转化，为三角问题用代数方法求解提供了一条途径.如tan15°+cot15°=tan15°+=︒+︒=︒15tan 115tan 15tan 12430sin 2115tan 15tan 222=︒=+︒︒，就较方便的解决了问题.再如求函数2sin cos +=x x y 的值域.令t x =2tan ，则t∈R ，利用万能公式有sinx=212t t +,cosx=2211t t +-，所以=+++-=21211222tt t t y 222221t t t ++-，由此可以建立关于t 的一次或二次函数(2y+1)t 2+2yt+2y-1=0，进一步分类讨论可得函数的值域.。
高中数学人教版A版必修4《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》优质PPT课件
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
3.1两角和差的正弦、余弦和正切公式(3课时)
理论迁移
例1 利用余弦公式求cos15°的值.
5 4 p 骣 ÷ ， p , 例2 已知sin a = ,cosb = - , a Î ç ÷ ç 桫 2 13 5
β 是第三象限角,求cos(α －β )的值.
1 例3 已知 cos( a + b )cosb + sin(a + b )sin b = , 3
t an a - t an b t an(a - b ) = . 1 + t an a t an b
思考6：上述公式就是两角和与差的正切 T ( a + b ) ，这两 公式，分别记作 T ( a - b )， 个公式有什么特点？如何记忆？公式成 立的条件是什么？
思考7：为方便起见，公式S ( a + b ) , C ( a + b ) , T ( a + b ) 称为和角公式，公式S ( a - b ) , C a - b , T ( a - b ) 称为差角公式.怎样理解这6个公 式的逻辑联系？
探究（二）：两角差的余弦公式的变通
思考1：若已知α ＋β 和β 的三角函数 值，如何求cosα 的值？
cosα ＝cos[(α ＋β )－β ]＝ cos(α ＋β ) cosβ ＋sin(α ＋β )sinβ . 思考2：利用α －(α －β )＝β 可得 cosβ 等于什么？ cosβ ＝cos[(α －β )－α ]＝ cos(α －β )cosα ＋sin(α －β )sinα .
思考5：sinx＋cosx能用一个三角函数表 示吗？ p sin x + cos x = 2 sin(x + ) 4
理论迁移
3 例1 已知 sin ，α 是第四象限角， 5 p 求 cos( ) ， sin( ) ， t an( a - ) 的值.
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(必修四第三章)
第三章 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式知识点一： 两角和与差的正弦、余弦、正切公式βαβαβαsin c cos s )(s os in in +=+ ）（βα+Sβαβαβαsin c cos s )(s os in in -=- ）（βα-S βαβαβαsin sin cos cos )(cos +=- ）（βα-C βαβαβαsin sin -cos c )(c os os =+ ）（βα+Cβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ ）（βα+T βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- ）（βα-T 变形公式：)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=± )4sin(2cos sin πααα±=±.知识点二： 二倍角的正弦、余弦、正切公式：S 2α：sin 2α＝2sinαcosα；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.变形公式： 22cos 1cos 2αα+=, 22cos 1sin 2αα-= 1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2, 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 知识点三： 辅助角公式辅助角公式：asinx ＋bcosx ＝22a b +sin(x ＋φ)（其中cosφ＝22a ba +，sinφ＝22b ba +）.函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f(α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．知识点四: 常见的公式变形及逆用(1)1＋cosα＝2cos 2α2； 1－cosα＝2sin 2α2；(2)1＋sinα＝(sin α2＋cos α2)2； 1－sinα＝(sin α2－cos α2)2. (3)tan α2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.夯实基础要点1 两角差的余弦公式1.1 差角的余弦公式：C(α－β)：βαβαβαsin sin cos cos )(cos +=- （组合可为任意角或几个角的与βα） 1.2 公式记忆要点: 左端为两角差的余弦，右端为βα，的同名三角函数的积。
高中数学3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件新人教A版必修4
.
则 tan θ= (������又称为辅助角).
������ ������
∴asin α±bcos α= ������2 + ������ 2 (sin αcos θ±cos αsin θ) =
������ 2 + ������ 2 sin(������ ± ������). 特别是当 = ± 1, ± 3, ±
π+ 12
cos
π . 12
分析:本题(1)可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解,本 题 (2)可构造两角和的正弦公式求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
解 :(1)原式 =sin(360° -13° )cos(180° -32° )+sin(90° -13° )cos(90° - 32° ) =sin 13° cos 32° +cos 13° sin 32° =sin(13° +32° )
������������������ α -������������������ β 1+������������������ α������������������ β
简记 S(α-β) C(α -β) T(α-β) S(α+ β) C(α+ β) T(α+β)
sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β tan(α+β) =
2
sin������ ±
������ ������2 +������2
cos������ ,
∵
������ ������2 + ������2
新人教A版必修4 3.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
π π π [自主解答] (1)原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos － 3 3 3 π 2π 2π 2cos xsin － 3cos cos x－ 3sin sin x 3 3 3 1 3 3 3 ＝ sin x＋ cos x＋sin x－ 3cos x＋ cos x－ sin x 2 2 2 2
[悟一法]
1．解决此类问题的关键是熟练掌握和差公式的结构特征， 并灵活地正用、逆用、变形用． 2．对于正切公式，要熟悉以下常用的变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)， tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)， tan(α＋β)－tan α－tan β＝tan αtan βtan(α＋β)， tan α＋tan β 1－tan αtan β＝ ， tanα＋β tan α－tan β 1＋tan αtan β＝ . tanα－β
α，β，α－β≠
两角差 的正切
T(α－β)
tan α－tan β 1＋tan αtan β
π kπ＋ (k∈Z) 2
[小问题·大思维 ] 1．是否存在α、β使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立？
π 提示：存在．如 α＝0，β＝ . 2 π 2．若化简 tan( －β)，能否利用两角差的正切公式？ 2 π 提示：不能．因为 tan 不存在．可切化弦： 2
1 3 ＝2＋1－2sin x＋
3 3 － 3＋ cos x 2 2
＝0.
tan 12° ＋tan 33° (2)∵ 1－tan 12° · tan 33° ＝tan(12° ＋33° ) ＝tan 45° ＝1， ∴tan 12° ＋tan 33° ＝1－tan 12° · tan 33° . ∴tan 12° ＋tan 33° ＋tan 12° · tan 33° ＝1－tan 12° tan 33° ＋tan 12° tan 33° ＝1.
【高中数学】必修4 专题3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角差的余弦公式如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角,αβ,它们的终边与单位圆O 的交点分别为,A B ,则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ==.由向量数量积的坐标表示,有(cos ,sin )(cos ,sin )cos cos sin sin OA OB ααββαβαβ⋅=⋅=+.设OA 与OB 的夹角为θ，则||||cos cos cos cos sin sin OA OB OA OB θ=θαβαβ⋅=⋅=+. 另一方面，由图（1）可知，2πk αβθ=++；由图（2）可知，2πk αβθ=+-.于是2π,k k αβθ-=±∈Z .所以cos()cos αβθ-=，也有cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+.学-科网所以，对于任意角,αβ有cos()αβ-=____________________.此公式给出了任意角,αβ的正弦、余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作()C αβ-.有了公式()C αβ-以后，我们只要知道cos ,cos ,sin ,sin αβαβ的值，就可以求得cos()αβ-的值了.（1）注意公式中的,αβ都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合. （2）要掌握公式的正用（从左至右，即展开）和逆用（从右至左，即化简）.2．两角和的余弦公式比较cos()αβ-与cos()αβ+，并注意到αβ+与αβ-之间的联系：()αβαβ+=--，则由公式()C αβ-，有cos()cos[()]cos cos()sin sin()αβαβαβαβ+=--=-+-=____________________.于是，我们得到了两角和的余弦公式，简记作()C αβ+.3．两角和与差的正弦公式（1）两角和的正弦公式运用差角的余弦公式()C αβ-和诱导公式，得ππsin()cos[()]cos[()]22αβαβαβ+=-+=--=ππcos()cos sin()sin 22αβαβ-+-=____________________.于是，我们得到了两角和的正弦公式，简记作()S αβ+. （2）两角差的正弦公式在公式()S αβ+中，用β-代替β，可以得到sin()sin[()]sin cos()cos sin()αβαβαβαβ-=+-=-+-=____________________.于是，我们得到了两角差的正弦公式，简记作()S αβ-.4．两角和与差的正切公式（1）两角和的正切公式当cos()0αβ+≠时，将公式()S αβ+，()C αβ+的两边分别相除，有sin()tan()cos()αβαβαβ++==+sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβ+-，若cos cos 0αβ≠，将分子，分母分别除以cos cos αβ，得tan()αβ+=____________________，将其简记为()T αβ+，此为和角的正切公式.（2）两角差的正切公式在()T αβ+中用β-代替β，则tan tan()tan()tan[()]1tan tan()αβαβαβαβ+--=+-=--，又sin()tan()cos()βββ--=-sin tan cos βββ-==-，所以tan()αβ-=____________________，将其简记为()T αβ-，此为差角的正切公式.运用两角和与差的正切公式的注意点（1）两角和与差的正切公式中，,,,αβαβαβ+-均不等于ππ()2k k +∈Z ，这是由正切函数的定义域决定的；（2）当tan ,tan ,tan()αβαβ+（或tan()αβ-）中任意一个的值不存在时，就不能使用两角和（或差）的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法求解.（3）和角公式和差角公式公式()S αβ+，()C αβ+，()T αβ+给出了任意角,αβ的三角函数值与其和角αβ+的三角函数值之间的关系，为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式.类似地，公式()S αβ-，()C αβ-，()T αβ-都叫做差角公式.三角函数公式之间的联系()S αβ+，()C αβ+，()T αβ+，()S αβ-，()C αβ-，()T αβ-这6个和与差的三角函数公式之间具有紧密的联系，这种联系可以用框图形式表示，如图所示：5．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）二倍角的正弦公式 对于公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，令αβ=，则sin 2sin()sin cos ααααα=+=+cos sin 2sin cos αααα=，即sin2α=____________________，简记为2S α，称为二倍角的正弦公式.（2）二倍角的余弦公式对于公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，令αβ=，则22cos 2cos()cos sin ααααα=+=-，即cos2α=____________________，简记为2C α，称为二倍角的余弦公式. （3）二倍角的正切公式 对于公式tan()αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+-，令αβ=，则tan 2tan()ααα=+=tan tan 1tan tan αααα+=-22tan 1tan αα-，即tan 2α=____________________，简记为2T α，称为二倍角的正切公式.二倍角公式的注意点（1）二倍角是相对的，如4α是2α的二倍，α是2α的二倍等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想.（2）对于2S α和2C α，α∈R ，但是在使用2T α时，一定要保证正切值存在，且式子有意义.若不能使用二倍角公式求2T α，则可以换为利用诱导公式直接求解.K 知识参考答案：1．cos cos sin sin αβαβ+ 2．cos cos sin sin αβαβ-3．（1）sin cos cos sin αβαβ+ （2）sin cos cos sin αβαβ-4．（1）tan tan 1tan tan αβαβ+- （2）tan tan 1tan tan αβαβ-+5．（1）2sin cos αα （2）22cos sin αα- （3）22tan 1tan αα-K —重点 两角差的余弦公式的推导，两角和的余弦公式、两角和与差的正弦、正切公式的应用，二倍角公式的应用 K —难点 两角差的余弦公式的探索和推导 K —易错求三角函数值时忽略角的范围1．和、差角公式及二倍角公式的应用（1）正用和、差角公式时，要注意三角函数值的符号，把非特殊角的三角函数化为特殊角的和或差的三角函数，或把非特殊角转化为题目中已知角的和或差.在逆用和、差角公式时，应准确找出所给式子与公式右边的异同，创造条件逆用公式，同时应注意所给角的关系，逐一分析条件中的哪个角对应公式中的角,αβ.学-科网（2）已知α的某个三角函数值，求2α的三角函数值,一般先根据已知角α的取值范围，确定2α的取值范围，再根据已知的某个三角函数值和二倍角公式，求得2α的三角函数值.注意观察题中角度间的关系,发现其特征,并能根据式子的特点构造出二倍角的形式,正用、逆用二倍角公式求值. 【例1】已知锐角αβ，满足()tan sin2αββ-=，求证：tan tan 2tan2αββ+=. 【解析】因为()tan sin2αββ-=，()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+，2222sin cos 2tan sin22sin cos sin cos 1tan βββββββββ===++， 所以2tan tan 2tan 1tan tan 1tan αββαββ-=++，整理得：323tan tan tan 1tan ββαβ+=-，所以33223tan tan tan tan 22tan tan tan 2tan21tan 1tan βββββαββββ++-⨯+===--.【例2】（11sin20cos10sin170--；（2）求证：.方法二：左边222222sin2cossin 2sin cos cos sin 2sin sin cos sin 2222222222cos 2xx x x x x x x x x x x =-+=-+=+ 右边,原式成立. 2．给值求值（1）解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号.（2）注意找已知式与待求式之间角的差异，实现角的变换.常见角的变换如下：()()ααββββα=+-=--，()()()()2,2()22),,(ααβαββαβαβαβαβααβαβα=++-=+--+=++-=-+，,2222αβαβαβαβαβ+-+-=+=-.（3）在给值求值的问题中要注意隐含条件，尤其是角的取值范围. 【例3】若，且，则A ．B ．C ．D ．【答案】A【名师点睛】因为，所以在遇到时要选择合适的公式进行变形.【例4】（1）已知35sin cos ,cos sin 44αβαβ+=+=-，求()sin αβ+的值； （2）已知2sin sin 3αβ+=，7cos cos 9αβ+=，求()cos αβ-的值； （3）已知,求的值.【解析】（1）已知35sin cos ,cos sin 44αβαβ+=+=-①②. 22+①②得22222235sin 2sin cos cos cos 2cos sin sin ()()44ααββααββ+++++=+-.∵()2222sincos 1,sin cos 1,sin cos cos sin sin ααββαβαβαβ+=+=+=+，∴()3422sin 16αβ++=，即()1sin 16αβ+=. （2）已知sin α+sin β=23 ①,cos α+cos β=79②, ①2+②2得sin 2α+2sin αsin β+sin 2β+cos 2α+2cos αcos β+cos 2β=(23)2+(79)2. ∵sin 2α+cos 2α=1,sin 2β+cos 2β=1,cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β), ∴2+2cos(α-β)=,即cos(α-β)=-.（3）==,可得，两边平方得=,即=1225-,即.而,解得,所以====124332437622255255-⎛⎫⎛⎫⨯-+---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【名师点睛】对于形如a sin α+b sin β=c 和a sin α+b cos β=c 等的正弦、余弦的条件式,通过平方可得到乘积项sin αsin β和sin αcos β等的形式,再结合sin 2θ+cos 2θ=1消去平方项,使之与两角和与差的三角公式相符合,总之,平方相加是基本方法. 3．给值求角对于给值求角的问题，需注意以下两个问题： （1）根据题设条件求角的某一三角函数值；（2）讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小. 【例5】已知()111cos ,cos 714ααβ=+=-，且π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求β的值. 【解析】π,0,0+π2αβαβ⎛⎫∈∴<< ⎪⎝⎭，，21431153sin 1sin()1.4971414ααβ⎛⎫∴=-=+=--= ⎪⎝⎭，()1cos cos cos()cos sin()sin 2βαβααβααβα∴=+-=+++=， π3β∴=. 【例6】已知sin α+sin β=132-,cos α+cos β=12,若α-β∈(0,π),求α-β的值.【得分锦囊】已知三角函数值求角,选函数时,可按照下列原则：一般已知正切函数值,选正切函数;已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是(0,π2),有时选正弦函数,有时选余弦函数;若角的范围是(π2-, π2),选正弦函数较好;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好. 4．和、差角公式及二倍角公式与其他知识的综合（1）和、差角公式及二倍角公式与三角形相结合的问题，注意应用三角形的内角和为180°求解，另外，记住些常用结论，可以简化求解过程，达到事半功倍的效果，如：在ABC △中，sin()sin ,cos()cos ,A B C A B C +=+=-sincos ,tan()tan 22A B CA B C +=+=-等. （2）由于差角的余弦公式是由向量的数量积推导而得的,而三角变换的作用是研究三角函数的性质的,因此以三角变换为载体考查三角函数的图象和性质,或以向量的坐标表示为载体考查三角变换公式,都是常见的考查点，注意掌握. 【例7】已知，且满足，则()sin2sin αβα-的最大值为______.【答案】【解析】由，得，可化为，∴()sin22sin cos 2cos sin sin ααααβαα==-，，，()sin2sin αβα-的最大值为.【名师点睛】对三角函数恒等变形及三角函数性质进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 【例8】已知，，为ABC △的三个内角，且，4sin 5B =，()4cos 25A C +=-，求cos2A 的值． 【解析】∵，，∴，，．∵，∴．∴，． ∵，∴．∴．∴527625． 【名师点睛】本题在三角形中考查了两角差的正弦函数，三角函数的求值，属于基本知识的考查，由已知可求得的值，即可求出的值．5．求三角函数值时忽略角的范围【例9】已知tan(α-β)=,tan β=-,且α,β∈(0,π),则2α-β=A ．π4 B ．π4- C ．3π4- D ．π4或3π4-【错解】因为tan 2(α-β)=()()22122tan 4211tan 31()2αβαβ⨯-==---, 所以tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]=()()41tan2tan 37411tan2tan 137αββαββ⎛⎫+- ⎪-+⎝⎭=--⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=1，则2α-β=π4或3π4-.故选D ． 【错因分析】错解中没有根据题设条件确定2α-β的取值范围，从而产生增解.【正解】因为tan 2(α-β)=()()22122tan 4211tan 31()2αβαβ⨯-==---,所以tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]=()()41tan2tan 37411tan2tan 137αββαββ⎛⎫+- ⎪-+⎝⎭=--⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=1. 又tan α=tan[(α-β)+β]=()()11tan tan 127111tan tan 3127αββαββ⎛⎫+- ⎪-+⎝⎭==--⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭, α∈(0,π),所以0<α<π4. 又<β<π,所以-π<2α-β<0,所以2α-β=-.故选C ．【名师点睛】利用三角函数值求角时，不仅要注意已经明确给出的有关角的范围，还要结合有关角的三角函数值尽可能地缩小角的范围.1．o o o o sin 20cos10cos160sin10-=A ．32- B ．32 C ．12-D ．122．已知，则A ．B ．C ．D ．3．已知，则的值是 A ．B ．C ．D ．4．已知，，、均为锐角，则角等于A ．5π12 B ．π3 C ．π4D ．π65．若tan α=,则cos 2α+2sin 2α= A ．B ．C ．1D ．6．已知，，则的值为A ．B ．C ．D ．7．若()cos 3cos 605αα=-+︒，则___________．8．已知()10,π,cos 3αα∈=-. （1）求πcos 4α⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）求2πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．9．设向量()cos ,1,(2,sin )αα=-=a b ，若⊥a b ,则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．13-B ．13C ．1-D ． 3-10．已知，则=A ．B ．C ．D ．11．若cos x cos y +sin x sin y =13,则cos(2x-2y )= . 12．若，则的值为 .13．已知向量()2,sin α=m ，()cos ,1α=-n ，其中π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且⊥m n . （1）求sin2α和cos2α的值； （2）若()10sin 10αβ-=，且π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角β.14．(2018新课标全国Ⅲ)若1sin 3α=，则cos2α= A ．89 B ．79 C ．79-D ．89-15．(2018新课标全国Ⅰ)已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则 A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 16．(2018新课标全国Ⅲ)函数2tan ()1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4π B ．2πC ．πD ．2π17．(2018新课标全国Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=A ．15BC ．5D ．118．(2018新课标全国Ⅱ)已知5π1tan()45α-=，则tan α=__________． 19．(2018新课标全国Ⅱ) 已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．20．(2018浙江) 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）．（1）求sin （α+π）的值； （2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．21．(2018江苏）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．1 2 3 4 5 6 9 10 14 15 16 17 DDACAADBBBCB1．【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+=o sin 30=12，故选D.3．【答案】A 【解析】，∵，∴，∴，故选A ．4．【答案】C 【解析】因为，结合、均为锐角，可以求得，所以，所以，故选C ．5．【答案】A【解析】方法一：由tan α=,cos 2α+sin 2α=1,得或,则sin 2α=2sin αcos α=,则cos 2α+2sin 2α=+.方法二：cos 2α+2sin 2α=2222cos 4sin cos 14tan 13649cos sin 1tan 25116ααααααα+++===+++.故选A ．7．【答案】【解析】由题意知，整理得，所以，则()1333tan tan3093tan 3031tan tan3013331ααα++︒+︒===--︒-⨯8．【解析】（1）∵22sin cos 1αα+=，1cos 3α=- ，∴28sin 9α=， 又∵()0,πα∈，∴22sin α=， 则πcos 4α⎛⎫-⎪⎝⎭=ππcos cos sin sin 44αα+=212222323⎛⎫⨯-+⨯=⎪⎝⎭426-（2）∵2sin 3α=，1cos 3α=-， ∴42sin22sin cos 9ααα=⋅=-，227cos2cos sin 9ααα=-=-， 则2πsin 23α⎛⎫+⎪⎝⎭=2π2πsin cos2cos sin233αα⋅+⋅=37142()()()2929⨯-+-⨯-4273-9．【答案】D【解析】∵⊥a b ，02cos sin 0αα∴⋅=⇒-=a b ，即tan 2α=．πtan 121tan 3.41tan 12ααα++⎛⎫∴+==- ⎪--⎝⎭＝故选D ．10．【答案】B 【解析】由题意，所以，由于，故选B ． 11．【答案】79-【解析】由cos x cos y+sin x sin y =,可知cos(x-y )=,则cos(2x-2y )=2cos 2(x-y )-1=2×()2-1=79-. 12．【答案】0【解析】∵，∴，∴，∴．13．【解析】（1）∵⊥m n ，∴2cos sin 0αα-=，即sin 2cos αα=.代入22cos sin 1αα+=，得25cos 1α=，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则5cos α=，25sin α=则sin22sin cos ααα==525425=， 2cos22cos 1αα=-= 132155⨯-=-.（2）∵π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭. 又()10sin 10αβ-=，∴()310cos 10αβ-=.∴()sin sin βααβ⎡⎤=--=⎣⎦()()sin cos cos sin ααβααβ---=25310510510510⨯-⨯22=. 又π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得π4β=.16．【答案】C【解析】由已知得22sin 1cos sin cos sin2sin 21(tan ()1tan )cos xx x x x x f x xx x ====++， 则()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.故选C ．17．【答案】B【解析】根据条件，可知三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选B ．18．【答案】【解析】5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+⋅，则.20．【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-， 所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 21．【解析】（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈． 又因为5cos()αβ+=，所以225sin()1cos ()αβαβ+-+， 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.(高考全国卷Ⅱ，理2)函数y=sin2xcos2x 的最小正周期是( )A.2πB.4πC.4π D.2π 解析：y=sin2xcos2x=21sin4x,所以最小正周期为T=42π=2π.答案：D2.(高考全国卷Ⅱ，理10)若f(sinx)=3-cos2x ，则f(cosx)等于( )A.3-cos2xB.3-sin2xC.3+cos2xD.3+sin2x解析：f(sinx)=3-(1-2sin 2x)=2sin 2x+2,所以f(x)=2x 2+2.因此f(cosx)=2cos 2x+2=(2cos 2x-1)+3=3+cos2x. 答案：C3.已知α为锐角，且sinα∶sin 2α=8∶5，则cosα的值为( ) A.2512 B.258 C.257 D.54 解析：由2sin2cos2sin 22sin sin ααααα==2cos 2α=58，得cos 2α=54， cosα=2cos 22α-1=2×(54)2-1=257. 答案：C4.求下列各式的值：(1)cos 12πcos 125π=______________； (2)(cos 12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π)=______________；(3)21-cos 28π=______________； (4)-32+34cos 215°=______________；(5)︒-︒5.22tan 15.22tan 2=_________________解析：(1)原式=cos 12πsin 12π=21sin 6π=41；(2)原式=cos212π-sin 212π=cos 6π=23； (3)原式=21-(2cos 28π-1)=21-cos 4π=42-；(4)-32+34cos 215°=32(2cos 215°-1)=32cos30°=33；(5)原式=21tan45°=21. 答案：(1)41 (2)23 (3)42- (4)33 (5)2110分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.若tanx=2，则tan2(x-4π)等于( ) A.34 B.-34 C.43 D.43- 解析：tan(2x-2π)=-tan(2π-2x)=-cot2x=x 2tan 1-,而tan2x=4122-⨯=-34,∴原式=43.答案：C2.当0＜x ＜2π时，函数f(x)=x x x 2sin sin 82cos 12++的最小值为( )A.2B.32C.4D.34解析：f(x)=x x x x cos sin 2sin 8cos 222+=x tan 1+4tanx≥42=4，当且仅当tanx=21时，取“=”.答案：C3.化简cos72°cos36°=________________. 解析：原式=︒︒=︒︒︒=︒︒•︒︒36sin 4144sin 36sin 472sin 72cos 236sin 236sin 236cos 72cos =41. 答案：414.在△ABC 中，tanA+tanB+33+tanAtanB 且sinAcosA=43，判断三角形的形状. 解：由sinAcosA=43，得21sin2A=43，即sin2A=23， ∴2A=60°或120°.∴A=30°或60°.又由tanA+tanB=3-(1-tanAtanB)，得tan(A+B)=3tan tan 1)tan tan 1(3-=---BA B A ，∴A+B=120°.当A=30°时，B=90°，tanB 无意义，∴A=60°,B=60°，即三角形为等边三角形. 5.平面上两塔相距120 m ，一人分别在两塔的底部测得一塔顶的仰角为另一塔顶仰角的2倍，又在两塔底的连线中点测得两塔顶的仰角互余.求两塔的高.解析：如图所示，设两塔的高分别为x m 、y m ，且∠ADB=α，∠AMB=θ.由题意，得∠CBD=2α，∠AMC=90°， ∠AMB=∠MCD=θ， 所以x=60tanθ，y=θtan 60， x=120tan α，y=120tan2α.所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.12012,360022x x y xy 解得x=40，y=90.答：两塔高分别是90 m 和40 m.6.(2006高考北京卷，理15)已知函数f(x)=xx cos )42sin(21π--， (1)求f(x)的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tanα=-34，求f(α)的值. 解：(1)由cosx≠0,得x≠kπ+2π(k ∈Z ). 故f(x)的定义域为{x|x≠kπ+2π,k ∈Z }.(2)因为tanα=54-,cosα=53，且α为第四象限的角，所以sinα=54-,cosα=53.故f(α)=αααααααπαcos 2cos 2sin 1cos )2cos 222sin 22(21cos )42sin(21+-=--=--=ααααcos cos sin 2cos 22-=2(cosα-sinα)=514. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.已知θ是第三象限的角，若sin 4θ+cos 4θ=95，那么sin2θ等于( ) A.322 B.322- C.32 D.-32解析：(sin 2θ+cos 2θ)2=sin 4θ+cos 4θ+2sin 2θcos 2θ=sin 4θ+cos 4θ+21(sin2θ)2，而(sin 2θ+cos 2θ)2=1，可以得到sin2θ=±322，又由于θ是第三象限的角，所以sin2θ=322. 答案：A2.已知tanα=71，tanβ=2π，0＜α＜β＜2π,则α+2β等于( ) A.45π B.4π C.45π或4π D.47π解析：∵tan2β=43tan 1tan 2=-ββ，∴tan(α+2β)=28314371-+=1.∵tanα=71＜1,∴0＜α＜4π.tan2β=43＜1,∴0＜2β＜4π.∴0＜α+2β＜43π.∴α+2β=4π.答案：B3.(2006高考上海卷，理17)求函数y=2cos(x+4π)cos(x-4π)+3sin2x 的值域和最小正周期.解：y=2(cosxcos4π-sinxsin 4π)(cosxcos 4π-sinxsin 4π)+3sin2x =cos 2x-sin 2x+3sin2x=cos2x+3sin2x=2sin(2x+6π).∴原函数的值域是［-2,2］，周期T=22π=π. 4.化简︒-+︒+10sin 110sin 1. 解：原式=︒︒-︒+︒+︒︒+︒+︒5cos 5sin 25cos 5sin 5cos 5sin 25cos 5sin 2222=|sin5°+cos5°|+|sin5°-cos5°|=sin5°+cos5°+cos5°-sin5°=2cos5°. 5.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.解：原式=21cos20°cos40°cos80° =︒︒︒=︒︒︒=︒︒︒︒︒20sin 1680cos 80sin 2880cos 40cos 40sin 220sin 480cos 40cos 20cos 20sin 2 =16120sin 16160sin =︒︒. 6.已知sin 22α+sin2αcos α-cos2α=1，α∈(0,2π)，求sin α,tan α.解：由题意知4sin 2αcos 2α+2sin αcos 2α-2cos 2α=0，即2cos 2α(2sin α-1)(sin α+1)=0. 又α∈(0,2π)，∴sinα+1≠0,cos 2α≠0. 由2sin α-1=0得sin α=21，∴α=6π,tan α=33.7.已知sin(α-4π)=1027，cos2α=257，求sin α及tan(α+3π).解：由sin(α-4π)=1027,得22(sin α-cos α)=1027，即sin α-cos α=57. ① 又由cos2α=257得cos 2α-sin 2α=257，即(cos α+sin α)(cos α-sin α)=257，∴cosα+sin α=-51. ②由①②得sin α=53，cos α=54-,∴tanα=-43.tan(α+3π)=1132548343344331433tan 313tan -=+-=+-=-+αα. 8.当x∈［-2π,2π］时，求f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的周期、最大值及此时的x 值. 解：f(x)=1+cos2x+1+sin2x=2sin(2x+4π)+2.周期T=π.当x ∈［-2π,2π］时，2x+4π∈［-43π,45π］,sin(2x+4π)∈［-1,1］. ∴f(x)∈［22-,22+］.∴f(x)max =22+.由2x+4π=2k π+2π得x=k π+8π. 又∵x∈［-2π,2π］，∴x=8π,即当x=8π时，f(x)的最大值为22+.9.(2006高考安徽卷，理17)已知43π＜α＜π,tanα+cosα=310-.(1)求tanα的值；(2)求)4sin(282cos 112cos2sin82sin 522πααααα--++的值.解：(1)∵tanα+cosα=310-,∴3tan 2α+10tanα+3=0,解得tanα=-31或tanα=-3.∵43π＜α＜π,∴-1＜tanα＜0.∴tanα=-31.(2)∵tanα=-31,∴)4(sin 282cos 112cos2sin82sin 522παααααα--++=451tan 3tan 4cos sin 82cos 16sin 4)2cos 2(sin 522-=-+=--+•+++αααααααα. 10.(2006高考四川卷，理17)已知A 、B 、C 是△ABC 三内角，向量m =(-1,3)，n =(cosA,sinA),且m ·n =1. (1)求角A ； (2)若BB B22sin cos 2sin -+1=-3，求tanC. 解：(1)∵m ·n =1,∴(-1,3)·(cosA,sinA)=1,即3sinA-cosA=1,2(sinA·23-cosA·21)=1,sin(A-6π)=21. ∵0＜A ＜π,-6π＜A-6π＜65π,∴A-6π=6π.∴A=3π.(2)由题知BB B B 22sin cos cos sin 21-+=-3，整理得sin 2B-sinBcosB-2cos 2B=0. ∵cosB≠0,∴tan 2B-tanB-2=0. ∴tanB=-2或tanB=-1.而tanB=-1使cos 2B-sin 2B=0，舍去. ∴tanB=2.∴tanC=tan［π-(A+B)］=-tan(A+B)=11358321322tan tan 1tan tan +=-+⨯-=-+-B A B A .。